具有未知本地信息的衍生证券的定价和套期保值

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英文标题：
《Pricing and Hedging Derivative Securities with Unknown Local
  Volatilities》
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作者：
Kerry W. Fendick
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  A common assumption in financial engineering is that the market price for any derivative coincides with an objectively defined risk-neutral price - a plausible assumption only if traders collectively possess objective knowledge about the price dynamics of the underlying security over short time scales. Here we assume that traders have an objective knowledge about the underlying security\'s price trajectories only for large time scales. We show that avoidance of arbitrage that is still feasible uniquely determines the prices of options with large expiration times, and we derive limit theorems useful for estimation of model parameters and present-value analysis of derivative portfolios.
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中文摘要：
金融工程中的一个常见假设是，任何衍生工具的市场价格都与客观定义的风险中性价格一致——只有当交易者在短时间内集体掌握有关基础证券价格动态的客观知识时，这一假设才是合理的。在这里，我们假设交易者只对大时间尺度的基础证券的价格轨迹有一个客观的了解。我们证明了仍然可行的避免套利唯一地决定了到期时间较长的期权的价格，并且我们推导了对模型参数估计和衍生品投资组合现值分析有用的极限定理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Pricing_and_Hedging_Derivative_Securities_with_Unknown_Local_Volatilities.pdf (453.71 KB)

2022-5-4 23:42:23 上传

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关键词：套期保值 Quantitative Differential Applications volatilities

具有未知局部挥发率的衍生物2013年10月17日定价和套期保值派生词证券具有未知的地方的挥发性摘要金融工程中的一个常见假设是，任何衍生工具的市场价格都与客观定义的风险中性价格一致——只有当交易者在短时间内共同拥有有关基础证券价格动态的客观知识时，这一假设才是合理的。在这里，我们假设交易者只对大时间尺度的基础证券的价格轨迹有一个客观的了解。我们证明了仍然可行的避免套利唯一地决定了到期时间较长的期权的价格，并且我们推导了对模型参数估计和衍生投资组合现值分析有用的极限定理。关键词风险中性；局部波动模型；时间非均匀扩散过程；广义马尔科夫产权；有效市场假说；主观概率具有未知局部波动性的衍生品page | 27-Oct-131简介金融工程中的一个常见假设是，衍生品的市场价格与客观定义的风险中性价格一致。根据资产定价第一基本定理，风险中性价格保证了所有形式的套利都不存在，而套利的存在意味着给定市场存在风险中性价格。当风险中性价格是唯一的（在所谓的完全市场中），可以根据有关标的证券价格动态的客观知识来计算。然后，根据资产定价的第二个基本定理，与风险中性价格的任何偏离，无论多么小，都会通过动态投资组合复制产生套利机会，交易员可以通过动态投资组合复制衍生品的支付。

有关资产定价基本定理的背景，请参见哈里森和克雷普斯[1]、达朗、莫顿和威林格[2]、德尔巴恩和沙切迈耶[3]、罗杰斯[4][5]、史莱夫[6]第5章和达菲[7]第6章。虽然资产定价的基本定理普遍成立，但它们与市场价格的联系却很薄弱。为了弄清原因，考虑默顿[8]最初在开发期权定价的布莱克-斯科尔斯-默顿公式时使用的模型是有启发性的。默顿假设基础证券的瞬时收益率由一维随机微分方程（SDE）描述，其中瞬时预期收益率是一个一般的随机过程，但收益率的瞬时方差（局部波动率的平方）是一个预先确定的时间函数。他进一步假设，所有交易者对该函数都有共同的认识，但可以自由地对间接预期回报率持不同意见。默顿[8]的脚注45解释说，具有未知局部波动性的衍生工具第| 37-10-13页由于信息水平、分析技术等不同，预计交易者对当前（和未来）预期收益的估计可能会有很大不同。然而，大多数分析师以相同的方式计算方差和协方差的估计：，通过使用以前的价格数据。由于所有人都有相同的价格历史记录，因此假设他们的方差-协方差估计可能是相同的也是合理的。在这些假设下，默顿证明了投资组合复制是可能的。

风险中性价格——通过Black-Scholes-Merton公式以封闭形式表示——因此在一个框架中得到了独特的定义，在这个框架中，个体交易者根据自己对基础证券价格动态的主观模型（预期回报率可能不同）做出决定，但受制于关于客观价格动态（描述内在方差的函数）的某些常识。在默顿[8]的Black-Scholes-Merton公式的证明中，交易者对某些描述瞬时方差的函数达成一致是不够的：他们需要对客观描述瞬时方差的函数达成一致。因此，上述脚注45的引用隐含地假设，收益率表现出某种形式的平稳性，使得交易者能够根据过去的方差和协方差准确预测未来的方差和协方差。实证研究并不总是支持这一假设。例如，Pagan和Schwert[9]以及Phillips和Loretan[10]对标准普尔和道琼斯综合投资组合的收益进行的实证研究，以及Bassler、McCauley和Gunaratne[11]对欧洲美元交易所的收益进行的实证研究，都发现了非平稳性的明显证据。

Fama[12]的评论E.1和Gathereal[13]的第2-3页指出，在实证研究中经常观察到的对数收益的厚尾经验分布也可能是非平稳性的症状。如果默顿[8]假设的SDE形式实际上是对基础证券的客观价格动力学的精确描述，但描述未来瞬时方差的函数是未知局部波动的竞争| 47-10-13，由于非平稳性，基本上不可预测，那么唯一的风险中性价格仍然存在于理论中，但交易员（以及“市场”的统称）将缺乏计算它们的能力。交易者甚至不知道这些客观动态是由这种形式的SDE描述的。如Schreve[6]第222-223页第5.3.2节所示，动态投资组合复制需要对无限小时间尺度下基础证券价格动态结构的客观了解。例如，关于客观价格动态遵循一个过程（一维SDE的泛化）的知识是不够的。Derman和Taleb[14]认为，动态投资组合复制在实践中并不常用，这在很大程度上是因为在短时间尺度上对客观动态的不确定性。上述思维实验表明，资产定价的基本定理并不能提供一种假设，即如果交易者不了解任意短期标的证券价格动态的某些方面，市场价格将与客观风险中性价格一致。如果没有这些知识，套利可能仍然是不可能的，但因为交易者能够发现并利用与客观风险中性价格的任何差异。

考虑到完整市场（如我们的思维实验）不需要收敛到客观风险中性价格，没有理由期望不完整市场需要这样做。没有套利限制和定义市场定价，只有当套利是可能的，因为交易者拥有的知识。在本文中，我们研究了当标的证券的客观动力学在很大程度上未知甚至不可知时，衍生品的定价和波动风险的对冲。我们从个体交易者的角度研究这些问题，他们使用自己的主观概率模型来描述标的证券的价格演变。我们的典型交易者需要具有未知本地波动性的竞争对手（2013年10月57日），以对冲头寸并为任何可能的衍生工具定价，包括未在交易所提供的衍生工具。卖方银行的衍生品部门与这样的交易员很接近。在不假设交易者对基础证券的客观价格动态有任何了解的情况下，我们首先在很大程度上概括地表明，防止交易对手出现某些形式的风险的一个必要条件是，相对于交易者在评估衍生品支付的现值时使用的任何主观模型，衍生品的风险中性定价。然后，我们进一步假设不同的交易者只拥有关于标的证券价格在大时间间隔内的二次变化的客观共同知识，从而推导出衍生品定价的性质。

我们的结果与证券价格缺乏平稳结构，以及瞬时方差本身在短时间内不可预测且没有先验界限的情况一致。我们证明，如果每个交易者对标的证券价格动态的主观模型可以表示为SDE，然后，随着期权的到期时间变长，这些不同的交易者愿意购买或出售某一特定期权的价格必须收敛到一个仅取决于对大时间标度基础证券价格轨迹属性的有限常识的价格。否则，交易者的交易对手就可以利用这一关于风险的常识，即使在短期内，没有人对标的证券价格的主观模型与客观现实有任何关系。在假设交易者的基本价格过程的主观模型具有增量对数收益是广义马尔可夫的性质的前提下，我们还证明了随着时间尺度的增大，对数收益的有限维分布必须类似地收敛到多元对数正态分布。这个中心极限定理引出了一种自然的启发式方法，用于在不假设关于短时间尺度上的市场行为的客观知识（甚至是常识）的情况下，就具有长期到期的衍生品的现值达成一致。具有未知局部波动性的衍生品第67页-10月13日衍生品定价和套期保值中的不确定局部波动性问题之前已在Vellaneda、Levy和[15]段以及他们的工作启发的几篇后续论文中讨论过；有关调查，请参见Martinian和Jacquier[16]。他们的结果适用于具有任意到期时间的期权，但假设局部波动在非平凡范围内是不确定的。

我们的结果只适用于极限条件下的燃烧时间变大，但解决了未知的局部波动性问题，因为没有这样的边界。1.1标的证券的价格轨迹在本文中，衍生工具被定义为对证券价格未来演变的押注，其派息在派息发生之前均由该演变决定。这种安全性本身被称为衍生产品的潜在安全性。在本文中，我们仅考虑具有单一公共基础的导数。我们会让 表示当时标的资产的价格,让我（1.1.1）表示当时的日志返回 相对于当时的证券价格. 对于和, 样本路径的二次变化在这段时间里定义为（1.1.2）其中对于 是一个分区，并且.我们假设存在正常数,  , 和不依赖于 或者在（1.1.2）中的特定分区序列上，具有未知局部挥发性的衍生物显示| 77-10-13（1.1.3）按照数学惯例，我们将说在某个区间，如果存在常数 以至于对于间隔时间。那么，（1.1.3）意味着（1.1.4）和（1.1.4）意味着形式（1.1.3）的界的存在。（1.1.1）中的定义是基于证券价格指数增长的隐含假设。（1.1.2）中定义的二次变化与模型无关。该属性（1.1.3）不假设日志返回的连续性，但隐式地假设样本路径具有无限变化（例如带跳跃的样本路径）。

在收益率演化为随机过程的附加假设下，我们将（1.1.3）解释为相对于某个潜在概率空间的概率1。在这种情况下，（1.1.4）将被称为强近似；例如，参见Glynn[17]定理5之后的讨论。但是（1.1.3）并不要求日志返回是随机的，我们将在整个过程中假设（1.1.3）适用于所有轨迹。1.2概述本文讨论了关于假设（1.1.3）是交易者关于基本价格过程的唯一客观知识的含义的两个广泛问题。第2节描述了如何限制单个交易者的衍生品定价，以防止仍然可能出现的套利形式。第3节规定了交易者如何计算包含大量到期衍生品的投资组合的现值。因此，第2节主要涉及定价，第3节主要涉及对冲工具。具有未知本地波动性的衍生品第2节中，我们考虑了交易员根据标的物价格的可用历史，在asnapshot及时做出衍生品定价决策的观点。我们假设交易者的定价决策基于一个主观模型，即标的物的价格将如何从该点向前发展。我们没有假设该模型是如何推导出来的，也没有要求它与交易者在任何更早或更晚的时间对期权定价时使用的任何模型一致。在第2.1节中，我们通过描述交易者对其衍生品未来支付现值的预期的函数，定义了交易者对标的物价格演变的主观模型。

我们展示了交易者如何为衍生品定价，以防止某些特定形式的套利，要求这些价格相对于定义这些主观预期的概率是风险中性的。通过扩展Rogers[18]定理1的公理框架，我们获得了第2.1节的结果；有关相同结果的更多讨论，请参见罗杰斯[5]。我们首先考虑与罗杰斯的假设类似的假设，并在命题1中得出结论，正如罗杰斯[18]的Eorem 1所做的那样，衍生品的定价函数通过严格正的Radon-Nikodym密度过程与预期函数相关。我们对该材料的处理消除了罗杰斯[18]对衍生品支付有界的限制。在第2.2节中需要这种推广，我们将第2.1节的结果应用于anSDE模型，该模型不包含基础资产价格的明确上限。我们通过调用Riesz表示定理的一个版本来获得推广。命题1的证明从另一方面大量借鉴了罗杰斯[18]定理1的证明。然后，第2.1节增加了罗杰斯[5][18]中没有的假设，在此假设下，我们在第2点中得出结论，相对于定义具有未知局部波动率的导数的概率，定价函数确实是风险中性的，即| 97-10-13交易者预期函数。我们描述了附加假设和put调用奇偶性要求之间的联系。Derman和Taleb[14]之前表明，在定价措施的特定对数正态假设下，为了与看跌期权平价保持一致，需要一种形式的风险中性。我们在第2.1节中对材料的处理在另外两个方面与罗杰斯[18]不同。