投机泡沫的随机模型

什么时候可以让 7.-→ 0时，最大似然估计似乎更方便。我们简短地描述了几个与T的估计有关的问题*. 首先，在 以及t的影响，需要了解t的估算*使用MLE。这个问题可能需要仔细理解对数似然Lt定义的自然分数函数。我们的模拟往往表明(, （t）-→ (0, +∞) 应考虑获得最佳估计。第二，门槛的大小 在定义^T时虽然这对^T的能力有很大影响，但尚未从理论上对其进行研究很好地恢复*. 因此，也应该存在一个精确的渐近区域(, （t）-→ (0, +∞) 这可能允许获得statisticalreconstruction属性。最后一个结果应该通过仔细检查图6：T的估计得出*对于a=1、b=6、c=1的观测时间t，使用^tmltt。（左上角： = 10-2，c=1，右上角： = 5.10-3，左下角： = 10-3，右下角： = 5.10-4).（Xt）t花费的当地时间≥0级左右（到fix）) 以及使用定理4可以得到的撞击时间的集中率。最后，分析了T*以及（Xt）t所需的预期时间≥恢复到均衡价格仍然是个谜。我们只在小噪声渐近中确定了这种联系，尽管这种关系在T的更一般情况下似乎是正确的*, 一个理论上的证明是错误的。这三个问题远远超出了本研究的范围，我们将它们留给未来的研究。6结论本文提出了投机泡沫演化模型。动力学必须至少达到二阶，才能有机会显示这种现象典型的弱周期行为。

这第二个顺序是由正在考虑的过程加权其过去的演变来推断其未来行为的方式（在最近的过去增加/减少，有利于立即遵循相同的趋势）引起的。通过修改权重，可以以相同的方式获得所有阶（包括非整数阶）的动力学。在“微观层面”，后者与许多代理人为了推测未来进化而使用的向后时间窗口的分布有关。但我们把自己局限于二阶动力学：它是最简单的一种，在某种意义上，它模仿牛顿力学，也属于二阶力学，即直接影响加速度的力。一个主要的区别是噪声进入我们的建模，这是保持所研究系统的一些稳定性所必需的。然而，非正式地说，这种与运动物理定律的类比可以揭露房地产机构和大众媒体使用的一些误导性论点：他们主要通过对作用力进行清点来解释价格的演变。图7：对*使用^Tt关于a=1，b=6，c=1的观察时间t。（左上角： = 10-2，c=1，右上角： = 5.10-3，左下角： = 10-3，右下角： = 5.10-4).在住房市场中，如贷款利率、人口增长等（所有这些因素以及相反的杠杆作用都在我们的参数a中总结），忘记了演化方程的顺序（由参数b诱导）。

在天文学领域，我们可以观察到太阳和地球之间的主要相互作用是通过引力进行的，这样我们就可以得出结论，我们的星球很快就会落在太阳里。幸运的是，我们基本上被动力学定律的二阶所拯救，这使得地球能够绕太阳转！我们还假设平衡水平X=0的排斥力是线性的，在（1）中由dritf项导出-aXtat任意时间t。该漂移项模拟可能是非线性的经济扩张力。然而，我们的线性化可以被视为至少接近平衡状态X=0的一阶有效近似值。从数学的角度来看，我们主要关注的是均衡“价格”的回归时间，我们已经证明，它比放松均衡价格分布更集中。这一特征解释了典型轨迹的气泡/几乎周期性方面。我们在定理4中得到了这个浓度率的一些上界和下界。即使我们的下界和上界之间仍有大约10阶的差距，使用[7]中描述的Fleming-Viot类型算法进行的大量模拟（本文中未显示）也会导致λ（D）=log（2）πω的猜想。我们的框架的一个缺陷是，参数a、b和c被假定为与时间无关，这一假设在实践中肯定是错误的。我们的模型应该只适用于少数几个时期，一个更精确的建模将考虑a、b和c的时间不均匀性。这种扩展仍然是高斯的，但其研究超出了本文的范围。然而，从启发性的角度来看，让我们来考虑一下图8所示的1995年至2013年法国房价指数与每户可支配收入的关系。

考虑一下这张图片中显示的数量的对数，因为它是一个比率，而不是图8所示的差异：法国资产价格指数与可支配收入的弗里吉特曲线[12]。在介绍中被通缉。如果我们假设第1.1节中给出的推测模型可以应用于本案例，那么在1965-1998年间有效的系数a、b和c似乎与1998-2013年间的系数不同。为了简单起见，让我们假设c没有变化（分辨率太粗，无法检查），并将a、a、b分别称为a和b的值。a<a可以用以下事实来解释：在第二个时代，条件更利于购买，尤其是由于低利率。此外，人们可以说，互联网的出现可能改变了代理人在短期和长期内了解价格波动的范围。因此，它对b的影响是不明确的（重申1/b应该与向后时间窗口的平均长度成比例）。为了得到一个大致的想法，我们可以如下进行。让我们看看1965年、1999年和2008年的结核病。图8表明，在系数a和系数c之间有三个周期，在系数a和系数c之间有四分之一的周期（除非平衡价格本身发生了变化，2006年至2012年之间的演变被解释为一个新时代的一个周期和一半）。因此，1/ω和1/ω应分别与（t）成正比- t） /3和4（t）- t） 。由于我们不打算非常精确，让我们假设 那是乐队吗 b、 所以ω≈√ab，ω≈√阿班达布≈ χabwhereχB12（t）- t） t- T为了推导另一个等式，让我们相信遍历定理发生得非常快（过程的不可逆性允许）。

因此，根据备注9，我们将- tZttXsds≈ cb+a2a≈ cb2at- tZttXsds≈ cb+a2a≈ cb2a（更仔细地说，应该计算经验方差），它遵循thatba≈ eχB其中eχB（t- t） RttXsds（t- t） RTTXSDS可以在图8中进行数值计算。我们推断≈ χ5/3eχ1/3ab≈ χ2/3eχ1/3B从数值上，我们得到了χ2/3eχ1/3≈ 3.73>1，所以互联网的出现似乎促使人们更愿意利用最近的房地产市场趋势进行投机。最后，利用定理4中得到的下限，我们可以假设指数价格X在2017年（相当于约13%的年平均损失）之前达到均衡水平1（见图8）的概率至少为50%。因此，我们可以怀疑，房地产经纪人通常宣布的著名的“飞吻登陆”是否更有可能以崩盘告终。关于持续率我们的目标是证明准平稳分布及其持续率的存在，如注释5所述。它基于本附录中的一般考虑，因为它们不会导致（15）等明确的估计，从实践角度来看，这些估计比λ（D）的存在更重要。此外，这些先验界限将有助于后续的开发。回想一下D{（x，y）∈ R:x>0}然后让这就是它的边界。我们感兴趣的是LD，即（9）给出的微分算子L在D上的Dirichlet边界条件的实现D.从概率论的角度来看，它是按照以下方式构建的。对于任何一个z∈ R、 让（Zzt）t≥0是一个扩散过程，其演化由L决定，初始条件为ZZ=z。从z开始，（Zzt）t≥0可通过求解随机微分方程（7）获得，系数由（8）给出。

设τ为（13）定义的停止时间，即τB inf{t≥ 0:Zzt∈ D} 无论如何≥ 0，任意z∈ D和定义在D上的任何可测有界函数，考虑到pdt[f]（z）be[f（Zzt）1t<τ]（57）回想一下，u是L的不变高斯概率测度，用uDits restrictionto D表示。然后，pdtca可以扩展为L（uD）上的收缩算子。事实上，让ptb成为与L:any z关联的fulloperator∈ D和定义在R上的任何可测有界函数f，我们有Pt[f]（z）be[f（Zzt）]（58）因为μ对于Pt是不变的，对于定义在D上的任何可测有界函数f（假设它在D之外消失，可以将其视为rb上的函数），我们通过柯西-施瓦辛格等式，uD[（PDt[f]）得到≤ uD[PDt[f]]≤ uD[Pt[f]]≤ u[Pt[f]]=u[f]=uD[f]这个界限允许在L（uD）上延长PDTA的收缩。马尔可夫性质意味着（PDt）t≥0是一个半群，很容易在L（uD）中看到它是连续的。算子LDI被定义为这个半群的生成元（在Hille Yoshida意义上）：它的域D（LDT）是L（uD）的密度子空间，由函数f组成，使得（PDt[f）- f） /t在t变为0+时在L（uD）内收敛，并且通过定义极限为LD[f]。光谱-Ld允许最小元素（模数）λ（D）。这是一个正实数，本附录的主要目的是证明备注5中的断言是正确的。

Webegin通过更精确地描述λ（D）的存在性：命题37存在一个数λ（D）>0和两个函数*∈ D（劳工处）∩Tr≥1Lr（uD）\\{0}，在D上为正，因此ld[~n]=-λ（D）~nLD*[φ*] = -λ（D）~n*劳埃德在哪里*是LDin L（uD）的算子伴随。从本质上说，这个结果是Krein-Rutman定理的结果（这是Perron-Frobenius定理的一个有限版本，例如参见杜的论文[8]），而本征函数属于Lp（uD）而不是L（uD）的事实来自于下面Dirichlet半群的双曲性。严格的证明依赖于一个简单的关于算子PDtfort>0的内核的技术引理。为了验证它们的存在性，我们首先回到给定t>0时的pT：根据第2节的计算，这个运算符实际上是由内核给出的 Z∈ R F∈ L（u），Pt[f]（z）=Zpt（z，z）f（z）u（dz），其中 z、 z∈ R、 pt（z，z）Bsdet（∑）det（∑t）exp-（z）- （zt）*∑t（z）- zt）+（z）*∑z（59）对于ZTB exp（At），zIt很容易从（57）和（58）中得出结论，PDt也是如此：存在一个函数D（z，z）7→ pDt（z，z）≥ 0以至于 Z∈ D F∈ L（uD），PDt[f]（z）=ZpDt（z，z）f（z）u（dz）和 z、 z∈ D、 pDt（z，z）≤ pt（z，z）（60）基于D的亚椭圆度的更多定义参数，可以看到D上的映射是连续且正的。

我们现在可以陈述一个简单但关键的观察结果：引理38对于任何r>1，存在一个时间Tr>0，这样 T≥ Tr，Z（pDt（Z，Z））ruD（dz）uD（dz）<+∞根据（60）证明，证明z（pt（z，z））ru（dz）u（dz）<+∞这可以通过（59）和第2节中给出的exp（tA）∑和∑的显式计算得到。现在我们可以讨论命题37，我们首先用r=2的引理38来找到一些T>0，这样对于T≥ Twe-haveZ（pDt（z，z））uD（dz）uD（dz）<+∞这意味着Hilbert-Schmidt类的PDTI是一个紧算子。进一步注意，PDtis的光谱半径对所有t均为正值≥ 事实上，这个特征可以从定理4的第二个界推导出来，这意味着对于所有的z∈ D、 PDt[1D]（z）=Pz[τ>t]>0。因此我们可以应用Krein-Rutman定理（见Du[8]的定理1.1和1.2），其中抽象的Banach X空间应该是L（uD），锥K应该由L（uD）的非负元素组成：如果θt>0是PDt的谱半径，则存在正函数∈ L（uD）\\{0}使得Pt[~nt]=θtаt。该性质表征θ和θt（直到常数因子）：如果θ是正实数，如果∈ L（uD）是一个正函数，因此Pt[~n]=θ，然后是θ=θ，且а与аt成正比。这建议考虑重整化uD[аt]=1，以便唯一确定а（为正）。根据前面的性质，我们推导出≥ 等等∈ N、 ~nnt=~ntandθnt=θnt。事实上，需要注意的是，Pdnt[~nt]=（PDt）n[~nt]=θnt~ntWe可以推导出任何r∈ Q∩ [1, +∞), νTr=~nTandθTr=θrT：用p，q写r=p/q∈ N并注意到，~nT=~npT=~nqrT=~nrta和类似的θpT=θqrT=θpT。让我们定义φB PDTφT=θTφT。由于T>0且PDT（L（uD））包含在LD的域中，我们有∈ D（LD）。

此外，根据L（uD）中的Hille-Yoshida一般理论，limt→0+PDT+t[~nt]- PDT[~nT]T=LD[PT[~nT]]因此考虑了具有qt形式的T∈ 当Q+为零时，我们推导出ld[~n]=limq∈Q、 Q→0+θq+1T- θTTqаT=θTln（θT）TаT=ln（θT）Tа仍需设置λ（D）=-ln（θT）/T。由于θ是收缩算子pt的谱范数，因此λ（D）≥ 0.定理4的第一个界可以检查λ（D）>0：从柯西-施瓦兹不等式，我们得到所有f∈ L（uD）和所有z∈ D、 （PDT[f]）（z）≤ PDT[f]（z）PDT[1D]（z）≤ PDT[f]（z）supz∈DPDT[1D]（z）由此得出uD[（PDT[f]）]≤ 苏普兹∈DPDT[1D]（z）uD[PDT[f]]≤ 苏普兹∈DPDT[1D]（z）uD[f]所以PDTsatis fiesθT的范数算子=PDTL（uD）→L（uD）≤ 苏普兹∈DPDT[1D]（z）=supz∈DPz[τ>T]（61），其本身严格小于1，以使T足够大。根据上述参数，我们得出λ（D）>0的结论。现在让我们检查一下∈Tr≥1Lr（uD），因为我们事先只知道∈ L（uD）=Tr∈[1,2]Lr（uD）。这是由于（PDt）t的夸张≥0.设r>2，相应的Tr>0，从而满足引理38的结论∈ L（uD）可以给出。Cauchy-Schwarz和H¨older不等式表明，对于所有的z∈ D和所有t≥ Tr，（PDt[f]（z））r=Zf（z）pDt（z，z）uD（dz）R≤Zf（z）uD（dz）RZ（pDt（Z，Z））uD（dz）R≤Zf（z）uD（dz）RZ（pDt（Z，Z））ruD（dz）将该界与uD（dz）积分，得出如下结论：Z（PDt[f]）rduDR≤Z（pDt（Z，Z））ruD（dz）uD（dz）RZf（z）uDdz）也就是说，PDT将L（uD）连续发送到Lr（uD）中。如果t的形式为Tq加q∈ Q∩ [1, +∞), 我们从φTq=PDTq[φTq]/θTq中得到，φ=φTq属于Lr（uD）。同样的参数也适用于伴随半群（PD）*t） t≥0

t>0的元素允许内核pD*这里 t>0， z、 z∈ D、 警察局*t（z，z）BuD（z）pDt（z，z）uD（z）=u（z）pDt（z，z）u（z）我们最终得到了相同的数量λ（D），因为对于任何t>0的运算符pDt和PD*它们具有相同的光谱半径。设νDbe为D上的概率测度，其中*/uD[~n*] 下一个结果显示了（14）的有效性：命题39概率测度νDis是LDD的准平稳分布，而下一个结果表明τ是以参数λ（D）的指数规律分布的。证明一个测试函数f∈ D（LD）被给予。我们计算所有t≥ 0,tνD[PDt[f]=νD[LDPDt[f]=uD[ν*LDPDt[f]]/uD[~n*]= uD[LD*[φ*]PDt[f]]/uD[~n*]= -λ（D）uD[[~n*]PDt[f]]/uD[~n*]= -λ（D）νD[PDt[f]]通过积分，可以得出νD[PDt[f]=exp(-λ（D）t）νD[f]至少对于f∈ D（LD），但通过通常的近似程序，这可以扩展到任何可测量且有界（或非负）的F。这意味着对于速率为λ（D）的LDM，ν是准平稳分布。特别是当f=1D时，我们得到pνD[τ>t]=νD[PDt[1D]=exp(-λ（D）t）νD[1D]=exp(-λ（D）t），相当于τ在PνD下以参数λ（D）的指数规律分布。界限（15）现在很容易推断。事实上，回顾在命题37的证明中，λ（D）根据θt的定义（以及可以选择任意大的事实），我们从定理4的第一个界得出λ（D）≥ ln（2）ω/π。定理4的第二个界m=νDgives表示λ（D）≤ 4.备注40νd是与LD相关的唯一准平稳概率测度吗？优先顺序必须小心，因为这对于通常的一维Ornstein-Uhlenbeck过程来说是错误的。