随机波动率模型的鞅性质

根据条件（a）和Feller的爆炸试验表明P（ζ<∞) = 0，因此（22）紧随其后。P（ηζ=∞) = 表1的案例2（ii）、案例3（ii）或案例4（iv）中暗示了0。这些条件是下表3所示条件（b）、（c）和（d）的特殊情况。案例指表1（b）vb（r）中的案例∞ 和v(l) = ∞ s（r）<∞ 2（ii）、4（ii）、4（iv）（c）vb(l) < ∞ v（r）=∞ s(l) > -∞ 3（ii）、4（iii）、4（iv）（d）vb（r）<∞ 和vb(l) < ∞ s（r）<∞, s(l) > -∞ 4（iv）表3：效率案例的条件（b）、（c）和（d）与表1中案例的对应关系。在第4（ii）种情况下，即第五种情况下，仍需考虑第（22）种情况(l) = ∞ , s(l) > -∞, vb（r）<∞, s（r）<∞ 案例4（iii）中的d，即vb(l) < ∞, s(l) > -∞, v（r）=∞, s（r）<∞. 通过交换l 而r，首先要解决的问题是。根据第3.1条规定，ζ<∞ P-a、 在片场上极限→ζYt=rorP（ηζ=∞, 极限→ζYt=r=0。来自费勒的爆炸测试s，v(l) < ∞ 当且仅当P（ζ<∞, 极限→ζYt=l) > 0，在本例中也是如此(l) = ∞ impliesP（ζ<∞, 极限→ζYt=l) = 0.它遵循该p（ζ<∞, φζ= ∞) = P（ζ<∞, φζ= ∞, 极限→ζYt=l) + P（ζ<∞, φζ= ∞, 极限→ζYt=r）6 P（ζ<∞, 极限→ζYt=l) + P（ηζ=∞, 极限→ζYt=r=0。（23）出于必要性，我们希望给出相反的结果：如果{v(l) < ∞ d和vb(l) = ∞} 或{v（r）<∞ 和vb（r）=∞} （即两个边界中的至少一个，v为有限和v为有限），然后（22）失败，isP（ζ<∞, φζ= ∞) > 0.反阳性与表1中的情况2（i）、3（i）、4（i）、4（ii）、4（iii）一致，如以下表格4所示。表1{v中的反阳性病例(l) < ∞ } 和{vb(l) = ∞} s(l) > -∞ 与3（i）、4（i）、4（ii）{v（r）<∞} 和{vb（r）=∞} s（r）<∞ 符合2（i）、4（i）、4（iii）表4：阴性病例和表1中病例的两种情况之间的对应关系。当v(l) < ∞ , vb(l) = ∞, s(l) > -∞.

根据费勒的测试，v(l) < ∞意味着P（ζ<∞, 极限→ζYt=l) > 0和命题3。1.自从vb(l) = ∞, φζ= ∞ P-a、 s.在片场{limt→ζYt=l} andP（ζ<∞, φζ= ∞) > P（ζ<∞, φζ= ∞, 极限→ζYt=l) = P（ζ<∞, 极限→ζYt=l) > 0.第二种情况下的证据v（r）<∞, vb（r）=∞ 再次通过互换角色l 和r.与SDE（13）中定理3.2的陈述类似。4 Mijatovi\'c和Urusov中一些结果的推广在本节中，我们推广了Mijatovi\'c和Urusov（2012b，2012c）中的主要结果，并提供了新的无“分离时间”概念的统一结果。注意，Mijatovi\'c和Urusov（2012b，2012c）在ρ=1的情况下工作，我们将其推广到任意相关的情况。考虑（4）中定义的随机指数Z。下面的命题提供了zt成为所有T的P-鞅的必要和充分条件∈ (0, ∞), 什么时候-1 6 ρ 6 1. 注意，Mijatovi\'c和Urusov（2012c）中的定理2.1是以下命题的ρ=1的情况。提议4.1。假设条件（2）和（6），那么对于所有T∈ (0, ∞), EP[ZT]=1当且仅当以下（1）-（4）条件中的至少一个满足时：（1）ev(l) = ev（r）=∞,（2） evb（r）<∞ 和ev(l) = ∞,（3） evb(l) < ∞ 和ev（r）=∞,（4） evb（r）<∞ 和evb(l) < ∞.证据来自命题2。4.尽管如此∈ (0, ∞), EP[ZT]=1当且仅当ifeP（Rζ∧杜宇<∞) = 1.然后陈述来自定理3。2.应用toeP。对于Z是[0]上的一致可积P-鞅，我们有以下充分必要条件：，∞], 什么时候-1 6 ρ 6 1. 注意，Mijatovi\'c和Urusov（2012c）的定理2.3证明了以下命题的情况ρ=1。提议4.2。假设条件（2）和（6），然后EP[Z∞] = 1当且仅当至少有一个条件（A′）- 以下（D′）满足：（A′）b=0 A.e。

关于J关于Lebesgue测度，（B′）evb（r）<∞ 以及(l) = -∞,（C′）evb(l) < ∞ 和es（r）=∞,（D′）evb（r）<∞ 和evb(l) < ∞.证据根据命题2.4，EP[Z∞] = 1当且仅当ifeP（Rζb（Yu）du<∞) = 1.条件（A′）是一个简单的例子，很容易验证。从理论3。1应用toeP和分类表2，EP[Z]∞] = 1当且仅当（B′，（C′）或（D′）中至少有一个条件成立。在这里，我们将Mijatovi\'c和Urusov（2012b）中的一些结果推广到任意相关的情况，并提供了不含分离时间概念的新证明。准确地说，米亚托维奇和乌鲁索夫（2012b）的定理2.1是以下命题的ρ=1的情况。提案4.3。假设条件（2）和（6），然后f或所有T∈ (0, ∞), ZT>0 P-a.s.当且仅当以下（1）-（4）至少一个条件满足时：（1）v(l) = v（r）=∞,（2） vb（r）<∞ 和v(l) = ∞,（3） vb(l) < ∞ v（r）=∞,（4） vb（r）<∞ 和vb(l) < ∞.证据来自引理2.3，对于所有T∈ (0, ∞), ZT>0，P-a.s.当且仅当PRζ∧肺结核（Yu）du<∞=1.然后陈述来自定理3。2.请注意，Mijatovi\'c和Urusov（2012b）的定理2.3证明了以下g位置的情况ρ=1。提案4.4。假设函数u、σ和b满足Mijatovi\'c和Urusov（2012b）的条件（2.1）、（2.3）和（2.5）（本文中的等价条件（2）和（6）），并且假设Y是P下SDE（1）的（可能是爆炸性的）解，Z在（4）中定义，然后Z∞> 0，P-a.s.当且仅当以下（I）-（IV）至少一个条件满足时：（I）关于勒贝格测度，J上的b=0 a.e.（II）vb（r）<∞ 和s(l) = -∞,（三） vb(l) < ∞ 和s（r）=∞,（四） vb（r）<∞ 和vb(l) < ∞.证据条件（I）是一个微不足道的情况，很容易验证。来自艾玛2。3，Z∞> 0，P.a.s.当且仅当PRζb（Ys）ds<∞= 1.

然后根据定理3进行证明。1和表1中的分类。注意，当ρ=1时，Mijatovi\'c和Urusov（2012b）的定理2.5是以下命题的特例。提案4.5。假设函数u、σ和b满足Mijatovi`c和Urusov（2012b）的条件（2.1）、（2.3）和（2.5）（本文中的条件（2）和（6）等价），并且假设Y是P下SDE（1）的（可能是爆炸性的）解，Z在（4）中定义。然后Z∞= 0，P-a.s.当且仅当以下条件（i）和（ii）均满足时：（i）b对于Lebesgue测度不等于零(l, r），（ii）vb(l) = vb（r）=∞.证据条件（i）是一个微不足道的情况，很容易验证。引理2.3，Z∞= 0，P-a.s.仅当PRζb（Yu）du=∞= P（ηζ=∞) = 1.从理论上。1（iii），这相当于检查这里的条件（ii）。5个相关随机波动率模型的例子在本节中，我们将第4节中的结果应用于研究流行的相关随机波动率模型中（贴现）股价的鞅性质：命题4中的（停止）条件（1）-（4）。3不要依赖相关性ρ，这意味着（贴现）股价的正性不依赖于相关性。类似的评论也适用于立场4。4号提案和4.5号提案。等价地，我们可以假设无风险利率为零。赫斯顿、3/2、朔伊布勒·朱和赫尔白色模型。表14和表15.5.1中总结了本节末尾的结果。假设在概率测度P下，（相关）停止的赫斯顿随机波动率模型具有以下不同的动态CSDST=StpYtt∈[0，ζ）dW（1）t，S=1.dYt=k（θ）- Yt）1t∈[0，ζ）dt+ξpYtt∈[0，ζ）dWt，Y=x>0，（24），其中EP[dW（1）tdWt]=ρdt，-1 6 ρ 6 1, κ > 0, θ > 0, ξ > 0.

Y的自然状态空间isJ=(l, r） =（0，∞). ζ是过程Y从其状态空间J的可能退出时间。模型（24）属于（5）中考虑的一般随机波动率模型，u（x）=κ（θ）- x） ，σ（x）=ξ√x、 和b（x）=√x、 σ（x）=ξ√x6=0，x∈ J、 σ（x）=ξx∈ Lloc（J），u（x）σ（x）=κ（θ）-x） ξx∈ Lloc（J）和B（x）σ（x）=ξ∈ Lloc（J）满足。因此，条件（2）和（6）满足命题2。3.在EP下，差异满足以下SDEdYt=eκ（eθ- Yt）1t∈[0，ζ）dt+ξpYtt∈[0，ζ）dfWt，Y=x>0，其中eκ=κ- ρξ和θ=κθκ-ρξ.对于常数c∈ J、 SDE（1）和SDE（13）的标度函数分别为（x）=e2κcξc2κθξZxcy-2κθξe2κyξdy=CZxcy-αeβydy，es（x）=e2eκcξc2eκeθξZxcy-2eκeθξe2eκyξdy=CZxcy-αeγydy，（25）α=2κθξ，β=2κξ>0，γ=2κξ-2ρξ，常数项为C=e2κCξc2κθξ>0和C=e2κCξ-2ρcξc2κθξ>0。下面，我们有以下x的测试函数∈\'J，ev（x）=ξZxcRxyz-αeγzdzy1-αeγydy，evb（x）=ξZxcRxyz-αeγzdzy-αeγydy。提议5.1。对于Heston模型（24），基础股价（St）为06t<∞是真P-鞅。证据命题5.1的证明是基本的，详情见附录B.1。为了证明这一点，我们检查了命题4的条件。1：结果总结在表5中。根据表5和d提案4.1，（St）06t<∞) 是真P-鞅。波动性在到达边界0时停止。当2κθ>ξ（零是无法达到的）时，我们的模型与通常的赫斯顿模型一致。命题5。1与Andersen and Piterberg（2007）第34页命题2.5一致，另见备注4。德尔巴诺·罗林等人（2010年）第2052页。案例ev(l) ev（r）evb(l) evb（r）α>1∞ ∞ ∞ ∞α<1<∞ ∞ < ∞ ∞表5：赫斯顿模式5.2的第一个分类表。

对于Heston模型（24），基础股价（St）为06t6∞当且仅当ρξ6κ<ξ2θ。注意，为了得到UI鞅，必须违反Feller条件。证据命题的证明。2是基本的，详情见附录ix B.2。为了证明这一点，我们检查了命题4的条件。2：结果汇总在表6中。凯斯(l) es（r）ev(l) ev（r）evb(l) evb（r）α>1γ<0-∞ < ∞ ∞ ∞ ∞ ∞γ = 0 -∞ < ∞ ∞ ∞ ∞ ∞γ > 0 -∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞α = 1γ < 0-∞ < ∞ ∞ ∞ ∞ ∞γ = 0 -∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞γ > 0 -∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞α < 1γ < 0> -∞ < ∞ < ∞ ∞ < ∞ ∞γ = 0 > -∞ ∞ < ∞ ∞ < ∞ ∞γ > 0 > -∞ ∞ < ∞ ∞ < ∞ ∞表6:Heston模型的第二个分类表来自表6和提案4.2（St）06t6∞如果α=2κθξ<1，且γ=2（κ-ρξ）ξ>0，相当于ρξ6κ<ξ2θ。˙在P下，我们对stoppedHeston模型中股票价格的正性有以下结果。提议5.3。对于停止的Heston模型（24），（1）P（ST>0）=1对于所有T∈ (0, ∞),（2） P（S）∞> 0）=1当且仅当κ<ξ2θ。证据类似于命题5的证明。1和命题5.2将γ替换为β>0和Cby C，我们得到表7中的分类。案例(l) s（r）v(l) v（r）vb(l) vb（r）α>1-∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞α = 1 -∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞α < 1 > -∞ ∞ < ∞ ∞ < ∞ ∞表7:Heston模型的第三个分类表基于表7，从命题4.3和命题4.4中，我们获得了期望的结果。5.2 3/2随机波动率模型在P下，（相关的）3/2随机波动率模型具有以下独特的动态性St=StpYtt∈[0，ζ）dW（1）t，S=1，dYt=（ωYt）-θYt）1t∈[0，ζ）dt+ξYtt∈[0，ζ）dWt，Y=x>0，（26），其中EP[dW（1）tdWt]=ρdt，-1 6 ρ 6 1, ω > 0, ξ > 0, θ ∈ R.自然状态空间由J=(l, r） =（0，∞). ζ是进程Y从其状态空间J的可能退出时间。

模型（26）属于（5）中考虑的一般随机波动率模型，u（x）=ωx- θx，σ（x）=ξx3/2，和db（x）=√x、 C明显σ（x）=ξx3/26=0，x∈ J、 σ（x）=ξx∈ Lloc（J），u（x）σ（x）=ω-θxξx∈ Lloc（J），and b（x）σ（x）=ξx∈ Lloc（J）是满足的。因此，条件（2）和（6）是满足的。根据命题2.3，在EP下，差异为以下SDEdYt=（ωYt-eθYt）1t∈[0，ζ）dt+ξYtt∈[0，ζ）dfWt，Y=x>0，其中eθ=θ-ρξ. 对于常数c∈ J、 SDE（1）和SDE（13）的标度函数分别为（x）=bcaZxcyaexpdydy，es（x）=bceazxcyeexpdydy，x∈其中a=2θξ，b=exp-2ωcξ, d=2ωξ，ea=a-2ρξ. 由于s（·）和s（·）之间的唯一区别在于参数a和ea，EP下的分析与P下的分析类似，只是参数从a变为ea。我们只需要P下的结果。我们有以下测试函数sv（x）=ξZxcya+3expdyZxyzaexpdzdzdy，（28）vb（x）=ξZxcya+2expdyZxyzaexpdzdzdy.（29）引理5.1。ω>0时，满足以下性质。（i）a<-1.<==> v（r）<∞,（v） ea<-1.<==> ev（r）<∞.（二）A.∈ R、 vb（R）=∞,（六）ea∈ R、 evb（R）=∞.（三）A.∈ R、 五(l) = ∞,（七）ea∈ R、 电动汽车(l) = ∞.（四）A.∈ R、 vb(l) = ∞,（八）ea∈ R、 evb(l) = ∞.证据附录B.3中提供了详细说明。提议5.4。对于3/2模型（26），基础股价（St）为06t<∞是真P鞅当且仅当ξ- 2ρξ + 2θ > 0.卡尔和孙（2007）第110页定理3证明了效率。另见刘易斯（2000）。证据来自引理5.1和命题4.1，（St）06t<∞是真P-鞅当且仅当ifea>-1，相当于ξ- 经过一些模拟后，2ρξ+2θ>0。提议5.5。对于3/2模型（26），基础股价（St）为06t6∞不是一个统一的可积P-鞅。证据引理5.1中的所有ea∈ R、 evb（R）=∞ 和evb（l）=∞ 持有

来自提案4.2，（St）06t6∞不是一致可积的P-鞅。在P下，我们得到了以下关于3/2模型中股票价格正性的结果。提议5.6。对于3/2模型（26），（1）P（ST>0）=1表示所有T∈ (0, ∞) 当且仅当ξ+2θ>0，（2）P（S）∞> 0) < 1.证据类似于命题5的证明。4和命题5.5，ea替换为a，我们获得表8中的分类。根据第4.3号提案表8和第4.4号提案，weCasev(l) v（r）vb(l) vb（r）a<-1.∞ < ∞ ∞ ∞a>-1.∞ ∞ ∞ ∞表8：3/2模型的分类表具有预期的结果。请注意a>-1相当于ξ+2θ>0.5.3 Sch¨obel-Zhu随机波动率模型在P下，相关Sch¨ob el-Zhu随机波动率模型（见Sch¨ob el and Zhu（1999））可以用以下不同的动力学Sty=Styt描述：∈[0，ζ）dW（1）t，S=1，dYt=κ（θ）- Yt）1t∈[0，ζ）dt+γ1t∈[0，ζ）dWt，Y=x，（30），其中E[dW（1）tdWt]=ρdt，-1 6 ρ 6 1, κ > 0, θ > 0, γ > 0. 过程Y是一个OrnsteinUhlenbeck过程，这意味着它的自然状态空间是J=(l, r） =(-∞, ∞). ζ是过程Y从其状态空间J的可能退出时间。模型（30）属于（5）中考虑的一般随机波动率模型，u（x）=κ（θ）- x） ，σ（x）=γ，和b（x）=x。显然σ（x）=γ6=0，x∈ J、 那么σ（x）=γ∈ Lloc（J），u（x）σ（x）=κ（θ）-x） γ∈ Lloc（J），and b（x）σ（x）=xγ∈ Lloc（J）满足。因此，条件（2）和（6）满足命题2。3.在EP下，差异满足以下SDEdYt=（κθ- (κ - ργ）Yt）1t∈[0，ζ）dt+γ1t∈[0，ζ）dfWt，Y=x。这是Stein-Stein（1991）模型的相关版本。在Rheinl¨ander（2005）中，详细研究了该模型的最小熵马尔可夫测度，其命题3.1给出了一个必要且有效的条件，使得相关的随机指数是真鞅。

这里我们提供确定性标准。对于正常数c∈ J、 表示α=κ-ργ，分别计算SDE（1）和SDE（13）s（x）=Zxceκ（y）的标度函数-θ)-κ（c）-θ） γdy=CZxceκ（y-θ） γdy，es（x）=Zxceαy-2κθy+2κθc-αcγdy=CRxceα（y）-κθα）γdy，如果α6=0，CE-2κθcγ- E-2κθγx, 如果α=0，常数C=e-κ（c）-θ） /γ>0，C=e(-κθ/α+2κθc-α6=0时αc）/γ>0，α=0时常数=e2κθc/γγ2κθ>0。假设Sκ>0，eκ（y-θ） 对于任何y，γ>1∈ [c，x]，带c∈ J、 x∈\'J，然后s（r）=s(∞) = ∞ 始终保持不变，因此v（r）=v(∞) = ∞.提议5.7。对于Sch¨obel-Zhu模型（30），基础股价（St）为06t<∞是真鞅。证据我们现在检查位置4.1中的条件。对于右端点r，取决于α=κ的符号-ργ，我们得到以下分类(∞)(< ∞, 如果α6 0=∞, 如果α>0。详情见附录B。4.最重要的是，我们可以在表9中总结结果。凯斯(l) es（r）ev(l) ev（r）evb(l) evb（r）α6 0>-∞ < ∞ < ∞ ∞ < ∞ ∞α > 0 > -∞ ∞ < ∞ ∞ < ∞ ∞表9：命题4中Sch–ob el-Zhu模型的第一个分类表。1（3）、（St）06t<∞是真P-鞅。提议5.8。对于Sch¨obel Zhu模型（30），基本斯托克价格（St）为06t6∞是一致可积P-鞅当且仅当κ>ργ。证据从表9和第4.2条可知，（St）06t6∞是一致可积P-鞅当且仅当α>0，或等价κ>ργ。在P下，我们得到了关于Sch¨ob-Zhuel模型中股票价格正性的以下结果。提案5.9。对于Sch¨obel-Zhu模型（30），（1）P（ST>0）=1表示所有T∈ (0, ∞),（2） P（S）∞> 0) = 1.证据

类似于命题5的证明。7和命题5.8，α替换为κ>0，我们得到表10中给出的分类。案例s(l) s（r）v(l) v（r）vb(l) vb（r）α>0>-∞ ∞ < ∞ ∞ < ∞ ∞表10:Sch–ob el-Zhu模型的第二分类表5。4赫尔-怀特随机波动率模型在P下，相关的赫尔-怀特随机波动率模型（见赫尔和怀特（1987））可通过以下差异描述：∈[0，ζ）dW（1）t，S=1，dYt=uYtt∈[0，ζ）dt+σYtt∈[0，ζ）dWt，Y=x>0，（31），其中E[dW（1）tdWt]=ρdt，-1 6ρ6 1，u>0，σ>0。过程Y是一个几何布朗运动过程，这意味着其自然状态空间为J=(l, r） =（0，∞).ζ是过程Y从其状态空间J的可能退出时间。模型（31）属于（5）中考虑的一般随机波动率模型，其中u（x）=ux，σ（x）=σx，和b（x）=√x、 显然σ（x）=σx6=0，x∈ J、 σ（x）=σx∈ Lloc（J），u（x）σ（x）=μσx∈ Lloc（J）和B（x）σ（x）=σx∈ Lloc（J）满足，条件（2）和（6）满足命题2。3.在EP下，差异满足以下SDEdYt=（uYt+ρσYt）1t∈[0，ζ）dt+σYtt∈[0，ζ）dfWt，Y=x>0，（32）表示α=4σ-γ=4ρσ。对于常数c∈ J、 计算SDE（13）es（x）=Zxce的标度函数-Ryc2uu+2ρσu3/2σudy=CZxcy-α+1e-γ√伊迪，x∈\'J，（33）式中C=c2μσe4ρσ√cis是一个正常数。根据（17）中的定义和（33）中的标度函数ev（x）=Zxc2（es（x）- es（y））es′（y）eσ（y）dy=σZxcyα-3eγ√YZxyz-α+1e-γ√zdzdy，（34）andevb（x）=σZxcyα-1eγ√YZxyz-α+1e-γ√zdzdy.（35）提案5.10。对于赫尔-怀特模型（31），基础股价（St）为06t<∞是一个P-鞅当且仅当ρ6 0。命题5。10与Jourdain（2004）的定理1和命题2.5一致。，安德森和皮特堡（2007）第34页。证据我们区分了三种情况：（I）：u>σ，（II）：u=σ和（III）：u<σ。