投机泡沫的随机模型

图2显示了过程（X）t的返回时间密度≥其均衡价格为。这些结果是使用大量蒙特卡罗模拟得到的。在图2中，人们可能会注意到，对于我们的气泡过程，恢复到平衡状态的时间的尾部比O-U过程的尾部小得多。O-U过程在X坐标上具有相同的不变度量，并且具有相同的注入随机性（即通过标准布朗运动）。本文的目的是量化这些行为。图2:Ornstein-Uhlenbeck过程和气泡过程返回时间的密度函数。O-U过程被设置为具有与气泡过程相同的不变度量和相同数量的注入随机性。1.2结果如前所述，由（1）驱动进化的过程X不是马尔可夫过程。然而，它离马尔可夫并不遥远：考虑过程yb（Yt）t≥0definedby T≥ 0，YtB bZtexp（b（s- t） ）dXs- BXT过程Z B（Zt）t≥0B（（Xt，Yt）*)T≥0（在哪里*代表转置操作）是马尔可夫的，其演化由简单的二维随机微分方程决定 T≥ 0，dZt=AZtdt+CDBT（7）从Z=0开始，其中BB- a 1-B-BC和BC（8） （7）的线性和初始条件是确定性的这一事实意味着在任何时候≥ 0的分布为高斯分布。正如将在下一节中检查的那样，这种分布在很大程度上收敛于t≥ 0到u，均值0的正态分布，其方差矩阵∑为正定义。因为马尔可夫过程Z是Feller，所以μ是Z的不变概率度量。

因为在方程中，只有一个与B相关联- a） x+y）十、- （bx+by）y+cx（9）为次椭圆（也意味着∑为正定义）。Z向平衡收敛的研究始于A的光谱分辨率。出现三种情况：o如果A>4b，A允许两个实本征值λ±B(-a±√A.- 4ab）/2.o如果a=4b，a类似于与特征值相关的2×2乔丹矩阵-a/2.o如果a<4b，a允许两个共轭复本征值λ±B(-a±i√4ab- a） /2。但在所有情况下，设l<0为特征值的最大实部，即l B-a+p（a）- 4ab）+（10）该量是μt的指数收敛速度，即Zt向μ的规律，在Lsense中：对于t>0，测量μt和μt到（μt，μ）BsZ之间的差异dutdu- 1.du（11）由于X是我们感兴趣的主要对象，让我们也用ν和νt分别表示u和ut的第一个边缘分布。提案3我们有限制→+∞tln（J（ut，u））=2l=limt→+∞tln（J（νt，ν））这些收敛可以扩展到其他差异度量，例如相对熵的平方根，或者扩展到Z的初始分布u，而不是0处的狄拉克度量，至少假设J（u，u）<+∞. 因此，如果我们观察大r>0的Xr/| l |，它几乎忘记了它是从0开始的，它的定律接近高斯分布，直到误差exp(-(1 + o（1） ）r）。然而，我们正在寻找的周期性特征只出现在a<4b时，因为它可以从非实特征值的存在中得出，这表明2π/ω是周期，其中ωBrab-a（12）在b a、 我们有ω 2 | l |：在接近平稳性之前，很多时段必须交替。这种现象经常出现在遍历马尔可夫过程的研究中，而遍历马尔可夫过程远不是可逆的。

在一个具有强烈恒定漂移（例如顺时针旋转）的圆上的差异。为了量化这种行为，我们感兴趣的是X的返回时间τ为零，这是在导言开始时给出的经济解释中的主要利益（与平衡松弛时间相反，这似乎在未来非常遥远）：τB inf{t≥ 0:Xt=0}（13）当然，假设Z=0不再相关，而是假设（X，Y）=（X，Y）∈ R*+在实践中，τ是通过一个时间偏移出现的：我们在时间s>0，这使得Xs>0，我们想知道未来X什么时候会回到平衡位置0。

据（Xs，Ys）所知，如果（x，y）是用（Xs，Ys）值初始化的，则返回之前剩余的时间与τ具有相同的规律。下一个结果表明，在普适因子下，τ的指数浓度率由1/ω给出，证实了当b a、 归零发生在过程达到平衡之前。定理4对于任何0<a<4b，c>0，x>0和y∈ R、 我们有p（x，y）[τ>t]≤ 2经验-ln（2）πωt.此外，如果（1）+√)A.≤ b、 存在数量（x，y）>0（除xandy外，还取决于参数a，b，c），因此 T≥ 0，P（x，y）[τ>t]≥ （x，y）exp(-4ωt）。更一般地说，对于任何初始分布mon D B{（x，y）∈ R:x>0}，我们可以关联aquantity（m） 以至于 T≥ 0，Pm[τ>t]≥ （m） 经验(-4ωt）。令人惊讶的是，我们发现下界比上界更难获得，而在不可逆的情况下，通常情况正好相反。注5：在第一个附录中，将显示准平稳概率ν和相关率λ（D）>0可与D关联：对ν的支持是D的闭包，在PνD下，τ作为参数λ（D）的指数随机变量分布： T≥ 0，PνD[τ≥ t] =exp(-λ（D）t）（14）在续集中，数量λ（D）将被称为D的持续率。当它被解释为作用于L（uD）时，它可以被视为在域D的边界上具有Dirichlet条件的底层马尔可夫生成器的最小特征值（以模为单位）。

然后，上述定理给出了λ（D）的上下界，基本上与ω成正比：至少对于0<（1）+√)A.≤ b、 ln（2）πω≤ λ（D）≤ 4ω（15）根据图2，从D上的其他初始分布开始，τ定律不再是指数的，然而我们相信对于任何（x，y）∈ D、 以下限制发生在Limt→+∞tln（Px，y[τ>t]）=-λ（D）获得这种收敛的困难源于欠考虑过程的不可逆性。在文献中，对可逆和椭圆情况的研究最为深入。关于准平稳性的一般参考文献，请参见《Collet，Martinez和San Martin》的书[6]，以及其中的参考书目。之前的结果为τ的大值提供了一个很好的图景，但是否有前兆信号表明τ将比预期短得多？事实上，我们不能错过它，因为在这种早熟归零的情况下，系统有很强的首次爆炸的倾向！为了给这个陈述一个严格的含义，我们需要介绍与Z相关的桥∈ RandT>0，用P（T）z表示，z过程的规律根据（7）演化，受事件{z=z，ZT=z}的制约。

注意，不难通过这个可忽略的集合进行条件化，因为从Z开始的过程Z是高斯的，并且zt定律是非退化的。对于固定的z，z∈ Rand T>0小，我们对ξ（T）B（ξ（T）T）T的行为感兴趣∈[0,1]，工艺定义如下： T∈ [0,1]，ξ（T）tB T ZT T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T→ 标准强度 T∈ [t，z]6ωbt（1）- t） （y）- y）（16） 其中z=（x，y）和z=（x，y）。定理6对于固定z，z∈ R、 当T变为0+时，ξ（T）以概率（在P（T）z，z下）收敛于确定性轨迹φz，z，关于C（[0，1]，R）上的一致范数。图3：在时间1/2和小时间1/10内，次椭圆桥从z到z的预期轨迹。左：z=z时不爆炸。中：z=z和z=6时爆炸。右：当=（z）=（z）和<（z）6=<（z）时不爆炸。特别是，如果z，z∈ 非常罕见，以至于<（z）>0，<（z）≤ 0和=（z）6=（z），桥（Zt）t∈[0，T]对于小的T>0，依赖于z以1/T的形式爆炸。从（16）中定义的z，zgiven，我们可以看到爆炸是在x方向，朝向+∞ 或-∞, 取决于=（z）的符号- =（z） ，如图3所示。备注7注意，当T→ 第4节中的0引出了P（τ>t）下界的概率证明（见命题35）。这个替代证明的好处在于，这种方法可能更直观。然而，我们无法按照这种方法提供一些显式常数。这篇论文是根据以下计划撰写的。在下一节中，我们将介绍Z的初步情况，特别是它的高斯特征，这使我们能够获得命题3。我们还将看到如何以更简单的形式参数化进程Z。第3节研究了（13）中定义的退出时间，得到了定理4。

第四节致力于桥梁的研究和定理6的证明。最后，我们在第5节中简要讨论了与ω.2初始值和简化估计有关的数值和统计问题。这一节包含了关于（7）所描述的Ornstein-Uhlenbeck扩散Z的一些基本结果，其系数由（8）给出。2.1高斯计算这里的主要目标是证明命题3。我们首先检查过程Z是否为高斯分布。事实上，考虑到所需的流程 T≥ 0，eZtB exp(-至少我们明白了 T≥ 0，deZt=exp(-在）(-AZtdt+dZt）=exp(-At）C dBtIt如下所示 T≥ 0，Zt=exp（At）Z+Ztexp（A）t- s） C dBs（17）=Ztexp（A（t）- s） 因为我们假设Z=0。在这个表达式中，对于任何t≥ 由∑tBZtexp（A（t））导出的均值0和方差矩阵∑t的Ztis-aGaussian分布规律- s） ）抄送*经验（A）*（t）- s） ）ds=Ztexp（As）CC*经验（A）*s） ds（18）对于a，b>0，a的特征值具有负实部，因此上述rhs随着t向对称正定义矩阵∑收敛。正如引言中所宣布的，均值0和方差∑的高斯分布u是进化的不变度量（7）。这是一个事实的结果，即基础半群是Fellerian（即，它保留有界连续函数的空间），从（17）中可以看出，对于任何固定t≥ 0.进一步注意，上述计算表明，对于任何初始Z定律，对于大t，ZT定律收敛于u，因为exp（At）zconverge几乎肯定接近于0。因此，u是与（7）相关联的唯一不变度量。为了得到上述方差的更明确的表达式，我们需要A的谱分解。

A的特征多项式为X+aX+ab，我们立即得到第1.2小节开头关于A的特征值的结果。让我们详细讨论A<4b的情况，这对我们来说是最有趣的：有两个共轭特征值，λ±=l±ωi，其中l=-a/2（见（10））和ω在（12）中定义。引理8如果a<4b，则存在两个角α∈ （π/2，3π/2）和β∈ [0，2π）使得对于任何≥ 0，∑t=R- 经验(-at）RTBC4AB- 阿巴2+pabcos（2β- α -2ωt）cos（cos）β+ba- α - 2ωt）ba（2 cos（β）+cos（β）- α - 2ωt）ba2+pabcos(-α - 2ωt）!作为t传递到极限→ +∞, 我们得到∑=Rand，我们更精确地推导出∑=c2aa+b-B-bb.根据矩阵A的第一行，我们推断与λ±相关的特征向量为（1，λ±A）-b）*.所以写4bλ-0 λ+男B1 1λ-+ A.-bλ++a-B我们有A=M4M-1.我在哪里-1=λ+- λ-λ++a-B-1.-λ-+ B-a 1考虑到（18），我们需要计算≥ 0，exp（As）CC*经验（A）*s） =M exp（s4）M-1CC*（M）*)-1exp（s4*)M*哪里*现在是共轭转置操作。直接计算得到λ+- λ-cM exp（s4）M-1C=σσBz exp（sλ）-) - \'z exp（sλ+）|z|（exp（sλ-) - exp（sλ+）其中z Bλ++a-b=a/2- b+iω和z:=a- b+λ-= a/2- B- 我ω。

所以我们得到了exp（As）CC*经验（A）*s） =c |λ+- λ-||σ|σσσσ|σ|=c4ω2 | z | e2ls- 2<（ze2λ）-s） 2<（z）e2ls- 2<（ze2λ）-s） 2<（z）e2ls- 2<（ze2λ）-s） 2 | z |（e2ls）- <（e2λ）-s） )将该表达式与s积分，我们首先得到任何t≥ 0，∑t=c4ω| z | e2lt-1l- <（ze2λ）-T-1λ-) <（z） e2lt-1l- <（ze2λ）-T-1λ-)<（z） e2lt-1l- <（ze2λ）-T-1λ-) |z |（e2lt）-1l- <（e2λ）-T-1λ-))!接下来，回想一下<（λ-) = <（λ+=l<0，∑：=limt→+∞∑t=c4ω-|z | l+<（zλ-) -<（z） l+<（zλ）-)-<（z） l+<（zλ）-) -|z |（l）- <(λ-))!因此，似乎 T≥ 0，∑t=- E-最后一项是由TBC4ω定义的正弦矩阵-|z | l+<（ze-2ωitλ-) -<（z） l+<（泽-2ωitλ-)-<（z） l+<（泽-2ωitλ-) -|z |（l）- <（e）-2ωitλ-))!注意，∑=R（这也可以从∑=0推导得出）。为了恢复引理陈述中给出的矩阵，我们注意到|λ-|= ab和| z |=b，所以存在角度α，β∈ [0，2π）使得λ-=√ab exp（iα）和z=b exp（iβ），因为<（λ-) < 0，我们有α∈ （π/2，3π/2），第一次公布的结果随即公布。关于∑的更显式计算，只需考虑cos（α）=-√A.√带sin（α）=-ω√abcos（β）=a- 2b2带sin（β）=ω带扩展矩阵xr=cb（4b- a） aB2+pabcos（2β- α)（2）cos（β）+cos（β）- α） ）（2 cos（β）+cos（β）- α） ）b2+pabcos（α）特别是备注9，似乎在很长一段时间内≥ 0，Xt在规律上收敛于方差c（b+a）/（2a）的中心高斯分布。我们需要另一种基本成分，在任何维度上都有效，关于功能性J定义（11）。引理10假设μ和eμ是Rd，d中的两个高斯分布≥ 1，平均值0和相应方差矩阵∑和∑，假设为正定义。

Ife∑-1.-Σ-1/2为正定义，wehaveJ（eu，u）=spdet（Id- （S）- 其中S B∑-1e∑- Id和J（eu，u）=+∞ 否则根据上述假设，我们有 十、∈ Rd，deudu（x）=sdet∑det∑exp-十、*（e∑-1.- Σ-1） x！因此，函数deudu属于L（u）（性质本身相当于J（eu，u）的唯一性），如果且仅当对称矩阵∑-1.- Σ-1+ Σ-1/2为正定义。在这种情况下，我们有deududu=det（e∑）det（e∑）sdet（（2e∑）-1.- Σ-1)-1） det（∑）=pdet（∑）det（e∑）qdet（e∑）det（（2Id）-Σ-1e∑）-1） =sdet（σ）det（e∑）pdet（（Id）- （S）-1） =pdet（Id+S）det（Id- S） 我们使用的是e∑=∑（Id+S）。需要注意的是，j（eu，u）=Z“deudu- 2deudu+1#du=Zdeududu- 1.仍然在4b>a的情况下，我们现在可以继续讨论命题3的顶部，鉴于引理8，我们想用∑=Rande∑=R应用引理10- 经验(-在）Rt，福特≥ 0.这相当于S B-经验(-at）R-1Rt，当t变为0时，矩阵以指数形式快速收敛到零+∞. 因此，对于足够大的t，e∑-1.- Σ-1/2为正定义，我们得到j（ut，u）=spdet（Id- （S）- 1考虑到矩阵R在t上一致有界∈ R+，一个针对大型t给定数据集（Id）的扩展- S） =q1- tr（S）+O（kSkHS）=1+tr（R）-1RtR-1Rt）经验(-2at）+O（exp(-4at））（其中k·khss代表希尔伯特-施密特范数，即矩阵项的平方和的平方根）。我们将能够得出结论→+∞tln（J（ut，u））=-a（19）如果我们能证明→+∞tr（R）-1RtR-1Rt）>0（20）（因为很明显，lim支持→+∞tr（R）-1RtR-1Rt）<+∞). 利用Ris是一个对称且正定义的矩阵这一事实，我们考虑t≥ 0，BRR-1/2RtR-1/2，这也是一个对称矩阵。自tr（R）-1RtR-1Rt）=tr（快速公交）=快速公交HS，这个量是非负的，并且只能在ifbRt或等效的Rt为空矩阵时消失。