具有未知本地信息的衍生证券的定价和套期保值

在第2.2节中，我们将引入一个额外的公理，将交易者关于条件期望函数的信念形式化，从而进一步约束交易者.接下来我们假设存在一个标量值泛函定义交易者当时的价格 对于任何给定的导数（即，交易者购买它的最高价格和交易者出售它的最低价格）基于其支付的现值。对于支付（随机）金额的衍生产品 当时 由价格决定及时, 到时候我们会给出交易者的价格 通过. 我们将假设衍生工具的定价函数与期望函数具有相同的域并满足以下公理：[A2]为了某个常数不依赖于[A]无论何时和是常数。[A]无论何时[A].[A]如果单调地增加到[A] 如果, 然后如果且仅当.[A]=无论如何安达尼公理[A3]和[A7]是任何理性主体都可以观察到的条件。公理[A2]只要求 是一个有限值。实际上，我们希望[A2]在因为购买衍生品的交易者会要求风险溢价。Axiom[A7]说，交易者只有在他或她相信某个衍生工具的支付有可能是正的情况下，才会为该衍生工具支付正金额，并且只有在他或她认为没有这种可能性时才会免费赠送衍生工具。公理[A7]排除了在交易者对正支付不可能性的评估事实上客观正确的情况下进行套利；参见命题4的证明，以获取此类场景的示例。

其他公理定义了一些条件，如果违反了这些条件，交易对手将有机会在没有风险的情况下获得一定的收益。制定一个策略来利用违反每一个这样的条件是很简单的。我们在本节末尾提供了axiom[A8]的示例。与（2.1.1）类似，我们将定义每人根据任何可测量功能 令人满意的D, 是可衡量和=无论如何（2.1.2）以下命题依赖于[A1]-[A7]，但不依赖于[A8]，它推广了罗杰斯[18]关于无固定上界支付的定理1。罗杰斯[18]定理1的陈述与公理[A1]-[A7]相似。虽然罗杰斯[18]的定理1也包括一个类似于（2.1.2）的公理，但我们命题的下面证明表明：在公理[A1]-[A7]下，满足（2.1.2）将始终存在性别歧视，因此（2.1.2）本身不会限制交易者对价格操作者的选择. 因此，（2.1.1）和（2.1.2）可以简单地被视为数学定义，而命题1则被视为它们之间的数学关系，交易者在进行定价时无需对此有所了解命题1：如果（i）期望函数是否满足[A1]，（ii）每人 定义为（2.1.1），（iii）满足公理[A2]-[A7]和（iv）每人 定义为（2.1.2），然后也是一种预期功能，每人 关联的条件期望相对于, 这是一个绝对积极的过程对于具有未知局部挥发性的衍生产品，请参见| 197-10-13无论何时（2.1.3）对于任何 作用 为什么D.

此外总之证明：根据[A2]和[A3]，定义了一个有界线性泛函功能 为什么D因此，对于每个, 当限制为可测量函数。自从是一种概率测度，定义为sigma有限。然后，根据罗登[41]第11章第7节第246页的Riesz表示定理这里有一个界限可测函数 唯一的excepton空集, 以至于（2.1.4）对于任何可测函数 为什么D无论如何, 允许.（2.1.5）通过[A3]-[A6]，是一种概率测度（参见Whittle[42]第42页定理3.2.1），从（2.1.4）是一个期望函数；和（2.1.2）中是相应的条件期望函数，它将始终存在（参见比林斯利[40]第466页）。使用[A7]，, 因此和对彼此而言是绝对连续的。自从是绝对连续的和=无论如何通过（2.1.4）和（2.1.5），函数在（2.1.4）中，对于, 以下是从以及Radon-Nikodym定理（参见Royden[41]第238页定理23）。自从是绝对连续的, 功能必须是局部挥发率未知的有限导数页| 207-10-13，概率小于1, 根据Randon-Nikodym定理可以被认为是绝对积极的。如果 那么，这是一个常数其中第二个等式来自公理[A3]和[A5]。这意味着 通过（2.1.4），使得（2.1.3）在（2.1.4）的情况下.

根据[A5]和（2.1.4），.如果和是可测量的, 然后是可根据其定义进行测量，以及(2.1.)其中，第一个等式后面紧跟着（2.1.4），第二个等式后面紧跟着（2.1.2），第三个等式后面紧跟着（2.1.4），最后一个等式后面紧跟着（2.1.1）。由于条件期望在空集合上是唯一的，所以（2.1.6）的第一个和最后一个表达式的相等意味着.   （2.1.7）自, （2.1.3）在以下情况下：. 背景, 和 在（2.1.7）中，应用[A5]表明对于自从无论如何功能aRadon Nikodym导数是否定义了测量值的变化，以及对于 是一种密度过程（使用Duffie[7]第6章F节中的术语）。如果两个概率测度具有相同的零集，则它们是等价的。正如命题1的证明所示，和这些都是同等的衡量标准。命题2：如果[A1]-[A8]成立，那么，除了命题1的结论之外，无论何时.局部挥发率未知的衍生产品页| 217-10-13证明：如果, 命题2的结论紧随[A8]之后。否则，什么时候 和,（2.1.8）其中第一个等式来自定义（2.1.2），第二个等式来自[A8]。根据命题1，无论如何是一个条件期望函数。由于条件期望在空集合中是唯一的，（2.1.8）意味着.

命题2说，在交易者的客观定价测度下，贴现证券价格必然是一个鞅。因此，我们可以这样解释命题2的结论：是关于主观概率测度的等价鞅测度或者更简洁地说是相对于.公理[A8]是唯一反映无风险利率为常数这一假设的公理 在[A8]的陈述中，指示器功能的存在条件对下跌和退出场景进行建模，在该场景中，如果证券价格在一定时间内违反该条件，衍生品将提前到期而不支付任何款项. 如果一阶导数支付当时 而这一数额立即再投资于基础资产，那么投资将始终产生收益当时.  Axiom[A8]说，二阶导数当时因此，我们应该及时进行交易 和第一个一样的价格。（否则，交易对手可以通过出售价格较高的交易对手，购买价格较低的交易对手，从而获得有保证的利润。）对[A8]的一种解释是，标的物本身在任何时刻的无风险价格都是其当时的市场价格。作为[A8]的特例，具有未知局部挥发性的衍生物见| 227-Oct-13（2.1.9）术语 左边可以解释为远期合约在标的物上的支付和交割价格 到期时. （2.1.9）的右边是独特的价格 这种防止套利的远期合约（一个众所周知的结果）；参见Ross[32]第67页上的示例5.2b。如果然后是一个有到期时间的欧式看涨期权以及行使价格 这是一种有回报的衍生品当时.

到期时间和行权价格相同的欧式看跌期权是一种支付风险的衍生工具当时. 因为 对于任何实数, （2.1.9）的左侧也可以解释为交易员的投资组合价格，即长一个欧洲看涨期权和短一个欧洲看跌期权，而（2.1.9）的等式是当时众所周知的看跌期权平价公式 ; 有关这些公式的更多背景信息，请参见Ross第66-68页和Shreve[6]第162-164页第4.5.6节。2.2条件预期命题1和命题2所描述的属性在主观性度量为是武断的，但它们是在关于交易员对标的物价格动态模型的更具体假设下进行的。为了取得进一步的进展，我们通过一个额外的公理[A9]来理想化交易者对这些动态的主观模型是解决问题的可能性度量什么时候你知道吗.具有未知局部挥发率的衍生物第237-Oct-13页公理[A9]定义了扩散过程。功能和通常称为扩散系数波动性浮出水面。接下来的结果并不要求贸易商在其他时间做出定价决策 在同一型号上。Axiom[A9]暗示交易者在特定的快照 《时代》杂志相信价格轨迹将是连续的瞬时收益的平均值和方差将分别用以下公式描述：和（2.2.1）对于 哪里. 相反，Doob[29]第287-288页的定理3.3表明[A9]遵循样本路径和（2.2.1）的连续性。

换句话说，一个被交易的人不能用布朗运动来思考[A9]是他或她对未来概率预期的合理理想化。Doob的结果假设了[A9]中隐含的扩散系数的监管条件。Doob[29]第288页描述了扩散系数的其他调节条件，也隐含在[A9]中，在这种条件下，SDE的解是唯一的。当（2.2.1）成立时，我们可以从命题2中预期  从命题1来看像 （要了解为什么应该保持这种状态，请注意  由（2.1.3）和 自从和这些都是同等的衡量标准。函数的渐近等价性和然后，将霍尔德不等式应用到每个方程的右边，并取适当的限制条件是连续的。）下面的命题证实了这些属性成立。局部挥发率未知的导数第247-10-13页命题3：如果公理[A1]-[A9]成立，那么（2.1.5）中定义的是解决问题的概率度量（2.2.2）何时是众所周知的.关于命题3的形式证明，利用第2.1节中命题1和命题2所描述的性质，参见Duffie[7]第6章。

2.3时间平均方差下一个公理的有理数由其后面的命题提供：[]对某些人来说,,命题4：如果公理[A1]-[A9]成立，那么价格其中，基础资产的某些部分被定义为（1.1.3）, 那么[A10]对于防止套利也是必要的。证据：让我们对于（2.3.1）根据伊藤引理和命题3，（2.3.2）对于 在下面. Shrive[6]第143页上的引理4.4.4则意味着具有未知局部挥发性的衍生物见| 257-10-13对于. 这反过来意味着（2.3.3）对于任何. （2.3.3）的左侧解释为交易员当时的价格 为时间平均二次变化定义的欧洲看涨期权结束当罢工的代价是有效期是由于（1.1.3）假定适用于所有采样路径，因此它必须特别适用于约束采样路径. 什么时候 参数来自（1.1.3）和, 然后从（1.1.3）中得出：对于这样的参数值，（2.3.3）的左边必须等于零，否则一次卖出这样的期权将产生利润，概率为1. （这是axiom[A7]防止套利的一个例子。）但是（2.3.3）中的等式意味着概率低于1  关于时间平均二次变化的欧式看跌期权的类似论证表明：概率低于1. 因为和对于相同的空集，我们得出结论[A10]对于避免套利是必要的。

2.4隐含挥发性如果具有未知局部挥发性的衍生物，则满足公理[A10]的条件第267-10-13页（2.4.1）对于. （2.4.1）在[A10]出现时不一定成立，因为不需要存在连续的轨迹以至于等于或者总之但是，假设以下（最终）公理，我们几乎没有失去一般性：[A1]在第一个参数中是一致的Lipschitz，并且从上面有界，并且存在函数和, 几乎处处可微, 为什么和总之[A9]中已经隐含了统一的Lipschitz条件（例如见Doob[29]第288页），以及可以任意大。功能和满足不一定是连续的。例如，函数在闭有界区间上几乎处处可微的一个充分条件是，它可以表示为两个单调函数的差（参见Royden[41]第100页的推论5）。引理1：如果公理[A9]-[A11]成立，那么（2.4.1）适用于[A10]中约束的参数。证据：让我们 表示上的Lebesgue度量. 自从[A11]中的定义是可微的几乎所有地方都有，任何地方都有, 连续可微函数诸如此类 和.

（根据Whitney[43]的定理1，存在一个连续可微函数以至于 , 它可以被修改 使其保持连续可微且满足 ) 根据[A11]， 对一些人来说因此，具有未知局部挥发性的衍生物显示| 277-10-13（2.4.2）对于给定的, 允许表示连续轨迹的集合以至于 在…上  什么时候,在…上 对一些人来说 不取决于 正如[A11]中的一致Lipschitz条件所暗示的那样。因此（2.4.3）何时通过（2.4.2），（2.4.3）和三角形不等式，（2.4.4）何时.正如丸山[44]首次展示的那样，概率度量在一段时间内，[A9]中的非均匀扩散与布朗运动的概率测度具有相同的零集 以相同的起始点在下面具有与相同的空集. 反过来，概率测量在…上与布朗运动的概率测度具有相同的零集零漂移从零开始，如Chung和Williams[45]第198页顶部的Girsanov变换示例所示，因为在该闭合区间上，导数是有界的（在那里是连续的），并且 根据鲁丁[46]第149页的定理7.21。