随机波动率模型的鞅性质

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英文标题：
《On the martingale property in stochastic volatility models based on
  time-homogeneous diffusions》
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作者：
Carole Bernard, Zhenyu Cui, Don McLeish
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Lions and Musiela (2007) give sufficient conditions to verify when a stochastic exponential of a continuous local martingale is a martingale or a uniformly integrable martingale. Blei and Engelbert (2009) and Mijatovi\\\'c and Urusov (2012c) give necessary and sufficient conditions in the case of perfect correlation (\\rho=1). For financial applications, such as checking the martingale property of the stock price process in correlated stochastic volatility models, we extend their work to the arbitrary correlation case (-1<=\\rho<=1). We give a complete classification of the convergence properties of integral functionals of time-homogeneous diffusions and generalize results in Mijatovi\\\'c and Urusov (2012b) (2012c) with alternate proofs avoiding the use of separating times (concept introduced by Cherny and Urusov (2004) and extensively used in the proofs of Mijatovi\\\'c and Urusov (2012c)).
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中文摘要：
Lions和Musiela（2007）给出了证明连续局部鞅的随机指数是鞅还是一致可积鞅的充分条件。Blei和Engelbert（2009）以及Mijatoviêc和Urusov（2012c）给出了完全相关（\\rho=1）情况下的充分必要条件。对于金融应用，例如检查相关随机波动率模型中股票价格过程的鞅性质，我们将其工作扩展到任意相关情况（-1<=\\rho<=1）。我们给出了时间齐次扩散积分泛函的收敛性质的一个完整分类，推广了Mijatovi\'c和Urusov（2012b）（2012c）中的结果，并提供了避免使用分离时间的替代证明（Cherny和Urusov（2004）引入的概念，广泛用于Mijatovi\'c和Urusov（2012c）的证明）。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> On_the_martingale_property_in_stochastic_volatility_models_based_on_time-homogen.pdf (460.26 KB)

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关键词：波动率模型 波动率 Applications correlation homogeneous

基于时间齐次微分的随机波动率模型的市场性质*Carole Bernard+Zhenyu Cui和Don McLeish§2014年7月10日AbstractLions和Musiela（2007）给出了充分的条件来验证连续局部鞅的s阶指数是鞅还是一致可积鞅。Blei andEngelbert（2009）和Mijatovi\'c及Urusov（2012c）给出了完全相关（ρ=1）情况下的必要且有效的条件。对于金融应用，例如在相关随机波动率模型中检查股票价格过程的可分割性，我们将其工作扩展到任意相关情况(-1 6 ρ 6 1). 我们对时间齐次微分的永久积分函数和封顶积分函数的收敛性质进行了完整的分类，并推广了Mijatovi\'c和Urusov（2012b）（2012c）中的结果，直接证明避免了使用分离时间（Cherny和Urusov（2004）引入的概念，广泛用于Mijatovi\'c和Urusov（2012c）的证明）。JEL分类C02，C63，G12，G13关键词：鞅性质，局部鞅，随机波动性，恩格尔伯特-施密特零一定律*C.Bernard感谢加拿大自然科学和工程研究委员会的支持。ZCui感谢2012年夏季学院德国学术交流服务（DAAD）奖学金对德国乌尔姆大学（Ulm University，German University，German Academic Exchange Service，Ulm University，German University）的“风险建模的高级随机方法”的支持，论文在该校发表。D.L.McLeish感谢加拿大自然科学和工程研究委员会的支持。作者感谢一位匿名审稿人和副主编的仔细阅读和非常有用的建议，这些建议改进了论文。

作者感谢Antoine Jacquier和研讨会参与者ChristianBenes、Peter Carr、Travis Fisher、Olympia Hadjiliadis、Adam Kolkiewicz、Elena Kosygina、Jay Rosen、DavidSaunders、Mikhail Urusov和Jiming Yu进行了有益的讨论。通常的免责声明适用。+C.Bernard是滑铁卢大学统计和精算科学系的成员，Emailc3bernar@uwaterloo.ca.——通讯作者。Z.崔在纽约城市大学布鲁克林学院数学系工作，电子邮件：zhenyucui@brooklyn.cuny.edu.§D.L.McLeish在滑铁卢大学统计与精算科学系工作，Emaildlmcleis@uwaterloo.ca.1引言最近有几篇论文支持有效条件（Lions and Musiela（2007））或必要和有效条件（Blei and Engelbert（2009）、Delbaen and Shirakawa（2002）、Mijatovi’c和Urusov（2012c）、Mijatovi’c、，Novak和Urusov（2012））验证连续局部鞅的随机指数是真鞅还是一致可积（UI）鞅。FIN ce中的一个相关应用是，在具有任意相关性的一般随机波动率模型中，检查贴现股票价格是否为真鞅。这个问题已经得到了广泛的研究，可以追溯到Girsanov（1960），他提出了判定一个随机指数是否为真鞅的问题。Gikh manand Skorohod（1972）、Liptser和Shiryaev（1972）、Novikov（1972）和Kazamaki（1977）为随机指数的鞅性质提供了充分的条件。诺维科夫的标准很容易应用于实际情况，但它可能并不总是在数学金融模型中得到验证。

在布朗运动的设定中，参考克拉姆科夫和希里亚耶夫（1998）、切尔尼和希里亚耶夫（2001）和联阵（2013b）对诺维科夫（1972）和卡扎马基（1977）标准的改进。对于一个有效的过程，Kallsen和Shiryaev（2002年）、Kallsen和Muhle Karb e（2010年）以及Mayerhofer、Mu hle Karbe和Smirnov（2011年）考虑了类似的估算。Kotani（2006）和Hulley and Platen（2011）获得了一维正则强Markov连续局部鞅为真鞅的充分必要条件。在基于时间齐次微分的随机指数序列中，Engelber t和Schmidt（1984）提供了鞅性质的分析条件，Stummer（1993）给出了微分系数为恒等式时的进一步分析条件。Delbaen和Shirakawa（2002）首次提供了确定性标准，以检查在要求某些函数在（0，∞). Mijatovi\'c和Urusov（2012c）消除了局部有界性的限制，并利用Cher ny和Urusov（2004）引入的一种称为分离时间的新工具扩展了他们的结果。在随机波动率模型中，Sin（1998）、Andersen和Piterberg（2007）以及Lions和Musiela（2007）提供了易于验证的有效条件。Blanchet和Ruf（2012）描述了基于弱收敛参数确定非负局部鞅的鞅性质的方法。通过研究与随机波动率模型相关的估值偏微分方程的经典解，Bayraktar、Kardaras和Xin g（2012）建立了资产价格为鞅时的一个充分必要条件。

在随机微分方程（SDE）的背景下，Doss和Lenglart（1978）详细研究了它们的渐近性和其他性质。Ruf（2013a）研究了一个非负局部鞅的鞅性质，该局部鞅作为aSDE解的非对抗泛函给出。Karatzas和Ruf（2013）最近的一篇论文提供了一维随机微分方程的爆炸与相关随机指数的鞅性质之间的精确关系。有关随机指数和相关的马尔代尔性质问题的概述，请参阅Rheinl¨ander（2010）及其参考文献。本文对当前的文献有两个贡献。首先，我们基于某些确定性函数的局部可积性，对时间齐次微分的永久积分泛函和封顶积分泛函的收敛或发散性质进行了完整分类。理论3。1提供了与thosein Salminen和Yor（2006）、Khoshnevisan、Salminen和Yor（2006）类似的必要和有效条件。Mijatovi\'c和Urusov（2012a）提供了类似的结果。定理3.1每个MIT有两个吸收边界，而Engelbert和Tittel（2002）假设只有一个吸收边界。Theorem3。2涉及封装的整体功能，据作者所知是新的。我们还将Mijatovi\'c和Urusov（2012b，2012c）中的一些结果从ρ=1的情形推广到了ρ=1的情形-1 6ρ6 1（参见位置4.1和位置4.2）。我们的p屋顶不需要Cherny和Urusov（2004）提出的分离时间概念。

作为例子，我们给出了流行的随机波动率模型（Hull White（1987），（stopped）Heston（1993），Sch¨ob el and Zhu（1999）和3/2模型）中股票价格（一致可积）鞅性质的必要和充分条件。第2节使用了联阵（2013b）和卡尔、菲舍兰和联阵（2014）的概率设置和技术工具。第3节对时间齐次微分的永久积分泛函和封顶积分泛函的收敛性或发散性进行了完整分类。本文的主要结果在第4节给出：我们用新的直接证明将Mijatovi\'c和Ur-usov（2012b，2012c）中的一些结果推广到任意相关情形。第五部分详细研究了四种流行的随机波动率模型的鞅性质。第6节结束。2鞅性质的充分必要条件2。1.在本文中，我们定义了一个时间范围T∈ (0, ∞]. 正如Carr、Fisher和Ruf（2014）所述，我们通过(Ohm, FT，{FT}t∈[0，T]，P）具有右连续过滤{Ft}T∈[0，T]。假设该基础足够丰富，足以支持下面描述的过程，并满足附录A中概述的规则性条件。对于任何停止时间τ，我们定义Fτ：={A∈FT|A∩ {τ6t}∈ 全速飞行∈ [0，T]}和Fτ-:= σ（{A∩ {τ>t}∈ FT|A∈ FTT∈[0，T]∪ F} ）。通常，允许非负随机变量取集合[0]中的值，∞] 停止时间τ允许取集合[0]中的值，∞] ∪如卡尔、费舍尔和联阵（2014）的附录A所示，部分时间T>T。

在特殊情况下，我们将限制范围。对于Ft适应的布朗运动过程Wt，假设Y满足SDEdYt=u（Yt）dt+σ（Yt）dWt，Y=x，（1）其中u，σ：J→ R是Borel，x是Borel∈ J、 μ，σ满足恩格尔伯特-施密特条件十、∈ J、 σ（x）6=0，以及σ（·），u（·）σ（·）∈ Lloc（J）。（2） 这里，Lloc（J）表示局部可积函数类，即函数J→ 在状态空间的紧子集上可积的R，J=(l, r） ,，-∞ 6.l < R6∞, 进程的长度=（Yt）t∈[0，T]。我们设置了“J=[l, r] 。Engelbert-Schmidt条件（2）保证SDE（1）具有唯一的内在弱解，可能退出其状态空间J（见定理5.15，第341页，Karatzas and Shreve（1991））。用ζ表示Y从其状态空间的可能退出时间，即ζ=inf{u>0，Yu6∈ J} ，P-a.s.这意味着{ζ=∞ } Y的轨迹不退出J，P-a.s.，并且在{ζ<∞},极限→ζYt=r或limt→ζYt=l, P-a.s。。观察Y的定义，使其停留在Karatzas和Ruf（2013）的出口处，以详细研究该出口时间在一维时间均匀扩散环境中的分布。重点，这意味着l r是吸收边界。将使用以下术语：“Y可以在r处退出状态空间J”表示Pζ < ∞, 极限→ζYt=r> 然后我们引入一个独立于（Y，W）的标准布朗运动W（2）。设Z=（Zt）t∈[0，T]表示Z=1且definezt=exp的（贴现）股价ρZt∧ζb（Yu）dWu+p1- ρZt∧ζb（Yu）dW（2）u-Zt∧ζb（Yu）du, T∈ [0, ∞), （3） b:J在哪里→ R是一个Borel函数，常数相关满足-1 6 ρ 6 1.表示W（1）·=ρW·+p1- ρW（2）·，我们有zt=expZt∧ζb（Yu）dW（1）u-Zt∧ζb（Yu）du, T∈ [0, ∞), （4） 很容易验证Z和Y满足以下系统：SDEsdZt=Ztb（Yt）dW（1）t，Z=1，dYt=u（Yt）dt+σ（Yt）dWt，Y=x。

（5） R中的Borel-sigma代数B（R）是包含R的开放区间的最小σ-代数。在下文中，λ（·）表示B（R）上的Lebesgue测度。我们需要λ（x∈ (l, r） ：b（x）>0）>0，并假设以下局部可积条件十、∈ J、 σ（x）6=0，和b（·）σ（·）∈ Lloc（J）。（6） 备注2.1。在文献中（例如Andersen和Piterberg（2007）），有许多一般的随机波动率模型，其中（贴现）股票价格在Z中具有非线性差异。例如，一般模型如下所示dzt=Zαtb（Yt）1t∈[0，ζ）dW（1）t，Z=1，dYt=u（Yt）1t∈[0，ζ）dt+σ（Yt）1t∈[0，ζ）dWt，Y=x，其中W（1）和wt是标准的Ft布朗运动，其中E[dW（1）tdWt]=ρdt。ρ是恒定相关系数，且-1 6 ρ 6 1. 这里是16α6 2。使用该模型的困难主要在于获得仅用Y的泛函表示的Z的显式表示。因此，在本文中，我们只关注模型（5）。引理2.1。（米贾托维奇和乌鲁索夫（2012c））。假设条件（2）和（6）以及0<t<∞.第二名（余）杜∞ P-a.s.{t<ζ}，注意这与Mijatovi\'c和Urusov（2012b，2012c）、an d Cherny和Urusov（2006）中的情况相同。修正一个任意常数c∈ 并介绍了Ps（x）：=Zxcexp下SDE（1）u的标度函数s（·）-Zyc2σ（u）dudy，x∈“\'J.（7）以下结果及其证明可在Cherny和Urusov（2006）中找到，此处翻译为我们的符号。引理2.2。（引理5.7，Cherny and Urusov（2006）第149页）。假设SDE（1）的条件（2）和（6），以及(l) = -∞, s（r）=∞. 然后∞b（于）杜=∞, P-a.s.2.2非负连续局部鞅的性质在这一部分中，我们定义了一个时间范围T∈ (0, ∞], 在规范概率空间下工作(Ohm, FT，（FT）t∈[0，T]，P）。

该空间必须足够丰富，以支持以下所述分布的流程，以及过滤（Ft）t∈[0，T]必须满足附录A中列出的附加条件。我们首先将Ruf（2013b）和Carr，Fisher和Ruf（2014）关于非负连续局部鞅的一些结果应用于时间齐次微分asin（4）。Ruf（2013b）d没有指定连续局部鞅（Lt）t的形式∈[0，T），在我们的设置中lt=Zt∧ζb（Yu）dW（1）u.（8）要将Ruf（2013b）的设置转换为当前符号，P下（4）中的过程可以重写为Zt=E（Lt）=exp（Lt）- hLit/2），其中Ltin（8）是P下的连续局部鞅。引理2.3。（引理1，Ruf（2013b））假设SDE（1）的条件（2）和（6）。下面，考虑连续局部鞅（Lt）t∈[0，T]在（8）中给出，其二次变量hlit=Rt∧ζb（Yu）du。对于可预测的正停止时间0<τ6∞, 定义Zt=E（Lt），t∈[0，τ）。然后随机变量Zτ：=limt↑τzt存在，非负且满足Zτ∧ζb（Yu）du<∞= {Zτ>0}，P-a.s.作为引理2的一个应用。3.我们得到以下结果。推论2.1。SDE的假设条件（2）和（6）（1）。在P下，使用（4）中定义的过程Zde，对于t∈ [0，T]{Zt=0}=ζ6 t，Zζb（Yu）du=∞, P-a.s.证明。来自外稃2。3，{Zt=0}=Zt∧ζb（Yu）du=∞, P-a.s.这是在第4页的方程式（7）之后，米贾托维奇和乌鲁索夫（2012c）以及第228页的方程式（2.4）之后，米贾托维奇和乌鲁索夫（2012b）在没有证据的情况下陈述的。这里我们提供一个证据。引理2.1，PRt∧ζb（Yu）du<∞= PRtb（Yu）du<∞= 集{t<ζ，t上的1∈ [0，T]}。因此{Zt=0}=ζ6 t，Zt∧ζb（Yu）du=∞, P-a.s.为了便于记法，在下文中，表示T∞:= R和T:=S，作为第一次∞ Z分别为0，其中R和S在第2节中定义。1.两者都可以取[0]中的值，∞] ∪ T

下一个结果是Carr、Fisher和Ruf（2014）的定理2.1，并在我们的符号中给出。提议2.1。（卡尔、费舍尔和鲁夫（2014）的定理2.1）。考虑正则概率空间(Ohm, FT，（FT）t∈[0，T]，P），以及（4）中定义的过程Z（使Z=1）和假设条件（2）和（6）。然后存在一个唯一的概率测度(Ohm, 英尺∞-)任何时候，停止<0∞,（1） eP（A）∩ {T∞> ν ∧ T}=EP[1AZν∧T] （9）尽管如此∈ Fν∧T.（2）对于所有非负Fν∧T-可测随机变量U取[0]中的值，∞],EePU1{T∞>ν∧T}= EPUZν∧T{T>ν∧T}, （10） 用ezt=Zt{T∞>t} ，EPU1{T>ν∧T}= 伊普胡兹ν∧Ti，（11）（3）Z是[0，T]上的一致可积P鞅当且仅当ifeP（T）∞> T=1。（12） 注意，从（9）开始，对于任何停止时间ν<T，eP（Zν=0）=0，因此被测量者将零质量分配给到达0的路径。条件（12）等同于PSUPT∈（0，T]Zt<∞!=eP输入∈（0，T]eZt>0= 1奥雷普斯普特∈[0，T]Zt=∞!= 0.提议2.2。（1） 在P下面，代表t∈ [0，T），定义连续的P-局部鞅Ltasin（8）。然后在EP下，对于T∈ [0，T∞),eLt:=Lt- hLit=Rt∧ζb（Yu）dW（1）u-Rt∧ζb（Yu）du是一个局部鞅。（2） 下面是t∈ [0，T∞)eZt=E(-eLt）=exp-Zt∧ζb（Yu）dW（1）u+Zt∧ζb（Yu）du.Carr、Fisher和Ruf（2014）第6页定理2.1是非负局部鞅的一般结果。关于连续非负局部鞅的类似结果，参见Ruf（2013b）。根据定义，当t>t时，这是0∞即使Zt=0。证据对于语句（1），我们需要证明ELT=Rt∧ζb（Yu）dW（1）u-Rt∧ζb（Yu）du是[0，T]上的aeP局部鞅∞). Recall Rn是ZT到n级的第一次命中时间，并将τn=Rn∧ n代表所有n∈ 我们将展示这一点∧τn=Rt∧ζ∧τnb（Yu）dW（1）u-Rt∧ζ∧τnb（Yu）du isaeP-局部鞅。