对数正态随机变量和与差的尾部行为

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英文标题：
《Tail behavior of sums and differences of log-normal random variables》
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作者：
Archil Gulisashvili, Peter Tankov
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We present sharp tail asymptotics for the density and the distribution function of linear combinations of correlated log-normal random variables, that is, exponentials of components of a correlated Gaussian vector. The asymptotic behavior turns out to depend on the correlation between the components, and the explicit solution is found by solving a tractable quadratic optimization problem. These results can be used either to approximate the probability of tail events directly, or to construct variance reduction procedures to estimate these probabilities by Monte Carlo methods. In particular, we propose an efficient importance sampling estimator for the left tail of the distribution function of the sum of log-normal variables. As a corollary of the tail asymptotics, we compute the asymptotics of the conditional law of a Gaussian random vector given a linear combination of exponentials of its components. In risk management applications, this finding can be used for the systematic construction of stress tests, which the financial institutions are required to conduct by the regulators. We also characterize the asymptotic behavior of the Value at Risk for log-normal portfolios in the case where the confidence level tends to one.
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中文摘要：
我们给出了相关对数正态随机变量线性组合的密度和分布函数的尖尾渐近性，即相关高斯向量分量的指数。渐近行为取决于各分量之间的相关性，显式解是通过求解一个可处理的二次优化问题得到的。这些结果既可以直接用来近似尾部事件的概率，也可以用来构造方差缩减程序，用蒙特卡罗方法估计这些概率。特别地，我们对对数正态变量和的分布函数的左尾提出了一个有效的重要抽样估计。作为尾部渐近性的一个推论，我们计算高斯随机向量的条件律的渐近性，给定其分量的指数的线性组合。在风险管理应用中，这一发现可用于系统构建压力测试，监管机构要求金融机构进行压力测试。在置信水平趋于1的情况下，我们还刻画了对数正态投资组合的风险价值的渐近行为。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Tail_behavior_of_sums_and_differences_of_log-normal_random_variables.pdf (578.15 KB)

2022-5-4 21:54:18 上传

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关键词：随机变量 Applications Exponentials distribution Quantitative

伯努利22（1），2016，444–493DOI:10.3150/14-BEJ665 SUM的尾部行为和对数正态随机变量的差异Sarchil Gulisashvilian和PETER Tankov本文致力于纪念PETER Laurence。美国俄亥俄大学数学系。电子邮件：gulisash@ohio.eduLaboratoire巴黎迪德罗大学，巴黎7号，法国。电子邮件：tankov@math.univ-巴黎狄德罗。我们给出了相关对数正态随机变量线性组合的密度和分布函数的尖尾渐近性，即相关高斯向量分量的指数。渐近行为取决于各分量之间的相关性，显式解是通过求解一个易于处理的二次优化问题得到的。这些结果既可以直接用来近似尾部的概率，也可以用来构造方差缩减程序，用蒙特卡罗方法估计这些概率。特别地，我们为对数正态变量和的分布函数的左尾提出了一个有效的重要性抽样估计。作为尾部渐近性的推论，我们计算高斯随机向量的条件律的渐近性，给定其分量的指数的线性组合。在风险管理应用中，该结果可用于系统构建压力测试，监管机构要求金融机构进行压力测试。我们还刻画了对数正态投资组合的风险价值在密度水平趋于1的情况下的渐近行为。关键词：重要性抽样；拉普拉斯方法；蒙特卡罗方法；多维Black-Scholes模型；多维对数正态分布；风险管理；压力测试；尾部行为1。

前言：多元对数正态分布是自然科学和社会科学中广泛使用的随机模型，相关对数正态随机变量的线性组合在许多应用中出现。例如，在无线通信中，来自不同来源的总干扰功率的分布通常由对数或正态变量之和来描述，而在财务风险管理中，相关对数正态变量的线性组合可能代表资产组合的价值。因为这篇文章的发行是ISI/BS在伯努利发表的原始文章的电子版，2016年，第22卷，第1444-493号。这本再版在页码和排版细节上与原版不同。1350-7265摄氏度 2016年ISI/BS2 A.Gulisashvili和P.Tankov线性组合的显式形式未知，因此致力于发展渐近近似。特别是，Asmussen和Rojas Nandayapa[6]描述了相关对数正态分布函数s um右尾的行为。他们的结果也可以从最近对相依次指数随机变量和的尾部行为的研究中推断出来[19,21]。另一方面，Gao、Xu和Ye[20]计算了两个相关对数正态变量之和的左尾的渐近性。然而，除了这两种情况外，对数正态变量线性组合的尾部行为目前还没有得到很好的理解。本文给出了相关对数正态随机变量s的任意线性组合的密度和分布函数的尾a的一个显式特征。

我们发现了新的依赖模式，与对数正态和的右尾以及次指数随机变量和的右尾的依赖模式非常不同。“s inglebig跳跃”的原理并不成立：渐近行为不再由尾巴最胖的单体成分决定，而是取决于成分之间的相关性。我们的论文包含两类结果。首先，我们计算分布函数的尾部渐近性和对数正态变量线性组合的密度。这些结果既可以直接用于估计尾事件的概率，也可以通过蒙特卡罗方法构造有效的方差缩减程序来估计这些概率。特别是，我们提出了对数正态和分布函数左尾的n重要性抽样估计，在Asmussen和Glynn[5]的意义上，它是对数有效的。在风险管理应用中，我们的渐近公式可用于评估多维Black-Scholes模型中大型投资组合损失的可能性。其次，作为尾部渐近性的一个推论，我们计算了高斯向量在其分量的线性指数组合条件下的渐近律。这一发现可用于压力测试的系统构建，监管机构要求金融机构进行压力测试。鉴于多维对数正态分布在实际应用中的重要性，本文主要研究它。

然而，我们希望我们的发现和我们开发的技术将促进对多维随机模型和环境的进一步研究，其中尾部行为由整个依赖结构决定，而不是由单个成分决定。文献[1,15,16,22,26]回顾了相关文献的历史和对数正态分布的应用。对数正态变量和过程的和和和积分在高斯乘性混沌的理论概率和理论物理中也起着重要作用[23,28]。对数正态变量之和分布函数的数值近似一直是研究的重点。在[9,10]中，作者根据单变量对数正态分布特征函数的近似值，找到对数正态和的近似值。Senarante和Tellambura的论文[30]和[33]中采用了类似的路径，发展了对数正态和和差分的计算方法，3确定了计算对数正态和分布函数的数值技术。一种相关的方法是用一些或多或少易于计算的表达式从上到下限定对数正态和的密度。Tellambura[32]提供了2或3个共相关对数正态分布函数之和的界，以及任意数量等式相关对数正态分布函数之和的界。Vandu ff elet等人[34]的文章致力于通过对数正态和的条件期望的分布函数来近似对数正态和关于辅助条件随机变量的分布函数。

另一个文献流讨论了具有固定边缘的一般r和OM向量函数尾的界（见[17]和参考文献S）。特别是在风险管理应用的推动下，几位作者研究了对数正态变量和的尾部行为。正如alr eady所提到的，Asmussen和Rojas Nandayapa[6]（另见Rojas Nandayapa[29]的论文）描述了对数正态和分布函数右尾的行为。Asmussen等人[4]将这些结果用于构造右尾对数正态和分布函数的重要抽样蒙特卡罗估值器。事实证明，理解对数正态和的左尾要困难得多。Szy szkowicz和Yanikomeroglu[31]提出用一维对数正态分布函数逼近不相关对数正态变量之和的左尾。最近，Gao、Xu和Ye[20]的文章取得了重要进展，其中给出了两个相关对数正态分布的左尾的显式渐近性。对于协方差矩阵的一个子类（见下面的Re mark5），这些作者还刻画了任意数量对数正态变量和密度的左尾的渐近行为。绝大多数出版物都讨论对数非正态变量之和。尽管这类变量与不同符号系数的线性组合对于推广期权定价融资（参见Carmona和Durreman[14]）等应用十分重要，但它们的线性组合相对较少受到关注。为数不多的例外情况之一是由Lo[27]撰写的论文，他考虑了两个对数正态过程（几何布朗运动）的和与差的分布，并在很短的时间内给出了这些分布的近似值。

几何布朗运动和差的小时间和小噪声渐近性也在几篇关于篮子和价差期权定价的论文[7,11,12]中进行了讨论。对数正态分布是次指数分布的一个例子（关于次指数的定义参见[18]）。许多出版物致力于对相依次指数随机变量的和或更一般函数的尾部估计（见[3,19,21,24,25,35]及其参考文献）。[2]研究了正次指数随机变量与相依正随机变量之差的右尾行为。本文重点讨论了不能用次指数分布理论处理的情况，如对数正态和的左尾，或具有不同符号权重的加权和的右尾。4 A.Gulisashvili和P.Tankov在本文中，我们使用b oldface来表示向量。特别地，1表示适当维数的向量，其所有分量都等于1。严格正态向量X=（X，…，Xn），使得向量Y=（Y，…，Yn），Yi=log Xi，1≤ 我≤ n、 具有一个n维正态分布，具有mea n向量u=（u，…，un）和协方差矩阵ix B，称为具有参数u和B的n维对数正态向量。矩阵B的元素将用bij表示。x的分布称为n维对数正态分布，用∧（u，B）表示。在本文中，我们假设t | B |>0。协方差矩阵的逆矩阵将用B表示-1，它的元素将用aij表示，我们把Ak=Pnj=1akj，1≤K≤ n、 对数非正态分布∧（u，B）允许密度由dLog（x，…，xn）（1）=（2π）n/2p | B | x··xnexp确定(-nXi，j=1aij（对数xi-ui）（对数xj-uj）），其中xi>0表示1≤ 我≤ N

特别是，一维对数正态密度的平均值为u∈ R和方差σ由dlog（x）给出=√2πσxexp-2σ（对数x-u), x>0。（2） 对于每一个带1的整数m≤M≤ n、 我们考虑随机变量x（m）=mXk=1eYk-nXk=m+1eYk。（3） 对于m=1，…，X（m）的支撑等于R。，N-对于m=n，变量X（n）用X表示。符号p（m）和p w分别代表X（m）和X的密度。本文的主要目的是刻画随机变量X（m）分布的尾部行为。我们主要对变量X（m），1的右尾的渐近行为感兴趣≤ M≤ N-1，即P[X（m）>X]和P（m）（X）as X的行为→ ∞, 以及X的左尾的行为→ 0). [6]中完全描述了X分布函数的右尾行为，而[20]中获得了密度的类似表征。X（m），1的左尾行为≤ M≤N-1，通过交换变量的符号，可以从右尾的符号推导出。由于正系数可以并入Y的平均向量，我们的结果提供了线性组合pni=1λieYi，λi尾部行为的完整表征∈R、 对数正态随机向量（eY，…，eYn）的分量。对数正态和的尾部和差异5论文概述第2节讨论对数正态变量和的左尾渐近性。本节分为第2节。1，在这里我们阐述并讨论了一些主要结果，以及第2.2节，其中包含了证明。在第2.1节中，我们在其他温和的非负广义条件下（定理1和推论2），给出了一般情况下分布函数和分布密度的渐近公式。

这是通过将尾部渐近性与二次优化问题mminw联系起来实现的∈西北⊥Bw，（4）在哪里nis是RNS中的一组向量，其分量均为非负且总和为一。特别是r，分布函数和密度的渐近解的前导项由exp给出-logx2 minw∈西北⊥体重. （5） 这与[6]中对数正态和的右尾渐近性的发现形成了鲜明对比，其中前导项为xp-logx2 maxi=1，。。。，nBii.作为定理1和定理2的应用，我们刻画了多维高斯向量的条件拉普拉斯变换的渐近行为（见推论1和推论3）。这些估计值在第5节中使用，该节涉及对数正态分布组合的压力测试。第2.2节包含第2.1节所述结果的证明。当逆协方差矩阵的行数均为严格正时，我们首先建立了特殊情况下（见Le mma 1）的分布函数和密度的渐近公式。在这里，我们可以将拉普拉斯方法应用于积分，刻画对数正态和的分布密度。引理1用于定理1的证明。在第3节中，第2节中得到的结果被推广到两个对数正态和之差的情况（见（3）中的随机变量）。这些扩展并不复杂，即使在简单的情况下也是新的。我们找到了这种差异分布右尾的精确渐近公式。第3节中得到的结果的证明与第2节中的结果相似，但细节更复杂。在第3.1节中，我们对对数正态差分的尾部渐近性给出了几个推论。定理2描述了对数正态差右尾的渐近行为。

此外，推论4还刻画了条件拉普拉斯变换的渐近性质。第3.2节专门介绍这些结果的证明。我们从一个特例开始，拉普拉斯方法可以直接应用（见引理2），并使用二次规划方法将一般情况简化为特殊情况。6 A.Gulisashvili和P.TankovIn第4节，我们通过数值例子分析了我们的渐近公式的性能，将理论结果与蒙特卡罗计算进行了比较。收敛速度非常慢，这与我们主要结果中的对数误差范围一致。然而，渐近公式为大范围的x值提供了一个很好的数量级近似。这一事实使我们能够设计一种重要的抽样技术，用蒙特卡罗方法评估尾事件概率，这在阿斯穆森和格林的意义上是非常有效的[5]。pape r的最后一部分（第5节）考虑了我们的渐近公式在多维Black-Scholes模型背景下对风险管理的应用。该模型将股票价格表示为相关布朗运动的前提，目前仍广泛用于大型投资组合的分析。我们的渐近理论提供了两种见解。首先，它允许量化对数正态股票投资组合的尾部行为。例如，对于权重为正的投资组合，大幅下跌概率的前导项由（5）给出。这意味着（4）衡量投资组合在低迷时期的风险。第二，它提供了对各种不利情景下个人资产行为的更好理解。例如，我们考虑了一个典型的应力情景，当基准投资组合（或指数）的非标准化值下降到x时，x很小。