具有未知本地信息的衍生证券的定价和套期保值

布朗运动退出时间的分布零漂众所周知，它没有有限的支撑（参见Kahale[47]的示例6），因此我们得出结论，具有未知局部挥发性的衍生物在2013年10月287日出现（2.4.5）然后我们从（2.4.4）和（2.4.5）中得出结论：（2.4.6）其中. 另一方面，[A10]意味着,与（2.4.6）相矛盾，除非（2.4.1）中的第一个等式成立。（2.4.1）的第二个等式通过类似的逻辑成立。对于 还记得吗定义交易者当时的价格 对于具有执行价的欧洲看涨期权 有效期.

黑鞋意味着波动性对于 然后可以定义为该期权价格的唯一值通过取假设是一个均值为正态分布的随机变量 和差异; 有关Black Sholes公式和隐含波动率的背景信息，请参见罗斯[32]第7章。命题5：如果公理[A1]-[A11]成立，那么证据：由Lee[48]的（2.9）和（2.10）证明，（2.4.7）其中是一个正函数，取决于 和 以及具有未知局部挥发性的令人满意的衍生物，见| 297-10-13（2.4.8）相关讨论另见Gathereal[13]第26-31页 通过（2.4.7）和（2.4.8），（2.4.9）（或者，（2.4.9）直接遵循伯格曼、格伦迪和维纳[49]的定理8，以及Gatheral[13]第13页隐含波动率的“NoSkew”表示。）命题5的陈述遵循引理1（2.4.9）中的直接引理和第1.1节中大oh估计的定义3现值分析我们接下来推导极限定理和近似值，用参数表示标的物价格过程的有限维分布和协方差结构 从（1.1.3）开始。由于衍生工具的支付是标的物价格轨迹的函数，这些轨迹的有限维分布不仅决定了标的物股票的现值分布，还决定了不同到期时间的衍生工具的现值分布。

这里的结果也为估计参数指明了方向 出现在（1.1.3）中，使用与标的物在大时间尺度上的价格过程相关的协方差。本节的结果基本上基于与第2节研究相同的扩散模型，但前提是基础的增量对数收益具有广义senseMarkov性质。在第3.1节中，我们给出了对现值分析和参数估计最有用的渐近结果。在第3.2节中，我们推导了对所有时间尺度有效的标的对数回归过程的规范表示，并用它证明了第3.1节中具有未知局部挥发率的渐近导数。第3.3节总结了本文，并给出了一些关于同义词相关性的观察结果。3.1渐近我们首先从第2.2节[A9]中的扩展SDE模型的时域开始，假设 交易员对标的资产的价格进行建模令人满意（3.1.1）对于, 哪里假设已知且和 同意[A9]中相同名称的功能. 我们会让 表示对目标轨迹的相应概率度量 在这种模式下表示这些轨迹函数的期望函数。应用Doob[29]第282页的结果，由上的SDE（3.1.1）的溶液分布给出 什么时候.因为SDE解的概率测度由SDE系数唯一确定， 什么时候由SDE从[A9]中定义。对于 满足（3.1.1），,  允许（3.1.2）使用伊藤公式从（3.1.1）中得出如下。

接下来，让我们（3.1.3）表示当时的中心日志返回 相对于当时的证券价格. 注意是azero平均过程，但不一定是鞅。局部挥发率未知的LetDevities页| 317-10-13对于（3.1.4）表示其协方差函数。对于 和, 允许表示投射实值随机函数的函数 根据闭合线性模型中的均方度量，到最接近它的元素，由. 换句话说，是最佳的线性预测 条件反射及时. 如Doob[29]第155页所述，具有许多与条件期望函数相同的性质，包括线性。我们会说这个过程如果存在函数，则具有广义马尔可夫性以至于总之（3.1.5）广义马尔可夫性意味着在一个特定的时间段，任何早期状态的观测集合都等于最新观测的最佳线性预测值。

众所周知，对于高斯过程，马尔可夫和广义马尔可夫性质是等价的，但在更一般的情况下是不同的条件。命题6:Ifi（样本路径的连续性和马尔可夫性）定价过程 满足（3.1.1）关于什么时候是knownii（广义马尔可夫性质）的, 过程在（3.1.3）中，对于某些函数满足（3.1.5）这是连续可微的iii）（时间平均瞬时方差的收敛）存在 和 这类具有未知局部挥发性的衍生物于2013年10月327日出现无论如何所有的 如果足够大，则存在一个非负常数 这样协方差函数（3.1.4）中的定义满足 （3.1.6）对于  ,而且足够大.命题6的条件（i）和（ii）与市场有效的模型一致。当上述条件（i）成立时，需要条件（iii）与（1.1.4）保持一致，如引理4所示。4.4什里夫[6]。对于随机变量 和, 允许表示它们的相关系数。众所周知， 只要它是有限的。

对于在（3.1.3）中定义，也让对于推论1：命题6的假设也暗示 （3.1.7）和具有未知局部挥发性的衍生物见| 337-10-13 （3.1.8）对于任何, , 而且足够大.与Cont[35]中的定义一致，（3.1.7）中的量是时间尺度的自相关系数 定义为带参考的日志返回 （3.1.8）中的量是时间尺度的自相关系数 定义为带参考的平方对数返回.推论1表明，在模型假设下，这两种类型的自相关系数都是非负的，并且在足够大的范围内都是严格正的 什么时候（3.1.8）中的结论适用于 与波动率聚类的观察结果一致。（3.1.7）中的结论是，对数收益率本身的自相关必须是非负的，这更令人惊讶，但与第1.2节中讨论的股票指数观察结果一致。在第3.3节中，我们讨论了覆盖负自相关情况的ageneralization。命题6和推论1描述了无条件对数回报，因为它们通常在包括Cont在内的实证研究中定义.  在给定的时间段，导数的现值不是由以这种方式定义的对数收益分布决定的，而是由给定在该时间段之前标的物的价格历史的对数收益的条件分布决定的。

本节的最后一个命题描述了这种条件分布。为了说明这个结果，让我们 表示收敛不分布，并让表示一个多元正态随机变量 平均向量是组成部分和 是协方差矩阵组成部分.局部挥发率未知的导数页| 347-Oct-13命题7：在命题6的条件下，如果参数 在命题6的结论中，它是严格肯定的，如果有 和,（3.1.9）对于足够大的 （在哪里  与命题6的条件（iii）中的参数相同哪里.（3.1.10）命题7可用于估算投资组合现值的分布或矩。为了说明一维情况，命题7建议近似，（3.1.11）使用（3.1.3），我们可以看到（3.1.11）本身等同于对数正态近似，（3.1.12）对（3.1.12）的依赖不仅取决于还有似乎与马尔科夫的特性相矛盾  SDE中的默示（SDE中的默示）。

我们在第3.3节中解决了明显的悖论。局部挥发率未知的衍生产品页| 357-Oct-13If 相对于, 如果预测范围相对于预测所基于的先前历史较小，则（3.1.12）意味着（3.1.13）其中（3.1.13）的最终表达式遵循命题6的（3.1.2）和条件（iii）。Ross[32]第121-124页的第8.5节介绍了均值-方差分析——适用于（3.1.13）——当基础证券价格具有对数正态分布时，欧洲看涨期权和基础证券头寸的现值。预期回报需要一个假设或估计, 但只能在很长的时间间隔内。命题7中的限制取决于仅通过参数返回的中心日志的特征 从（1.1.3）开始。提案6建议，在进行评估时必须谨慎 以无条件均值为中心的对数收益协方差 （3.1.6）的右侧没有出现一例.

什么时候, 命题7建议 可以通过以条件平均值为中心的对数收益估计来获得。3.2规范表示和证明。我们的最后一个命题为如（3.1.3）中命题6假设的子部分所定义。命题8：如果命题6的假设（i）和（ii）成立，那么（3.1.2）中的定义满足（3.2.1）对于任何 和其中，具有未知局部挥发率的衍生产品见| 367-10-13（3.2.2）和（3.2.3）对于某些非零常数. 协方差函数由（3.1.4）定义，然后满足（3.2.4）证明：我们很容易从（3.1.2）中推断出（3.2.1）。使用（3.1.1）-（3.1.3）并应用伊藤公式，对于,（3.2.5）其中 , 和. 根据提案6的条件（ii），在下列情况下，（3.1.5）成立： 为了一些功能. 然后，根据Andrekar[28]的（3.3），存在一个函数  永远不会消失对于（3.2.6）然后，根据（3.1.5）和（3.2.6），该过程对于（3.2.7）满足总之.（3.2.8）具有这种性质的过程称为广义鞅；背景见Doob[29]第91页和164-169页。具有未知局部挥发率的衍生物第377-Oct-13By页（3.2.6）和命题6的条件（ii）， 必须是连续可微的，使用（3.2.6）我们可以得出 在不失去普遍性的情况下严格地肯定。

根据（3.2.5），（3.2.7），andIto的公式，对于,（3.2.9）其中自从总之根据Doob[29]第164页的论点，可以得出如下结论：总之.（3.2.10）从（3.2.9）和（3.2.10）中，我们可以看到（3.2.11）和从（3.2.8）得出（3.2.11）的左侧等于零。自从 永不消失，我们已经证明了这一点 总之 因此，通过（3.2.9）对于.（3.2.12）同等地，（3.2.13）对于一些布朗运动其中（3.2.13）的第一个等式来自罗杰斯和威廉姆斯[50]第64页的定理34.1，第143页的（3.2.12）和引理4.4.4的第二个等式来自未知局部挥发性的导数页| 387-Oct-13Schreve[6]。众所周知  对于 因此，根据（3.2.13）和盲期望定律，（3.2.14）对于. 从（3.1.4）、（3.2.7）和（3.2.14）中，我们得出以下结论：（3.2.15）在哪里（3.2.16）对于给定的, 还有, 允许, 哪里定义如（3.1.4）所示。根据Doob[29]第233页的定理8.1，具有命题6条件（ii）中假设的广义马尔科夫性质当且仅当（3.2.17）使用（3.2.15），我们确实验证了  为将军我们获得（3.2.18）使用（3.1.4）和（3.2.1）。