隐性交易成本与资产定价基本定理

此外，M（t，y）和P（t，y）是CINy∈ R、 M′（t，y）、P′（t，y）以及M′（t，y）、P′（t，y）是t中局部有界的c′adl′ag，其中X（t，y）y=X′（t，y）和X（t，y）y=X′（t，y）。为了证明为A和B选择的函数形式是正确的，我们利用M和P的性质来编写A和B的价格asA（t，y）=[M（t，0）+P（t，0）]+[M′（t，0）+P′（t，0）]y+oM（t，y）+oP（t，y）（2）B（t，y）=[M（t，0）-P（t，0）]+[M′（t，0）-P′（t，0）]y+oM（t，y）-oP（t，y）（3），其中A（t，0）、B（t，0）、M（t，0）和P（t，0）是边际ask、bid、mid price和bid ask价差。泰勒公式表明，买卖价格是与没有价格影响的经济体相对应的边际买卖价格的总和，买卖价格对交易规模的敏感性，以及近似这些关系时的误差。显性交易成本在实践中很容易量化，因为它们涉及直接的货币支付。相比之下，隐性交易成本更难衡量，因为它们不会导致实际的货币交换。通常在金融文献和大多数专业交易商中，它们被确定为交易规模和交易价格与基准价格之间的差异之间的产品。引用中点给出了一个广泛使用的基准。在我们的环境中，隐性交易成本的一个明显度量可以如下所示。假设2。

给定货币价值的交易（Zτi-Zτi-1） A（τi，Zτi）-Zτi-1） （或（Zτi）-Zτi-1） B（τi，Zτi）- Zτi-1） ），隐式交易成本计算为（Zτi）- Zτi-1） [A（τi，0）-M（τi，0）]+（Zτi- Zτi-1） [A（τi，Zτi- Zτi-1) - A（τi，0）]（或- （Zτi）- Zτi-1） [M（τi，0）- B（τi，0）]+（Zτi- Zτi-1） [B（τi，Zτi- Zτi-1) - B（τi，0）]）。注意（Zτi）-Zτi-1） [A（τi，0）-M（τi，0）]或-（Zτi）-Zτi-1） [M（τi，0）-B（τi，0）]能够捕获非常小的订单的隐含交易成本，或者在没有价格影响的经济体中捕获隐含交易成本。实际上，A（τi，0）- M（τi，0）和M（τi，0）- B（τi，0）是相等的顶部（τi，0），对应于隐含交易成本经济中使用的经典的一半买卖价差，没有价格影响。通过进一步的操作，可以确定隐式交易成本是如何被写为（Zτi）的-Zτi-1） [A（τi，Zτi-Zτi-1) -M（τi，0）]和-（Zτi）-Zτi-1） [M（τi，0）-B（τi，Zτi）-Zτi-1） 【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】隐含交易。假设1强调了订单规模对交易价格的重要作用。标准套利定价理论基于订单规模不影响交易价格的假设。虽然在数学上很方便，但在实践中，交易量对价格的影响不容忽视。事实上，在报价驱动的市场中，一个或多个做市商根据agiven证券的数量发布出价和要价，就是这样。这些市场的例子包括伦敦SEAQ系统和纳斯达克。在订单驱动的市场中，如纽约证券交易所市场，买卖价格对交易量的依赖性也存在。

Blume&Goldstein（1997）对该市场进行了极好的介绍。许多实证研究得出结论，交易规模在决定买卖价格时起着重要作用，但只在交易量的某个区间内起作用。例如，Engle&Patton（2004）通过误差修正模型分析了100只纽约证券交易所股票的报价动态，发现交易量在1000到10000股之间的交易对买卖价格有显著影响。相反，Hasbrouck（1991）通过对纽约证券交易所股票样本的向量自回归模型得出结论，大额交易比小额交易更能增加买卖价差和中间价。有关市场微观结构基础的详细概述，请参见Hautsch（2012）。例1。考虑一个设置，其中inv estor的订单大小为Zτi=Zτi- Zτi-1根据以下公式计算货币价值：ZτiA（τi，Zτi），当投资者购买时ZτiB（τi，Zτi）当他卖的时候。在这种情况下，A（τi，Zτi）和B（τi，Zτi）给出购买（销售）的价格股票的Zτi单位。也就是说，隐含的交易成本相当于ZτiP（τi，0）+Zτi[A（τi，Zτi）- A（τi，0）]和-ZτiP（τi，0）+Zτi[B（τi，Zτi）- B（τi，0）].3投资组合动态3。1离散情况下，时间τi时的投资组合价值过程由Vzτi=Zτi+ZτiM（τi，0）（4）回顾Zand Zmean，最后一个等式表示，必须使用边际中间价来评估投资组合的价值。我们想研究自我融资的投资组合，即没有外部注入或提取资金的投资组合。通过简单可预测的交易策略，自我融资投资组合的概念变得更加明显。我们选择在本段中使用形式为Zu=Z{0}（u）+Pni=1Zτi的c\'agl\'ad转换策略-1（τi）-1，τi]（u），其中0=τ<τ<。。。

<τn=T是停止时间和Zτi的有限序列-1a Fτi-1-r是一个具有| Zτi的dom变量-1| < ∞. 我们还在该交易策略中包括在时间T之后持有的股票数量，Zτn=ZT（T，τn+1）（u），τn+1有限，ZT有界且可测量。在金融文献中，通常认为Z=0和ZT=0。也就是说，投资者在股票中的初始持有量为零，在交易期限T之后的持有量为零。在c\'adl\'ag案例中，自我融资投资组合的推导也以同样的方式进行。定义3。如果每个i=1，2，…，则称投资组合Z为自我融资。。。，NZτi=-M（τi，Zτi）Zτi-P（τi，Zτi）sgn(Zτi）Zτi（5）其中Zτi=Zτi- Zτi-1和sgn（X）=1表示X>0，0表示X=0，以及-1表示X<0。通过考虑两种不同的情况，可以很容易地得到等式（5），Zτi≥ 0和Zτi<0。如果Zτi≥ 0，投资者交换的无风险资产（现金）金额为Zτi=-（M（τi，Zτi）+P（τi，Zτi）Zτi（6）同时Zτi=-（M（τi，Zτi）-P（τi，Zτi）Zτi（7）表示Zτi<0。也就是说，投资者在购买时支付买价，在出售时支付买价。因此，自筹资金方程可以表述如下Zτi=-M（τi，Zτi）Zτi-P（τi，Zτi）sgn(Zτi）Zτi（8）注1。请注意，等式（5）中的自我融资条件与C,etin等人（2004年）和Guasoni等人（2010年）提出的自我融资条件之间存在区别。作者仅考虑公式（5）的第一部分，即：。-M（τi，Zτi）Zτi。假设A（τi，Zτi）=B（τi，Zτi）。简而言之，他们只是将流动性风险纳入了自我融资方程，通过交易量对单一价格的影响来衡量。在这样做的过程中，自我融资方程忽略了在给定时间间隔内以不同的买入和卖出价格进行交易所产生的隐含交易成本。第二位作者考虑了Eq的两个术语。

（5） 但忽略了价格对交易量的依赖性。因此，我们可以确定，本文提出的自我融资条件既考虑了流动性风险产生的隐性交易成本，也考虑了买卖价差。使用Eqs。（4） （8）自融资组合为Zτi=Zτi-1.- M（τi，Zτi）Zτi-P（τi，Zτi）sgn(Zτi）Zτi+ZτiM（τi，0）（9），也就是vzτi=Zτi-1+Zτi-1M（τi）-1, 0) - M（τi，Zτi）Zτi-P（τi，Zτi）sgn(Zτi）Zτi+ZτiM（τi，0）- Zτi-1M（τi）-1，0）（10）递归替换，T时的投资组合价值假设为以下f或mvzt=VZ-nXi=1M（τi，Zτi）Zτi-nXi=1P（τi，Zτi）sgn(Zτi）Zτi+ZTM（T，0）- ZM（0，0）（11），经过一些操作后变成zt=VZ+nXi=1Zτi-1[M（τi，0）- i Mτ-1, 0)]-nXi=1[M（τi，Zτi）- M（τi，0）]Zτi+nXi=1Zτi-1[sgn(Zτi）P（τi，0）- sgn(Zτi-1） P（τi）-1, 0)]-nXi=1[P（τi，Zτi）- P（τi，0）]sgn(Zτi）Zτi+P（0,0）sgn(Z） Z-P（T，0）sgn(ZT）ZT（12），其中我们通常将所有u<0的Zu设置为等于Zf。备注2。等式（12）的右侧说明了投资组合在隐含交易成本经济中的价值。Z+ZM（0，0）给出了标准（隐含交易成本）经济中投资组合的初始值。第二项给出了标准经济中的资本收益（C）。该项加上nxi=1Zτi-1[sgn(Zτi）P（τi，0）- sgn(Zτi-1） P（τi）-1,0）]+P（0,0）sgn(Z） Z-P（T，0）sgn(ZT）ZT（13）给出了只有买卖价差的经济体的资本收益（例如Guasoni等人（2010））。通过将其写为-nXi=1M（τi，0）Zτi-nXi=1P（τi，0）sgn(Zτi）Zτi+M（T，0）ZT- M（0，0）Z（14）这意味着，如果我们假设价格独立于交易量，Z+ZM（0，0）加上等式（14）给出了自融资投资组合。我们还可以看到，当交易策略是有界变化时，上述方程具有连续版本。

还要注意的是，Pni=1P（τi，0）sgn(Zτi）Zτ表示在无价格影响的经济学中，在区间[0，T]内记录的隐含交易成本。术语Pni=1[M（τi，Zτi）-M（τi，0）]Zτi与术语pni=1[P（τi，Zτi）- P（τi，0）]sgn(Zτi）Zτi假定所谓的价格影响，即投资者通过交易一项资产所能产生的价格影响（参见Huberman&Stanzl（2005）对这一概念的更详细讨论）。例如，这些术语的正值意味着投资者购买时价格会上涨，反之亦然。3.2连续案例A显示了连续案例中自我融资投资组合的推导。更具体地说，对于任意随机划分序列σn:0=τn≤ τn≤ ... ≤ τnin=t趋向于恒等式，t∈ [0，T]，在连续时间内的自我融资投资组合readsVZt=VZ+ZtZsdM（s，0）+ZtZsdPZ（s，0）-ZtM′（s，0）d[Z，Z]cs-X0<s≤t[M（s，Zs）-Zs-) - M（s，0）]（Zs- Zs-)-ZtP′（s，0）sgn(Zs）d[Z，Z]cs-X0<s≤t[P（s，Zs）- Zs-) - P（s，0）]sgn（Zs- Zs-)（Zs）- Zs-)-P（t，0）sgn（Zt）-Zt-)Zt（15）当Zis c\'adl\'ag时，vzt=VZ+ZtZsdM（s，0）+ZtZsdPZ（s，0）-ZtM′（s，0）d[Z，Z]cs-X0≤s<t[M（s，Zs+- Zs）- M（s，0）]（Zs+- Zs）-ZtP′（s，0）sgn(Zs）d[Z，Z]cs-X0≤s<t[P（s，Zs+- Zs）- P（s，0）]sgn（Zs+- Zs）（Zs）+- Zs）（16）当Zis c’agl’ad.时，通过做出以下假设，证明了自我融资投资组合的连续版本。假设3。我们假设M（t，y）+sgn（y）P（t，y）在y中是非递减的，即x≤ yimplies M（t，x）+sgn（x）P（t，x）≤ M（t，y）+sgn（y）P（t，y）a.s.P，a.e.t.上述假设的一个间接结果是B（t，y）≤ M（t，0）代表y<0和a（t，y）≥ M（t，0）表示y>0。这一观察结果表明，在一个没有价格影响的经济体中，要价和出价总是比中间价高或相等，比中间价小或相等。随机过程PZ（s，0）定义为sgn(Zs）P（s，0）。

注意，pz是一个局部有界半鞅。这是因为sgn(Z·）在紧集上有界变化，这是由于有限凸假设，因此是一个半鞅。随后，我们注意到半鞅的乘积也是半鞅。正如上面两个等式中所指出的，Zis由Z唯一确定。特别是，当Zis c\'adl\'ag和连续时，VZis c\'adl\'ag。因此，在这种情况下，Zbeing可选是合理的。另请注意，当过滤满足通常条件时，每个半鞅都有一个c\'adl\'ag版本。从今以后，半鞅可以在c\'adl\'ag版本中使用。同样，当Zis c’agl’ad时，选择Zl’adl’agadapted也是合理的。备注3。自我融资投资组合的连续版本说明了与金融文献中通常的自我融资投资组合的重要区别。关于分析交易成本下套利定价理论的文献，它假设价格不仅取决于时间和随机性，还取决于交易量。另一方面，它与C,etin等人（2004）提出的不同，因为现在我们假设买卖价格不同。他说，交易的标志很重要，因为它决定了投资者交易的价格。这也解释了为什么我们在自我融资投资组合中有额外的条款。4交易成本下的第一个基本定理本节的目的是给出在前面章节所述模型中不存在套利机会的条件。作为第一步，我们将首先证明，如果存在等价的局部鞅测度，则在最终交易成本经济中存在NA。

然后，通过只关注基于二次变量的c’agl’ad适应交易策略，并利用整数跳数，我们将证明，当且仅当存在等价的局部鞅测度时，隐式交易成本经济中存在NFLVR。在给出结果之前，有必要介绍并正式确定两个关键概念：投资组合可接受性和套利机会。定义4。如果定义1中定义的交易策略Zde是α可容许的，则过程Z称为α可容许。记住这一点，如果存在常数α>0，使得Vz=0，VZt，则自我融资策略Ziα是可容许的≥ -αa.s.P，a.e.t∈ [0，T]（17）直觉上，套利机会的概念相对容易理解——当一个投资组合允许投资者无风险地赚钱时，它就是一个不可预测的机会。然而，将这个概念形式化比人们想象的要复杂得多。关于套利机会，我们必须区分两个标准概念，NA和NFLVR。NNA和NFLVR之间的区别很重要，因为前者不足以排除适当的任意性。熟悉标准套利定价理论的读者此时会想起套利的标准定义如下。定义5。α-容许策略Zis称为[0，T]上的套利ifVZ=0，VZT≥ 0 a.s.P和P（VZT>0）>0（18）如果没有α-可容许的交易策略，市场是无套利的（18）。现在的目标是证明，即时交易成本经济不包括满足上述定义的交易策略。为了证明这个结果，我们需要下面的引理。引理1。

分别假设3和Zc\'adl\'ag和c\'agl\'ad，过程stzt=ZtM′（s，0）d[Z，Z]cs+X0<s≤t[M（s，Zs）- Zs-) - M（s，0）]（Zs- Zs-)+ZtP′（s，0）sgn(Zs）d[Z，Z]cs+X0<s≤t[P（s，Zs）- Zs-) - P（s，0）]sgn（Zs- Zs-)（Zs）- Zs-) （19） andTZt=ZtM′（s，0）d[Z，Z]cs+X0≤s<t[M（s，Zs+- Zs）- M（s，0）]（Zs+- Zs）+ZtP′（s，0）sgn(Zs）d[Z，Z]cs+X0≤s<t[P（s，Zs+- Zs）- P（s，0）]sgn（Zs+- Zs）（Zs）+-Zs）（20）在区间[0，T]上非负且不递减。证据事实上，t是非负的，t是非递减的，这直接来自于假设。请注意，流程TZTG在连续时间设置中提高了价格影响。我们现在准备陈述以下定理，这在套利定价理论中至关重要。引理2。如果存在一个相当于P的概率Q，使得M（·，0）是一个Q-局部鞅，那么隐式交易成本经济具有NA。证据该定理的证明是使用套利定价标准理论中的经典参数推导出来的。L et Q是一个等价的局部鞅测度，并给出了存在套利交易策略Z，使得VZ=0，VZT≥ 0 a.s.P和P（VZT>0）>0。然后，由于Q与P是等价的，我们很容易推断出VZT也是等价的≥ 0 a.s.Q和Q（VZT>0）>0。回顾Zisα-容许，我们得到VZt=RtZsdM（s，0）+RtZsd＠PZ（s，0）-TZt-P（t，0）sgn（Zt）-Zt-)Zt≥ -α对于某些α>0的情况。利用TZtand-RtZsdPZ（s，0）+P（t，0）sgn（Zt）-Zt-)ZT对每一种自我融资交易策略和∈ [0，T]（关于TZt的内容，请参见引理1），我们还发现RTZSDM（s，0）从下方以常数为界-α. 因此atRtZsdM（s，0）是一个Q-lo-cal鞅。然后可以用Fatou引理证明，sinceRtZsdM（s，0）是一个局部鞅，它也是一个QSuper鞅。

此外，这些过程也很复杂-RtZsdPZ（s，0）+P（t，0）sgn（Zt）-Zt-)ZT除了非负性之外，也永远不会减少自我融资的交易策略。这意味着VZT是一个超级艺术家。因此，0≥ EQ（VZT）。这与套利定义相矛盾，因此表明套利不可能存在。c\'agl\'ad案例以同样的方式工作。将重点放在具有有界二次变化和无数跳跃的c’agl’ad适应过程Z上，本节的其余部分提供了必要和充分的条件，使交易成本经济成为套利机会的基础，从而排除了风险消失的免费午餐（FLVR）。此外，它还将FFTAP扩展到了隐含交易成本的经济领域。在进一步讨论之前，我们将首先对FLVR的含义进行定义。定义6。FLVR是一系列αn-容许交易策略，其中VZnT≥ -αn，VZn=0，序列α等于零，我们得到vzntc将a.s.收敛到一个非负变量V，V不等于零。我们说隐式交易成本经济orM（·，0）满足NFLVR性质，如果对于αn-容许交易策略的任何序列Zn，VZn=0，且序列α等于零，我们有VZnT将a.s.收敛到一些非负限制V，然后V=0 a.s。。让我们回顾一个重要的结果，这将在本文的其余部分中经常使用。提议1。设θnbe为[0]的序列，∞)-概率空间上有值可测随机变量(Ohm, F、 P）。存在ψn∈ 凸（θn，θn+1，…）一个序列，使得ψn收敛于a.s.toa[0，∞]-有值函数ψ。此外，如果凸（θn，θn+1，…）在L中有界，则ψ<∞ a、 s。。如果P（θn>β）>δ，则P（ψ>0）>0。证据见Delbaen&Schachermayer（1994），Lemm a A1。1.现在我们继续验证FFTAP。引理3。