随机波动率模型的鞅性质

这源于Girs-an-ov定理（第八章，Revuzand-Yor（1999）中的定理1.4），即关于FτnandeP（limn）的事实→∞τn=T∞) = 1.对于语句（2），在EP下，对于t<t∞eZt=exp-Zt∧ζb（Yu）dW（1）u+Zt∧ζb（Yu）du= 经验-Zt∧ζb（Yu）dW（1）u+Zt∧ζb（Yu）du-Zt∧ζb（Yu）du= E(-埃尔*t） 。现在，我们试图确定Y undereP满足的SDE。提议2.3。假设SDE（1）的条件（2）和（6）。在下面，例如-1 6ρ6 1，扩散满足以下SDE，直至ζdYt=（u（Yt）+ρb（Yt）σ（Yt））1t∈[0，ζ）dt+σ（Yt）1t∈[0，ζ）dfWt，Y=x.（13）证明。考虑（5）中的SDE系统，从Cholesky分解，dW（1）t=ρdWt+p1- ρdW（2）t，其中W和W（2）是P下的标准独立布朗运动。设计∈ [0，T]fWt:=（Wt-ρRtb（Yu）du，如果t<ζ，Wζ- ρRζb（Yu）du+eβt-ζ、 如果t>ζ，（14），其中eβ是与W无关的标准ep-布朗运动，eβ=0。定义ξn=ζ∧τn，其中τn=Rn∧然后考虑过程fw到ξn，因为Fξn Fτn，由命题2得出。1限制于Fξ的ep相对于限制于Fξn的toP是绝对连续的∈ N.然后根据Girsanov定理（第八章，第1.12节，Revuz and Yor（1999）第331页），fWt:=Wt- hWt，Ztb（Yu）dW（1）ui=Wt- hWt，ρZtb（Yu）dWui- hWt，p1- ρZtb（Yu）dW（2）ui=Wt- ρZtb（Yu）du，是t的aeP-布朗运动∈ [0，ξn）和n∈ N.很容易从结构（14）中看出，fw的有限维分布是[0，ξN]上EP下的布朗运动的有限维分布∈ [0，ξn）dYt=u（Yt）dt+σ（Yt）dfWt+ρb（Yt）dt= （u（Yt）+ρb（Yt）σ（Yt））dt+σ（Yt）dfWt，Y=x。（15）以下引理的结果表明ξn=ζ∧注册护士∧N→ ζ ∧T∞= ζ、 P-a.s.引理2.4。假设条件（2）和（6），然后ζ6 T∧ T∞, P-a.s.和P-a.s.证明。我们用矛盾的方法证明P（T）∧ T∞< ζ) = 0.

假设T∞< ζ具有正概率，因此对于某些t，P（t∞< t<ζ）>0。自从T∞< t、 P（Zt=∞) > 0.引理2。1，PZtb（Yu）du<∞, Zt=∞> 注意Zt=exp（Lt-hLit）=∞ 当且仅当Lt=∞. 根据Dambis-Dubins-Schwartz定理（Ch.V，定理1.6，Revuz and Yor（1999）），对于扩展概率空间上的一些布朗运动B，我们可以-hLit=hLit布里特利特-从布朗运动的连续性来看，P（hLit<∞, 书信电报-hLit=∞) = P（hLit<∞, BhLit=∞) = 0所以PZtb（Yu）du<∞, Zt=∞= PhLit<∞, 书信电报-hLit=∞= 0合同（16）。同样地，假设对于某些t，P（t<t<ζ）>0。然后P（Zt=0）>0，并且由于t<ζ，来自引理2。1，PZtb（Yu）du<∞, Zt=0> 控制外稃。3.因此我们证明了P（T∞< ζ） =P（T<ζ）=0。为了证明概率度量Ep下的类似陈述，请注意Ep是(Ohm, FR-) 这样，对于停止时间Rn，eP（ζ>T∧ Rn）=eP（{ζ>T∧ Rn}∩ {T∞> Rn}=EP[1{ζ>T∧Rn}ZRn]=0，因为{ζ>T∧Rn}是一个FRN可测量的事件。自P（ζ>T）以来，最后一个等式成立∧Rn）=0。然后通过单调收敛ep（ζ>T∧ T∞) = 画→∞eP（ζ>T）∧ Rn）=0。根据引理2.4和Ztin（4）的定义，在测度P和P:ζ=T<T下，几乎肯定只有三种可能性∞= T或ζ=T∞< T=T或ζ<T=T∞= T.为了验证T的EP[ZT]=1∈ [0, ∞], 命题2.1（3）中的等价条件可以转化为一个与Y在ep下的积分泛函有关的条件，如下面的命题所示。提议2.4。假设条件（2）和（6），以及∈ [0, ∞]. 对于统一鞅∈ [0，T]，即EP[ZT]=1，当且仅当ifePRT∧ζb（Yu）du<∞=1.Ruf（2013a）的定理1给出了多维微分的一般设置的类似结果。证据

根据命题2.1（3），我们有一个一致可积鞅满足EP[ZT]=1if且仅满足ifeP（T）∞> T）=eP0<inft∈[0，T]eZt= 1.但是根据命题2。2（2），根据测量EZT=E(-eLt）=exp-Zt∧ζb（Yu）dW（1）u+Zt∧ζb（Yu）du是一个连续的局部鞅，对于停止时间τ=T∧T∞∧ζ=T∧ζ、 通过外稃2。3，{eZτ>0}={Rτ∧ζb（Yu）du<∞}. 结果如下。备注2.2。从那时起RT∧ζb（Yu）du<∞= 林克→0EePhe-qRT∧ζb（Yu）是t的拉普拉斯变换式L（q）的右极限∧ζb（Yu）du在0下，根据测量（定义L（0）=1），我们有命题2的替代公式。4.ZT是[0，T]上的（一致可积）P鞅，即EP[ZT]=1，如果L（q）在0.3级上是正连续的，则L（q）是时间齐次微分积分泛函的收敛性质分类Engelbert-Schmidt零一定律最初在布朗运动情况下得到证明（见Engelbert and Schmidt（1981）或P-Proposition 3.6.27，卡拉扎斯和什里夫（1991）第216页）。Engelbert和Tittel（2002）得到了整体泛函Lrtf（Xs）ds的广义Engelbert-Schmidt型零一定律，其中f是非负Borel函数，X是强马尔可夫连续局部鞅。在一篇解释性论文中，米贾托维奇和乌鲁索夫（2012a）考虑了一维时间齐次扩散的情况，他们的理论2.11给出了零一定律。他们提供了两个证明，绕过了Jeu-lin引理的使用。崔（2014）通过《仓促时间》chan ge，在一个稍强的假设下提出了一个新的证明。回顾（7）中定义的标度函数s（·），并介绍以下orx测试函数∈\'J，带有常数c∈ J.v（x）：=Zxc（s（x）- s（y））s′（y）σ（y）dy，vb（x）：=Zxc（s（x）- s（y））2b（y）s′（y）σ（y）dy.（17）注意(∞) = ∞, 然后v(∞) = ∞ 和vb(∞) = ∞ 根据（17）中的定义。

定义es（·）、ev（·）和evb（·）同样基于SDE（13）和ereP。在本节中，我们假设λ（x∈ (l, r） ：b（x）>0）>0，这是在米贾托维奇和乌鲁索夫（2012a）中假设的。对于P下的SDE（1），我们有以下Engelbert-Schmidt型零一定律，其中Mijatovi\'c和Urusov（2012a）的定理2.11使用我们的符号表示f（·）=b（·）。提议3.1。（Engelbert-Schmidt时间齐次微分的零一型定律，Mijatovi\'c和Urusov（2012a）的定理2.11）第一个证明基于William定理（第七章，推论4.6，第317页，Revuz和Yor（1999））。第二个证明基于第一射线奈特定理（第十一章，定理2.2，第455页，Revuz和Yor（1999））。假设条件（2）、（6）和s（r）<∞ .（i） 如果vb（r）<∞, 然后，ζb（Yu）du<∞, P-a.s.{limt→ζYt=r}。（ii）如果vb（r）=∞, 然后rζb（Yu）du=∞, P-a.s.{limt→ζYt=r}。集{limt上的类似结果→ζYt=l} 可以类似地说。显然，上述命题与SDE（13）中的端点r和r对应l.以下结果是Karatzas and Shreve（1991）第345页上使用我们的符号的位置5.5.22。它将进程Y在其状态空间J的边界处的可能退出行为分类为P。提议3.2。（Karatzas和Shreve（1991）第5.5.22号提案）假设条件（2）。在非随机初始条件Y=x下，LetY是（1）在P下的弱解∈ J.区分四种情况：（a）如果(l) = -∞ 和s（r）=∞, P（ζ=∞) = P（sup06t）<∞Yt=r=P（inf06t）<∞Yt=l) = 1.（b）如果(l) > -∞ 和s（r）=∞, P（极限）→ζYt=l) = P（sup06t<ζYt<r）=1。（c） 如果是(l) = -∞ 和s（r）<∞, P（极限）→ζYt=r=P（inf06t<ζYt>l) = 1.（d）如果(l) > -∞ 和s（r）<∞, P（极限）→ζYt=l) = 1.- P（极限）→ζYt=r=s（r）-s（x）s（r）-s(l). 注意0<s（r）-s（x）s（r）-s(l)< 1.类似结果也适用于EP下的SDE（13）。备注3.1。

在上述条件（b）、（c）和（d）中，我们不对ζ的元素提出索赔。见Karatzas and Shreve（1991）第345页上的备注5.5.23。请注意，条件（b）和（c）是条件（d）中表达式的结果，其中s（r）=∞ 或者(l) = -∞ .与命题3中的陈述类似。2.为了研究时间齐次微分积分泛函的收敛或发散性质，我们在P下区分了以下四种穷举和不相交的情形：o情形（1）：s(l) = -∞, s（r）=∞.o 案例（2）：s(l) = -∞, s（r）<∞.o 案例（3）：s(l) > -∞, s（r）=∞.o 案例（4）：s(l) > -∞, s（r）<∞.根据vb（r）和vb的相似性，将上述每个病例进一步划分为以下su B病例(l) 如（17）所述：案例（2）（i）：s(l) = -∞, s（r）<∞, vb（r）=∞.案例（2）（ii）：s(l) = -∞, s（r）<∞, vb（r）<∞.案例（3）（i）：s(l) > -∞, s（r）=∞, vb(l) = ∞.案例（3）（ii）：s(l) > -∞, s（r）=∞, vb(l) < ∞.案例（4）（i）：s(l) > -∞, s（r）<∞, vb（r）=∞, vb(l) = ∞.案例（4）（ii）：s(l) > -∞, s（r）<∞, vb（r）<∞, vb(l) = ∞.案例（4）（iii）：s(l) > -∞ , s（r）<∞, vb（r）=∞, vb(l) < ∞.案例（4）（iv）：s(l) > -∞, s（r）<∞, vb（r）<∞, vb(l) < ∞.定义：t:=Ztb（Yu）du，（18）代表t∈ [0, ζ]. 回想一下，b（·）是一个非负Borel函数，因此对于t是一个非递减函数∈ [0, ζ]. 因为φ是一个积分，所以它对t是连续的∈ [0，ζ），且为左连续att=ζ。我们现在应用P下的Engelbert-Schmidt型零一定律，如命题3.1中所示，以确定P（ηζ<∞) = 1或P（ζ=∞) = 在上述每种情况下各1例。我们首先证明了引理。引理3.1。假设条件（2）和（6），然后是“vb(l) = ∞ 和vb（r）=∞” 对于P（ηζ=∞) = 1.证据。为了提高效率，假设vb（r）=∞ 和vb(l) = ∞ 考虑以下四种不同的情况：o情况（1）：s(l) = -∞, s（r）=∞. 从命题3开始。2（a），我们有P（ζ=∞) = 1.

这个，再加上外稃2。2意味着P（ζ=∞) = 1.案例（2）：s(l) = -∞, s（r）<∞. 来自命题3。2（c），P（limt）→ζYt=r=1。自VB（r）=∞, 从命题3开始。1 P（ηζ=∞) = P（ηζ=∞, 极限→ζYt=r）和命题3。2，P（ηζ=∞, 极限→ζYt=r）=P（limt→ζYt=r=1.o案例（3）：s(l) > -∞, s（r）=∞. 通过切换r-olesof，证明与上述情况（2）类似l 和r，并应用命题3.2（b）和命题3.1.o案例（4）：s(l) > -∞, s（r）<∞. 来自命题3。2（d），0<p=p（limt→ζYt=r）<1。自vb（r）=∞ 和vb(l) = ∞, 来自命题3。1P（ηζ=∞) = P（ηζ=∞, 极限→ζYt=r）+P（ηζ=∞, 极限→ζYt=l)= P（极限）→ζYt=r）+P（limt→ζYt=l) = 1.出于必要性，我们只需要证明相反的陈述：“如果(l) orvb（r）是有限的，那么P（ηζ=∞) < 1.“注意命题3的情况（a）。2在这里被排除，所以我们保证P（limt→ζYt=r）+P（limt→ζYt=l) = 1.在不丧失一般性的情况下，假设(l) < ∞, 因为案例vb（r）<∞ 同样可以证明。然后p（ηζ=∞) = P（ηζ=∞, 极限→ζYt=l) + P（ηζ=∞, 极限→ζYt=r=P（ζ=∞, 极限→ζYt=r）6 P（limt→ζYt=r），其中第二行从命题3开始。1，P（ηζ=∞, 极限→ζYt=l) = 0.s（r）有两种可能。如果s（r）=∞, 自从(l) > -∞, 我们有P（limt）→ζYt=r=0来自命题3。2（b）。或者，如果s（r）<∞, 既然也是(l) > -∞ 我们有3号道具。2（d），0<p=p（limt→ζYt=r）<1。在这两种情况下，P（limt→ζYt=r）<1，因此P（ηζ=∞) < 1.必要性随之而来。引理3.2。假设条件（2）和（6），以及(l) > -∞, s（r）<∞, 然后是“vb”(l) < ∞ 和Vb（r）<∞” 对于P（ηζ<∞) = 1.证据。和s(l) > - ∞ 和s（r）<∞, 表示p=p（极限→ζYt=r=1- P（极限）→ζYt=l).来自命题3。2（d），0<p<1。为了提高效率，假设vb(l) < ∞ 和vb（r）<∞ 持有

我们的目标是证明p（ηζ<∞) = 根据定义（18），式中φζ=Rζb（Yu）du。Cherny and Urusov（2006）第149页引理5.7是当前结果的一个片面版本，即“ifs”(l) = ∞ 和s（r）=∞（这意味着vb(l) = ∞ 和vb（r）=∞), 那么P（ηζ=∞) = 1.“Mijatovi\'c和Urusov（2012a）第61页的定理2.11给出了类似的结果。根据第3.1条的规定，P（ηζ<∞, 极限→ζYt=r）=P（limt→ζYt=r）和P（ηζ<∞, 极限→ζYt=l) = P（极限）→ζYt=l). ThenP（ηζ<∞) = P（ηζ<∞, 极限→ζYt=r）+P（ηζ<∞, 极限→ζYt=l)= P（极限）→ζYt=r）+P（limt→ζYt=l) = 1.出于必要性，我们只需要证明反正参数：“如果至少有一个(l) Vb（r）是有限的，那么P（ηζ<∞) < 1.“在不丧失一般性的情况下，假设vb（r）=∞, 因为这个案子(l) = ∞ 同样可以证明。从命题3开始。1，P（ηζ<∞, 极限→ζYt=r=0，和p（ηζ<∞) = P（ηζ<∞, 极限→ζYt=r）+P（ηζ<∞, 极限→ζYt=l)= P（ηζ<∞, 极限→ζYt=l)6 P（极限）→ζYt=l) < 1，来自命题3。2.因此，必要性随之而来。现在，我们对函数φt，t进行详细研究∈ [0，ζ]和er P使用En-gelbert-Schmidttype零一定律。理论3。1完全刻画了φt，t的收敛或发散性质∈ [0，ζ]，文献中的几个结果是它的片面版本：定理3。1（i）是引理2.1，在米贾托维奇和乌鲁索夫（2012c）第5页的等式（9）之后陈述和证明。Khoshnevisan、Salminen和Yor（2006）关于p年龄3的定理2为p（ηζ<∞) = 1，对应于定理3.1（ii）。然而，他们在证明中利用了随机时间变化及其引理，因此需要假设他们论文中定义的函数g（·）的二次可微性。

我们的证明基于米贾托维奇和乌鲁索夫（2012a）的恩格尔伯特-施密特零一型定律，我们较弱的假设涉及某些确定性函数的局部可积性。在这些假设下，米贾托维奇和乌鲁索夫（2012a）给出了与理论3相似的结果。1（ii）（在定理2.11中）。在一篇平行论文中，Engelbert和Tittel（2002）考虑了强马尔科夫连续局部鞅，并且范围更广。作为比较，他们的命题3.7给出了积分泛函收敛或发散的必要和充分条件，但在命题3.7中，假设过程X正好有一个吸收点，而在我们的设置和Mijatovi\'c和Uru-sov（2012a）的设置中，假设过程Y可以在任一边界被吸收l 或r.定理3.1。在条件（2）和（6）下，以下特性∈ [0，ζ]保持：（i）ηt<∞ P-a.s.{06t<ζ}。（ii）P（ηζ<∞) = 1当且仅当至少满足下列条件之一时：（a）vb（r）<∞ 和s(l) = -∞,（b） vb(l) < ∞ 和s（r）=∞,（c） vb（r）<∞ 和vb(l) < ∞.（iii）P（ηζ=∞) = 1当且仅当vb（r）=∞ 和vb(l) = ∞.Salminen和Yor（2006）给出了具有漂移的布朗运动的类似条件，Khoshnevisan、Salminen和Yor（2006）将其扩展到时间均匀的微分。我们在下面的表1中总结了定理3.1的结果。注意，P（ζ）<∞) =P（Z）∞> 0）通过取τ=∞ 在外稃2。3和表1中的最后两个colu MN。证据声明（i）来自Lemma2。o在每种情况下，如表1所示：(l) = -∞ 和s（r）=∞ 所以从外稃2开始。2，P（ηζ=∞) = 1.o在案例（2）中(l) = -∞ 和s（r）<∞ 命题3也是如此。2，P（极限）→ζYt=r=1。有两种可能的子类别。首先，在情况（2）（i）中，vb（r）<∞ 它来自外稃2。1该P（ζ=∞) = 1.

在案例（2）（ii）中，由于vb（r）<∞, 我们从引理3.1中得到了∞a、 美国在片场{limt→ζYt=r}。此外，从命题3。2，P（极限）→ζYt=r=1。因此P（ηζ<∞) = 1.o在第（3）种情况下(l) > -∞ 和s（r）=∞ 命题3也是如此。2，P（极限）→ζYt=l) = 1.有两种可能的子类别，但它们与（2）中的情况相反；案例（3）（i）与案例（2）（i）正好相反l 与r互换，同样，案例（3）（ii）与案例（2）（ii）正好相反，因此案例（2）中的p是有效的在案例（4）中：s(l) > -∞ 和s（r）<∞. 然后，根据命题3.2，1>p=p（limt→ζYt=r=1- P（极限）→ζYt=l) > 0.对于单个子类，在案例4（i）中，引理3。1表示P（ηζ）=∞) = 1.在第（4）（ii）种情况下，建议3。1意味着P（ζ=∞) < 1使P（ηζ<∞) > 0.引理3。2，我们有P（ηζ<∞) < 1.第（4）（iii）项与第（4）（ii）项完全相反lr互换了，所以用这个替代物，证明如下。最后，对于情况（4）（iv），P（ζ<∞) = 引理3.2的一个推论。因此，我们有三个不同的beh-aviers for P（νζ<∞) 如表1所示。接下来是表1的检查。案例s(l) s（r）vb(l) vb（r）P（ηζ<∞) P（Z）∞> 0)(1) -∞ ∞ ∞ ∞ 0（2）（i）-∞ < ∞ ∞ ∞ 二（0）-∞ < ∞ ∞ < ∞ 1 1（3）（i）>-∞ ∞ ∞ ∞ 0（ii）>-∞ ∞ < ∞ ∞ 1 1（4）（i）>-∞ < ∞ ∞ ∞ 0（ii）>-∞ < ∞ ∞ < ∞ (0, 1)*(0, 1)*（iii）>-∞ < ∞ < ∞ ∞ (0, 1)*(0, 1)*（iv）>-∞ < ∞ < ∞ < ∞ 1表1：表明股票价格的积极性和ζ的完整性的表格。

(*表明概率位于开放区间（0,1））。结果与理论3相似。1在EP下保持，结果总结在表2中。注意EP[Z∞] =eP（ηζ<∞) 来自命题2。表2中的倒数第二列和倒数第三列相等。凯斯(l) es（r）evb(l) evb（r）eP（ηζ<∞)EP（Z）∞) 集市。(1) -∞ ∞ ∞ ∞ 0<1第（2）（i）项-∞ < ∞ ∞ ∞ 0<1个（二）-∞ < ∞ ∞ < ∞ 1是（3）（i）>-∞ ∞ ∞ ∞ 0<1无（ii）>-∞ ∞ < ∞ ∞ 1是（4）（i）>-∞ < ∞ ∞ ∞ 0<1无（ii）>-∞ < ∞ ∞ < ∞ (0, 1)*< 1否（iii）>-∞ < ∞ < ∞ ∞ (0, 1)*< 1否（iv）>-∞ < ∞ < ∞ < ∞ 1.2：表示EP（Z）的表格∞) Z的一致可积性（*表明可能性在于开放区间（0，1））。以下结果为P（φζ）提供了必要和充分的条件∧T<∞) = 1号堡垒∈ (0, ∞).定理3.2。假设条件（2）和（6）。P（ηζ）∧T<∞) = PZζ∧肺结核（Yu）du<∞= 1对于所有T∈ (0, ∞) 当且仅当至少满足以下条件之一时：（a）v(l) = v（r）=∞,（b） vb（r）<∞ 和v(l) = ∞,（c） vb(l) < ∞ v（r）=∞,（d） vb（r）<∞ 和vb(l) < ∞.证据条件表明（{v(l) = ∞} 或{vb(l) < ∞}) 和（{v（r）=∞} 或{vb（r）<∞}) .对于给定的T<∞, 确定在={~nζ处发生的事件∧T<∞}, A={~nζ<∞} B={ζ<∞}.请注意，设置为∩ B形成一系列递减的集合（如T→ ∞ 通过一个可数集合）所以∩B） =A∩ B.因此，P（AT∩ B）↓ P（A）∩ B） 作为T→ ∞ . （19） 此外，从理论3。1（i），每T<∞ ,P（在∩B） =P（B）。（20） 我们希望找到所有T<P（AT）=1的必要和充分条件∞. 鉴于（19）和（20），这相当于条件p（AT∩ B） +P（B）=1表示所有的T或P（A）∩ B） +P（B）=1或P（B）∩ A） =0。（21）换句话说，我们寻求必要和充分的条件来确保P（ζ<∞, φζ= ∞) = 0.（22）我们首先展示了上述条件的有效性。