投机泡沫的随机模型

我们应该这样理解函数g：当怀疑动力系统需要很长时间才能退出集合S=r时，g（r，θ）必须很大*+×(-π/2，π/2）来自（r，θ）。相反，在基本决定论动力系统的向量场将轨迹推出S的区域，它应该很小。如图4所示，我们不需要考虑S的子域：布朗运动的作用是椭圆的，我们总是可以从沙在S中停留任意长时间的任何点开始建立一些轨迹。注意，当r很小时，起点就在原点附近，无论θ的值是什么，因此，函数g（r，θ）很小（见图4的右侧）。3.2.3次椭圆情形我们现在回到定理4下界的研究。这一结果在下文第29号提案中得到了证实。从推论13中我们知道，在时间和空间变量线性变化的情况下，初始动态可能会简化为图4所示的简化随机演化：左：要避免的区域是θ∈ [π/2, 3π/2]. 椭圆的情况用完整的蓝白双箭头来说明：布朗运动总是向各个方向运动。蓝色：旋转+同质向量场。右：函数θ7→ g（r，θ）表示r的几个值，由方程（25）表示。同样，让我们在极坐标中写出相应的最小生成元Lρ（见第二附录中给出的命题41）：Lρ=-ρrr+θ+sinθrr-sinθcosθrθ+正弦θcosθrrθ+cosθ2rr+cosθ2rθ（37）与ρ=-a2ω。如前所述，我们希望使用类似于椭圆情况下考虑的策略。然而，次椭圆问题更为复杂。

粗略地说，微分分量的退化意味着在π/2附近，（25）的解的路径不能被布朗运动的作用强烈地减慢（见备注23和下面关于布朗桥的研究）。换句话说，我们无法（而且似乎确实不可能）构建一个函数β，使得前面小节中定义的函数ψ是下界的。因此，我们的想法是将区域缩小到{（x，y），x>0}中包含的较小角扇形区域，其中布朗运动的扩散作用更有可能在S中保持该过程。因此，我们考虑一类更一般的函数g（必须在方程中进行校准）和deneg（r，θ）=rnγ（θ）eβ（θ）r（38），其中n是正整数，γ和β是一些充分光滑的函数。现在β应该被一个负常数限定，这样g才有可能有界。选择新函数γ是为了使g在角扇形内部为正，并在S的边界上消失。我们首先描述Lρ对此类函数g的影响（计算推迟到第二个附录）。24号提案适用于任何g∈ CR+×-π,π, R由（38）给出，一个（r，θ）∈ R*+×h-π、 πiLρg（r，θ）=~n（θ）r+~n（θ）+~n（θ）rg（r，θ），其中φ（θ）=-2ρβ(θ) + β(θ) +2 sinθβ（θ）+cosθβ（θ）,φ(θ) = -nρ+β（θ）（4n+2）sinθ+2 cosθ+ （1+2β（θ）cosθ+4β（θ）sinθcosθ）γγ（θ）+β（θ）cosθ+2（n+1）cosθsinθβ（θ），ν（θ）=（n- n） sinθ+cosθ（n+γ（θ）γ（θ））+2（n- 1） sinθcosθγ（θ）γ（θ）。我们现在需要找到一个（开放的）角扇区S={（r cosθ，r sinθ），θ<θ<θ}，一个正整数，一些函数γ和β，比如1。γ（θ）>0（θ，θ），γ（θ）=γ（θ）=0，β（θ）≤ [θ，θ]上的0，2。在S，3上，φ和φ是非负的。ν是下界的。4.

β由一个负常数限定。这就是下一个命题的目的。命题25 Letρ≥ 0.（i）设g由（38）定义，n=2，γ（θ）=(-sin（2θ）ifθ∈ [-π, -π] cos（π/4+θ）ifθ∈ [-π、 π]（39）和β（θ）=-. 然后，对于每r>0和θ∈] -π、 π[与θ6=-π、 Lρg（r，θ）≥ -（3+2ρ）g（r，θ）。（ii）因此，对于任意开放半平面H，S:={（r cosθ，r sinθ），r>0，θ∈] -π,π[}  H、 对于m（H）=1的任何概率测度，我们有lim supt→+∞-tlog（Pm（τH）≥ t） )≤ 3 + 2ρ.注26：图5显示了与随机演化研究的漂移部分相对应的向量场，以及最有利的起点位置（预计是g变大的点），以便将过程保持在S中较长时间。如上所述，现在避免了角扇形[π/4，π/2]，以使过程保持在半平面x>0。此外，图5的右侧显示，也禁止过大的r值（toolarge或太小的值）：小的值是不利的，因为它对应的起始位置非常接近原点（并且自然接近x轴=0）。由于漂移向量场的范数较大，为了使过程保持在S中，布朗运动必须对其进行修正，因此r的大值也是不利的。通过对n和γ的建议选择，我们可以检查φ（θ）=（如果θ为0）∈ [-π, -π)1-sin（2θ）ifθ∈ (-π、 π）图5：左：要避免的域是θ∈ [π/4, 3π/2]. 亚椭圆的情况用秩1双箭头表示：布朗运动只能在垂直方向上移动。蓝色：旋转+同质向量场。右：函数θ7→ g（r，θ）表示r的多个值，因此φ是非负的。因为β是常数，ρ是非负的，所以φ是非负的事实是显而易见的。因此，它仍然需要重点关注。

事实上，简单的计算结果表明，η（θ）=-（3+2ρ）开[-π、 π）鉴于θ ∈ (-π, -π], φ(θ) = -（3+2ρ）+tan（2θ）。第一个断言的结论如下。（ii）根据命题19和前面的内容，对于任何概率测度mS，如mS（S）=1，lim supt→+∞-tlog（PmS（τS）≥ t） )≤ 3 + 2ρ. （40）现在，考虑一下一般情况。设m（H）=1的概率。然后，对于everyt>0，对于每个a.s.最终停止时间T，Pm（τH≥ （t）≥ Pm（τH）≥ T+T）≥ Pm（τH>T，Zs）∈ ss∈ [T，T+T]）。因此，Pm（τH≥ （t）≥ 相对长度单位{τH>T，ZT∈S} P（Zs+T）∈ ss∈ [0，t]|英尺）.根据马尔可夫性质，Pm（τH≥ （t）≥ Em[1{τH>T，ZT∈SPZT（τS）≥ t） ]。如果我们假设T是pm（τH>T，ZT）∈ S） >0，（41）那么，-tlog（Pm（τH）≥ t） )≤ -tlog（Pm（τH>T，ZT∈ S） )-tlog（PmS（τS）≥ t） ，其中Msi是为每个有界可测函数h:R定义的概率度量→ RbymS（h）=Pm（τh>T，ZT∈ S） Em[h（ZT）1{τh>T，ZT∈S} ]。By（40）和Pm（τH>T，ZT）的（严格）正性∈ S） ，我们获得了thatlim supt→+∞-tlog（Pm（τH）≥ t） )≤ 3 + 2ρ.因此，它还有待证明（41）。对于每一个（x，y），这当然足以证明∈ H、 存在一个确定性正T（x，y），使得p（x，y）（τH>T（x，y），ZT（x，y）∈ S） >0。其想法是建立一些“良好”的受控轨迹：让∈ L2，loc（R+，R），并用（z k（t））t表示≥0受控系统的解决方案（˙x（t）=-ρx（t）- y（t）˙y（t）=-ρy（t）+x（t）+~n（t）从z=（x，y）开始∈ H.可以应用经典支撑定理（见[17]），因为扩散系数是Lipschitz连续的。这意味着（41）是真的，只要存在这样一个解（z~n（t））t∈[0，T（x，y）]属于H，因此zа（T（x，y））属于S。可以通过以下引理建立这样的受控轨迹。引理27 Letκ∈ (0, +∞] 设置Hκ={（x，y），y<κx}和H∞= D（{（x，y），x>0}）。（i） 让（x，y）∈ Hκ与y≥ 0

然后，对于每一个v∈ (-∞, y] ，存在一个受控区域（xа（t），yа（t））t≥0从（x，y）和一个正tv开始，使得{z~n（t）：t≥ 0} Hκ∩ H∞, xа（Tv）>0和yа（Tv）=v.（ii）Let（x，y）∈ Hκ与y≤ 考虑（x（t），y（t））t≥0自由动力系统的解决方案（即，带有的受控轨迹）≡ 0）从（x，y）开始。然后，存在T>0使得（x（T），y（T））T∈[0，T] Hκ，使得（x（T），y（T））=（aT，0）aT>0。此外，写入（x，y）=（rco(-θ） ，rsin(-θ） ）（r>0和θ∈ (π -Arctan（κ），0]），这个性质与T=θ和aT=re有关-ρθ.备注28注意，这个引理也将用于命题35的证明（见步骤3）。这就是为什么它的陈述比我们证明前一个命题所需要的要尖锐一些的原因。证明（i）在不丧失一般性的情况下，我们只在κ<+∞. 这样做的目的是使第二组分的导数足够大。更准确地说，对于每M>0，（˙xM（t）=-ρxM（t）- yM（t）˙yM（t）=-确定受控轨迹的方程式（通过设置φ（t）=-M+ρyM（t）+xM（t））。此外，用z=（x，y）表示它的起点，我们有ym（t）=-Mt+YAN和xM（t）=x+Mρ+yρE-ρt+Mρt-Mρ-yρ。首先，让我们选择足够大的M，以便所有t≥ 0，xM（t）>0和（xM（t），yM（t））∈ Hκ，即xM（t）>0和κxM（t）- yM（t）≥ 0代表所有t≥ 0.对oft导数的简单研究→ xM（t）产量T≥ 0，xM（t）≥ xM（t*M） 和t*M=ρlog1+ρM（y+ρx）和xm（t*M） =Mρlog1+ρM（y+ρx）-yρM→+∞-----→ x、 因此，对于每一个ε>0，存在足够大的Mε，使得x（t*Mε）≥ κx- ε.

对任何M>0和t使用该值≥ 0，yM（t）≤ yand设置ε=κx-y、 我们得到了T≥ 0，xMε（t）>0和κxMε（t）- yMε（t）>0。因为yMε是一个连续函数，所以yMε（t）→ -∞ 作为t→ +∞, 因此，对于每个人来说∈ (-∞, y] 存在Tv>0，使得yMε（Tv）=v.（ii）由于自由动力系统的解满足（x（t），y（t））=re，因此结果是明显的-ρt（cos（t）- θ） ，sin（t-θ） ）t≥ 0现在我们可以证明定理4的下界了。提案29 Let（Zt）t≥0是（7）与（1）的解决方案+√)A.≤ 设τ=inf{t>0，Xt=0}。然后，对于每个概率测度，m（{（x，y），x>0}）=1，lim supt→+∞-tlog（Pm（τ）≥ t） )≤3+aωω.备注30 Sinceaω=（ba-)-,支持（a，b），0<（1）+√)A.≤B3+aω= 3 + (+√)-≤ 4.这对应于定理4中给出的界。然而，读者可以注意到，上述结果产生了一些更明确的界限。特别是，当a趋于0时，3+a/ω趋于3。ProofLet z=（x，y）∈ r使x>0。由于布朗运动的对称性，我们可以检查Pz（τ≥ t） =P-z（τD）-≥ t） 其中z=（x，y）*, D-= {（x，y），x<0}和τD-= inf{t≥ 0，Zt∈ Dc-}.第二，设置v=（b（a- b） ，1）*Pv=（v，Bv）和B=ω（A+aI）。根据推论13，存在α>0，使得（~Zt）t≥0:= (√ωαP-1vZtω）t≥0是（25）的解。分别用（x，y）和（~x，~y）表示标准基和基中的坐标B=（v，Bv）。计算PV（x，~y）*, 一种是在新的基础上检查集合D-对应于半平面Hκ，由Hκ={（~x，~y），~y<κx}定义，其中κ=ωB-A..此外，从（~Zt）t的定义来看≥0，我们有τ-zD-= ~τ- ~zHκ与~τHκ=inf{t≥ 0，~Zt∈ Hcκ}和∧z=√ωαP-1vz。尤其是P-z（τD-≥ t） =P-~z（~τHκ≥ ωt），所以对于任何概率，比如m（{（x，y），x>0}）=1，Pm（τD）-≥ t） =Pm（τHκ≥ ωt）式中m:=mo （z）7→ -√ωαP-1vz）满意度m（Hκ）=1。

现在，什么时候+√)A.≤ b、 一张支票≥ 1，使得Hκ包含命题25（在极坐标中写入）的集S={（~x，~y），~x>0，~y<~x}。应用这个命题的第二项ρ=a/（2ω），我们最终得出结论→+∞-tlog（Pm（τ）≥ t） ）=ωlim supt→+∞-ωtlog（P)m（)τHκ≥ ωt）≤ ω3+aω.在这一节中，我们研究与我们的动力系统相关的扩散桥。然后我们用它来建立P（x，y）（τ）的一些下界≥ t） （式中τ：=inf{t≥ 0，Zt∈ （x，y，x<0}）。4.1桥梁的小时间爆炸我们的目标是证明定理6并讨论一些相关结果。因为我们主要是利用问题的高斯特征，所以我们可以直接使用过程Z，其演化由（7）给出。然而，第2.1小节中的计算表明，更可取的做法是首先考虑第2.2小节中的简化。所以我们首先考虑二维的Ornstein-Uhlenbeck过程（Zt）≥0B（Xt，Yt）t≥他们的进化是由dXt=(-ρXt- Yt）dtdYt=(-ρYt+Xt）dt+√2dWt（42），其中ρ∈ R和（Wt）t≥0是标准的真布朗运动。让我们进一步假设Z的初始条件是一个确定性点Z=（x，y）*∈ R

第2小节的论点。1证明Z是高斯的，更精确地说，我们有：引理31，对于任何t≥ 0，zt分布为均值mt（z）和方差∑t的高斯定律，其中mt（z）B exp(-ρt）xcos（t）- ysin（t）xsin（t）+ycos（t）∑t（1，1）B1- E-2ρt2ρ-E-2ρt2（1+ρ）（sin（2t）- ρcos（2t））-ρ2（1+ρ）∑t（1,2）=∑t（2,1）Be-2ρt2（1+ρ）（cos（2t）+ρsin（2t））-2（1+ρ）∑t（2,2）B1- E-2ρt2ρ+e-2ρt2（1+ρ）（sin（2t）- ρcos（2t））+ρ2（1+ρ）证明-ρ -11-ρC和B√从第2.1小节开始，我们得到了任何t≥ 0，在一只手上mt（z）=exp（At）z=exp(-ρt）cos（t）-sin（t）sin（t）cos（t）xy另一方面，（18）的有效性。我们计算了所有的s≥ 0，exp（As）CC*经验（A）*s） =2 exp(-2ρs）cos（s）-罪（s）罪（s）因（s）0 00 1因为（s）罪恶（s）-罪(s)因(s)= 2经验(-2ρs）罪(s)-因为（s）罪恶（s）-原因（s）罪恶（s）原因（s）= 经验(-2ρs）1.- cos（2s）-罪（2s）-sin（2s）1+cos（2s）下面是直接积分中∑t项的公布表达式。对于∑t（1，1），我们有∑t（1，1）=Ztexp(-2ρs）（1- cos（2s））ds=1- 经验(-2ρt）2ρ- <Ztexp（2（i）- ρ） s）ds=1.- 经验(-2ρt）2ρ- <exp（2（i）- ρ） （t）- 12（i）- ρ)=1.- 经验(-2ρt）2ρ+2（1+ρ）<（ρ+i）（exp（2）（i）- ρ） （t）- 1))=1 - 经验(-2ρt）2ρ+2（1+ρ）（exp(-2ρt）（ρcos（2t）-罪（2t））- ρ)对于t>0，让我们用pt（z，z）dz表示z的定律，知道z=z。用上面引理的符号我们得到了 t>0， z、 z∈ R、 pt（z，z）=2πdet（∑t）exp(-（z）- mt（z））*（2∑t）-1（z）- mt（z）））利用贝叶斯公式，我们得到了0<t<t和z，zT∈ R、 zT=zT（仍然是Z=Z）的定律允许密度与z7成正比→ pt（pt）z-t（z，zT）其中z∈ R.这是一个非退化高斯定律，假设η（T）T（z，zT）（分别σ（T）T）是它的平均向量（分别是它的协方差矩阵），下面的公式（44）将表明协方差矩阵不依赖于zand zT。

我们进一步定义 U∈ [0,1]，νz，zT（u）B6u（1- u） （十）- xT）其中zB（x，y）*和zTB（xT，yT）*. 下一个结果包含了我们需要的所有技术细节。32号提案适用于所有z，zT∈ 兰德u∈ （0,1），我们有限制→0+Tη（T）uT（z，zT）=~nz，zT（u）limT→0+σ（T）uT（z，zT）=0简化符号的证明，对于u∈ （0，1），我们表示vb1-u、 ηuBη（T）uT（z，zT）和σuBσ（T）uT（z，zT）。用引理31表示，向量ηua和矩阵σuare使得对于任何z∈ R、 （z）- ηu）*σ-1u（z- ηu）=（z- muT（z））*Σ-1uT（z）- muT（z））+（zT- mvT（z））*Σ-1vT（zT）- mvT（z））+C（z，zT），其中C（z，zT）是独立于z的归一化项。因此ηu=σu（e-ρuTSuBuz+e-ρvTB*vSvzT）（43）σu=苏+e-2ρvTB*vSvBv-1（44）任何w≥ 0，BwBcos（wT）-sin（wT）sin（wT）cos（wT）SwB∑-1wT=Dw∑wT（2,2）-∑wT（1,2）-∑wT（1,2）∑wT（1,1）DwB det（∑wT）=∑wT（1,1）∑wT（2,2）-（wT（1，2））所有这些表达式都依赖于T>0，并且通过将它们扩展到小T>0，将获得宣布的收敛。事实上，简单的计算表明∈ （0,1），asT→ 0+,∑wT（1,1）∑wT（1,2）∑wT（1,2）∑wT（2,2）=2（重量）+O（重量））-（wT）+O（（wT））-（wT）+O（（wT））2wT+O（（wT））！式中O（（wT）p）代表p∈ R、 表示以a（wT）p为界的量，统一覆盖ρ∈ [-1，1]和足够小的重量。

接下来是dw=（wT）+O（（wT））Sw=（wT）+O（（wT）-2） （wT）+O（（wT）-1） （wT）+O（（wT）-1） wT+O（1）！用它来表示v∈ （0，1），我们有e-2ρvT=1+O（vT）和bv=1+O（（vT））-vT+O（（vT））vT+O（（vT））1+O（（vT））我们推断-2ρvTB*vSvBv=（vT）+O（（vT）-2) -（vT）+O（vT）-1)-（vT）+O（vT）-1） vT+O（1）！因此，从（44）中，我们得到了u∈ （0，1），σu=d（u，v）2（u+v）（uv）T+O（T）3（u）- v） （紫外线）T+O（T）3（u）- v） （紫外线）T+O（T）6（u+v）uvT+O（T）d（u，v）=12（u+v）（u+v）- 9（u）- v） +O（T）-1） 回顾v=1-u、 看来d（u，v）=12+O（T-1） 所以我们得到σu=（uv）T+O（T）（u）- v） （uv）T+O（T）（u）- v） （紫外线）T+O（T）2（u+v）uvT+O（T）（45）提案中宣布的第二个趋同随即出现。为了推断第一个，webegin通过检查u∈ （0,1），e-ρuTSuBu=（uT）+O（（uT）-2) -（uT）+O（（uT）-1） （uT）+O（（uT）-1) -uT+O（1）！E-ρvTB*vSv=（vT）+O（（vT）-2） （vT）+O（vT）-1)-（vT）+O（vT）-1) -vT+O（1）！结合（45），我们得到σue-ρuTSuBu=1.- 3u+2u+O（T）-u（1）- u） T+O（T）6u（1-u） T+O（1）1- 4u+3u+O（T）σue-ρvTB*vSv=3u- 2u+O（T）u（1）- u） T+O（T）-6u（1-u） T+O（1）-2u+3u+O（T）在这些表达式中，（2，1）-条目爆炸为T→ 0+，它解释了上述η（T）uT（z，zT）命题中考虑的重整化以及由此产生的收敛。注33：注意，当x=xT（即如果zand Zt在同一条垂直线上）时，下面的垂直布朗运动更容易将它们联系起来。因此，ψz，zt的第二个分量等于0。在这种情况下，我们期望（η（T）uT）的第二个分量在T→ 0.进一步推动之前的发展成果（σue）-ρuTSuBu）2,1=6u（1- u） T- 2ρu（1）-u） (二)- u） +O（T）（46）和（σue）-ρvTB*vSv）2,1=-6u（1- u） T- 2ρu（1）-u） +O（T）。