隐性交易成本与资产定价基本定理

定义集合K={VZT | Zisα- 可接受}。如果M（·，0）满足NFLVR，则集合Kis在L中有界，即概率。证据通过定义，K包含连续的、α-容许的和边界变化的交易策略，因此很方便首先证明这些特定策略的结果。证明的论点与德尔巴恩和沙切迈耶（1994）在命题3.1中使用的论点相似。自相矛盾的是，假设集合{VZT | Zisα-容许有界变差连续}在L中没有界。这意味着存在一系列α-容许有界变差连续被积函数，且>0，使得P（VZnT≥αn）>且αn>0且limn→∞αn=0。现在取定义为VZnTαnα的序列Hn∧ 1.哪一项满足了Hn≥ -αn和P（Hn=1）>。请注意，Hnare的自我融资投资组合。然后，命题1为我们提供了HN的一系列收敛组合，将a.s.收敛到H∈ [0,1]带E（H）≥ ，P（H>0）=β≥ >0，因此存在矛盾。为了证明最终结果，有必要证明Lof K中的有界性（仅限于连续的有界变化交易策略）意味着集合KI也适用于其他交易策略。现在，假设KRESTRICED toc\'adl\'ag和c\'agl\'adα容许交易策略不在L中有界，则存在α容许Z，>0，使得P（VZT≥ c） >，c>0。由于-TZT，也很容易得出P（RTZsdM（s，0）+RTZsdPZ（s，0）≥ c） >。我们假设Zis c\'agl\'ad为隐式。如果我们假设Zis c\'adl\'ag，则不会发生任何变化。

现在，利用这样一个事实，RTZSDM（s，0）和RTZSDPZ（s，0）形式的随机积分可以通过随机积分来近似（一致地在概率上的紧致上），该随机积分具有连续且有界的变分被积函数（见Bank&Baum（2004）和C,etin et al（2004））形式的RTZn，sdM（s，0）和RTZn，sdPZn（s，0），其中Zn，s=nRss-nZudu，锌→ 扎。s、 每一天≥ 0和Zu=zforu<0，如n→ ∞, 我们可以找到一个有界变差连续被积函数的序列Znkof→ ∞ 作为k→ ∞, 苏克→∞RTZnk，sdM（s，0）=RTZsdM（s，0）和limk→∞RTZnk，sdPZnk（s，0）=RTZsdPZ（s，0）a.s。。注意，在半鞅拓扑下，PZn收敛于PZn，由于zn收敛于a.s.到Z，我们得到rtzn，sdPZn（s，0）收敛于u.c.p.toRTZsdPZ（s，0）。显然，对于交易策略的连续性和有界变化，TZnkTare等于零，对于某些α和forevery k，Znkareα-可容许。因此，P[limk→∞（RTZnk，sdM（s，0）+RTZnk，sdPZnk（s，0））≥ c] >。利用a.s.收敛序列总是a.s.有界这一事实，我们得到了具有连续和有界变化交易策略的可容许自融资投资组合的有界性。证据到此为止。我们的下一个目标是证明以下集合C=K在Fatou意义下的闭包-L+。为了证明这个重要的结果，我们需要先陈述和证明两个引理。这里值得指出的是，上面的引理和下面的两个引理适用于一般的α-容许策略定义1。引理4。设M（·，0）满足NFLVR。然后{[Z，Z]cT | Zisα- 可容许}是有界的。证据这是引理3的结果。让Zbe给出一个α-容许的交易策略。假设1，M′（·，0）+P′（·，0）sgn(Z·）在[0，T]上是有限的，因此达到了极限。此外，假设3意味着M′（·，0）+P′（·，0）sgn(Z·）是非负的。

因此，0≤ [Z，Z]cT≤ZTinfs∈[0，T][M′（s，0）+P′（s，0）sgn(Zs）]d[Z，Z]cs≤ZT[M′（s，0）+P′（s，0）sgn(Zs）]d[Z，Z]cs≤ TZT≤ α+VZT+TZT≤ （α+g）+VZT（21），其中g>0给出了tzt的有界常数，其中A是有限的。引理3则意味着对于每个α-容许的Ztrading策略，[Z，Z]CTI在LF中有界。作为另一个有趣的结果，我们可以从引理3中推断出集合{| | Z | | T | Zisα-可容许连续且有界变差}在L中有界，其中|·| | | |在这种情况下表示路径总变差（作为占据所有分区的上确界）。要查看此信息，请将VZT=RTZsdM（s，0）+RTZsdPZ（s，0）写入VZT=-ZTM（s，0）dZs-ZTP（s，0）d | | Z | s+M（T，0）ZT- M（0，0）Z（22），我们参考Guasoni等人（2010）了解后一个方程的更多细节。请注意，在瓜索尼特。al（2010）假设M（T，0）ZT-M（0，0）zi等于零。现在，由于VZTis在Lwe中有界，可以像在上述引理中一样，证明包含元素| | Z | | Twith Z，α-容许的，连续的，有界变化的集合在L中有界。注4。值得一提的是，遵循有界变化的连续交易策略无法避免隐性交易成本。也就是说，交易成本无法通过更明智（平稳）的交易策略来避免。在有交易成本的市场中进行交易时，投资者能做的最好的事情就是使用有界变化的连续交易策略来避免价格影响（Bank&Baum（2004）和C,etin等人（2004））。这是因为这些交易策略在股票价格的演化中没有路径依赖性。

因此，将大交易拆分为小交易可以降低价格影响。以下关于α可容许交易策略的紧引理类似于Campi&Schachermayer（2006）和Guasoni（2002）f获得的关于可预测的边界变量过程的紧引理。引理5。设zn为一系列α-容许交易策略。假设M（·，0）满足NFLVR。然后，存在一个序列Zn∈ 凸面（Zn，Zn+1，…）这样的话，我们就可以。s、 ω对于每个t∈ [0，T]对于一个经过调整的过程^W，c\'agl\'ad具有无数跳变，且具有有界变化和零二次变化。证据假设有界二次变分过程是可预测的。然后，我们可以再次使用C,etin等人（2004）的结果，以表明Zn可以作为a.s.点位极限，如m→ ∞, 在下面的过程gmn中，s=mZss-mZn，udu（23）适用于所有s≥ 0和Zn，u=Zn，0表示u<0和n≥ 1.我们利用这一观察结果来证明凸（Zn，t，Zn+1，t，…）在L中有界。现在注意，对于每m，n，Gmnareα-容许连续且有界变化≥ 1，并因此使用NFLVR属性| | Gmn | |皮重由之前的结果限定。因此，这意味着| Gmn，t- Gmn，0 |=|nXi=1（Gmn，ti- Gmn，ti-1)| ≤ ||Gmn | | t≤ ||Gmn | | T（24）每T∈ [0，T]和0≤ T≤ T≤ ... ≤ tn≤ t、 给定一个凸组合（βj）∞j=n，我们写j≥nβjZj，tasXj≥nβjZj，t=limm→∞Xj≥nβjGmj，t（25）a.s。。自limm以来，限额的互换是可能的→∞Gmj，t=Zj，tand Gmj，t每m，j和t有界于L的边∈ [0，T]是有界变化的连续d，因此a.s.在[0，T]上有界。此外，利用Guasoni（2002）中引理4.3的结果，还可以很容易地证明，由元素| | Gmn |组成的s et是有界f或每个m，n的a.s≥ 1.最终结果如下（24）。

然后，由于Gmj，皮重对于每m，j和t一致有界∈ [0，T]极限也是如此。它是凸的（Zn，t，Zn+1，t，…）对于每个t，在L中是有界的（也是a.s.有界的）∈ [0，T]。因此，通过命题1和对角化论证，存在凸权（βj）∞j=nsuch茅草屋，mt=Xj≥nβjGmj，t（26）Cn，mt=Xj≥nβj | | Gmj | t（27）收敛于a.s.为n→ ∞, 每一个t∈ D:=（[0，T]∩ Q）∪ {T}和m≥ 1，随机变量^Wmtand^Cmt。让我∈ N.用√表示Ohm 两人都参加的活动→^Wmtand中国大陆→^Cmta。s、 ，t∈ D、 是true，所以POhm) = 1.很明显，q→^Cmq（w）在D上增加，所以我们可以在f{^Cmq|q中设置Cm0，t=∈ Q、 Q>t}永远∈ [0，T）和Cm0，T=^CmTonOhm. 显然，Cmisright是连续的、非递减的。让ω∈~Ohm 和t∈]0，T[是Cm的连续点。通过Cm的定义，对于任何>0，都存在p，p∈ p<t<pand Cm0，p（w）>Cm0，t（w）- ，Cm0，p（w）<Cm0，t（w）+。然后，再次使用Cm的定义，存在有理数r和N∈ N，p<r<t<r<p≥ N，Cn，mr（w）>Cm0，t（w）-2和Cn，mr（w）<Cm0，t（w）+2。这意味着CN先生（w）- Cn，mr（w）=（Cn，mr（w）- Cm0，t（w））+（Cm0，t（w）- Cn，mr（w））<4和| Wn，mt（w）- Wn先生（w）|≤ Cn，mt（西）- 中国，先生（w）≤ 中国，先生（w）- Cn，mr（w）<4（28），其中第二个不等式之后是总变差的递增性质。由于是任意的且Wn，m（w）收敛于有理数Q∩ [0，T]，它遵循Wn，mt（w）收敛于a。s、 对于Cm和w的每个连续性t点，达到由^Wmt（w）表示的极限∈~Ohm. 因此，C的间断点是一个可数集。通过采用凸组合，我们可以假设。l、 o.g.Wn，mτk在每个不连续点τkof Cm的a.s.到^Wmτk的范围内。因此，Wn、Mt将每个t的a.s.收敛到^wmt∈ [0，T]。显然，Wn，mH是有界变化，且每n的二次变化为零≥ 1和t∈ [0，T]。

第一个属性很容易证明。第二个是二次变量的定义，即→∞十一≥1[Xj≥nβj（Gmj，τki- Gmj，τki-1） ]=Xj≥nβj[Gmj，Gmj]t+limk→∞十一≥1Xj，h≥nj6=hβjβh（Gmj，τki- Gmj，τki-1） （Gmh，τki）- Gmh，τki-1） （29）式中σk:0=τk≤ τk≤ ... ≤ τkik=t是倾向于恒等式的随机划分序列。然后，很容易看出极限^wm也有有界变化和零二次变化。由于m是任意的，我们得出结论Limn→∞林姆→∞Xj≥nβjGmj，t=limn→∞Xj≥nβjZj，t（30）存在a.s.，并且对于每个t等于极限^Wt∈ [0，T]，有界变化过程和零二次变化过程。显然，a.s.极限^W已调整，c\'agl\'ad。这很容易看出，因为极限过程^Wt被表示为^Wt=lims<t，s∈Qs→特利姆→∞林姆→∞Wn，ms.Then，我们很容易发现^W是适应的，有右极限，从左到右是连续的。此外，^W是一个包含大量JUMP的过程。这就完成了证明。备注5。引理5允许我们假设，在一系列凸组合中，序列zn收敛于随机变量^W。然而，它提供了一个比上述结果更重要的结果。在f act中，我们可以在相同的v ein中证明存在α-容许策略Znk的子序列→ ∞ 作为k→ ∞, 把a.s.和k→ ∞, 对于c’agl’自适应过程，仍然表示为b y^W，它有很多ju mps、有界变化和零二次变化。利用Gmn，tare a.s.对everym，n有界这一事实可以证明这个结果≥ 1和t∈ [0，T]，且元素为| | Gmn | |的集合是每m，n有界的≥ 1.应用海利定理便可得到所需的结果。引理5的另一个结果是[Znk，Znk]csconverge指向0作为k→ ∞, 为了伊芙·瑞斯∈ [0，T]，当Znkconvergesa。s、 到^W。

这直接源于[Znk，Znk]c的性质，以及[Znk，Znk]c在M（·0）满足NFLVR时在a.s.土地上有界的事实。关于[Znk，Znk]cTis a.s.有界f或每n的元素集遵循引理4.3 inGuasoni（2002）的相同线的证明。作为引理5的推论，我们有以下结果。推论1。设zn是连续的、α-容许的和有界变化的交易策略的序列。此外，假设M（·，0）满足NFLVR。然后，存在一个序列Zn∈凸面（Zn，Zn+1，…）使得zn收敛于a.s.ωf或每个t∈ [0，T]到一个过程W，它是一个isc\'agl\'ad，适应了无数次跳跃，具有有界变化和零二次变化。定理1。设Kr={VZT | Zis c\'agl\'ad和α-可接受}。如果M（·，0）满足NFLVR，则设置Cr=Kr- L+已关闭。证据为了证明Cris Fatou是封闭的，有必要考虑（gn）n≥1在这种情况下≥ -α、 α>0，且为d极限→∞gn=g a.s。。然后通过证明g证明了这个定理∈ Cr.这反过来意味着找到元素f∈ KRG≤ f.a.s。。根据假设，gn=RTZn，sdM（s，0）+RTZn，sdPZn（s，0）- TZnT≥ -α表示α-可容许。由于隐含交易成本经济满足NFLVR和Znα是可容许的，因此集合Krand（[Zn，Zn]cT）n≥1每n≥ 1在Lby引理3和引理4中有界。接下来，请注意alsoRtZn，sdM（s，0）≥ -α永远是y n和t∈ [0，T]。然后，Delbaen&Schacher-mayer（1994）的定理4.2证明了α-容许被积函数Ln的存在性∈ 凸面（Zn，Zn+1，…），在标准经济中，使得RTLNSDM（s，0）在所有t的半鞅拓扑中收敛∈ [0，T]。此外，限制必须为RTLSDM（s，0）形式。因此，L在标准经济中是α容许的，并且TLNSDM（s，0）的a.s.极限等于a.s。

TZN和sdM的极限值（s，0）。此外，引理5表明存在一个凸组合凸（Zn，Zn+1，…）向西移动。另一方面，这个引理与R emark 5结合表明存在子序列Znk→ ∞ 作为k→ ∞, 这样，ZNK将a.s.收敛到具有有界变化、零二次变化和无数跳跃的自适应c\'agl\'ad过程。我们仍然用^W来表示这个过程。同样，引理5和备注5表明sups∈[0，T]（|Znk，s|）是一个明确的a.s.forevery k≥ 1.利用随机积分的优势收敛定理f，我们得到了RTZNKDM（s，0）→RT^WsdM（s，0）在u.c.p.中作为k→ ∞. 然后，通过极限的唯一性，RTZn，sdM（s，0）收敛于a.s.^WsdM（s，0）。再次使用引理5，因此存在Zn的子序列，用Znk表示，它收敛于。s、 ，作为k→ ∞, 零二次变化和无数次跳跃的c\'agl\'ad适应过程。然后，通过注释5，[Znk，Znk]c每t收敛到0 a.s∈ [0，T]。emma 5，andRemark 5，引理9，引理10和B中的备注7表明TZnkTconvergesa。s、 注意，这适用于所有T∈ [0，T]。以nowRTZn为例，标准差为PZn（s，0）。由于这些是非正随机变量，根据命题1，我们可以假设RTZN，sdPZn（s，0）收敛到一个凸组合序列到一个随机变量η，η<∞ a、 s。。然后，假设znkconverge a.s.到^W，并且＠pznk在半鞅拓扑下收敛到＠P^W，我们得到了alsoRTZn，sd＠PZn（s，0）收敛于a。s、 侵权行为^Wsd^P^W（s，0）。因此，我们找到了一个交易策略^W和一个子序列Znksuch thatf=ZT^WsdM（s，0）+ZT^Wsd^P^W（s，0）- T^WT=limk→∞[ZTZnk，sdM（s，0）+ZTZnk，sdPZnk（s，0）- TZnkT]=ga.s.（31）RTZnk，sdM（s，0）+RTZnk，sdPZnk（s，0）-TZNKT将a.s.转化为g.a.k→ ∞ 意味着这个极限等于a.s。

gn的极限。显然，RT^WsdM（s，0）+RT^WsdP^W（s，0）- T^wt属于空间Kr。这结束了屋顶。推论2。如果我们将集合Krin定理1限制为有界变差α-可容许的连续集，则集合crz成为凸锥。此外，它是Fatou闭的，因此可以简单地应用Krein-Smulian定理和支配收敛定理Cr∩L∞是σ（L）∞, 五十） -关闭。Cris Fatou关闭的事实可以用矛盾来证明。事实上，假设受连续和有界变化限制的交易策略不是Fatou封闭的。这意味着存在一个序列（VZnT）n≥1与VZnT≥ -α、 α>0，并且limn→∞VZnT=fa。s、 但是，如引理5，我们可以使用Bank&Baum（2004）和C,etin等人（2004）获得的结果来近似形式为RTZSDM（s，0）+RTZsdPZ（s，0）的u.C.p.随机积分与连续和有界变量的随机积分。这意味着我们可以找到一系列α-容许交易策略（Kmn）m≥1.隐含交易成本经济中的连续和有界变化，使得VKMNT趋向于VZNTAS m→ ∞ 对任何人来说≥ 1.因此，我们可以找到VKMNT趋向于a.s.toVZnT的子序列。因此，作为n→ ∞, 林姆→∞VKmnt将等于VZnT的极限。使用OREM 1中的证明，该限值必须为RTFSDM（s，0）+RTFsdPF（s，0），其中F是可预测的过程。假设金融机构不受有界变量交易策略连续性的限制。这意味着F是一个非连续过程，这与Cris Fatou在隐性交易成本经济中的封闭性相矛盾。在证明隐含交易成本下的FFTAP之前，让我们先证明另一个简单引理。引理6。假设M（·，0）存在一个等价的Q-局部鞅测度。

然后，C的标准经济满足NFLVR属性。因此，隐性交易成本经济具有NFLVR。证据假设存在一个等价的Q-局部鞅测度。C中的定理4表明标准经济具有NFLVR。然后，可以很容易地推断，标准经济中的NFLVR意味着隐含交易成本经济中的NFLVR。事实上，VZT≤RTZsdM（s，0）a.s.对于隐式交易成本经济中的每个α-容许交易策略。此外，来自VZT≥ -α它跟随着RTZSDM（s，0）≥ -α. 也就是说，隐式交易成本经济中的每个Zα-容许交易策略在标准经济中也是α-容许的。接下来是断言。定理2。隐式交易成本经济满足NFLVR i f，且仅当存在与P等价的Q-局部鞅测度时，M（·，0）才是Q-局部鞅。证据假设存在一个等价的Q-局部鞅测度。使用L emma 6，我们在标准经济中拥有NFLVR。更一般地说，对于每个函数h∈ 政务司司长、行政长官（h）≤ 0，其中cs=（Ks- L+）∩ L∞Ks={RTZsdM（s，0）：Zisα-可容许和可预测}。这当然是CSL关于范数拓扑的闭包∞, 我们有这些∩ L∞+= {0}. 再次调用引理6，我们得出结论，隐性交易成本经济性为NFVLR。鉴于这一结果，Cr∩ L∞+= {0}，其中Cris是Cr的闭包集∩ L∞关于L的范数拓扑∞. 请注意，最后一个等式与定义6一致。反之，假设NFLVR成立。由于M（·，0）满足NFLVR属性∩L∞) ∩ L∞+= {0}.假设M（·，0）是有界的。接下来，为每个u<t，Au定义∈ 傅，c∈ 基本过程ψc（s）=c1Au（u，t）（s），这是可预测的，c\'agl\'ad有无数的跳跃，并且很少有有有界二次变化。