随机波动率模型的鞅性质

我们将检查命题4的条件。2.它来自LemmaB。1当且仅当α<1且es(∞) 当且仅当γ<0或γ=0且α>1时为有限。注意EVB(∞) ≡ξZ∞cyαe-γyZ∞yz-αeγzdzdy.此外，evb（0）≡ξZcyαe-γyZyz-αeγzdzdy<∞当且仅当α<1。再次考虑几个案例α > 1, γ > 0. 在这种情况下es（0）=-∞ 和evb（0）=∞, 埃斯(∞) = ∞ 所以evb(∞) = ∞ .因此，由于evb（0）=evb(∞) = ∞, 没有命题的条件。2.申请α > 1, γ = 0. 在这种情况下，es（0）=-∞, evb（0）=∞. 此外，evb(∞) ≡ξZ∞cyαZ∞yz-αdzdy=CZ∞cyαy1-αdy=∞. （41）同样，sin ce evb（0）=evb(∞) = ∞, 没有命题的条件。2.申请α > 1, γ < 0. 在这种情况下es（0）=-∞ , 和evb（0）=∞. 我们将再次展示evb(∞) = ∞.由旅鼠。1，对于某些正常数C，evb(∞) ≡ξZ∞cyαe-γyZ∞yz-αeγzdzdy>CZ∞cyαe-γyy-αeγydy=CZ∞c1dy=∞同样，sin-ce-evb（0）=evb(∞) = ∞, 没有命题的条件。2.申请α = 1, γ > 0. 在这种情况下es（0）=-∞ 自从整容以来-αeγydy在0处发散，因此evb（0）=∞. 同样，由于γ>0，es(∞) = 铬∞赛-αeγydy>CR∞赛-αdy=∞ 所以EVB(∞) = ∞. 因为evb（0）=evb(∞) = ∞, 没有命题的条件。2.申请α = 1, γ < 0. 这里是es（0）=-∞ 自从整容以来-1eγydy在0附近发散，因此EVB（0）=∞. 然而(∞) = 铬∞赛-1eγydy<∞. Thenevb(∞) ≡ξZ∞赛伊-γyZ∞yz-1eγzdzdy>CZ∞赛伊-γyy-1eγydy=∞.因为evb（0）=evb(∞) = ∞, 没有命题的条件。2.申请α < 1, γ > 0. 在这种情况下，es（0）是完整的-αeγydy在0收敛。同样，由于γ>0，es(∞) = 铬∞赛-αeγydy>CR∞赛-αdy=∞ 所以evb(∞) = ∞. 在这种情况下，来自LemmaB。1，瑞兹-αeγzdz~y1-α1-α和Vb（0）≡ξZcyαe-γyZyz-αeγzdzdy-6-czyαe-γyy1-α1 - αdy<∞在这种情况下，evb（0）<∞ 以及(∞) = ∞ 所以P位置的条件C′是4。2满足。oα<1，γ<0。

在这种情况下，es（0）是完整的-αeγydy在0收敛。Alsoevb（0）≡ξZcyαe-γyZyz-αeγzdzdy-6-czyαe-γyy1-α1 - αdy<∞以及(∞) = 铬∞赛-αeγydy<∞. 因此，命题4的条件D′。2当且仅当evb时成立(∞) < ∞. 布特夫(∞) ≡ξZ∞cyαe-γyZ∞yz-αeγzdzdy>CZ∞cyαe-γyy-αeγydy=CZ∞c1dy=∞,命题4的条件。2.失败。总之，对于赫斯顿模型，{St；t6∞} 是一致可积鞅当且仅当α=2κθξ<1，γ=2κ-ρξ>0，即当且仅当ρξ6κ<ξ2θ。B.3引理5.1证明。对于右边界r，分为两种情况：（i）当a<-1，利米→∞ya+1expdy= 0.来自L\'H^op ital的规则→∞R∞yzaexpdzdzya+1expdy= -a+1>0。（42）SinceR∞yzaexpdzdz在y中减小，存在M>c>0，因此y>MZ∞yzaexpdzdz<-2a+1ya+1expdy. （43）用x=∞五(∞) =ξZ∞cya+3expdyZ∞yzaexpdzdzdy=ξZMcR∞yzaexpdzdzya+3expdydy+ξZ∞先生∞yzaexpdzdzya+3expdydy<ξZMcR∞yzaexpdzdzya+3expdydy+ξZ∞Mya+3expdy-2a+1ya+1expdydy=ξZMcya+3expdyZ∞yzaexpdzdzdy+-4（a+1）ξZ∞Mydy=ξZMcya+3expdyZ∞yzaexpdzdzdy+-4（a+1）ξM<∞.从（42）开始，存在M′>c>0，因此对于y>M′Z∞yzaexpdzdz>-12（a+1）ya+1expdy. （44）用x=∞vb(∞) =ξZ∞cya+2expdyZ∞yzaexpdzdzdy>ξZ∞M′ya+2expdyZ∞yzaexpdzdzdy>ξZ∞M′ya+2expdy-12（a+1）ya+1expdydy=-1ξ（a+1）Z∞M\'ydy=∞.（ii）当a>-1，因为d>0，我们有这个经验dy> 1，对于y>c>0。然后(∞) =bcaZ∞cyaexpdydy>bcaZ∞赛迪=∞.因此v(∞) = ∞ 和vb(∞) = ∞ 在这种情况下。总之，v（r）<∞ 当且仅当a<-1和vb（r）=∞ 暂时∈ R.对于左端lv（0）=ξZcya+3expdyZyzaexpdzdzdy，（45）和vb（0）=ξZcya+2expdyZyzaexpdzdz迪。

（46）对于06z6y，我们有edz>edy，并将这个不等式代入（45）v（0）>ξZcya+3expdyZyzadz公司经验dydy=（a+1）ξZcydy=∞.同样地，将这个不等式代入（46）vb（0）>ξZcya+2expdy扎兹经验dydy=（a+1）ξZcydy=∞.总结一下，v(l) = ∞ 和vb(l) = ∞ 暂时∈ R.从（27）中，上述证明也适用于ev案例，将a代入ea。B.4命题的证明5.7证明。分为三种情况：（i）当α>0时(∞) = ∞, 然后ev(∞) = ∞ 和evb(∞) = ∞.（ii）当α=0ev（x）=κθZxc时1.- E-2κθγ（x）-y）dy=κθx+γ2κθe2κθγ（c-十）- C-γ2κθ.然后ev(∞) = ∞. 类似地，我们可以计算vb（x）=κθZxcy1.- E-2κθγ（x）-y）dy=3κθx- E-2κθγxZxcye2κθγydy-c3κθ。当xcYe2κθγydy 6Rxcxe2κθγydy时，则EVB（x）>3κθx- E-2κθγxZxcxe2κθγydy-c3κθ=3κθx-γ2κθx（1）- e2κθγ（c）-x） )-c3κθ。（47）然后是evb(∞) = ∞ 可以验证，因为（47）的右侧∞ 作为x→ ∞.（iii）当α<0时，测试函数isev（x）=γZxcRxyαγZ-κθαdzeαγ（y）-κθα）dy=γZxce-αγ（y）-κθα）ZxyαγZ-κθαdz！蒂涅夫(∞) =γZ∞总工程师-αγ（y）-κθ（α）Z∞yαγZ-κθαdz！dy.（48）因为这里假设α<0，那么limy→∞Y-1eαγ（y）-κθα）=0，我们可以应用L\'H^阿片\'小绿质→∞R∞yαγZ-κθαdzy-1eαγ（y）-κθα)=-γ2α> 0.所以我也是→ ∞, 存在M>c>0，比如y>MZ∞yαγZ-κθαdz>-γ4αy-1eαγ（y）-κθα). （49）将（49）替换为（48）电动汽车(∞) >γZ∞我-αγ（y）-κθ（α）Z∞yαγZ-κθαdz！dy>γZ∞我-αγ（y）-κθα)-γ4αy-1eαγ（y）-κθα)dy=-12αZ∞我的-1dy=∞.因此ev(∞) = ∞ 在这种情况下。同样，我们也可以计算VB(∞) =γZ∞赛伊-αγ（y）-κθ（α）Z∞yαγZ-κθαdz！dy.（50）与上述M相同，将（49）替换为（50）evb(∞) >γZ∞迈伊-αγ（y）-κθ（α）Z∞yαγZ-κθαdz！dy>γZ∞赛伊-αγ（y）-κθα)-γ4αy-1eαγ（y）-κθα)dy=-12αZ∞Mydy=∞.因此evb(∞) = ∞ 在这种情况下。然后我们考虑左端点的情况l.

从es（·）的定义来看，我们有es（0）>-∞ 对于α∈ R.与上述类似，我们考虑以下两种情况：（i）当α=0时，ev（0）=κθγ2κθe2κθγ（c）- C-γ2κθ< ∞.（ii）当α6=0时，ev（0）=γZce-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy.（51）自从limy→0yeαγ（y）-κθα=0，我们可以应用L\'H^opital法则→0RyαγZ-κθαdzyeαγ（y）-κθα)= 1.所以我也是→ 0，存在0<ε<c，这样对于0 6y<εZyαγZ-κθαdz<2yeαγ（y）-κθα). （52）将（52）代入（51）ev（0）=γZεe-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy+γZcεe-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy<γZεe-αγ（y）-κθα)2yeαγ（y）-κθα)dy+γZcεe-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！然后，伊夫(∞) <γZε2ydy+γZcεe-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy=2εγ+γZcεe-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy<∞. （53）总结一下，ev(l) < ∞ 对于α∈ R.类似地，当α=0时，evb（0）=Rcye2κθγydy-c3κθ<∞.当α6=0时，evb（0）=γZcye-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy.（54）将（52）代入（54），并使用与上述相同的ε。对于0.6y<εevb（0）=γZεye-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy+γZcεye-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy<γZεye-αγ（y）-κθα)2yeαγ（y）-κθα)dy+γZcεye-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy=γZε2ydy+γZcεye-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy=εγ+γZcεye-αγ（y）-κθα）ZyαγZ-κθαdz！dy<∞. （55）总结一下，evb(l) < ∞, 对于α∈ R.B.5命题的证明5.10证明。我们区分三种情况：（I）u>σ。应用变量z的变化=√y、 那么y=z，dy=2zdz，安第斯山脉（x）=2CZ√十、√cz1-4σe-2ρσzdz=2CZ√十、√cz-αe-γzdz，x∈’J.（56）注意，（56）中的函数与（25）中的比例函数相似，只是有一个√x代替了x。

从（56）开始(∞) = 2CZ∞√cz-αe-γzdz。从伽马函数的性质出发(∞)(< ∞, 如果γ>0，=∞, 如果γ<0。根据γ分为三种情况：（i）当γ<0时，es(∞) = ∞, 然后ev(∞) = ∞ 和evb(∞) = ∞.（ii）当γ=0时，ev(∞) 和evb(∞) 可以应用于安第夫(∞) =σZ∞cyα-3.Z∞yz-α+1dzdy=σ（α）- 1） Z∞赛-1dy=∞,安第夫布(∞) =σZ∞cyα-1.Z∞yz-α+1dzdy=Z∞cσ（α）- 1） dy=∞.（iii）当γ>0时，从（34）ev(∞) =σZ∞cyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy，（57）andev(∞) =σZ∞cyα-1eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy.（58）因为α>1，所以limy→∞Y-αe-γ√y=0，根据L\'H^opital的规则→∞R∞yz-α+1e-γ√zdzy-αe-γ√y=limy→∞αy-1/2+γ=γ> 0.就像我一样→ ∞Z∞yz-α+1e-γ√zdz~γy-αe-γ√y、 （59）从（59）开始，存在0<M<∞, 这样对于y>MZ∞yz-α+1e-γ√zdz<γy-αe-γ√y、 （60）将（60）替换为（57）电动汽车(∞) =σZ∞cyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy=σZMcyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy+σZ∞我的α-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy<σZMcyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy+σZ∞我的α-3eγ√Yγy-αe-γ√Ydy=σZMcyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy+√Mγσ<∞.然后ev(∞) < ∞, 对于γ>0。从（59）开始，存在0<c<M′∞, 这样对于y>M′Z∞yz-α+1e-γ√zdz>γy-αe-γ√y、 （61）将（61）替换为（58）电动汽车(∞) =σZ∞cyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy>σZ∞M′yα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy>σZ∞M′yα-3eγ√Yγy-αe-γ√Ydy=γσZ∞嗯-1dy=∞.然后是evb(∞) = ∞, 对于γ>0。现在我们来看一下左边界的情况l. 从（56）es（0）=-2CZ√cz-αe-γzdz。当γ>0时，由于α>1，从γ函数的性质来看，我们有es（0）=-∞. 当γ6 0时，e-γz>1，安第斯山脉（0）=-2CZ√cz-αe-γzdz6-2CZ√cz-αdz=-∞.总而言之，es（0）=-∞ γ∈ R.然后ev（0）=∞ 和evb（0）=∞ 持有（II）u=σ。我们考虑α=1的情况。特尼斯(∞) = 2CZ∞√cz-1e-γzdz，根据γ值分为两种情况。如果γ60，那么e-γz>1，安第斯山脉(∞) > 2CZ∞√cz-1dz=∞.那么在这种情况下，ev（r）=∞ 和evb（r）=∞.如果γ>0，根据γ函数的性质，es(∞) < ∞.

总之，当α=1es时(∞)(= ∞, 如果γ6 0∞, 如果γ>0。对于左边界的情况也是如此l. 如果γ>0，从γ函数的性质来看，es（0）=-∞. 如果γ60，那么e-γz>1，安第斯山脉（0）6-2CZ√cz-1dz=-∞.总的来说，当α=1时，我们有es(l) = -∞, 然后ev(l) = ∞ 和evb(l) = ∞.考虑α=1和γ>0的情况，从上述结果来看，有es(∞) < ∞, 研究电动汽车的性能(∞) 和evb(∞). 根据（34）电动汽车的定义(∞) =σZ∞赛-1eγ√YZ∞yz-1e-γ√zdzdy.（62）因为γ>0，所以limy→∞Y-E-γ√y=0，根据L\'H^opital的规则→∞R∞yz-1e-γ√zdzy-E-γ√y=limy→∞Y-1/2+γ=γ> 0. （63）作为y→ ∞,R∞yz-1e-γ√zdz~γy-E-γ√y、 因此存在M<∞ , 这样对于y>MZ∞yz-1e-γ√zdz<γy-E-γ√y、 （64）将（64）替换为（62）电动汽车(∞) =σZMcy-1eγ√YZ∞yz-1e-γ√zdzdy+σZ∞我的-1eγ√YZ∞yz-1e-γ√zdzdy<σZMcy-1eγ√YZ∞yz-1e-γ√zdzdy+σZ∞我的-1eγ√Yγy-E-γ√Ydy=σZMcy-1eγ√YZ∞yz-1e-γ√zdzdy+γσZ∞我的-dy<∞.根据（34）evb中的定义(∞) =σZ∞ceγ√YZ∞yz-1e-γ√zdzdy（65）从（63）开始，存在M′>c>0，因此对于y>M′Z∞yz-1e-γ√zdz>γy-E-γ√y、 （66）将（66）替换为（65）evb(∞) >σZ∞M′eγ√YZ∞yz-1e-γ√zdzdy>σZ∞M′eγ√Yγy-E-γ√Ydy=σZ∞嗯-dy=∞.（三） u<σ。我们考虑α<1的情况。辛斯-α+1> -1，然后从伽马函数的性质（0）=-CZcy-α+1e-γ√ydy>-∞.从（56）开始，我们有了(∞) = 2CR∞√cz-αe-γzdz，并分为三种情况。如果γ>0，那么从γ函数的性质来看，es(∞) < ∞. 如果γ60，那么e-γz>1，es(∞) >2CR∞√cz-αdz=∞. 总之，当α<1es时(∞)(= ∞, 如果γ6 0∞, 如果γ>0。我们首先来看ev（0）和evb（0）。根据（34）ev（0）中的定义=σZcyα-3eγ√YZyz-α+1e-γ√zdzdy，（67）andevb（0）=σZcyα-1eγ√YZyz-α+1e-γ√zdzdy.（68）根据γ分为两种情况。

当γ6 0，e-γ√z> 1，thenev（0）>σZcyα-3eγ√YZyz-α+1dzdy=σZcyα-3eγ√Y1.- αy1-αdy=σ（1）- α） Zcy-1eγ√伊迪。应用变量z的变化=√y、 thenev（0）>σ（1）- α） Zcy-1eγ√ydy=σ（1）- α） Z√cz-1eγzdz=∞.最后一个等式来自伽马函数的性质。然后ev（0）=∞ 当γ6 0时保持。既然假设γ6 0，那么e-γ√z6 e-γ√yf对于0 6 z 6 y，andevb（0）6σZcyα-1eγ√YZyz-α+1e-γ√ydzdy=4cσ（1）- α)< ∞.然后evb（0）<∞ 当γ6 0时保持。当γ>0时，e-γ√z> e-γ√y对于0 6 z 6 y，则nV（0）>σZcyα-3eγ√YZyz-α+1e-γ√ydzdy=σ（1）- α） Zcy-1dy=∞.然后ev（0）=∞ 当γ>0时保持。当γ>0时，e-γ√z<1表示0 6 z 6 y，则nEVB（0）=σZcyα-1eγ√YZyz-α+1e-γ√zdzdy<σZcyα-1eγ√YZyz-α+1dzdy=σZcyα-1eγ√Y1.- αy1-αdy=σ（1）- α） Zceγ√ydy<∞.然后evb（0）<∞ 当γ>0时保持。总之，我们有ev（0）=∞ 和evb（0）<∞ 当α<1时保持。考虑α<1和γ>0的情况。根据（34）电动汽车的定义(∞) =σZ∞cyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy，（69）andev(∞) =σZ∞cyα-1eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy.（70）假设γ>0，则limy→∞Y-αe-γ√y=0，根据L\'H^opital的规则→∞R∞yz-α+1e-γ√zdzy-αe-γ√y=limy→∞αy-+γ=γ> 0. （71）作为y→ ∞,R∞yz-α+1e-γ√zdz~γy-αe-γ√y、 存在M>0，因此对于y>MZ∞yz-α+1e-γ√zdz<γy-αe-γ√y、 （72）将（72）替换为（69）电动汽车(∞) =σZMcyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy+σZ∞我的α-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy<σZMcyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy+σZ∞我的α-3eγ√Yγy-αe-γ√Ydy=σZMcyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy+γσZ∞我的-dy=σZMcyα-3eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy+√Mγσ<∞.然后ev(∞) < ∞, 对于α<1和γ>0。从（71）开始，存在M′>c>0，因此对于y>M′Z∞yz-α+1e-γ√zdz>γy-αe-γ√y、 （73）将（73）替换为（70）以获得EVB(∞) >σZ∞M′yα-1eγ√YZ∞yz-α+1e-γ√zdzdy>σZ∞M′yα-1eγ√Yγy-αe-γ√Ydy=γσZ∞嗯-dy=∞.然后是evb(∞) = ∞, 对于α<1和γ>0。B、 6命题证明5.11证明。根据命题5.10中的证明，我们分别研究了以下三种情况（I）、（II）和（III）。（一） u>σ。

然后我们有以下分类：es(∞)(< ∞, 如果γ>0，=∞, 如果γ<0，且es（0）=-∞ γ∈ R.该结果与表11中的分类相结合，给出了表12中的前三行。从表12和命题4.2可以看出，当u>σ，（St）06t6时∞不是一致可积的P-鞅。（II）u=σ。然后我们有以下分类：es(∞)(< ∞, 如果γ>0，=∞, 如果γ6 0和es（0）=-∞ γ∈ R.该结果与表11中的分类相结合，给出了表12中三行分类。从表12和命题4.2可以看出，当u=σ，（St）06t6时∞不是一致可积的P-鞅。（三） u<σ。然后我们有以下分类：es(∞)(< ∞, 如果γ>0，=∞, 如果γ6 0和es（0）>-∞ γ∈ R.该结果与表11中的分类相结合，给出了表12中分类的最后三行。从表12和命题4.2可以看出，当u<σ，（St）06t6∞是一致可积P-鞅当且仅当γ6 0，或等价ρ6 0。