隐性交易成本与资产定价基本定理

然后给出策略ψcis的投资组合值nbyvψcT=c1Au（M（t，0）- M（u，0））+c1Au（~Pψc（t，0）-~Pψc（u，0））- TψcT（32）通过假设，TψcT和M（·0），因此也Pψc（·0）是有界的，因此VψcTis是有界的，并且属于Cr∩ L∞.如引理5所示，RTZSDM（s，0）+RTZsdPZ（s，0）形式的随机积分，以及可预测的被积函数Z，可以通过具有连续和有界变化被积函数的随机积分来近似u.c.p。因此，存在一系列连续的、有边界的变异策略ψcns，使得RTψcn，sdM（s，0）+RTψcn，sdPψcn（s，0）趋向于u.c.PψcsdM（s，0）+RTψcsdPψc（s，0）。通过采用以下形式的交易策略，我们可以很容易地看出这一点：ψcn，s=nZss-nψcudu（33）是有界变差的连续且ψcu=ψcfor u<0。然后，ψcntands a.s.到ψc，ψcns一致有界。结果是托卡斯特积分的支配收敛定理。利用推论2，限制有界变差的连续α-容许过程是一个凸锥、Fatou闭和Cr∩L∞是σ（L）∞, 五十） -关闭。

然后，Kreps-Yan分离T heorem（见Kreps（1981）和Yan（1980））意味着存在一个概率Q，相当于P，比如EQ（h）≤ 每小时0∈ 铬∩L∞.观察Vψcnt表明Vψcnt在Cr中∩ L∞仅限于有界变差的连续α-容许过程，对于所有ψcn，TψcnT=0。常占优收敛定理的另一个应用→∞EQ（ZTψcn，sdM（s，0）+ZTψcn，sdPψcn（s，0））=EQ（ZTψcsdM（s，0）+ZTψcsdPψc（s，0））=EQ（c1Au[（M（t，0）+Pψc（t，0））- （M（u，0）+Pψc（u，0））（34）根据前面的考虑，我们得到了等式（VψcnT）≤ 0表示所有n和solimn→∞EQ（VψcnT）=EQ（c1Au[（M（t，0）+Pψc（t，0））- （M（u，0）+Pψc（u，0）））=EQ（c1Au[A（t，0）- A（u，0）]）≤ 0（35）和Limn→∞EQ（Vψ）-cnT）=EQ(-c1Au[（M（t，0）+Pψc（t，0））- （M（u，0）+Pψc（u，0）））=EQ(-c1Au[A（t，0）- A（u，0）]）≤ 0（36）表示c>0。通过同样的论证，c<0意味着等式[c1Au（B（t，0）- B（u，0））]=0。根据上述事实，我们可以很容易地注意到等式[c1Au（M（t，0）- M（u，0））]=0，因此M（·0）是Qmartingale。对于一般情况，我们可以应用Delbaen&Schachermayer（1994）的推论1.2来证明Q是M（·0）的局部martin gale测度。定理的证明到此结束。备注6。请注意，与C,etin等人（2004）论文附录A.4中的内容类似，我们可以证明隐式交易成本经济的num’eraire不变性定理。更重要的是，M（·，0）作为一个Q-局部鞅，也意味着经济体只有通过买卖价差衡量的隐含交易成本，并且具有连续的有界变化交易策略（Guasoni et al。

（2010年）没有套利机会。5隐式交易成本经济中的套期保值在本节中，我们假设存在一个等价的Q-局部鞅测度，因此前一节中的标准和隐式交易成本经济都不存在任意性。然后，利用无套利属性确定隐含交易成本经济是否完整。此外，在本节中，我们假设M（·，0）是属于空间H的特殊半鞅（定义见Pr otter（2004）），Q下的无穷大由| |[M，M]1/2给出∞||L2+| | R∞|dAs||L2<∞.定义7。（i）未定权益是任何FT可测量的随机变量X，等式（X）<∞. 如果存在一个允许的自我融资投资组合Z=（Z，Z），且Q A.s.X=VZT（37）（ii）如果每个或有权益都是可对冲的，则隐性交易成本经济被称为FT complete，则或有权益X被称为可对冲（或可复制或可实现）。我们还假设等价的Q-局部鞅测度是唯一的，因此标准经济满足SFTAP。也就是说，等价局部鞅测度eQ的唯一性意味着标准经济是完全的。换言之，对于某些可容许的可预测交易策略，X=b+RTZsdM（s，0），如等式（RT（Zs）d[M（s，0），M（s，0）]s<∞. 请注意，等式（X）=b给出了标准经济条件下未定权益X的风险中性价格。结合这一结果，对于每一个X，在标准经济中存在一个可接受的可预测交易策略D，等式（RT（Ds）D[M（s，0），M（s，0）]s）为1/2∞ 这样方程（37）可以写成X=b+ZTDsdM（s，0）=VZT（38），其中b=Z+DM（0，0）=EQ（X）。来自C,etin等人的引理4.1。

（2004），RTDsdM（s，0）可以在L（Q）-空间中通过TDN、sdM（s，0）进行近似，其中d是可容许的，有界变量交易策略的连续性与EQ（RT（Dn，s）d[M（s，0），M（s，0）]s<∞. 现在把Zn，0=EQ（X）和Dn，0=0表示所有n。然后，Zn，0+Dn，0M（0，0）+RTDn，sdM（s，0）+RTDn，sdPDn（s，0）- tdntl在L（Q）中收敛为等式（X）+RTDsdM（s，0）+RTDsdPD（s，0）为n→ ∞.因此，我们可以得出这样的结论：隐性交易成本经济在定义37的意义上是不完全的，但至少投资者可以通过使用连续的有界变化策略来更好地估计（在L（Q）意义上）包含索赔的价值。简单地说，它指出，在具有隐含交易成本的市场中，使用连续和有界变化的交易策略是处理套期保值问题的最佳选择。6隐性交易成本经济的例子本节的目的是将前几节的结果应用于订单规模呈线性和非线性的隐性交易成本经济。6.1线性隐式交易成本经济隐式交易成本经济的线性形式是由Engle&Patton（2004）和d Hasbrouck（1991）的工作推动的，我们在第。2.其他研究也发现交易价格和交易量之间存在线性关系。例如，Blais（2005）和Blais&Protter（2010）使用线性回归模型表明，对于流动性股票，这种关系是线性的，具有时变斜率和截距。建议的线性供给曲线的形式为（t，y）=Nty+S（t，0）（39），其中N是具有连续路径的随机过程，S（·0）是边际价格过程。

注意，对于买卖订单，价格对订单大小N的敏感性是相同的。Blais（2005）表明，假设Nt=0可以以0.9999的显著水平被拒绝。回到我们的框架，我们需要注意的是，我们必须确定两个主要的询价和报价流程，即A（·0）和B（·0）。我们假设这些过程的形式为（t，0）=M（t，0）+γt（40）B（t，0）=M（t，0）- γt（41），其中γt>0是一个连续的随机过程。请注意，A（t，0）>B（t，0）和P（t，0）=2γt。使用上述方程，我们定义了隐含交易成本经济中的M（t，y）和P（t，y）followsM（t，y）=[（βt+λt）y+2M（t，0）]=[（βt+λt）y]+M（t，0）（42）P（t，y）=A（t，y）- B（t，y）=（βt- λt）y+P（t，0）=（βt- λt）y+2γt（43），其中βt>0，λt>0，带βt≥ λt也是连续的随机过程。我们可以用M（t，y）和P（t，y）来表示买卖双方的价格，这两种价格分别是A（t，y）=A（t，0）+βty（44）B（t，y）=B（t，0）+λty（45）orA（t，y）=M（t，0）+γt+βty（46）B（t，y）=M（t，0）- γt+λty（47）式。从数学角度来看，（46）和（47）可能是负数，但这实际上是不可能的，因为要价和出价都是正数。这些方程应被理解为买卖价格的供给曲线方程，这意味着当投资者想要购买或出售给定股票的| y |股时，它们给出了股票的价格。现在确定t。系数β和λt决定了询价和报价如何响应订单规模中的每一个ge。人们可能会认为，对于Liquid股票而言，这些系数非常小。然后，（46）和（47）给出了两条直线的方程，具有正的截距和斜率。因此，买卖价格是订单规模y的一个递增函数。

另一种说法是，高正订单的要价和出价较高，而高负订单的要价和出价较低。我们可以很容易地检查线性隐式交易成本经济是否满足前面章节中的假设，因此每个可接受的交易策略的投资组合的价值可以像第C小节中那样推导出来。3.2.6.2非线性隐性交易成本经济学根据C,etin等人（2002）和C,etin等人（2004）的相同精神，我们考虑了BS经济的一个扩展，包括隐性交易成本。为此，我们认为，在线性情况下，边际价格由以下等式决定：a（t，0）=M（t，0）+γt（48）B（t，0）=M（t，0）- γt>0的γt（49），以及M（t，y）和P（t，y）被赋予asM（t，y）=eαyM（t，0）（50）P（t，y）=2eαyγt（51），α>0。给定M（t，y）和P（t，y），我们很容易计算出隐含交易成本经济中的价格有以下表达式a（t，y）=eαyM（t，0）+eαyγt（52）B（t，y）=eαyM（t，0）- eαyγt（53）6.3 Black-Scholes模型假设M（·，0）是一个类似于BS使用的半鞅。在BS模型中，股票价格按照几何布朗运动演化，具有恒定的漂移和波动性。因此，在p概率测度p下，股价动态由dm（t，0）=uM（t，0）dt+σM（t，0）dWt（54）给出，其中W是t=0时的标准布朗运动零点，u，σ是常数。众所周知，BS模型不存在套利机会，而且是完整的，因此，每一个有关联的索赔都是可以接受的。特别是，这意味着前面章节中提出的理论很好地适用于BS模型，因此BS模型中的股票价格是发挥M（·，0）作用的理想选择。6.4交易成本下的欧式看涨期权考虑到期日为T、执行价为K的欧式看涨期权。

我们假设欧洲看涨期权包含一个实际交付功能。这意味着，为了避免不必要的交易成本，看涨期权持有人将以K价购买股票，然后以最高价格出售。因此，通话时间T的支付应该是X=max[M（T，0）- K、 0]。注意，通过等式。（46）和（47），（52）和（53），B（T，0）大于B（T，y），对于每一个小于M（T，0）的y。在BS模型下，t时刻的欧式看涨期权价格由φ（t，M（t，0））=M（t，0）Φ给出σ√T- t（logM（t，0）K+σ（t- t） )- KΦσ√T- t（logM（t，0）K-σ（T）- t） )（55）式中Φ（·）是标准累积正态分布函数，Φ（dt）=Φσ√T- t（logM（t，0）K+σ（t- t） )（56）给出了欧洲看涨期权的增量，或等效地，BS经济中欧洲看涨期权的复制交易策略。这种交易策略是非负的、连续的无界变化，并且具有有限的二次变化。然而，这种策略在前面的模型中是允许的。事实上，在等式（15）或（16）中插入这种交易策略，并假设隐含交易成本经济与M（·，0）呈线性关系，就像在BS模型中一样，投资组合的价值等于vΦT=Z+Φ（d）M（0，0）+ZTΦ（ds）dM（s，0）+ZTΦ（ds）dPΦ（s，0）-ZT（βs+λs）ds-ZT（βs）- λs）sgn(Φ（ds））ds（57），其中TΦT=ZT（βs+λs）ds+ZT（βs- λs）sgn(完整的BS经济意味着VΦT=EQ（X）+ZTΦ（ds）dM（s，0）+ZTΦ（ds）dPΦ（s，0）-ZT（βs+λs）ds-ZT（βs）- λs）sgn(Φ（ds）ds=X+ZTΦ（ds）dPΦ（s，0）-ZT（βs+λs）ds-ZT（βs）- λs）sgn(Φ（ds））ds（59）交易成本的存在，正如人们从等式中看到的。（59），对vΦT有相当大的影响。此外，β和λ的增加导致投资组合的价值降低。但是，请提交给Sec。

5在L（Q）意义下，存在允许的连续有界变化交易策略的序列Φnof，这样就可以消除价格对投资组合价值的影响。欧洲看跌期权案例的结果完全是一个空谈。在非线性的合法交易成本经济和BS模型中的M（·，0）条件下，复制了欧洲海底呼叫的交易策略。6.2相同，组合的值由vΦT=EQ（X）+ZTΦ（ds）dM（s，0）+ZTΦ（ds）dPΦ（s，0）给出-ZTαM（s，0）ds-ZTαγssgn(Φ（ds）ds=X+ZTΦ（ds）dPΦ（s，0）-ZTαM（s，0）ds-ZTαγssgn(Φ（ds））ds（60）7结论本文的目标是建立一个隐含交易成本的套利定价模型。为了便于理解该模型，本文使用线性和非线性隐式交易成本经济对该模型进行了说明。关于现有文献，本文将一般隐含交易成本纳入标准套利定价理论。这是通过让ASK和出价取决于交易量来实现的。更重要的是，证明了标准套利定价理论中所述的资产定价第一基本定理（FFTAP）仍然有效。此外，与财务文献相反，所提出的模型表明，连续交易不仅限于有界变化的交易策略，而且也限于有界二次变化的交易策略。最后但并非最不重要的一点是，该模型表明，使用连续和有界变化的交易策略可以消除交易活动产生的价格影响。

换言之，投资者在使用这些交易策略进行交易时，只需支付传统的隐性交易成本，即买卖价格差异的一半。自融资投资组合不同于C,etin等人（2004年）提出的投资组合，因为买卖订单的价格不同，鉴于价格取决于订单大小，自融资投资组合也不同于Guasoni等人（2010年）提出的投资组合。此外，当交易策略连续且变化有限时，自融资投资组合与Guasoni等人（2010）的投资组合相似。因此，仅限于这些交易策略的FFTAP也适用于Guasoniet al.（2010）中的模型。未来的研究方向可能包括：a）在更一般的交易策略下证明FFTAP，这里FFTAP适用于c\'agl\'ad（左连续右限），适用于具有完全多跳的边界二次变化交易策略，b）针对边际中间价和边际买卖价差的一般形式，开发自我融资投资组合的连续版本，这里我们假设这些是c\'adl\'ag局部有界半鞅，c）更详细地研究了隐含交易成本下的套期保值问题。一个自我融资的投资组合本附录的目的是为每个t∈ [0，T]。设σn:0=τn≤ τn≤ ... ≤ τnin=t是趋向于恒等式的随机划分序列。取式（12）的第一和第三和，并将其计算为n→ ∞. 很容易看出，这些只是it\'o积分。第二个结果是定义1和假设1。关于其他项，证明遵循C,etin等人（2004）中定理A.3给出的模式。

在我们开始这个证明之前，让我们回顾一个重要的引理，在我们的例子中，它适用于Zsince的所有跳跃，假设Zsince有很多跳跃。引理7。设f是[a，b]上的c\'adl\'ag（c\'agl\'ad）函数。定义Jf=y∈ [a，b]：|f（y+）-f（y）-)| >}. 然后，Jf对于每一个>0都是有限的。证据例如，见Folland（1999年）。为了简单和节省空间，我们通常将m（τni，Zτni）+P（τni，Zτni）sgn(Zτni）Zτni（61）乘以W（τni，Zτni）。现在写出Pni=1[W（τi，Zτi）- W（τi，0）]Zτias limn→∞圆周率≥1[W（τni，Zτni）-W（τni，0）]Zτni。然后，我们可以很容易地验证这个极限也等于托利姆→∞十一≥1[W（τni，Zτni）- W（τni，0）]Zτni=limn→∞X | Zτni-Zτni-1|≤[W（τni，Zτni）- W（τni，0）]Zτni+limn→∞X | Zτni-Zτni-1 |>[W（τni，Zτni）- W（τni，0）]Zτni（62）因此，我们必须证明右边的项以n的形式存在→ ∞. 让我们关注第二项，假设zi是一个c\'adl\'ag过程。根据上述引理，JZ是有限的，因此第二个极限可以写成x∈JZ[W（s，Zs）- Zs-) - W（s，0）]（Zs- Zs-) （63）关于第一项，我们对每个M（τni，·）和P（τni，·）应用泰勒近似。那么，林→∞X | Zτni-Zτni-1|≤[（M（τni，Zτni）- M（τni，0））+（P（τni，Zτni）sgn(Zτni）- P（τni，0）sgn(Zτni）]Zτni=limn→∞X | Zτni-Zτni-1|≤[M′（τni，0）+P′（τni，0）sgn(Zτni）](Zτni）+limn→∞X | Zτni-Zτni-1|≤[oM（τni，Zτni）+oP（τni，Zτni）sgn(Zτni）]Zτni=limn→∞十一≥1[M′（τni-1,0）+P′（τni-1,0）sgn(Zτni）](Zτni）+limn→∞十一≥1[（M′（τni，0）+P′（τni，0）sgn(Zτni）-（M′（τni）-1,0）+P′（τni-1,0）sgn(Zτni）](Zτi）- 画→∞X | Zτni-Zτni-1 |>[M′（τni，0）+P′（τni，0）sgn(Zτni）](Zτni）+limn→∞X | Zτni-Zτni-1|≤[oM（τni，Zτni）+oP（τni，Zτni）sgn(Zτni）]Zτni（64）让我们关注第一个极限。