随机波动率模型的鞅性质

结果汇总在表11中。详情见附录B.5。结果见表11，并结合命题4。1允许我们得出结论，如果（St）06t6T，T∈ (0, ∞) 是真P-鞅。对于2u/σ>1（α>1），（St）06t6T，T∈ (0, ∞) 当且仅当ev（r）=∞. 这相当于γ6 0，进一步相当于定义γ时的ρ6 0。当2u/σ=1（α=1）时，（St）06t6T，T∈ (0, ∞) 是真P鞅当且仅当ev（r）=∞, 相当于γ60，也就是ρ60。当2u/σ<1（α<1）时，（St）06t6T，T∈ (0, ∞) 当且仅当ev（r）=∞, 相当于γ60，也就是ρ60。案例ev(l) ev（r）evb(l) evb（r）（I）u>σγ6 0∞ ∞ ∞ ∞γ > 0 ∞ < ∞ ∞ ∞（II）u=σγ6 0∞ ∞ ∞ ∞γ > 0 ∞ < ∞ ∞ ∞（三） u<σγ6 0∞ ∞ < ∞ ∞γ > 0 ∞ < ∞ < ∞ ∞表11：船体白色模型5.11提案的第一个分类表。对于Hull White车型（31），其基本股价（St）为06t6∞当且仅当u<σ且ρ6 0。证据命题的证明。11要求与5.10提案相同的3个案例。结果汇总在表12中。详情见附录B.6。凯斯(l) es（r）ev(l) ev（r）evb(l) evb（r）（I）u>σγ>0-∞ < ∞ ∞ < ∞ ∞ ∞γ = 0 -∞ < ∞ ∞ ∞ ∞ ∞γ < 0 -∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞（II）u=σγ>0-∞ < ∞ ∞ < ∞ ∞ ∞γ = 0 -∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞γ < 0 -∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞（三） u<σγ>0>-∞ < ∞ ∞ < ∞ < ∞ ∞γ = 0 > -∞ ∞ ∞ ∞ < ∞ ∞γ < 0 > -∞ ∞ ∞ ∞ < ∞ ∞表12:Hull White模型的第二个分类表根据P，我们得出了以下关于Hull White模型中股票价格正性的结果。提案5.12。对于船体白色模型（31），（1）P（ST>0）=1对于所有T∈ (0, ∞),（2） P（S）∞> 0）=1当且仅当2σ<1。证据

与γ=0的命题5.10和命题5.11的证明类似，我们在表13中给出了分类。案例(l) s（r）v(l) v（r）vb(l) vb（r）（I）u>σ-∞ < ∞ ∞ ∞ ∞ ∞（II）u=σ-∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞（三） u<σ>-∞ ∞ ∞ ∞ < ∞ ∞表13:Hull White模型的第三个分类表从表13命题4.3和命题4.4中，我们得到了预期的结果。5.5示例总结表14和表15总结了第5节中获得的结果。在所有情况下，我们都要研究“停止”的价格过程，因为我们假设在这个阶段有两个吸收障碍l 和r.一致可积鞅的条件比（0，∞). 类似的评论也适用于立场的积极性∞, 其中0<T<∞.ModelTrue martin gale on（0，∞) [0]上的UI鞅，∞]Heston模型（24）在Feller条件下从不在Feller条件下κ>ξ2θρξ6κ<ξ2θ3/2模型（26）ξ+2θ>max（0，2ρξ）NeverSch–ob el-Zhu模型（30）总是在κ>ργ壳白模型（31）ρ6 0u<σ和ρ6 0表14：f或（一致可积）鞅的条件之和。模型正P-a.s.s∞正P-a.s.Heston模型（24）永远不会在Feller条件下κ<ξ2θ3/2模型（26）ξ+2θ>0 NeverSch–ob el-Zhu模型（30）永远都是Shull-White模型（31）永远u<σ表15：股票价格正性的条件总结。本文将Mijatovi′c和Urusov（2012b，2012c）关于资产价格（一致可积）鞅性质的一些结果从ρ=1推广到ρ=1-1 6ρ6 1，并提供了新的直接证明，而不使用“分离时间”的概念。我们还获得了时间齐次微分的永久泛函和上限积分泛函的收敛或发散的确定性准则。

给出了检验四个随机波动率模型（一致可积）鞅性质的显式确定性准则。未来的研究方向包括找到具有非零相关性的时变L’evy过程可触发性的必要和充分的确定性条件（Carr和Wu（2004）），其中本文考虑的时间齐次随机波动率模型是特例。参考Sanderse n，L.和V.Piterberg（2007）：“随机波动模型中的瞬间爆炸”，金融与随机，11,29-50。Bayraktar，E.，C.Kardaras和H.Xing（2012）：“随机波动率模型的估值方程”，暹罗金融数学杂志，3351-373。布兰切特，J。，和J.Ruf（2012）：“构造测量变化的弱收敛标准”，工作文件，可在Arxiv上获得：http://Arxiv。org/abs/1208。2606 .布莱、S和H。Engelbert（2009）：“关于与强马尔可夫连续局部鞅相关的指数局部鞅”，随机过程及其应用，1192859–2880。Carr，P.，T.Fisher，a n d J.Ruf（2014）：“关于爆炸性exchan gerates期权的对冲”，金融与随机，18115-144。Carr，P.和J.Sun（2007）：“随机波动下期权定价的新方法”，《衍生工具研究综述》，h，10，87–150。Carr，P.和L.Wu（2004）：“随时间变化的列维过程和期权定价”，金融经济学杂志，71113-141。切尼，A。，和A.S hiryaev（2001）：“关于布朗阶跃指数一致可积性的标准”，载于：最优控制和偏微分方程。为纪念艾伦·本苏桑60岁生日，第80-92页。Cherny，A.和M。

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正如Carr、Fisher和Ruf（2014）和F¨ollmer（1972）第156页所述，对于任何停车时间τ，我们定义Fτ：={A∈ FT|A∩{τ6t}∈ 全速飞行∈ [0，T]}和Fτ-:= σ（{A∩{τ>t}∈ FT|A∈ FTT∈ [0，T]∪F} ）。一般来说，非负随机变量用于获取集合[0，∞] 停止时间τ允许取集合[0]中的值，∞] ∪ 在一段时间内T>T。在特殊情况下，我们可以限制停车时间的范围。允许Ohm表示连续路径的空间ω：[0，∞) →带ω（0）的J∈ J.定义ζ（ω）：=inf{t∈ [0，T]：ω（T）6∈ J} 与公约 = T假设ω保持在l 或者r一旦命中它，即ω（ζ+s）=ω（ζ）f或集合{ζ<∞}. 允许Ohm表示连续路径的空间ω：[0，∞) → [0, ∞] ω（0）=1。正如Carr、Fisher和Ruf（2014）所述，定义所有人∈ N、 Ri:=inf{t∈ [0，T]：ω（T）>i}，和Si:=inf{T∈ [0，T]：ω（T）<i}。那么R:=limi↑∞李，S:=limi↑∞Siare分别是第一次命中时间的单位和零乘以ω，与常规inf = T.假设ω（R+s）=ω（R）对于{R<∞} 类似地ω（S+S）=ω（S）对于{S<∞}, 所以ω保持在零，或者一旦达到它就等于零。允许Ohm表示连续路径的空间ω：[0，∞) → R与ω（0）=0。同样地Ohm表示连续路径的空间ω：[0，∞) → R与ω（0）=0。标志Ohm =Qi=1Ohmiandω=（ω，ω，ω，ω）。正如卡尔、费希尔和联阵（2014）的附录B所述，我们要求{FRi-}我∈Nis是一个标准系统，见F¨ollmer（1972）的备注6.1.1，因此在命题证明2中。1，扩张定理V4。可以应用Parthasarathy（1967）的第1条，以及关于FR的任何概率度量-对FT上的概率度量进行了（可能不是唯一的）扩展。

这种规范过滤可以按照Carr、Fisher和Ru f（2014）的附录ix B构建。给定正则空间(Ohm, FT，（FT）t∈[0，T]），在（5）中的过程（Y，Z，W，W（1））分别对应于ω的四个分量，并且是ω的形式函数。我们假设过程Y，Z与过滤{Ft}t相适应∈[0，T]和W，W（1）一样，它们被假定为关于同一过滤的布朗运动。B在线补充：第5B节示例的证明。1 Heston模型证明中命题5.1的证明。我们首先建立以下引理。函数取值的连续性∞ 与往常一样，通过一个紧凑的定义：iflimt→tω（t）=∞, 那么ω在t引理B.1上是连续的。Z∞赛-αeγydy（<∞, 如果γ<0或γ=0，α>1=∞, 如果γ>0或γ=0，则c>0（36）Z的α6∞xy-αeγydy~-γx-αeγx，如果γ<0，则为x→ ∞, （37）Zxy-αeγydy（<∞, 如果α<1，=∞, 如果α>1。（38）Zxy-αeγydy~（x1）-αα-1，如果α>1，ln（x），如果α=1。作为x→ 0.（39）证据。例如，让我们验证（36）和（37）。根据L\'H^opital规则，因为如果γ<0，分子和分母都接近0，limx→∞R∞xy-αeγydyx-αeγx=limx→∞-十、-αeγx（γx-α- αx-α-1） eγx=limx→∞-1γ - α/x=-γ.其他渐近性也得到了类似的结果。然后我们将检查命题4.1的条件。赫里耶夫（x）≡ξZxcyα-1e-γyZxyz-αeγzdzdy，evb（x）≡ξZxcyαe-γyZxyz-αeγzdzdy.它来自于LemmaB。1当且仅当α<1且es(∞) 当且仅当γ<0或γ=0且α>1时为有限。我们考虑了几个案例α =2κθξ> 1, γ > 0. 在这种情况下，es（0）=-∞, ev（0）=∞ 和evb（0）=∞, 埃斯(∞) = ∞ 所以，特耶夫(∞) = ∞. 因此使用命题4。1，（1）E（ST）=1秒自ev起(∞) = ∞ 保持α > 1, γ = 0. 在这种情况下es（0）=-∞, ev（0）=∞ 和evb（0）=∞.

莫雷沃夫(∞) ≡ξZ∞cyα-1.Z∞yz-αdzdy=CZ∞cyα-1y1-αdy=∞ （40）同样来自命题4。1，（i）E（ST）=1当且仅当任一ev(∞) = ∞ 持有或执行副总裁(∞) <∞.o α > 1, γ < 0. 在这种情况下es（0）=-∞, ev（0）=∞ an d evb（0）=∞. 我们将再次展示这一点(∞) = ∞. 由旅鼠。1，对于某些正常数C，ev(∞) ≡ξZ∞cyα-1e-γyZ∞yz-αeγzdzdy>CZ∞cyα-1e-γyy-αeγydy=∞o α =2κθξ= 1, γ > 0. 在这种情况下es（0）=-∞ 自从整容以来-αeγydy在0处发散，因此ev（0）=∞. 同样，由于γ>0，es(∞) = 铬∞赛-αeγydy>CR∞赛-αdy=∞ 索特埃夫(∞) = ∞ 命题4。1（1）适用α =2κθξ= 1, γ < 0. 这里是es（0）=-∞ 自从整容以来-1eγydy在0附近发散，因此ev（0）=∞. 然而(∞) = 铬∞赛-1eγydy<∞. 特涅夫(∞) ≡ξZ∞总工程师-γyZ∞yz-1eγzdzdy>CZ∞总工程师-γyy-1eγydy=∞在这种情况下，ev（0）=ev(∞) = ∞ 命题4。1（1）适用α =2κθξ< 1, γ > 0. 在这种情况下，es（0）是自积分以来的唯一值-αeγydy收敛于0。同样，由于γ>0，es(∞) = 铬∞赛-αeγydy>CR∞赛-αdy=∞ 所以ev(∞) = ∞.在这种情况下，来自LemmaB。1，瑞兹-αeγzdz~y1-α1-αandev（0）≡ξZcyα-1e-γyZyz-αeγzdzdy-6-CZcyα-1e-γyy1-α1 - αdy<∞同样，evb（0）≡ξZcyαe-γyZyz-αeγzdzdy-6-czyαe-γyy1-α1 - αdy<∞所以在这种情况下，ev(∞) = ∞ 和evb（0）<∞ 这就是命题4。第1（3）条适用α =2κθξ< 1, γ < 0. 在这种情况下，es（0）是自积分以来的唯一值-αeγydy收敛于0。阿尔索耶夫（0）≡ξZcyα-1e-γyZyz-αeγzdzdy-6-CZcyα-1e-γyy1-α1 - αdy<∞evb（0）≡ξZcyαe-γyZyz-αeγzdzdy-6-czyαe-γyy1-α1 - αdy<∞而且，由于γ<0，es(∞) = 铬∞赛-αeγydy<∞. Thenev公司(∞) ≡ξZ∞cyα-1e-γyZ∞yz-αeγzdzdy>CZ∞cyα-1e-γyy-αeγydy=∞所以ev(∞) = ∞. 在这种情况下，evb（0）<∞ 和ev(∞) = ∞ 这就是命题4。第1（3）条适用。总之，对于赫斯顿模型，{St}t6总是一个鞅。B.2 Heston模型证明中命题5.2的证明。