对数正态随机变量和与差的尾部行为

回想一下X:P[X]的分布函数的公式≤x] =Zey+·eyn≤x（2π）n/2p | B |×exp-（y）-u)⊥B-1（y）- u)dy···dyn=Zez+···+ezn≤1（2π）n/2p | B |×exp-（z+1对数x）-u)⊥B-1（z+1对数x-u)dz···dzn。与x不同，我们得到了密度的另一种表示：p（x）=Zez+·ezn≤1.-1.⊥B-1（z+1对数x-u）x（2π）n/2p | B |×exp-（z+1对数x）-u)⊥B-1（z+1对数x-u)dz··dzn=-xE[1⊥B-1（Y）-u）1X≤x] =-xE“nXi=1Ai（Yi-ui）1X≤x#。接下来，我们将根据推论1进行一次转换。考虑到评论3，我们看到p（x）=-xE“nXi=1AiYi-对数x\'nXj=1\'Ajbij-我！十、≤x#-日志xxE“nXi=1Ai’nXj=1’AjbijX≤x#=P[x≤x] xnXi=1Aiui-xnXi=1AiE[（Yi）-（1+/λi）对数x）1X≤x]-日志xx\'nXj=1\'AjP[X≤x] =-日志xx\'nXj=1\'AjP[X≤x] +OP[X≤x] x对数正态和差的尾部21as x→ 0 . 这里的常数λi由（14）定义。在上面的推理中，我们使用下面的估计，它可以从推论1中推导出来。对于每一个我，作为x→0，| E[（Yi）-（1+/λi）对数x）1X≤x]|≤P[X≤ x] （E[eYi]-（1+/λi）对数x | x≤ x] +E[E]-（易）-（1+/λi）对数x）|x≤x] ）=CP[x≤ x]1+Ologx-1.对于一些常数C。3.正态微分右尾的渐近性在这一作用下，我们分析了分布函数的渐近性和随机变量X（m）的密度→ +∞, 假设m≥ 1.如果m=0，则X（m）分布的支持度为(-∞, 0），并且0处的尾巴行为遵循第2节中获得的结果。3.1. 对数正态差的右尾。结果和讨论让我们首先考虑，对于每个p，1≤P≤ m、 随机变量X（1）p=eYp-nXk=m+1eYk。（35）让pm，nbe权重集w∈ 对于i=1，…，wi=0的RN，m、 I6=p；可湿性粉剂≥0; wi≤0表示i=m+1。，N和pwi=1。

让“wp”∈pm，nbe唯一点，如“wpB”wp=minw∈西北部下午⊥Bw，（36）和定义n（p），\'I（p），\'k（p），\'u（p），\'B（p），\'a（p）ij，\'a（p）如等式（8）和下面的等式所示。我们会说，如果每一个i∈ {m+1，…，n}\\\'I（p），（ei）-\'\'wp）⊥B’wp6=0。从理论3（见第3.2节）可以看出，如果满足消费（Ap），则p[X（1）p≥x] =δ1，p（对数x）δ2，pxδ3，pexp-logx2δ4，p（1+O（（对数x）-1） ）（37）22 A.Gulisashvili和P.Tankovas x→ ∞ , 式中，δ1，p=C（p）p\'n（p）j=1\'A（p）j，δ2，p=-1+\'n（p），δ3，p=\'npXi=1\'A（p）ilogP\'n（p）j=1\'A（p）j|A（p）i|+u（p）i, δ4，p=\'n（p）Xj=1\'A（p）j！-1.换句话说，P[X（1）P]的渐近项的本征衰减率≥x] 由数量δ4确定，p=minw∈西北部下午⊥Bw。根据共变矩阵B，该速率可能等于bpp，即Yp方差的倒数，在这种情况下，X（1）pis的渐近行为仅由Yp确定，或大于bpp，其中X（1）pis的渐近行为由向量（Y，…，Yn）的多个分量确定。因此，我们可以称之为数字δ4，p Yp相对于Ym+1的相对渐近方差。，伊恩。下一个是本文的主要结果之一，它表明随机变量X（m）的分布函数的渐近行为由一个（或几个类似的）随机变量X（1）p支配。我们需要以下参数来描述上述支配：δ=max1≤P≤mδ4，p，p={p:1≤ P≤ m、 δ4，p=δ}，（38）δ=maxp∈Pδ3，P，P={P∈P：δ3，P=δ}，（39）δ=maxp∈Pδ2，P，P={P∈P：δ2，P=δ}，（40）最终δ=Xp∈Pδ1，P定理2。假设每p=1，m、 然后由（3）satifiesp[X（m）定义的随机变量X（m）的分布函数≥x] =δ（对数x）δxδexp-logx2δ（1+O（（对数x）-1/2）（41）作为x→ ∞.备注6。

当m=n时，变量X（1）比较一维和对数正态，定理2中的结果简化为[6]中的定理1，这表明对数正态和的渐近尾和差23 eY+·eY右尾的行为由（Y，…，Yn）中方差最大的分量决定。对于m的其他值，定理2扩展了[6]的定理1，证明了X（m）右尾的渐近行为由（Y，…，Ym）的分量决定，这些分量相对于（Ym+1，…，Yn）具有最大的相对渐近方差。与定理1的情况一样，可以从定理2推导出几个有用的推论。我们省略了这些推论的证明，因为它们与第2.1节给出的推论非常相似。推论4。假设假设假设（Ap）适用于每一个p=1，m、 这是一个单子，P={P}。然后，作为x→∞, 对于任何你∈ Rn，E[ePni=1uiYi | X≥ x] =E[ePni=1uiYi | x=x]=xPnj=1ujP\'n（p）i=1\'A（p）ib\'k（p）（i），j（42）×exp（nXj=1ujuj-\'n（p）Xi，k=1\'a（p）ikb\'k（p）（i），jlogP|n（p）j=1|A（p）j|A（p）k|+u|k（p）（k）!)x exp（+nXj，l/∈“I（p）ujulbjl-\'n（p）Xi，k=1\'a（p）ikb\'k（p）（i），jb\'k（p）（k），l！）×1+Ologx-1..在下一个语句中，我们使用公式2前面引入的符号d。推论5。假设假设假设（Ap）适用于每一个p=1。，m、 然后，作为x→ ∞,随机变量X（m）的密度p（m）满足（m）（X）=Δδ（对数X）δ+1xδ-1exp-logx2δ（1+O（（对数x）-1/2)). (43)3.2. 对数正态差的右尾。请首先考虑m=1的情况。定义1，n:=（w）∈护士：w≥0，wi≤0，i=2，n、 andnXi=1wi=1），（44）24 A.Gulisashvili和P.Tankovand介绍“w”∈1，nas是唯一的载体，因此⊥B’w=最小值∈西北1号⊥Bw。w的存在性和唯一性遵循B的非简并性。当A>0且k=2时Ak<0。，n、 w由（7）给出。

在一般情况下，我们定义n、\'I、\'u、\'B、\'aijand\'A，如等式（8）及以下所示。自1，n，`w>0，而且变量Y。，y在定义X（1）时是可交换的，我们将在不丧失普遍性的情况下假设‘I={1，…，n}。这已经在第2节中完成了。1.观察以minw为单位的最小值∈西北1号⊥“Bw是在R”n+的内部实现的。这意味着k=2时，\'A>0和\'Ak<0。，n（参见第2.1节中的类似推理）。下面的基本引理与‘n=n.引理2有关。设A>0，A<0，a<0。那么下列公式成立：p（1）（x）=C（logx）（1）-n） /2x-1+Pni=1Ai（logPnj=1Aj/|Ai |+ui）（45）×exp(-logxnXj=1Aj）（1+O（（logx）-1） ），P[X（1）≥x] =CA+··+An（对数x）-（1+n）/2xPni=1Ai（logPnj=1Aj/|Ai |+ui）（46）×exp(-（logx）nXj=1Aj）（1+O（（logx）-1） ）作为x→ ∞. （45）中的常数C由C=exp给出(-nXi，m=1aimlogPnj=1Aj | Ai |+uilogPnj=1Aj | Am |+um)×p2π| B | sPnj=1AjQni=1 | Ai |。证据通过对分布函数的微分，我们得到了X（1）的密度p（1）：p（1）（X）=（2π）n/2p | B | exp(-logxnXj=1Aj）（47）×ZD1，n-1eΦ（x，…，xn）-1） 经验{-对数xeψ（x，…，xn）-1） }dx···dxn-1对数正态和差的轨道25，带eΦ（x，…，xn）-1） =Φ（x，…，xn）-1，x-十、-···-xn-1.-1） ，eψ（x，…，xn）-1） =ψ（x，…，xn）-1，x-十、-···-xn-1.-1） ，Φ（x，…，xn）=x···xnexp(-nXi，j=1aij（对数xi-ui）（对数xj-uj），ψ（x，…，xn）=nXi=1Ai（log xi）-ui）和d1，n-1={（x，…，xn）-1) ∈注册护士-1:xi≥0, 1 ≤我≤ N-1.十、-十、-···-xn-1> 1}.我们都有≤ 我≤N-1.eψxi=Aixi+Anx-十、-···-xn-1.-1si，（48），其中s=1，si=-1 for 1<i≤ N-1.现在，很容易看出解决方案x*到方程组eψxi=0,1≤ 我≤N-1，是byx给的*i=AiPnj=1Ajsi，1≤ 我≤N-1.（49）在引理公式中的假设下，很明显x*属于集合D1的内部，n-1.

接下来我们将把拉普拉斯方法应用于积分（47）。然而，首先我们需要检查函数Eψ的Hessian矩阵是否在x点*, 也就是矩阵H（x*) := 我，m=1，。。。，N-1，是积极的定义。看到他真是太不像话了-（Pnj=1Aj）Anif i 6=m，andhii=-nXj=1Aj！艾安.因此，H（x*) = -（Pnj=1Aj）AnJ，（50），其中J是（n- 1） ×（n）-1） -矩阵的条目为1+AnA。，1+AnAn-1主对角线长度，主对角线以外的所有条目等于1。在线性代数中，A.Gulisashvili和P.Tankovexercise很容易证明矩阵J的P阶主次序等于P-1npYi=1Ai！pXm=凌晨1点+一点！。（51）回想一下，在引理2中假设A>0，A<0，a<0。（52）在这种情况下，（51）中的数字对于p=1，N-1.例如，如果p=1，那么我们有A（A+An）=A“nXm=1Am-N-1Xm=2Am#>0。前面的不等式源自矩阵B的正不确定性-1和条件（52）。由此可知，矩阵J为正定义，矩阵x（x）为正定义*) 也是积极的定义。此外，H（x）的行列式*) 由（Pnj=1Aj）2n给出-1Qni=1 | Ai |。接下来，考虑到上面所说的，我们看到拉普拉斯的方法可以应用于（47）中的积分。与（29）类似，我们得到以下公式：p（1）（x）=（2π）n/2xp | B | exp(-logxnXj=1Aj）pdet（H（x*))2πlogx（n）-1） /2×eΦ（x）*, . . . , 十、*N-1） 经验{-对数xeψ（x）*, . . ., 十、*N-1） }（1+O（（对数x）-1） ）=（对数x）（1-n） /2x-1+Pni=1Ai（logPnj=1Aj/|Ai |+ui）exp(-logxnXj=1Aj）×exp(-nXi，m=1aimlogPnj=1Aj | Ai |+uilogPnj=1Aj | Am |+um)×p2π| B | sPnj=1AjQni=1 | Ai |（1+O）（对数x）-1） ）作为x→∞. 分布函数的渐近行为可以通过积分密度的简化公式来描述。接下来我们将重点讨论m仍然等于1，但等式n=n可能不成立的情况。

我们的下一个结果需要以下假设：对数正态和的尾部和每个i的差27（A）∈ {1，…，n}\\\'I，（ei）-“（w）⊥B’w 6=0。备注7。假设（A），尽管其形式与上述假设（A）相同，但它是对协方差矩阵B的不同假设，因为权重向量w现在被不同地计算（使用1.代替). 假设（A）相当于以下内容：对于每个i∈ {1，…，n}\\\'I，（ei）-“（w）⊥体重<0。（53）事实上，自从∈“我，为了每一个我”∈ {1，…，n}\\\'I对于足够小的ε>0，\'w- ε（ei）-w）属于1，n.因此，与（53）相反的不平等性将导致一个矛盾，即“w”是一个极小值。定理3。假设（A）成立。然后，作为x→+∞,P[X（1）≥x] =C\'A+·A+·n（对数x）-（1+’n）/2xP'ni=1'Ai（logP'nj=1'Aj/'Ai'+'ui）（54）×exp(-（logx）\'nXj=1\'Aj）（1+O（（logx）-1） ），式中c=exp(-\'nXi，m=1\'aimlogP|nj=1|Aj|Ai|+iuilogP|nj=1|Aj|Am|+um)×p2π| | | B | vutp | nj=1 | AjQ | ni=1 | | Ai |。证据我们将只画出证据的草图，这与定理1非常相似。如果n=n，则结果来自引理2。接下来，假设k∈{n，…，n-1} ，x>1，设a，b为x=ea-eb。一方面，很明显，P[eY≥eY+···+eYn+x]≤P[eY≥eY+··+eYn-1+x]。另一方面，P[eY≥eY+···+eYk+1+x]≥P[eY+···+eYk≤嗯-ea，Yk+1≤b] =P[eY+·eYk≤嗯-[ea]-P[eY+···+eYk≤嗯-ea，Yk+1>b]。自从k≥ n，Pki=1，wi=1。此外，由于w>0，我们可以定义w=wand=wi=-如果i=1，K这些权重是正的，并且令人满意的Ypki=1wi=1.28 A.Gulisashvili和P。

TankovWe haveP[eY+·eYk]≤嗯-ea，Yk+1>b]≤P[~wea+~weY+·wkeYk≤eY，Yk+1>b]≤P[~wa+~wY+···+~wkYk≤Y、 Yk+1>b]=P[a≤ “wY+”wY+·wkYk，Yk+1>b]≤答-kXi=1’wiYi≤α（Yk+1）-b） #=P“kXi=1”wiYi+αYk+1≥a+αb#=N-A.-αb+E[\'w⊥Y+αYk+1]pVar[`w⊥Y+αYk+1]对于所有α>0。接下来，在定理1的证明中进行推理，letxk+1=（ek+1）⊥B\'w\'w⊥B’w<1。然后，N-A.-αb+E[\'w⊥Y+αYk+1]pVar[`w⊥Y+αYk+1]= N-A.-αb+-w⊥u+αuk+1p\'-w⊥B\'w（1+2αxk+1+αBk+1，k+1/（\'w⊥B（w））.现在，我们取b=（xk+1+1）logx=> a=log（x+eb）=log x+log（1+x）-(1/2)(1-xk+1）。使用这些替换，我们得到-A.-αb+-w⊥u+αuk+1p\'-w⊥B\'w（1+2αxk+1+αBk+1，k+1/（\'w⊥B（w））=-对数x（1+（α/2）（1+xk+1））-对数（1+x）-(1/2)(1-xk+1）+w⊥u+αuk+1p\'-w⊥B\'w（1+2αxk+1+αBk+1，k+1/（\'w⊥B（w））≤-对数x√“w”⊥B\'w1+（α/2）（1+xk+1）p1+2αxk+1+αBk+1，k+1/（\'w⊥B\'w）+Ck+1，对数正态和和差的尾29，其中Ck+1是一个独立于x的常数。接下来，在orem1的基础上推理a s，我们看到存在足够小的α和εk+1>0，因此对于所有x>1，-A.-αb+E[\'w⊥Y+αYk+1]pVar[`w⊥Y+αYk+1]≤-对数x√“w”⊥B\'w（1+εk+1）+Ck+1。其余的证明与Theorem1模的证明相似，只是有些细微的变化。理论证明2。显然，分别由（38）、（39）和（40）定义的集合P、P和Pde不是空的。上限估计。固定一个正函数，使得→ 0作为x→∞. 那么我们有p[X（m）≥x]≤X1≤P≤mP[Xp≥(1 -ν（x））（Xm+1+···+Xn+x）]+X1≤p、 q≤m、 p6=qPXp≥~n（x）m-1（Xm+1+···+Xn+x），（55）Xq≥~n（x）m-1（Xm+1+··+Xn+x）.公式（55）可建立如下。让E，E，和fi与1连用≤我≤ m、 要随机应变。

那么，不难证明下列理论包含成立：{F+··+Fm≥E+（m）- 1） E}m[p=1{Fp≥E} （56）∪[1≤p、 q≤m、 p6=q{Fp≥E、 Fq≥E}.接下来，使用（56）和fp=Xp，E=（1）- ν（x））（Xm+1+··+Xn+x），andE=ν（x）m-1（Xm+1+··+Xn+x），考虑到P的可数次可加性，我们得到（55）。为了估计公式（55）中第一个和中的项，我们引入了以下概率度量：deppp=elog（1-~n（x））epB-1耶[elog（1）-~n（x））epB-1Y]，（57）式中，Y=（Y，…，Yn）和epis是pth分量等于1且所有其他分量等于零的向量。请注意，测量值取决于p。然而，为了简单起见，we30 A.Gulisashvili和p.Tankov省略了符号EP中的参数p。不难看出，在概率p下，我们有Y~ N（u+对数）1- ~n（x））ep，B）。换句话说，随机向量定律（Yp-日志（1）-φ（x）），Ym+1。，Yn）在P下，EP符合随机向量（Yp，Ym+1，…，Yn）定律，这意味着teP[Xp≥(1 -ν（x））（Xm+1+···+Xn+x）]=P[Xp≥Xm+1+···+Xn+x]。（58）它来自于（57）thatP[Xp≥(1 -ν（x））（Xm+1+···+Xn+x）]=eEdPdeP{Xp≥(1-ν（x））（Xm+1+···+Xn+x）}（59）=E[elog（1）-~n（x））epB-1Y]eE[e- l og（1）-~n（x））epB-1Y{Xp≥(1-ν（x））（Xm+1+···+Xn+x）}。接下来，让r和q是满足r+q=1的正数。然后，利用（59）、（58）和H¨older不等式，我们得到了P[Xp≥(1 -ν（x））（Xm+1+·Xn+x）]≤E[elog（1）-~n（x））epB-1Y]eE[e-r l og（1-~n（x））epB-1Y]1/r×eP[Xp≥(1 -ν（x））（Xm+1+··+Xn+x）]1/q=E[elog（1）-~n（x））epB-1Y]1-1/rE[e]-（r）-1） 日志（1）-~n（x））epB-1Y]1/r×P[Xp≥Xm+1+··+Xn+x]1/q=e（r）-1） /2日志（1）-~n（x））appP[Xp≥（Xm+1+···+Xn+x）]1/q下一步，设置φ（x）=logx，r=r（x）=logx，和q（x）=1-logx。

（60）那么我们有经验了r（x）-1日志（1）-~n（x））应用程序= 经验日志（x）-1日志（1）-日志-2（x））应用程序= 1+O对数x,对数正态和差的尾部31，因此，根据定理3，P[Xp≥(1 -ν（x））（Xm+1+·Xn+x）]≤δ1，p（logx）δ2，pxδ3，pexp-logx2δ4，p（1+O（（对数x）-1） ）作为x→ ∞ .（55）中第二个和中的条件有待估计。对于任意两个整数和q加1≤ p、 q≤ m和p6=q，让p、 qm，nbe权重集w∈ 对于i=1，…，wi=0的RN，m、 I6=p，I6=q；可湿性粉剂≥ 0，wq≥ 0; wi≤ 0表示i=m+1，N和pwi=1。还记得吗pm，n={w∈p、 qm，n:wq=0}。根据J e nsen不等式，对于任何w∈ p、 qm，n，pXp≥~n（x）m-1（Xm+1+···+Xn+x），Xq≥~n（x）m-1（Xm+1+··+Xn+x）≤P“nXi=1wilog Xi≥（wp+wq）对数а（x）m-1+对数x#（61）≤N-（湿重+湿重）对数а（x）/（m）- 1） +对数x-Pni=1wiui√W⊥体重= e xp-logx2w⊥Bw+O（对数x·对数x）作为x→ ∞ .由于矩阵B是可逆且正定义的，映射w 7→ W⊥Bw是严格的c凸。这意味着Minw∈p、 西北qm⊥Bw<max貂皮∈西北部下午⊥小明∈西北qm⊥体重.因为δ4，p=minw∈西北部下午⊥Bw，我们从（61）中的估计得出结论，公式（55）中第二个和中的项对渐近性的贡献可以忽略不计，因此tha tP[X（m）≥x]≤mXp=1δ1，p（对数x）δ2，pxδ3，pexp-logx2δ4，p（1+O（（对数x）-1） ）=δ（对数x）δxδexp-logxδ（1+O（（对数x）-1/2）32 A.Gulisashvili和P.Tankovas x→ ∞ .较低的估计。让Fp，0≤ P≤ m、 随机变量。那么对于每一个这样的p，下面的包含是有效的：{Fp≥F}[q6=p{Fp≥F、 Fq≥F}∪{Fp≥F、 Fq<Ffor all q6=p}。（62）此外，集合{Fp≥F、 Fq<Ffor all q 6=p}，1≤P≤m、 它们是不相交的。

现在，设置fp=Xp，1≤ P≤ m、 F=Xm+1+··+Xn+x在（62）中，我们可以很容易地导出我们感兴趣的概率的下界：P[x（m）≥x]≥mXp=1P[Xp≥Xm+1+···+Xn+x]-X1≤p、 问：，≤m、 p6=qP[Xp≥Xm+1+···+Xn+x，Xq≥Xm+1+···+Xn+x]。与证明的第一部分类似，我们现在可以证明第二行中的术语对极限的贡献可以忽略不计。下面是p[X（m）≥x]≥ δ（对数x）δxδexp-logx2δ（1+O（（对数x）-1/2）作为x→ ∞ . 4.数字。1.渐近公式（13）和（11）以及公式（15）的实施和有效域在x=1时具有垂直渐近线，这意味着这些公式对x无效≥ 1和在实践中有非常差的准确度，x比1小得多，这可能对应于非常小的概率。为了部分缓解这一困难，我们建议使用公式（13）的以下自然修改进行数值计算，其中渐近线向分布中心移动：P[X]≤x] =eClogx+-w⊥u+E（\'w）-（1+/n）/2exp-（日志x）-“w”⊥u -E（\'w））\'w⊥B\'w（63）×（1+O（|对数x）|-1） ）作为x→ 0.该公式显然具有与（13）相同的渐近性，但其有效域更大，数值实验表明它具有更好的性能。对数正态和与差的表达式如表1所示。模型参数σ0.3 1.0 0.3 1.0 0.3 1.0 0.3 1.0 0.3 1.0ρ0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0 0.0n 5 5 5 20 20P[X]的各种值在公式（63）中的垂直渐近线位置≤ 十、*] 0.47 0.40 0.40 0.24 0.46 0.38 0.27 0.041因为所有x的分布都很明确，因此≤十、*= e-w⊥u+E（\'w）。例如，假设Y。，y与方差σ和常数相关ρ相同分布。表1给出了概率P[X]的值≤ 十、*] 对于σ、ρ和n的不同值。