对数正态随机变量和与差的尾部行为

定理4描述了当基准投资组合只有正权重时，原始投资组合中个体作为集合的条件期望在这种情况下的渐近行为。这个定理表明，一个市场中的资产可以分为两类：那些条件预期与x成比例衰减的资产→ 0（安全资产）和thoseassets，条件期望的衰减速度远快于x（危险资产）。安全资产正是那些在四次规划问题（4）的解中具有严格正权重的资产。定理4等结果可用于系统构建压力测试，监管机构要求银行和投资公司进行压力测试。最后，在第5节。2.我们将对数正态投资组合的风险价值的渐近行为描述为信心水平趋于一（见定理6）。对数正态分布左尾的渐近行为本节研究随机变量X=Pni=1eYi的左尾渐近性。2.1. 对数正态和的左尾。结果和讨论用n维单纯形定义为n:=（w）∈注册护士：威斯康星州≥0，i=1。，n、 andnXi=1wi=1）对数正态和与差的尾7和let\'w∈nbe唯一的向量，使得⊥B’w=最小值∈西北⊥Bw。（6） w的存在性和唯一性来自于矩阵B的非简并性。在k=1时Ak>0的情况下。，n、 \'w=B-1.⊥B-1.<==> \'wk=AkPni=1Ai，k=1，n、 （7）这意味着对于k=1，`wk>0，n、 在一般情况下，我们让‘n:=Card{i=1，…，n:\'wi6=0}，（8）’i:={i=1，…，n:\'wi6=0}：={k（1），…，\'k（\'n）}，\'u∈ R’n带‘ui=u’k（i）和‘B∈ M\'n（R）与\'Bij=B\'k（i），\'k（j）。

用B表示的Bis的逆矩阵-1其元素和行和由“aijand”Ak:=P“nj=1”akj求和。在pres-e-nt小节中，我们只对随机变量Y，伊恩。由于这些变量是可交换的，我们可以假设共变矩阵B，\'I={1，…，\'n}与\'n\'之间没有失去一般性≤ n、 利用目标函数的严格凸性，得到了最小值问题的极小值∈\'nw⊥Bw与w的前n个分量重合，因此属于集合R n+的内部。最小值超过n与集合{w上的极小值重合∈ R\'n:P\'ni=1wi=1}，这意味着（\'wi）i=1，。。。，\'n=\'B-1.⊥“B”-1，或相当于“wk=”AkP“ni=1”Ai，k=1，n.（9）SinceP ni=1\'Ai>0（矩阵B-1为正定义），这意味着“Ak>0 fork=1，n.等式（9）还得出以下有用的公式：\'w⊥B\'w=⊥“B”-1=P‘ni=1’Ai。下面的假设将被用在句子中：（a）对于每一个i∈{1，…，n}\\\'I，（ei）-“（w）⊥B’w 6=0，其中ei∈如果i=j，则满足度eij=1，否则eij=0。8 A.Gulisashvili和P.Tankov1。假设（A）等同于以下内容：-“（w）⊥B\'w>0，对于每一个i∈{1，…，n}\\\'I.的确，极小化函数的梯度⊥点w处的B由B w给出，对于足够小的ε>0，\'w+（ei-w）ε显然属于n、 因此（ei）-“（w）⊥B\'w<0将与“w”是最小值这一事实相矛盾。假设（A）是问题的自然非退化条件。以下简单等式给出了（6）中的优化问题与无规范化约束的类似问题之间的关系：infw∈n、 r≥0rw⊥体重-r=infv∈注册护士：六≥0，i=1，。。。，内华达州⊥Bv-1.⊥五、

（10） 因此，右侧c的最小值“v”可以由（6）的最小值“w”构成，如下所示：⊥现在，引入向量λ∈ 对于（10）右侧的正约束，我们使用拉格朗日乘子，得到拉格朗日诺夫⊥Bv-1.⊥五、-λ⊥v、 因此，在极值处，B’v=1+λ，或者换句话说，B’w’w⊥B’w=1+λ。因此，假设（A）简单地表示，对于饱和的约束，拉格朗日乘子不等于零（因为约束是不等式，这相当于乘子的严格正性）。这通常是正确的，除非无约束问题的解属于约束定义的域的边界。下一个断言提供了一个尖锐的渐近公式，在假设（a）下，随机变量X的分布函数有一个误差估计。下面将给出X分布密度的类似公式（se推论2）。定理1。假设假设（A）成立。然后，作为x→ 0，P[X≤x] =C\'A+·A+·nlogx-（1+\'n）/2xP\'nk=1\'Ak（对数（\'A+···+\'An）/\'Ak+\'uk）（11）×经验-（\'A+··+\'A\'n）logx1+Ologx-1.,对数正态和差的尾部=√2πp | | B | p | A+·A+·np·A·A·n（12）×exp(-\'nXi，j=1\'aij对数“A+··+”A“n”Ai+ui对数A+·A+·n+Aj+uj).备注2。公式（11）可以根据（6）中二次规划问题的解w重写如下：P[X≤x] =eClogx-（1+/n）/2exp-（日志x）-“w”⊥u -E（\'w））\'w⊥B\'w（13） ×（1+O（|对数x|-1） ）作为x→ 0，其中E（`w）=-Pni=1“威洛格”维安德克=C”w⊥B\'w expE（\'w）\'w⊥B\'w.因此，具有正系数的对数正态随机变量之和的左尾的渐近行为与（6）中的二次规划问题密切相关。

特别是，这个问题决定了rando mvector的哪些组件会影响尾部行为。下面的理论1和推论2允许我们估计各种条件期望。下一个断言提供了Y的空间变换的极限条件定律的特征。，Yn，考虑到X≤x、 推论1。假设假设（A）成立。然后，作为x→ 0，对于任何u∈ Rn，E[ePni=1uiYi | X≤ x] =xPni=1uiP\'nj=1\'Ajbij×exp（nXi=1uiui-\'nXp，q=1bpi\'apq对数“A+··+”A“n”Aq+uq!)x exp（Xi，j）/∈“\'iujbij”-\'nXp，q=1\'apqbpibqj！）1+Ologx-1..备注3。请注意，\'nXj=1\'Ajbij=[B\'w]i\'w⊥B\'w= 1.我∈“我，>1，我/∈“I10 A.Gulisashvili和P.Tankovby假设（A）。设λi=[B\'w]i\'w⊥B\'w-1.（14）那么，推论1意味着向量的条件分布-（1+/λ）对数x，给定x≤ x、 弱收敛于（退化）高斯定律，平均μ′i=μi-\'nXp，q=1bpi\'apq对数“A+··+”A“n”Aq+uq协方差矩阵B′=（B′ij），其中B′ij=（bij）-\'nXp，q=1\'apqbpibqj）i，j/∈“我注意到，对于我来说∈“I，表示u′的表达式是u′I=log\'Ai\'A+·A+·n=log\'wi。下一个陈述涉及随机变量X的分布密度p的渐近性。推论2。假设假设（A）成立。然后，作为x→ 0，p（x）=Clogx(1-\'-n）/2x-1+P\'nk=1\'Ak（对数（\'A+·A+·A+n）/\'Ak+\'uk）（15）×经验-（\'A+··+\'A\'n）logx1+Ologx-1.,其中常数C由（12）给出。推论2意味着推论1中的条件期望可以针对事件{X=X}。推论3。假设假设（A）成立。然后，作为x→ 0，对于任何u∈ Rn，E[ePni=1uiYi | X=X]=xPni=1uiP¨nj=1¨Ajbij×expnXi=1ui（ui-\'nXp，q=1bpi\'apq对数“A+··+”A“n”Aq+uq)!（16） 对数正态和与差的尾部11×expXi，j/∈“IUJ（bij-\'nXp，q=1\'apqbpibqj）！1+Ologx-1..例如：两个对数正态变量之和slet n=2，用B=σ、B=σ和B=B=ρ∑表示矩阵B的元素。

来验证我们假设的想法≥σ. 那么，w=（v，1）-v）⊥andw⊥Bw=σv+σ（1）-v） +2ρσv（1）-v） 。因此，问题（6）的解决方案由“w=（“v，1）”给出- “（v）⊥其中v=σ（σ-ρσ)σ+ σ-2ρσσ∨我们有以下三种情况：o如果ρ<σσ，那么两个权重都是严格正的，假设（A）成立，密度p的共有行为如下：p（z）=Czp | log z | exp-（u+x）*-对数z，u+y*-对数z）×B-1（u+x）*-对数z，u+y*-对数z）⊥×1+O|对数z|作为z→0，其中c=sσ+σ-2ρσσ2π(σ-ρσσ)(σ-ρσ），x*= 对数σ+σ-2ρσσσ-ρσ和y*= 对数σ+σ-2ρσσσ-ρσσ.o 如果ρ>σσ，那么w=（0,1）⊥, 假设（A）成立，密度的渐近行为由p（z）=zσ表征√2πe-（对数z）-u)/(2σ)1+O|对数z|作为z→ 注意，在这种情况下，p的渐近行为仅由第二个分量决定。12 A.Gulisashvili和P.Tankovoρ=σ的情况除外。这里我们有w=（0，1）⊥, 但假设（A）并不成立。因此，理论1无法应用。在[20]中，高、徐和叶描述了上述三种情况下两个对数正态变量之和的左尾行为。从[20]中建立的结果可以看出，在特殊情况下，密度p的渐近行为与在ρ>σσ或ρ<σσ的情况下p的行为在性质上不同。这表明，如果不改变渐近线的形式，就不能放松假设（A），这意味着在某种意义上，假设（A）是最优的。备注4。在上述例子的第二种情况下，第二个分量的方差非常小，它完全控制对数正态和的左尾的交感行为，因此，在某种程度上，我们恢复了一跳定律。在这种情况下，分布函数的渐近行为可以用下列公式中给出的基本参数来描述。

在命题及其证明的文本中，我们表示σI=√Biiandρij=Bijσiσj1≤ i、 j≤ n、 我们感谢这位著名的裁判提请我们注意这一论点。提议1。对于some i，σi<ρijσj，j6=i，那么，作为x→0，P[X≤ x] =σilog（1/x）√2πe-（日志x）-ui）/（2σi）1+O扑通一声. （17） 证据。根据Jensen不等式，E[（x-十） +]≥E[（x）-E[X|Yi]）+]。一个简单的计算表明e[X | Yi]=eYi+Xj6=iexpuj+σjρij（Yi）-ui）/σi+σj（1）-ρij）≤对于某些常数c>0和α>1，eYi+ceαyi。结合一个简单的单调性参数，我们得到了[（x-哎呀-ceαYi）+]≤ E[（x）- 十） +]≤ E[（x）- eYi）+]。因为，在事件{x>eYi+ceαYi}，Yi<logx上，我们还有E[（x-cxα-eYi）+]≤E[（x）-十） +]≤E[（x）-eYi）+]。（18） 根据标准参数，E[（x-eYi）+]=-eui+σi/2N-ui+σi-对数xσi+ xN-ui-对数xσi= xσin-ui-对数xσiσilog1/x+Olog1/x, 作为x→ 0，对数正态和差的尾部，其中N是标准正态分布函数，N是标准正态密度。根据前面的估计和（18），我们推导出e[（x-十） +]=Xσilog（1/X）√2πe-（i）-对数x）/（2σi）1+O日志1/x作为x→ 0.为了获得分布函数的渐近性，我们使用以下simplebound：对于δ∈ （0，x），E[（x-十） +]-E[（x）-δ - 十） +]δ≤P[X≤ x]≤E[（x+δ）-十） +]-E[（x）-十） +]δ。取δ=x（log1/x）3/2，经过直接计算得到公式（17）。2.2. 对数正态和的左尾。证明以下初步结果刻画了在特殊情况下，分布函数的渐近行为和尾区域中随机变量X的密度，其中对于所有k=1，n、 或者，等价地，n=n引理1。假设Ak>0，k=1，N

然后，作为x→0，p（x）=Clogx(1-n） /2x-1+Pnk=1Ak（对数（A+···+An）/Ak+uk）（19）×经验-（A+··+An）logx1+Ologx-1.,andP[X≤x] =CA+··+Anlogx-（1+n）/2xPnk=1Ak（对数（A+···+An）/Ak+uk）（20）×经验-（A+··+An）logx1+Ologx-1.,Where C=√2πp | B|√A+···+A√A··An（21）×exp(-nXi，j=1aijlogA+··+AnAi+uilogA+··+AnAj+uj).14 A.Gulisashvili和P.Tankov评论5。公式（19）为对数正态随机变量的s um密度，假设k=1时Ak>0。，文献[20]中给出了n，但使用了不同的符号，并且没有错误的估计。引理1的证明。我们将首先证明（19）中的公式。X的分布函数由p[X<X]=ZxdyZx给出-ydy··Zx-Y-Y-···-伊恩-1dlog（y，…，yn）dyn。对之前关于x的公式进行区分，并对变量x=y/x，x=y/x。，（22）xn-1=yn-1/x，xn=1- （y+y+···+yn）-1） /x，我们看到Random变量x的密度p可以表示为：p（x）=xn-1ZdxZ1-xdx··Z1-十、-···-xn-2dlog（xx，…，xxn）dxn-1.（23）注意，x不是自变量，而是x的函数。，xn-1.现在，考虑到（1）和（23），我们看到每x>0，p（x）=（2π）n/2p | B | xZdxZ1-xdx··（24）×Z1-十、-···-xn-2x···xnexp(-nXi，j=1aij（对数（xxi）-ui）（对数（xxj）- uj）dxn-1.在尾部区域（x→0），我们可以在公式（24）中分离x的影响：p（x）=（2π）n/2p | B | xexp-（A+··+An）logxZdxZ1-xdx··（25）×Z1-十、-···-xn-2Φ（x，…，xn）-1） 经验-logxψ（x，…，xn）-1)二氧六环-其中Φ（x，…，xn）-1） =x··xnexp(-nXi，j=1aijlogxi+uilogxj+uj)（26）和ψ（x，…，xn）-1） =nXk=1Aklogxk+uk. （27）对数正态和与差的尾部15从公式（25）中可以清楚地看出，它必须将渐近b行为描述为θ→ ∞ 积分i（θ）=ZdxZ1-xdx··（28）×Z1-十、-···-xn-2Φ（x，…，xn）-1） 经验{-θψ（x，…）。

，xn-1） }dxn-1.我们将在证明中使用拉普拉斯方法的高维扩展。回想一下，对于所有1，Ak>0≤K≤ n、 我们有Ψxk=-Akxk+An1-十、-···-xk-···-xn-1对于所有1≤ K≤ N- 1.因此，函数ψ有一个唯一的临界点x*=（十）*, . . .,十、*N-1） wherex*k=AkA+A+····+anfor1≤K≤ N-1.注意临界点x*属于（28）中积分集的内部，更重要的是，这个点是函数ψ的全局最小点。接下来，使用[13]中的公式（8.3.50），我们得到logx=Pdx（ET*))2π对数1/x（n）-1） /2Φ（x）*, . . . , 十、*N-1） （29）×exp-logxψ（x）*, . . .,十、*N-1)1+Ologx-1.作为x→0，其中H（x*) 是在临界点x处计算的函数ψ的海森矩阵*. 注意Φ（x*, . . .,十、*N-1） =（A+···+An）nA··An（30）×exp(-nXk=1akklogA+··+AnAk+uk-X1≤i<j≤奈吉logA+··+AnAi+uilogA+··+AnAj+uj)16 A.Gulisashvili和P.Tankovandψ（x）*, . . .,十、*N-1） =nXk=1AklogA+··+AnAk+uk. （31）此外Ψxk（x）*) = （A+···+A）Ak+An, 1.≤ K≤ N- 1.和Ψ十一xj（x）*) = （A+···+An）An，1≤ i<j≤N-1，我们有d（H（x）*)) = （A+··+An）2n-2(32)×A.-1+A-1nA-1n·A-1nA-1nA-1+A-1n·A-1n·······A-1nA-1n·A-1n-1+A-1n.接下来，使用（32）并进行长而繁琐的计算，我们得到以下等式：det（H（x*)) =（A+A+··+An）2n-1AA··An。（33）最后，考虑到（25）、（29）和（30）、（31）和（33），我们完成了引理1中公式（19）的证明。公式（20）可以通过积分公式（19）来推导，或者我们可以通过使用与证明（19）相同的方法直接推导（20）。理论证明1。让k∈{n，…，n-1} ，z∈（0，）和a，b使得ea+eb=z。那么，P[eY+·eYk+1≤z]≥ P[eY+···+eYk≤ea，Yk+1≤b] =P[eY+·eYk≤[ea]-P[eY+···+eYk≤ea，Yk+1>b]。注意，k≥ \'n表示tPki=1\'wi=1。

上述公式c中的第二项可按如下公式估算：P[eY+·eYk≤ea，Yk+1>b]≤ P[\'wY+·wkYk≤a、 Yk+1>b]≤ P[\'wY+·wkYk-A.≤ α（Yk+1）-b） ]=NA.-αb-E[\'w⊥Y-αYk+1]pVar[\'w⊥Y-αYk+1]对数正态和差的尾部，每α>0。现在，letxk+1=（ek+1）⊥B\'w\'w⊥B’w>1（根据假设（A）得出不等式），并选择B=（1+（xk+1-1） /2）对数z=> a=对数z+对数（1-z（xk+1）-1)/2).注意到⊥Y-αYk+1]＝w⊥B-w（1）- 2αxk+1）+αBk+1，k+1，通过上述取代，我们得到，对于足够小的α-αb-E[\'w⊥Y-αYk+1]pVar[\'w⊥Y-αYk+1]=（1）-α（xk+1+1）/2）log z+log（1）-z（xk+1）-1)/2) -“w”⊥u+αuk+1√“w”⊥B’wp1-2αxk+1+αBk+1，k+1/（\'w⊥B/w）≤对数z√“w”⊥B\'w1-α（xk+1+1）/2p1-2αxk+1+αBk+1，k+1/（\'w⊥B′w）+Ck+1，其中Ck+1是一个不依赖于z的常数。接下来，对于足够小的α，1-α（xk+1+1）/2p1-2αxk+1+αBk+1，k+1/（\'w⊥B/w）≥1.-αxk+1+1r1+2αxk+1-αBk+1，k+1\'w⊥B\'w≥1.-αxk+1+11+αxk+1-αBk+1，k+1'w⊥B\'w= 1+αxk+1-1+O（α），α→0.现在很容易看出，通过选择α小值，人们总能找到εk+1>0这样的值-αb-E[\'w⊥Y-αYk+1]pVar[\'w⊥Y-αYk+1]≤对数z√“w”⊥B\'w（1+εk+1）+Ck+1。我们的结论是P[eY+··+eYk+1≤z]≥ P[eY+···+eYk≤z（1）-z（xk+1）-1)/2)]-N对数z√“w”⊥B\'w（1+εk+1）+Ck+1.18 A.Gulisashvili和P.Tankov让我们首先将这个公式应用于k=\'n和z=x。SinceN（y）=OE-y/2 | y|就像我一样→ -∞, 和“w”⊥B\'w=P\'ni=1\'Ai，使用引理1计算P[eY+····+eY\'n的渐近性≤x] 我们有n（对数x）/√“w”⊥B\'w（1+ε\'n+1）+C\'n+1）P[eY+·y+eY\'n≤x] =Ologx-1.作为x→ 另一方面，通过引理1，对于δ>0P[eY+····+eY\'n≤x（1）-xδ]=C\'A+·A+·nlogx-日志（1）- xδ）-\'n/2（x（1-xδ）P\'nk=1\'Ak（对数（\'A+·A+·A+n）/\'Ak+\'uk）×exp-n+A+Alogx-日志（1）-xδ）1+Ologx-1.=C\'A+·A+·A\'nlogx-\'n/2xP\'nk=1\'Ak（对数（\'A+·A+·A+n）/\'Ak+\'uk）×经验-（\'A+··+\'A\'n）logx1+Ologx-1.作为x→ 0

因此，我们得到了s hown thatP[eY+·eY+1≤z]≥P[eY+··+eY\'n≤z]1+Ologx-1.作为x→ 0，很明显，P[eY+···+eY\'n+1≤z]≤P[eY+··+eY\'n≤z] ，我们也得到了p[eY+···+eY\'n+1≤z] =P[eY+·eY+n≤z]1+Ologx-1.对数正态和差的尾部19as x→ 0.迭代此过程n- “n次使用归纳论点，我们最终得到P[eY+··+eYn≤z] =P[eY+·eY+n≤z]1+Ologx-1.作为x→ 0，这就完成了定理的证明，因为P[eY+·eY+n的as符号≤z] 可以用引理1计算。推论1的证明。对于任何你∈Rn，我们有[ePni=1uiYi | X≤ x] =E[ePni=1uiYiX≤x] P[x≤ x] =E[ePni=1uiYi]~P[x≤ x] P[x≤x] ，（34）其中，符号P代表一个新的概率，该概率由fr omd＠PdP=ePni=1uiYiE[ePni=1uiYi]确定。在这种可能性下，Y~ N（u+Bu，B）。将定理m1应用于（34）中分数的分子和命名符，并进行消去，我们得到以下结果：E[ePni=1uiYi | X≤ x] =xPni=1uiP\'nj=1\'Ajbijeu⊥u+（1/2）u⊥BuCu+Bu，BCu，B1+Ologx-1.= xPni=1uiP\'nj=1\'Ajbijexp（nXi，j=1IUJBIJ）-\'nXp，q=1\'apqbpibqj！）x exp（nXi=1uiui-\'nXp，q=1\'apqbpi对数“A+··+”A“n”Aq+uq!)×1+Ologx-1.作为x→ 0.在之前的估计中出现的符号Cu+Bu，带Cu，B代表定理1中的常数C，分别与对数正态变量（u+Bu，B）和（u，B）相关。当我∈“我是奥吉∈\'I，neces sarilybij=\'nXp，q=1\'apqbpibqj。20 A.Gulisashvili和P.Tankov推论的证明2。