投机泡沫的随机模型

（47）结合上一证明末尾的计算，我们推断，如果x=xT，则平均向量不需要重正化，我们得到limt→0+η（T）uT（z，zT）=x（1）- 4u+3u）y- （2u）-3u）yT- 6ρu（1）-u） x特别是即使在z=zT的情况下，渐近桥也不会静止（除了ify=0），sincelimT→0+η（T）uT（z，z）=x（1）- 6u+6u）y- 6ρu（1）-u） 十）.与引言中认可的符号约定类似，对于T>0和z，z∈ R、 设P（T）z，zbe过程z根据（42）演化的规律，以事件{z=z，ZT=z}为条件，考虑过程ξ（T）B（ξ（T）u）u∈[0,1]定义人： U∈ [0,1]，ξ（T）uB T ZT uUnder P（T）z，ZT这个过程是高斯过程，命题32可以看到固定z，z的情况∈ R、 asT变为0+，ξ（T）以概率（在P（T）z，z下）收敛于确定性轨迹φz，z，关于C（[0，1]，R]）上的一致范数。的确，limT→0+Tσ（T）uT（z，zT）=0甚至可以满足这种行为。

使用第2.2节中描述的线性时空变换，这个结果可以用定理6的形式重新描述。注释34在注释33之后，如果z=（x，y）和z=（x，y）是x=x，那么过程ξ（T）B（eξ（T）u）u∈[0,1]，定义如下： U∈ [0,1]，eξ（T）uB ZT uc在概率上（在P（T）z，z下）向确定性轨道e~nz，z，关于C（[0,1]，R]）上的一致范数收敛，其中 U∈ [0,1]，eаz，z（u）Bx（1）- 4u+3u）y- （2u）- 3u）y- 6ρu（1）-u） x使用第2.2小节中描述的线性时空变换，该结果也可以在引言的原始设置中重写。4.2持续率上限的概率证明（42）相关的扩散桥的先前发展使我们能够检索到P（τ）的下限≥ t） ，用于（13）中定义的τ。提案35（i）Let（Zt）t≥0是（42）的ρ的解≥ 0.对于κ≥ 1，设Hκ={（x，y），y<κx}。然后，对于任何正ρ，都存在一个常数∧>0，使得对于任何ρ∈ [0，ρ]κ≥ 3ρ和任意z∈ Hκ，可以找到一个常数C（取决于zas以及参数ρ和κ），例如pz（τHκ≥ （t）≥ C经验(-λt），t>0。（ii）设（Zt）为（7）的解。存在∧>0，如果0<2a≤ b、 我们每个人都有∈ D={（x，y），x>0}Pz（τ）≥ （t）≥ C经验(-λωt），t>0，其中ω=pab- a/4和C是一个依赖于z、a、b和C的常数。注36可能更精确，同样的证明表明，对于所有ε，ε>0，可以找到相应的λ（ε，ε）>0，这样（i）满足如果κ≥ 3(1 + ε)ρ/2, κ ≥ ε和ifeλ替换为λ（ε，ε）（常数C也必须依赖于ε和ε）。因此，在（ii）条件b中≥ 2a可以用b代替≥ （5/4+ε）a的价格必须取决于ε>0。但我们认为，即使这些结果也不是最优的（例如。

人们可能希望（ii）中的条件b>（1/4+ε）a，所以我们不会详细介绍它们。提案35只是说明了如何进一步利用这些桥梁。证明（i）证明分为三个步骤。在第一个例子中，我们展示了我们可以构建一个Hκ子集，其中与（42）相关的任何桥，从S开始和结束（在时间T变小时），都很有可能保持在Hκ中。然后，在第二个例子中，我们使用了一个与命题15的证明中使用的马尔可夫类型参数相近的马尔可夫类型参数，当（Zt）t的起点≥最后，我们将结果推广到Hκ中的任何初始点。第一步。infz，z的下界∈SP（T）z，z（τHκ>T）对于特定的T>0。设z=（x，y）和zT=（xT，yT）属于R。分别用ηuT（z，zT）和ηuT（z，zT）表示η（T）uT（z，zT）的第一坐标和第二坐标。首先，根据命题32（以及它的证明中描述的更精确的展开式）和（46）和（47），我们检查ηuT（z，zT）=x+（xT）- x） （3u）- 2u）+ γ（z，zT，T）（48）和ηuT（z，zT）=6u（1- u） （十）- xT）T+2ρu（1）-u） （（2）-u） x+（1+u）xT）+γ（z，zT，T）（49），其中γ和γ满足：存在T>0和一个正常数C，使得每T∈ （0，T]，对于任何zand Zt和任何ρ∈ [0，ρ]（由于（46）和（47）中的O（T）相对于R+的紧致集合中的ρ的一致性|γ（z，zT，T）|≤ C（|z |+|zT |）T和|γ（z，zT，T）|≤ C（|y |+| yT |+（|z |+| zT |）T）。第二，根据[1]中的定理V.5.3（应用于α=1和K=T），存在一个普适常数，使得T≥ 0, H≥ 1，P（T）z，zTsupu∈[0，T]| ZuT- η（T）uT（z，zT）|>h！≤ 总经验-h2′σT式中，σT=supu∈[0,1]|（σ（T）uT）1,1 |+supu∈[0,1]|（σ（T）uT）2,2 |。根据32号提案，每∈ [0,1]，σ（T）uT（z，zT）→ 0作为T→ 0.请注意，这种收敛在zand Ztd中是一致的，因为协方差矩阵不依赖于它们。

由（45）可知，在u中的收敛性似乎也是一致的，并且对ρ中σ（T）（uT）的依赖性进行了更精确的研究，实际上，对于每一个ρ>0，supρ∈[0，ρ]，z，zT∈R′σTT→0---→ 0.用h应用上一个不等式=√σT，我们推断存在T∈ （0，T）每T∈ （0，T），每z，zT∈ 兰德每ρ∈ [0，ρ]，P（T）z，zTsupu∈[0，T]| ZuT- η（T）uT（z，zT）|≤√σT！≥.现在我们将构建一个盒子S=[1，1+h]×[-h、 h]（其中为正数）存在正T，因此当（z，zT）∈ S、 平均η（T）uT（z，zT）停留在大于Hκ边界1的位置。检查R的一个点（x，y）从（x，y）到边界的距离Hκ等于|κx- y|/√κ+1，因此我们需要找到h，手按顺序排列∈信孚∈[0,1]κηuT- ηuT>pκ+1√σT≥√2κ√σT.（50）注意，T，hand h将取决于ρ，但不取决于ρ∈ [0，ρ]和κ≥ 1κ≥ 3ρ.利用（48）和（49），我们得到存在C>0，使得对于每个ρ∈ [0，ρ]，对于每个∈ （0，T]和每（z，zT）∈ SηuT≥ 1.- C（1+h+h）T和ηuT≤2Th+3ρ+Ch+C（1+h+h）T.（51）式（51）表明只要κ-3ρ- C（h+h）（1+κ）T-第二- Ch>√2κ√σT.考虑到κ≥ 1和κ≥ 3ρ，如果>2C（h+h）T+2Th+Ch，则满足上述不等式+√√σT.（52）不再依赖于κ的关系。我们现在可以设置例如hB Tand hB Tand choose T∈ （0，T]足够小，以至于（52）是满意的。因此，子集=[1，1+h]×[-h、 hκ的h]对于每一ρ∈ [0，ρ]和κ≥ 1κ≥ 3ρ，wehavenfz，z∈SP（T）z，z（τHκ>T）≥. （53）第2步。z时Pz（τHκ>t）的下界∈ 我们考虑时间T>0和子集=[1,1+h]×的情况[-h、 h]的hκ（仅取决于ρ），其中（53）适用。

每≥ 1，wehavePz（τHκ>`T，Z`T∈ （S）≥Pz（τHκ>`T，Z`T∈ S|τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S） Pz（τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S） 。根据马尔可夫性质，Pz（τHκ>`T，Z`T∈ S|τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S） =ZH（z）uz(`-1） T（dz）在哪里 Z∈ S、 H（z）bpz（ZT）∈ S） ZSP（T）z，z（τHκ>T）uz，T（dz）。和uz(`-1） 这是Z的条件定律（在Pz下）(`-1） Ton{τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S} 。由于（53）和uz的支持`-1） 包括在S中，我们得到p（τHκ>`T，Z`T）∈ （S）≥ P（τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S） 带：=infz∈SPz（ZT）∈ S） 。注意，对于T>0，转变密度R3 z7→ fz，T（z）BdPz（ZT）∈dz）dz是关于（z，z）的正的和连续的∈ （R） 。因此，通过S的紧性，系数是正的。此外，它在满足命题35条件的κ、ρ上是一致的（但先验取决于ρ，就像T和S一样）。那么，因为对于所有的t>0，Pz（τHκ>t）≥ Pz（τHκ>kTT，ZkTT）∈ S） ，式中，kT=bt/tc+1，我们从一个归纳式推导出，对于每个z∈ S、 Pz（τHκ>t）≥ kT≥ C经验(-λt），其中∧λ=-对数（）/T（仅取决于ρ）。第三步。z时Pz（τHκ>t）的下界∈ Hκ。这一步的思想与命题25（ii）的证明是相同的。更准确地说，将上面得到的下限扩展到anyz=（x，y）∈ Hκ（直到一个常数C，该常数取决于z），它足以建立一个可控的区域（z~n（t））t≥0使得zа（0）=z，zа（t）属于S，并且使得zа（t）∈ 每个人的Hκ∈ [0，t]。由于引理27（ii），考虑y=0的情况就足够了。我们相继治疗了x病例≤ 1和x≥ 1+h.如果x≤ 1，其思想是连接自由动力系统路径的一个点，该点通过zS=（1+h/2，0）。更准确地说，通过引理27（ii），我们知道解（x（t），y（t））t≥0到自由动力系统，从（0，-（1+h/2）eρπ）在时间π/2通过Z，C={（x（t），y（t）），0<t<π/2}是包含在（0+∞) ×(-（1+h/2）eρπ，0）。

它仍然是连接C点（不排除Hκ）。这可以用引理27（i）和v=-（1+h/2）eρπ。假设现在x≥ 1+h。在ρ>0和ρ=0的情况下，构造略有不同（根据命题35的假设，排除了ρ<0的情况）。如果ρ>0，我们通过以受控轨迹穿过[z，zS]段来连接zS。集合（x（t），y（t））t≥0=（xe）-ρt，0）t≥0.这个轨迹可以看作是从zof开始的解（˙x（t）=-ρx（t）- y（t）˙y（t）=-ρy（t）+x（t）+~n（t）带洎（t）=-x（t）。因此，这是一条受控轨迹，在一段时间内明显穿过[z，zS]。最后，如果ρ=0，我们加入一个点z=（x，-h/2）使用引理27（i）。如果x≤ 1.我们只考虑第一种情况。所以我们可以假设x≥ 1+手我们加入点zS=（1+h/2，-h/2）通过用受控轨迹（更精确地说，（x）穿过段[z，~zS]）- ht/2，-h/2）t≥0是一条受控轨迹）。这就结束了（i）的证明。（ii）根据推论13，存在α使得（^Zt）t≥0B√ωαP-1vZtωT≥0是（25）的解。提醒一下τ=inf{t>0，<（Zt）<0}，对于R的子集C，设置τ^ZC=inf{t>0，^Zt∈ 抄送}。与命题29的证明类似，我们检查每个z∈ {（u，v），u>0}，Pz（τ>t）=P^z（τ^ZHκ>ωt），其中ω=pab- a/4，κ=ω（b-a） Hκ={（u，v），v<κu}和^z属于Hκ。结果如下：应用该命题的第一部分，ρ=a/（2ω）。事实上，假设κ≥ 3ρ等于b≥ 2a。对于另一种情况，κ≥ 1，考虑到ω<√ab，b就足够了- a/2≥√ab，娜米莉芭≥1+√请注意1+√≤ 2.5模拟和统计考虑在本节中，我们将简要地关注一些与控制（1）轨迹解的实参数估计有关的统计问题。

我们表示未知的底层参数（a*, B*, C*) 并旨在开发这些参数的统计估计方法。我们还对过程的平均时间（Xt）t感兴趣≥0返回平衡价格。当c*很小，可以证明这样的平均时间接近T*/2（关于随机动力系统的小噪声渐近性，见[11]和[2]的结果），其中*是与模型相关的确定性过程的周期：T*:=2πω*ω在哪里*:=拉*（b）*-A.*). （54）有点滥用语言，T*然后将被称为伪周期的过程。很自然地，人们会怀疑它是否足以进行第一次估算（a*, B*) 然后，将这些估计（^a，^b）插入上面给出的分析公式。我们将在下一段中描述如何使用最大似然估计来近似（a）*, B*). 然后，一项简短的模拟研究显示，从插入（54）的值（^aML，^bML）得出的伪周期^T的估计器表现出截然不同的行为。当c很小时，我们将这种估计与从X=0级的命中次数得出的更自然的估计进行比较，并表明在某些情况下，最后一种估计可以更好地恢复T*. 在我们的简短研究中，我们假设这个过程从平衡点开始，即X=0。这一假设略微简化了下文推导的主题。5.1参数a的最大似然估计*b*统计设置在本段中，我们首先详细说明了表示（a）的实参数的最大似然估计的计算*, B*) 当你观察价格X在0到T之间的整个轨迹时。

这当然是对真实统计问题的理想化和戏剧性的简化，因为在实际情况下，我们只能处理离散观测网格（k）中的一些X值)0≤K≤t/.即使 与观察时间长度相比，对于一些真正的统计应用来说，t是最重要的，我们简化了这项简短的研究，只考虑连续的观察时间。我们留下一个重要的问题，即两者之间的统计平衡 以及未来的工作。在这种情况下，很容易恢复参数c*通过考虑轨道的标准化二次变化（Xs）0≤s≤t、 c*=因此，在续集中，我们只考虑a的估计问题*b*我们假设c的知识*（为了方便起见，我们将其设为1）。为了估算（a）而改变测量公式*, B*), 我们只能处理进程x，因为Y依赖于未观测到的参数b*通过关系 T≥ 0，Yt=b*Ztexp（b）*（s）- t） ）dXs- B*Xt。对于（a，b）的任何选择∈ R+，我们认为 T≥ 0，Ybt=bZtexp（b（s- t） ）dXs- bXt，（55）andHa，bt=（b）- a） Xt+Ybt。在等式（55）中，Yb取决于增量dXs。一个简单的部分积分可以得到等价的表达式： s≥ 0，Ybs=e-英国电信-bZtebsXsds.Y=Yb的事实*遵循流程Y的定义。因此，（Xt）t≥0satis fiesdxt=Ha*,B*tdt+dBt。现在，我们可以应用Girsanov公式：如果我们用Pa表示*,B*根据这个过程的规律，我们得到了测量公式的变化：dPa*,B*dQ（X）=expZtHa*,B*s（Xs）dXs-ZtHa*,B*s（Xs）ds.最大似然给定任何轨迹X，我们可以定义参数（a，b）的对数似然如下：Lt（a，b）=ZtHa，bs（Xs）dXs-ZtHa，bs（Xs）ds。上述表达式可以使用部分积分进行修改。

然后我们得到“稳健”公式：Lt（a，b）=b- A.Xt- T+ XtYbt+ZtbXs+bXsYbs-h（b）- a） Xs+YBSID。（56）最大似然估计量正式定义为（^aMLt，^bMLt）：=arg max（a，b）∈R+Lt（a，b）。对于任何b≥ 0分，7分-→ Lt（a，b）是一个凹函数，因此是给定任意b的最佳值isab=b+RtXsYbsds+t-XtRtXsds。因此，通过最大化B7获得^bmlti-→ Lt（ab，b）。不幸的是，我们没有找到任何关于关系b 7的明确公式-→ Yb。因此，估计b*, 我们对b的最优值进行了详尽的数值研究，得到了^bMLt。5.2平均伪周期T的估计*有了命中时间策略，就有可能估计T*使用上面定义的最大似然估计量（^aMLt，^bMLt），并将其插入关系式（54）（该关系式仅适用于T*在高噪声水平下）^TMLt:=2πr^aMLt^bMLt- ^aMLt/4.当然，这个估计器能够很好地逼近T*高度依赖于（^aMLt，^bMLt）的无症状行为。我们将在下一节讨论与本研究相关的几个统计问题。我们还可以将^tmlt与一种更自然的方法进行比较，通过考虑（Xs）0的0级交叉时间序列来估计沿轨道的平均返回时间≤s≤t、 从这个角度来看，让我们考虑一下 > 0，并定义与轨迹（Xs）0关联的骨架链≤s≤t、 序列（τk）k≥0K和（rk）k≥0初始化为：τ：=0和r:=inf{s≥ τ| | Xs |≥ }并递归地构建如下：K≥ 0τk+1:=inf{s≥ rk |Xs=0}和rk+1:=inf{s≥ τk | | Xs |≥ }.当c*因为它很小，我们现在可以用这个结构定义一个非常自然的平均伪周期估计量。

如果我们设置Nt:=sup{k≥ 0 |τk≤ t} ，我们开始t:=2PNtk=1（τk+1- τk）Nt=2τNt- τNt。5.3统计性能和开放性问题建立^T的数值性能tand^TMLt，我们使用以下统计设置：在[0，T]上定义的几个轨迹在一些离散时间（tk）0上观察到≤K≤K.以恒定的步长对观测时间进行均匀采样 这样tk- tk-1= . 我们对我们的两个估计器在两种不同的渐近设置下的行为感兴趣：o高分辨率采样方案 -→ 0o长时间观察T-→ +∞.出于我们的目的，阈值是在多次运行估值器后根据经验确定的。应该仔细挑选，因为 是一个参数，该参数能够区分x=0的实际交叉点与布朗噪声执行的模型的自然波动性。因此，对 应与c中包含的噪声级有关*. 在我们的模拟中，我们选择了 = C*√. 我们使用N=10的蒙特卡罗模拟来获得^T的分配坦德尔特*.此外，我们使用了具有多个步长的随机微分方程的离散化版本。我们在图6中展示了^tmlts在几种大小的离散化步长下的性能 以及^T的表演图7。人们可能会立即注意到，步长 对^tmltt恢复能力有重要影响*虽然这个参数对估计量^T似乎不那么重要t、 模拟显示，较小的, ^TMLt的偏差越小。此外，估计值的方差主要由模拟的长度（时间t）决定。因此，对于固定的模拟步长，图6和图7表明使用^T似乎更好推断*.