具有未知本地信息的衍生证券的定价和套期保值

首先，我们要区分我们假设约束交易者在给定时间内定价的关系，以及命题1和命题2所依赖的其他关系。我们只将前者列为公理，并表明后者可以简单地解释为条件预期的定义，因为它们不会进一步限制交易者的行为，超出公理。粗略地说，我们的公理是对理性的数学定义，以及一种方式的理想化，在这种方式下，一个衍生工具可以被其他人在一个时间快照中静态地重新应用（“静态地”，因为不存在投资组合稍后会重新平衡的假设）。第二，罗杰斯[5][18]中没有第2.1节对交易员主观预期功能的解释。然而，罗杰斯[18]的第1项证明中并没有要求交易者的预期与客观上控制标的物价格过程的任何模型相一致，就像第1项和第2项的证明中一样。在特殊情况下，交易者确实掌握客观控制标的物价格过程的模型知识（即交易者的预期恰好正确），命题2表明，考虑简单形式的静态复制将迫使交易者使用客观上风险中性的价格。

因此，只要交易者能够获得动态投资组合复制所需的客观知识，动态投资组合复制的机制在市场价格与客观定义的风险中性价格一致时是不必要的。在第2.2节中，我们用一个更具体的公理扩展了第2.1节的框架，这意味着交易方对标的物价格的主观模型可以表示为SDE定义的时间不均匀扩散过程。然后，我们将第2.1节中的风险中性定价函数表示与具有风险中性漂移的第二个SDE相关的众所周知的结果应用于。在第2.3节中，我们引入了一个额外的公理，说明收益的瞬时方差在大时间尺度上必须表现出与（1.1.3）中的二次方差相同的时间平均行为，并且我们表明，该公理必须防止涉及已实现二次方差的期权的套利。此处考虑的特定选项与Gathereal[13]第136-143页和引用的参考文献中研究的先锋互换概念密切相关。最后，在第2.4节中，我们介绍了最后一条公理——技术性的，在实践中不受约束——并推导出欧洲看涨期权在到期时间变大时隐含波动的渐近性。应用Gathereal[13]第26-31页（由Lee[19]解释）中从点到点的路径结果，结果表明，在公理下，对于较大的波动，隐含波动率表面变平。我们的结果与Fouque、Panicolaou和Sincar[19][20]得出的渐近估计大致一致；有关这些结果的摘要，请参见Gathereal[13]第95-96页。

这种隐含波动率表面的扁平化通常见于实证研究，如《数学》第3节[13]所述。第2.2节中扩散的SDE表示是对证券价格建模时的一个常见起点，通常被称为局部波动模型；背景见Gathereal[13]的第1章。Dupire[21]表明，从局部波动性模型获得的风险中性定价可以拟合涵盖所有可能的执行价格和到期日的欧洲看涨期权的任何连续价格。特别是，如Gatheral[13]第37-40页所述，局部波动率模型可以拟合期权经验价格经常观察到的波动率微笑。Breeden和Lizenberger[22]早些时候展示了具有未知局部波动性的衍生品如何在2013年10月117日到期的期权价格的连续统一体中确定风险中性密度作为价格水平的函数。Carr和Madan[23]后来展示了如何从期权价格的连续统一体中确定局部波动率表面，假设基础价格与路径无关，则具有相同的到期数据。在较弱的假设下，Carr和Madan[24]展示了如何将风险中性模型与期权价格网格相匹配。正如Dupire[25]和Derman and Kani[26]所示，由局部波动模型产生的风险中性定价与模型下的定价一致，在模型中，收益的瞬时方差本身就是相当一般的随机过程。然后，定义局部波动率模型的瞬时收益方差的函数可以解释为更一般模型的瞬时方差的条件期望。他们的结果支持了我们的观点，即局部波动模型是对一般交易者主观信念的合理理想化。

有关本地波动率模型的更多属性，请参见Gathereal[13]第7-18页和第25-31页。由于局部波动率模型具有这些理想的特性，因此它通常被用作确保不同类型衍生品定价一致性的工具。Dupire[21]和Derman and Kani[26]将fita局部波动率模型用于期权市场价格的抽样，然后将这些模型用于其他衍生品的风险中性定价。在上述工作以及Breedenand Lizenberger[22]和Carr and Madan[23][24]的工作中，从期权价格推断的风险中性模型可以被解释为主观的，因为它不需要准确反映标的资产的客观价格动态。如果这种风险中性模型确实反映了标的物的价格动态，那么从该模型获得的价格将排除所有形式的套利。因此，风险中性定价——无论是否准确反映了标的物的价格动态——对于排除某些形式的套利来说总是足够的（因此是一个好策略），而不依赖于模型的准确性，也就是说，套利利用交易者自己的衍生产品价格之间的不一致性，以及未知的本地波动性，即2013年10月127日不同的衍生产品。本文的第2节证明了相反的情况，即每个贸易商根据其主观模型进行风险中性定价对于防止此类不一致也是必要的。Dupire[21]的结果表明，如果使用本地波动率模型的交易员的模型都经过校准，以重现欧洲看涨期权市场价格的连续性，那么他们通常必须就风险中性定价达成一致。在这种情况下，交易者对期权市场价格的接受限制了他或她对标的资产价格动态的主观模型。

（这是一个普遍现象的例子，即不同个人的观点，即使是主观的，通常也远远不是独立的。）第2.3节中的结果表明，交易者的主观局部波动性模型受到了类似的约束——不考虑期权市场价格的任何知识——即在大时间尺度上标的物价格二次变化的客观知识。鉴于局部波动率模型可以被视为所有交易者使用的模型的理想化，第2.4节中的结果表明，大时间尺度上二次变化的客观知识将约束长期到期期权的市场价格。在第3节中，我们给出了在不考虑动态投资组合复制的情况下，对参数估计和套期保值有用的结果。如第2.2节所述，我们假设交易者通过时间非均匀扩散过程对标的资产的价格动态进行建模。正如Karlin和Taylor[27]第165页的定理1.1所示，时间非均匀扩散过程是具有连续样本路径的（强）马尔可夫过程的一般表示。在第3节中，我们进一步假设在交易者模型下的centeredlog回报表现出广义马尔可夫性质，参见Andrekar[28]的定义2.2或Doob[29]的第90-91页。马尔可夫和广义马尔可夫性质与有效市场假设一致，即未来价格应通过当前价格取决于过去价格，未来回报应通过当前回报取决于过去回报。

导致第3节结果的主要观点是，任何有效的市场论据，为什么对数收益率应该具有未知的局部波动性的衍生工具，如| 137-Oct-13，表现出马尔可夫性质，都可以同样适用于增量对数收益率，因为平均收益率的增量只是相对于不同开始时间的对数收益率。增量对数收益率具有广义马尔可夫性的假设被证明是对标的资产价格过程特征的严格约束。第2.4节的结果表明，应该可以估计参数 在（1.1.3）中定义，根据期权价格得出的隐含波动率面。然而，对于标的资产的波动性风险的静态对冲，可能需要直接从标的资产的历史价格来估计标的资产的波动性。虽然可以估计 通过直接估算（1.1.2）历史回报，以一种与模型无关的方式，这样做既需要使用高频pricingdata，也需要在实践中使用某种形式的过滤，以消除市场微观结构的影响，如Barndoff Nielsen和Shepard[30]所述。本文分析提出的另一种方法是假设过去的收益遵循时间不均匀扩散过程，并使用参数之间的关系 以及根据过去的数据可以估算出的数量。第3节将SDE模型的时间域从第2节扩展到过去，对历史价格进行建模。然后，我们展示了模型的对数协方差如何依赖于参数 在大的时间尺度上。协方差函数看起来渐近地类似于在Fendick[31]中推导的任何连续高斯马尔可夫过程中保持平稳增量的协方差函数。

这表明（1.1.3）意味着在大时间尺度下基础价格过程增量的渐近平稳性。在本文的背景下，套期保值是利用衍生品来抵消标的资产波动风险的投资组合的构建。正如Ross[32]第121-124页所讨论的，一种不需要动态投资组合复制可行性的套期保值方法是，根据每种投资组合的现值分析，从备选投资组合中进行选择。由于portfolio中不同衍生品的未来收益具有未知的局部波动性的投资| 147-10-13可能在不同的时间发生，投资组合现值的分布将取决于标的物价格过程的有限维分布。在上面讨论的连续样本路径和增量对数收益的马尔可夫性质的假设下，我们在第3节推导出了一个极限，其中中心对数收益的有限维分布仅通过参数依赖于基础的价格过程. 这个结果是非均匀扩散的多维中心极限定理。以前已经推导出了时间均匀扩散的中心极限定理；例如，见Mandl[33]第94页的定理9和Whitt[34]第3节。第3节的结果表明，对数收益率将始终表现出资产价格实证研究中常见的两个特征（参见Cont[35]）：o波动率聚类：平方收益率的自相关在广泛的时间尺度上往往为正。

高波动率倾向于遵循高波动率，低波动率倾向于遵循低波动率o聚合正态性：对数收益的分布在大时间尺度上看起来是高斯分布，但不是小时间尺度。这些特征经常被用作模型的设计约束，并为其动态结构辩护。这里的结果表明，它们实际上是连续过程的固有特征，表现出收敛的二次变化和符合有效市场假设的马尔可夫性质。Lo和MacKinlay[36]以及Conrad和Kaul[37]的实证研究也得出结论，股票指数基金等投资组合的收益率表现出正的自相关；有关这些结果的后续解释，请参见Fama[38]和Boudoukh、Richardson和Whitelaw[39]。第3节的结果表明，对于定义在半直线上的连续过程，负自相关是未知局部挥发率的激励因子| 157-Oct-13事实与我们的马尔可夫假设不相容。由于我们假设的马尔可夫特性是有效市场的特征，实证研究表明，投资组合收益率的非负自相关支持投资组合（如指数基金）的市场在广泛的时间尺度上是有效的假设。尽管如此，我们还在第3.3节中讨论了如何将我们的模型扩展到有界时域上的负自相关。我们在第3.1节和第3.2节中重点讨论了时域从上方无限的情况，以便读者尽可能轻松地掌握我们的结果。

在一般情况下，我们的定理陈述中允许的参数范围会变得更加复杂。2衍生工具定价在本节中，我们从个体交易者的角度研究衍生工具定价，而个体交易者对标的物的价格轨迹的属性具有有限的客观知识。我们假设无风险利率是一个常数, 标的资产不支付股息，不缴纳税费或支付或交易费用，买卖价差可以忽略不计。2.1风险中性但主观性我们首先研究衍生品定价的约束条件，这些约束条件要求优先考虑某些特定的套利策略，而不假设交易者对标的资产的客观价格动态有任何了解。即使没有这些知识，如果衍生品之间的相对定价错误，套利仍然是可能的。我们制定了一套公理，在一个时间点限制衍生品定价，排除某些此类套利形式，并展示了在这些公理下，单个交易员使用的衍生品定价必须是风险中性的，与他或她对衍生品潜在支付的当前值的主观预期有关。具有未知局部挥发率的衍生品第167-10-13页我们假设，在固定快照 随着时间的推移，交易者知道了区间内标的资产价格的过去轨迹并且对有界区间上的未来轨迹有概率预期. 我们会继续让表示当时标的资产的价格但会让表示这些价格的一组可能轨迹，这些轨迹被限制在一个已知值的范围内, 我们会请客在本节中，作为交易者将分配概率的样本空间。

我们用这种方式定义样本空间，这样就不需要交易者对潜在客户的先前历史做出概率假设。对于, 允许表示由中场休息时.  如果aderivative支付随机金额 当时 哪里 是由价格决定的及时, 然后是当时支付的贴现现值是. 然后我们会让表示交易者当时的预期关于该衍生工具未来支出的贴现现值。我们只是假设可以表示为关于特定于给定交易者的某个概率测度的期望函数。形式上，我们假设所有支出都是标量值可测量函数，即在某个时间发生的支出是可测量，并且存在一个过滤的概率空间使以下公理成立：[A1]D无论如何可测量的令人满意的D对于 同样的假设 我们也会让表示任何可测函数=无论如何（2.1.1）其中 什么时候, 和 否则然后将其解释为 相对于. 众所周知，条件期望是唯一的上导数，具有未知的局部波动性，从| 177-Oct-13到空集；（参见比林斯利[40]第466页）。现在，我们假设通过（2.1.1）由交易者对任何期望函数的无约束选择隐式定义令人满意的[A1]。如比林斯利[40]第466页所证明的，满足条件的预期（2.1.1）总是存在的，因此（2.1.1）本身并不是关于交易者行为的假设。