最佳执行轨迹。具有指数效应的线性市场影响

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英文标题：
《Optimal Execution Trajectories. Linear Market Impact with Exponential
  Decay》
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作者：
Igor Skachkov
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Optimal execution of portfolio transactions is the essential part of algorithmic trading. In this paper we present in simple analytical form the optimal trajectory for risk-averse trader with the assumption of exponential market recovery and short-time investment horizon.
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中文摘要：
投资组合交易的最优执行是算法交易的重要组成部分。在本文中，我们以简单的分析形式给出了在指数市场恢复和短期投资期限的假设下，风险厌恶交易者的最优轨迹。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Optimal_Execution_Trajectories._Linear_Market_Impact_with_Exponential_Decay.pdf (92.7 KB)

2022-5-4 23:52:01 上传

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关键词：Quantitative Transactions Applications QUANTITATIV Computation

最佳执行轨迹。指数衰减的线性市场影响。Igor Skachkov 2013年9月27日摘要组合交易的最佳执行是算法交易的重要组成部分。在本文中，我们以简单的分析形式给出了在指数市场恢复和短期投资期限的假设下，风险厌恶交易者的最优轨迹。1引言上个世纪末，R.阿尔姆格伦和N.克里斯[1,3]以及R.格林诺德和R.卡恩[5]率先将变异演算应用于投资组合清算问题。与此同时，大多数现代交易引擎对这种方法进行了一些修改。遵循Almgren&Chriss方法，我们通过平均方差标准和恒定绝对风险规避来确定最优轨迹。在这种效用函数下，无论当前投资组合的价值如何，对于相同的ris k度量值，一美元的收益都可以进行权衡。在“经典”方法中，这种度量是平方美元的方差。随着市场影响对交易率的线性依赖，轨迹的形状不取决于订单的大小。这些结果的一个问题是，在受到暂时的市场冲击后，价格会立即恢复。市场没有记忆，当前执行的效果不取决于交易历史。这与直觉相反，也不符合阿尔姆格伦本人的暂时市场影响系数校准方法[4]。Obizaeva和Wang[6]得出了前几笔交易的影响呈指数衰减时风险中性代理的解析解。2.市场模式2。1.价格动态我们认为，自营交易者将其信号转换为“alphas”dSS=α（t）dt+σdwwt，这是一个标准的维纳过程；α和σ皮重是瞬时漂移和波动。

短期投资的主要简化（特征时间t*是所有参数的微小变化，包括价格（S（t）-S） /S<< 这意味着我们不区分算术布朗运动和几何布朗运动，当前价格大约等于预期价格 E（S），σ* T*<< 1漂移要么是常数，要么是局部α（t）=α、 0<t<t0，否则或去结块α（t）=αexp(-γt）此外，对于任何成功的交易策略，回报率应至少与波动率αt的顺序相同*~ σ√T*在短期内，我们对价格动态进行了预测：S- S=SZtαdτ+SσWt（1）此外，价格受我们的贸易影响。传统上，影响分为两部分：永久性和暂时性。永久影响只是交易量的线性函数，因为否则我们可以周期性地买卖相同数量的股票，但速度不同。我们在分析中没有考虑这种永久性影响，原因有二：第一，不依赖于交易轨迹；第二，通常情况下，自营交易的规模不超过平均日交易量（ADV）的几%，相应地，资本化的可忽略影响。s- S=SZtα（τ）dτ+h[x]+SσWt（2），其中h[x]是一个临时市场影响函数，通常取决于执行历史。我们将在下一节详细分析市场影响模型。我们假设投资组合∏是自融资的：总回报等于从交易中收到/支付的现金和投资组合价值的变化之和。它也可以表示为持有股票组合的回报。

股票的价格动态是PnL的唯一来源，因为在短期内，oncash的利率可以安全地等于零。d∏=dxS |{z}stocks-Sdx |{z}cash=xdS |{z}返回，其中S[x]是一个函数价格，取决于交易轨迹。相应地，财富动态是：π=（ST）- S） xT-ZT（S）- S） ˙xdt+σSxdWt（3）均值-方差效用Φ=Zt（E（R）-λV ar（R））dt由Φ[x]=ZT（αx+h[x]˙x给出-λ（Sxσ）dt（4）对于单一股票和Φ=ZT（α·x+h[x]·x- λ（Sx）tOhm（Sx）dt（5）表示股票组合。R是绝对资产价格回报，单位为V，R是方差Ohm 是协方差矩阵x=（SxSx…Snxn）是股票中美元头寸的向量λ是风险规避参数。T是一个时间范围。2.2市场影响模型执行价格通常取决于之前交易历史的影响。到达价格和执行价格之间的差异，也就是说，执行差额被认为与贸易方向相反：我们支付更多的钱来增加仓位，而获得更少的钱来平仓。h[x]=-Ztf（˙x（τ））K（t，τ）dt（6）市场影响核K（τ，t）假设在体积时间K（τ，t）=K（t）中是同质的-τ). 初始时间设置为0。假设市场影响是交易率的线性函数h（t，˙x）=-Zt（ηηK（t）- τ） ˙x（τ））dτ＠η=ησADV S（7）2.2.1 Almgren&Chriss无记忆临时影响卷积积分核的简单t形式由Grinold和Kahn[5]提出，并由Almgren和Chriss[1,2]K（t]详细分析-τ） =δ（0），Dira c的delta f un c t离子效用函数（4）由Φ[x]=-ZTψ（x，˙x，t）dt→ 最大ψ（x，˙x，t）=-αx+η˙x+λ（xSσ）（8）受初始和终端条件约束：x（0）=x，x（T）=XT（9）（8）的最大化是一个标准的变分法问题。

应用欧拉方程ψdx-滴滴涕Ψ ˙x=0（10）我们得到¨- kx=-~α（11）我们的解是Almgren&Chriss[2]对指数衰减（t）=（X+a（0））sinh（k（t））漂移的简单推广- t） 新罕布什尔州新罕布什尔州新罕布什尔州新罕布什尔州新罕布什尔州新罕布什尔州- a（t）˙x（t）=dxdt=-（X+a（0））k cosh（k（T）- t） sinh（kT）+（XT+a（t））k cosh（kT）sinh（kT）- ˙a（t）（12），其中k=λ/＠η＠α=α/（2＠η）a（t）是方程（11）a（t）=-~αγ-kexp(-γt）2.2.2指数核解（12）在实践中是最佳轨迹的一个不错的近似值，但它不能描述单个离散交易的市场影响（它是一个delta函数）。安装回收消耗是不现实的，与校准程序不一致。为了解决这些问题，我们必须用一些光滑的内核来代替delta函数。（8）中积分下的函数由以下公式给出：ψ（x，˙x，t）=-αx+η˙x（t）Zt˙x（τ）K（t-τ） dτ+λ（xSσ）（13）计算变量我们可以得到以下等式λx- α=˙F=ddtZT˙x（τ）K（| t）- τ|）dτ（14）假设核是二次可微的，则给出∧¨x- α=滴滴涕（ZT˙x（τ）¨K（| t-τ|）dτ+2˙x˙K（0））现在我们插入指数核函数（t-τ） =β·exp(-β（t-τ） ）转换为通用等式，并获得系统：¨x-λβλ+βx=¨x- kx=βα+α2（λ+β）¨F- βF=-方程（15）中的2β˙x（15）表明，除平滑指数项外，轨迹解还包含时间间隔末端的跳跃。函数F（t）的通解具有exp（±βt）项。为了得到这些项，我们必须将交易率的δ函数˙x插入（14）。因此，最优轨迹的一般解由x=Cekt+Ce给出-kt+DH（t）+DH（t）-T）（16），其中H（T）是重边函数。我们需要四个方程来找到任意常数。

两个方程是初始条件和终端条件，另外两个方程来自要求δ˙xΦ=ZT[δ（˙x（t））ZT˙x（τ）K（t- τ）dτ+˙x（t）Ztδ（˙x（τ））K（t- τ）dτ]dt我们改变第二个积分的积分顺序，得到δ˙xΦ=ZTZT˙x（τ）K（|t）- τ|）dτδ（˙x（t））dtx（t）没有exp（±βt）项。经过一些简单而乏味的代数之后，我们得到了一个近似形式的解：x（t）=（x+a）Bsinh（（k（t））- t） 新罕布什尔州（kT+2A）+（XT+A）新罕布什尔州（kT+2A）- a其中a=lnsβ+kβ- k、 B=k√λ（17）对于风险中性交易者（λ→ 0）和α=0指数冲击缓解下的最佳计划是两次跳跃和它们之间的直线的组合。limλ→0x=（X）- 十） T- tT+（XT+XT）tTX=XT=X- 具有指数核的XTβT+2（18）最优翻译策略是A.Obizhaeva和J.Wang[6]的主题。他们可能是第一个指出最佳路径在时间间隔末端的不连续性的人，并为风险中性交易者导出了方程（18）。使用动态规划方法考虑了离散和连续区域的交易。他们还得到了更一般情况下的求积解，但它比我们的解析公式复杂得多。参考文献[1]Almgren R.和N。

Chriss（2001）《投资组合交易的最佳执行》，风险杂志，3（2），5-40。[2] 阿尔姆格伦，罗伯特，2003，非线性影响函数和交易增强的最优执行，应用数学金融10，118。[3] Almgren，Robert和Neil Chriss，1999，清算下的价值，风险，12（12）。[4] Almgren，Robert，Chee Thum，E mmanuel Hauptmann和Hong Li，2005，“股票市场影响的直接估计”，风险18（7），5862。[5] Grinold Richard和Ka hn Ronald，2000年，活跃投资组合管理，纽约州麦格劳·希尔。[6] Anna Obizhaeva和Jiang Wang，2005最佳交易策略和供需动态。麻省理工学院工作论文