具有未知本地信息的衍生证券的定价和套期保值

根据（3.2.17），（3.2.19）使用（3.2.17）和（3.2.18），我们发现（3.2.19）只有在局部挥发率未知的激发物| 397-10-13时才有一个非平凡解这个微分方程有两个解：（3.2.20）和（3.2.21）其中 是一个非零常数从（3.2.16）中，我们可以看到（3.2.21）相当于（3.2.22）将期望函数拉到（3.2.22）左侧的整数符号内，并区分两侧，我们得到解决和（不失一般性）设置  哪里 是一个非零常数，我们得到（3.2.23）自在（3.2.23）中，必须始终保持非负， 必须满足命题8中的不等式。比较（3.2.20）和（3.2.23）中的解决方案，我们得出结论，（3.2.23）代表了一般情况，如果我们删除以下限制： 是非零的。将（3.2.16）和（3.2.23）替换为（3.2.15），我们获得（3.2.24）具有未知局部挥发性的衍生物, 我们将（3.2.24）代入（3.2.18）得到（3.2.4）。（3.2.2）-（3.2.3）中的规范表示源自（3.2.7）、（3.2.12）和（3.2.23）。因为众所周知无论如何 所有的 命题8的条件（iii）足够大，意味着存在 和 以至于（3.2.25）对于任何, , 而且足够大.

利用（3.2.4）和（3.2.25），我们通过对大O估计的形式化处理，很容易得出命题6和推论1的结论。为了证明命题7，我们注意到，在其假设下， 以及命题8的结论。自从无论如何, 通过区分双方并应用（3.2.3）可以验证，我们从（3.1.9）中可以看出：（3.2.26）应用与（3.2.13）相同的逻辑，我们还看到（3.2.2）暗示（3.2.27）对于一些布朗运动. 我们将使用众所周知的性质，即布朗运动是一个高斯过程，具有未知局部挥发率的联合正态密度导数（3.2.28）对于任何和. 我们会这么说如果 是一个具有分布函数的随机向量令人满意的每人, 哪里是正态随机向量和平均向量的cdf 协方差矩阵. 我们将使用大oh符号来隐式地指定这样的参数范围对一些人来说. 无论如何（3.2.29）其中第一个等式来自（3.2.27），第二个等式来自布朗运动的强马尔可夫性质（参见。

Harrison[51]第5页的定理1，第三个来自条件透视的定义，最后一个来自（3.2.28）。（3.2.29）最终表达式中的积分有一个由（3.2.26）隐式定义的有限域。使用（3.2.3）、（3.2.26）和（3.2.29），我们得到（3.2.30）具有未知局部挥发性的衍生物见| 427-10-13（3.2.31）对于任何 和, 最后一个等式（3.2.29）左侧表达式的步骤概括为：是布朗运动在连续时间的联合分布对于. 使用（3.2.26）来推广（3.2.29）的最终表达式，并注意到积分的域也是有限的，我们得出以下结论：（3.2.32）对于一些和. 边界构成 必须符合（3.2.31）中针对一维情况推导的平均值的Implicit界限，以及构成 必须同意（3.2.33）对于二维情况，这是很容易推导出来的。我们确认（3.2.33）在以下情况下与（3.2.31）一致： 命题7源自（3.2.31）-（3.2.33），将限制视为命题7是聚合正态性的表达式。

通过类似的参数，聚合常态也适用于无条件日志返回。3.3通过（3.2.2）更仔细地观察自相关，对于（3.3.1）具有未知局部挥发性的衍生物页| 437-10-13，其中. 自从是积极的在第6点的假设下为非负，（3.3.1）右侧的第一个和负责推论2（3.1.6）和（3.1.7）中所示的对数收益的非负相关结构。作为参数 in（3.2.3）接近零，也接近零; 自相关系数接近于零。当（3.3.1）成立时，对于（3.3.2）在（3.1.1）中。因此，有条件地分配鉴于 将取决于通过尽管 这是一个马尔可夫过程。（3.3.2）对随着时间的正自相关而消失像 接近零。命题6的结论是 必须是非负的，这取决于我们的假设，即价格过程的时域 是完整的半行吗. 在命题8的更一般背景下， 可以接受负值，但前提是.其中  可以为更现实的场景建模通过限制时间域 以有界的间隔。如果时间域为 仅限于一个间期哪里 如果足够大，那么命题8的结论将继续成立如果 . 命题6和推论1中得到的渐近估计也很容易推广到有限区间上。

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