投机泡沫的随机模型

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A stochastic model for speculative bubbles》
---
作者：
S\\\'ebastien Gadat, Laurent Miclo, Fabien Panloup
---
最新提交年份：
2013
---
英文摘要：
  This paper aims to provide a simple modelling of speculative bubbles and derive some quantitative properties of its dynamical evolution. Starting from a description of individual speculative behaviours, we build and study a second order Markov process, which after simple transformations can be viewed as a turning two-dimensional Gaussian process. Then, our main problem is to ob- tain some bounds for the persistence rate relative to the return time to a given price. In our main results, we prove with both spectral and probabilistic methods that this rate is almost proportional to the turning frequency {\\omega} of the model and provide some explicit bounds. In the continuity of this result, we build some estimators of {\\omega} and of the pseudo-period of the prices. At last, we end the paper by a proof of the quasi-stationary distribution of the process, as well as the existence of its persistence rate.
---
中文摘要：
本文旨在为投机泡沫提供一个简单的模型，并导出其动力学演化的一些定量性质。从描述个体的投机行为开始，我们建立并研究了一个二阶马尔可夫过程，经过简单的变换后，它可以被视为一个转向的二维高斯过程。然后，我们的主要问题是获得关于给定价格的返回时间的持续率的一些界。在我们的主要结果中，我们用谱方法和概率方法证明了这个速率几乎与模型的转动频率{\\omega}成正比，并给出了一些明确的界限。在这个结果的连续性中，我们建立了{\\omega}和价格伪周期的一些估计。最后，我们通过证明该过程的准平稳分布及其持续率的存在性来结束本文。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
--

---
PDF下载：
--> A_stochastic_model_for_speculative_bubbles.pdf (1.32 MB)

2022-5-5 00:21:41 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：随机模型 Quantitative Applications distribution Differential

投机性无泡的随机模型ebastien Gadat、Laurent Miclo和Fabien PanloupInstitut de Math’ematiques de Toulouse、UMR 5219 Universit de Toulouse和CNRS，Franciabstract本文旨在提供投机性泡沫的简单模型，并导出其动态演化的一些定量性质。从对个体投机行为的描述出发，我们建立并研究了一个二阶马尔可夫过程，经过简单的变换后，它可以被视为一个转向的二维高斯过程。然后，我们的主要问题是获得关于给定价格的返回时间的持续率的一些界。在我们的主要结果中，我们用谱方法和概率方法证明了这个速率几乎与模型的转动频率ω成正比，并给出了一些明确的界限。在这个结果的连续性中，我们建立了ω和价格伪周期的一些估计。最后，我们证明了该过程的准平稳分布及其持续率的存在性。关键词：投机泡沫；持续率；高斯过程；分流桥；统计过程。MSC2010：初级：60J70、35H10、60G15、35P15。1简介房地产等市场的价格演变是一个受欢迎的调查对象。本文的目的是提出一个随机模型，该模型同时具有足够简单的数学研究方法，并能解释由投机引起的周期性现象。当由于交易员或所有者的投机，资产价格超过资产基本价值时，人们通常会谈论金融泡沫。这些所有者希望将来以更高的价格转售资产。

历史上有很多著名的例子，比如荷兰图利马尼亚（1634-1637年）、密西西比泡沫（1718-1720年）或1929年崩盘前的“咆哮的20年代”。我们参考[13]了解历史泡沫的一般剩余部分。通过最近的一些事件，我们可以观察到这种现象确实存在。举个例子，想想2000年3月的互联网泡沫，它在达到天文高度后破裂，损失了超过75%的价值，还有美国（2000-2010年）或欧洲国家（西班牙、爱尔兰、法国……）遭遇的房地产泡沫（参见[16]或[12]）。关于投机泡沫存在大量文献，几乎不可能引用之前所有相关的大量著作。我们指出，我们在这里的目标不是详细描述一个足够灵活的通用模型，以考虑几个复杂的经济现实。然而，我们的方法是从数学角度提出一个非常简单的易处理模型：在我们的时间演化过程中，自然均衡价格被假定为0，我们不考虑任何通货膨胀或信贷紧缩[10]，也不存在任何联邦银行的调节作用[3]。最后，本文介绍的过程将是时间均匀的。根据Shiller[16]（另见[14]），投机泡沫的形成机制如下：“如果资产价格开始强劲上涨，一些投资者的成功会吸引公众关注，从而推动市场热情的传播：（通常，不太成熟的）投资者进入市场并抬高价格。这种“非理性繁荣”提高了对价格进一步上涨的预期，因为投资者将近期的价格走势推断到遥远的未来。

在流行文化中，市场的迅速崛起通常是通过一些看似合理的“新时代”理论来证明的，这些理论证明了对传统估值指标的抛弃。但泡沫本身就有毁灭的种子；如果价格开始下跌，悲观情绪可能会占据主导地位，导致一些投资者退出市场。价格下行引发了进一步下行的预期，很快，直到最终触底。”在前面的引文中，展示了两种现象：一方面，投资者倾向于遵循预测规则，即如果价格在过去（强烈）上涨，那么价格将上涨。另一方面，投资者的行为肯定具有自我强化的效果。在本文中，我们或多或少地假设市场的动态是由这两种现象决定的。然而，我们（必然）假设也存在一般的均值回复力，并且投资者的决策存在随机性。然后，当这些投资者的数量趋于一致时，我们得到的模型是所有投资者平均动态的极限（更多细节见下一段）。让我们也精确地指出，我们的设置对应于[4,18]中描述的对称信息范式下的所谓理性泡泡。在我们的框架中，我们对此类投机性市场中常见的周期性模式感兴趣，正如[9]所指出的，这是最重要的。我们确定，这些周期性现象与持续性问题有关，从经济角度来看，这也是一个重要的关注领域[4,5]。请注意，我们的模型也足够简单，可以想象用于估计几个关键参数的统计推断过程。

因此，即使我们的工作是出于概率动机，它也为测试气泡形成的统计程序提供了方法。这最后一个统计点在我们的论文最后进行了简短的讨论，似乎对未来的工作具有挑战性（一些数值结果表明，标准似然估计似乎不太适合接近这种模型中的未知参数）。最后，从经验上普遍观察到，气泡的破裂比气泡的形成要快。我们的模型可以推广到更复杂的环境中，使用混合记忆权重Γk，b和k，这样的爆发和形成的时间可能不同≥ 2（更多细节请参见NextPargraph）。1.1推测的建模让我们用X B（Xt）t来指定≥0一种商品相对于另一种商品的相对价格的时间演变。例如，它可能是某个特定城镇的房地产平均平方米价格与一盎司黄金价格或大量工作的平均工资之间的差异。让我们选择单位，这样，在很长一段时间内，这个相对价格的平均值为零。我们假设X的演化有三种机制：经济现实扮演着恢复力的角色，试图将X拉回零。至少在第一个近似值下，可以自然地假设该力是线性的，其速率将表示为大于0。-投机加剧了过去几次观察到的一种趋势。我们的假设是，过去影响的权重在时间上呈指数级快速下降，速率b>0。

观察时间窗口的典型长度由b给出-1.-不确定性由波动率c>0的布朗运动建模，这是一个传统的假设，由于函数中心极限定理，随机性来自许多不可预测和独立的小扰动。把这三个杠杆放在一起，我们得到了一个由随机微分方程描述的X的演化规律 T≥ 0，dXt=-aXtdt+bZtexp（b（s）- t） ）dXsdt+cdBt（1）假设最初X=0。因为布朗运动（Bt）t的存在≥0在r.h.s.中，X的轨迹与时间参数无关≥ 但是为了启发性的解释，让我们假设它们是，这样我们就可以考虑XtbDxTt。此外，假设时间的“起源”被选择为在它之前，X为零，也就是说，在上面的经济解释中，两种商品的价格在时间0之前的相对平衡点被捆绑在一起。这使我们能够为任何T定义Xt=Xt=0≤ 0.然后可以将（1）的r.h.s.的中间项重写为BZTExp（b（s- t） ）dXs=Z+∞Xt-某人经验(-bs）ds=E[Xt-σ] （2）其中σ作为参数b的指数变量分布，其中E代表关于σ的期望值（即不是关于X的随机性，相应的期望值将表示为E）。因此，考虑到过去的趋势，X有一个漂移，但由于指数权重，非常古老的趋势几乎被遗忘。事实上，由于E[σ]=b，比b阶时间早的趋势不会产生太大影响。方程（1）可以看作是由大量N预测的（相对）价格均值的极限演化∈ 投机者。假设每个代理n∈ JNK B{1，…，N}hash是由X（N）B（Xt（N））t指定的价格演变的自己的想法≥0

平均过程X B（\'Xt）t≥0定义为 T≥ 0，\'XtBNXn∈JNKXt（n）。为简单起见，我们如上所述假设所有这些过程也定义为负时间和负时间 T≤ 0,  N∈ JNK，Xt（n）=Xt=0。随时≥ 0，每个代理n∈ JNK可以访问整个过去的历史（`Xs）≤tof平均价格（例如，某个特定机构或网站发布的价格）。但为了处理这一丰富的信息，代理n选择了一个时间窗口长度Υ（n）>0，并计算出比率（`Xt）-\'\'Xt-Υ（n））/Υ（n）以决定目前的价格趋势。然后，他干涉说，这种趋势导致他通过术语（`Xt）对价格Xt（n）的估计出现微小的变化-\'Xt-Υ（n））/Υ（n）dt，推测增加（分别减少）的将继续增加（分别减少）。然而，和所有人一样，他也以a>0的比率经受住了经济现实的力量，这增加了一个术语-与他的预言一致。此外，他无法逃避生活中的变幻莫测，无论是好是坏，这些变幻莫测都会干扰他对微小增量c的评估√NdBt（n），其中B（n）B（Bt（n））t≥0是标准的布朗运动。因素√N乍一看似乎很奇怪，但它解释了一个事实，即随机事件的序列被大量人群放大。或者，可以说√NdBt（n）分解为pm∈JNKdBt（n，m），其中（Bt（n，m））t≥0代表n，m∈ JN K是独立的布朗运动，分别代表由mon n（包括一个自流（Bt（n，n））t引起的随机扰动≥0). 因此 T≥ 0，dXt（n）=-aXt（n）dt+Xt-\'Xt-Υ（n）Υ（n）dt+c√我们推断 T≥ 0，d\'Xt=-a\'Xtdt+NXn∈JNK\'Xt-\'Xt-Υ（n）Υ（n）dt+c√NXn∈让我们假设所有的Υ（n），对于n∈ JN K和所有的B（m），代表m∈ JNK是独立的。

第一个结果是过程“B=（”Bt）t≥0定义人 T≥ 0，\'BtB√NXn∈JNKBt（n）是标准的布朗运动。接下来，假设所有的Υ（n），n∈ JNK与随机变量Υ具有相同的定律，我们通过大数定律得到，几乎可以肯定，limN→∞NXn∈JNK\'Xt-\'\'Xt-Υ（n）Υ（n）=E\'\'Xt-\'\'Xt-ΥΥ式中，E代表仅关于Υ的期望。因此，如果Υ定律为 T≥ 0，EXt- Xt-ΥΥ= bZtexp（b（s）- t） dXs（3）几乎可以肯定关于轨道（Xs）s∈R.与可以做出的第一个猜测相反，对于任何连续半鞅X=（Xt）t，Υ不应根据参数b的指数定律分布：引理1∈Rwith Xt=0表示t≤ 0，（3）是满足的，如果Υ分布为伽马定律Γ2、转炉形状2和刻度b，即如果 T≥ 0，P[Υ∈ dt]=Γ2，b（dt）b bt exp(-通过X的连续性，可以有效地检查（3）对于任何固定t的几乎确定相等性≥ 0.那么表示exs=Xt- Xt-s、 对于s≥ 0，就是这样Xt- Xt-ΥΥ= bZ+∞Xt- Xt-sss exp(-bs）ds=bZ+∞eXsexp(-b）d X是半鞅这一事实使我们能够按部分积分，并找到bz+∞eXsexp(-bs）ds=-bheXsexp(-b）我+∞+ bZ+∞经验(-bs）指数=bZt-∞经验(-b（t）- s） ）dXs=bZtexp(-b（t）- s） ）dXs注释2相反，对于由（1）定义的过程X，对于t，Xt=0≤ （3）的有效性意味着（在可积性假设下）Υ的定律是伽马分布Γ2，b。实际上，用G表示Υ的分布，并假设r+∞s-1G（ds）<+∞. 然后，根据前面的结果，（3）读到T≥ 0，Z+∞Xt- Xt-ssG（ds）=Z+∞Xt- Xt-现在，让t>0。由于上述等式几乎肯定成立，因此根据Girsanov定理（参见[15]第8章），我们可以替换（Xs）s∈[0，t]乘以c乘以布朗运动（然后线性取c=1）。

然后，主要论点是支撑定理（参见[17]），该定理特别指出，对于每个正t和ε，对于每个C-函数φ：(-∞, [t]→ R上的φ（u）=0-,P（sups）∈[0，t]|Xs- |≤ ε) > 0. （5） 让~n成为这样一个函数。通过（4）和（5），我们得到对于每个正ε，Z+∞~n（t）- ~n（t）- s） s（G（ds）- Γ2，b（ds））≤ 2εR+∞s（G（ds）+Γ2，b）（ds），并且对于每一个在R上具有Γ（u）=0的C-函数-,Z+∞~n（t）- ~n（t）- s） sG（ds）=Z+∞~n（t）- ~n（t）- s） sΓ2，b（ds），（6）所有正t的结果均可用。表示r=Γ（t）和h（s）=Γ（t）- ~n（t）- s） 无论如何∈ [0，t]，我们得到了所有的r∈ R和所有c函数h:[0，t]→ R与h（0）=0，rZ+∞ts（G）- Γ2，b）（ds）+Zth（s）G- Γ2，bsds=0namelyZ+∞ts（G）- Γ2，b）（ds）=0，G和Γ2，b在（0，t）上，因为这对所有t>0都是真的，我们得到了（0+∞). 因为它们都是概率测度，它们不能仅在{0}上区分，所以G=Γ2，b。事实上，这个证明可以推广到鞅部分为非退化的任何连续半鞅。定律Γ2，与指数分布Γ1，bofσ在（2）中的指数下降率b相同。这两种分布之间最显著的差异是它们的行为接近于零：在Γ2，b下采样一个小值的可能性比在Γ1，b下采样的可能性小得多。此外，Γ2，b在其平均值1/b下比Γ1更集中于其平均值2/b，其各自的相对标准偏差分别为1/2和1。这些特性与之前的建模是兼容的：代理在过去很短的时间内查看X的当前趋势的可能性很小，代理使用的窗口长度的分散性可能不是很重要。

如果我们没有选择Γ2，b，而是选择伽马分布Γk，bof形状k和尺度b，带k，这些行为将被放大∈ N\\{1，2}，代表Υ的法则。这种情况下的有限演化由X[k]中的随机微分方程决定，该方程由 T≥ 0，dX[k]t=-aX[k]tdt+b（k）- 2)!Ztgb，k（t）- s） dX[k]sdt+cdBt（再次从X[k]=0开始），其中gb，kis是由gb定义的函数，k:R+3s7→ 经验(-bs）Xl∈J0，k-2K（bs）ll！（奇怪的是，r.h.s.与参数的泊松随机变量属于J0，k的概率一致。）- 2K）。对于k=2，我们恢复（1）和X[2]=X。随机过程X显然不是马尔可夫过程，但我们将在续集中看到，它是一个2阶马尔可夫过程：向X添加另一个实分量可以得到一个马尔可夫过程。可以更一般地表明，X[k]是k:k阶马尔科夫过程-1必须添加真实组件，使其成为马尔可夫过程。虽然这一观察为更好的建模提供了机会，但对k>2的X[k]的研究（以及对k的非整数值的扩展）将推迟到未来的论文中。在这里，我们将集中讨论X的性质，但在给出获得的结果之前，让我们在图1中给出X的一些模拟。图1：各种参数的几个轨迹（左上：a=1，b=5，c=1，右上：a=1，b=10，c=5，下：a=1，b=10，c=0）。一种周期性的结构出现了，就像在投机泡沫形成的实践中观察到的那样。过程X在回到平衡位置时表现出一定的规律性，这种趋势似乎只受到噪声的轻微干扰。轨迹的多样性显然不如传统的Ornstein-Ulhenbeck过程所经历的丰富，这表明围绕某些周期模式的轨迹定律是集中的。