投资组合优化中的七宗罪

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英文标题：
《Seven Sins in Portfolio Optimization》
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作者：
Thomas Schmelzer and Raphael Hauser
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Although modern portfolio theory has been in existence for over 60 years, fund managers often struggle to get its models to produce reliable portfolio allocations without strongly constraining the decision vector by tight bands of strategic allocation targets. The two main root causes to this problem are inadequate parameter estimation and numerical artifacts. When both obstacles are overcome, portfolio models yield excellent allocations. In this paper, which is primarily aimed at practitioners, we discuss the most common mistakes in setting up portfolio models and in solving them algorithmically.
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中文摘要：
尽管现代投资组合理论已经存在了60多年，但基金经理往往很难让其模型产生可靠的投资组合配置，而不必通过严格的战略配置目标约束决策向量。这个问题的两个主要根源是参数估计不足和数值伪影。当这两个障碍都被克服时，投资组合模型会产生出色的配置。本文主要针对实践者，讨论了在建立投资组合模型和算法求解时最常见的错误。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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2022-5-5 02:37:24 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 七宗罪 Optimization Practitioner

投资组合优化中的七宗罪托马斯·施梅尔泽和拉斐尔·豪塞拉斯特拉特。虽然现代投资组合理论已经存在了60多年，但基金经理往往很难让其模型产生可靠的投资组合分配，而不需要通过严格的战略分配目标来训练决策向量。这个问题的两个主要根源是参数估计不足和数值伪影。当两种情况都被克服时，投资组合模型会产生出色的配置。本文主要针对实践者，讨论了在建立投资组合模型和在算法上解决它们时最常见的错误。AMS科目分类。小学91G10。次级90C25，90C90。关键词。投资组合理论，均值-方差优化，二次曲线优化。1.导言。现代投资组合理论[17,22,23]将资产配置问题描述为一个优化模型，其目标是在将估计风险保持在最低水平（“风险预算”）的前提下，最大化预期投资组合回报。从理论上讲，这种方法应该导致在各种可投资资产之间谨慎地分配不同的资产。然而，在实践中，从投资组合模型计算出的最佳资产配置通常被视为违反直觉且分散性差，因为它们可能只包含少数资产中的大量头寸，以及大量非常小的头寸[18]。为了克服这个问题，基金经理经常以战略分配目标的形式引入额外的约束。然而，我们发现，如果投资组合模型中的参数估计和数值计算都进行得非常仔细，那么设定分配目标是艺术性的，也是不必要的。本文主要针对从业者。

受Wilmott[28]的一篇文章启发，我们列出了porfolio优化中应该不惜一切代价避免的七个错误。2.模型问题。最著名的投资模型是Markowitz[17]的单周期均值-方差（MV）模型。出于本文的目的，我们仅限于此模式，因为它非常简单，在读者中广为人知，但在金融方面却有着根本的利益。对于涉及更一般风险术语的更复杂的多周期模型，可以进行非常类似的讨论。为了完整性和定义符号，我们先简要回顾一下MV模型。投资者希望积极管理n种风险资产的投资组合。投资者在投资期间[t，t+1]（一小时，一天，一周，一个月，…）持有资产i的固定头寸xi（t），最后，他/她准备调整位置A。资产i的预期收益为E[Ri]。Ri是描述投资期间[t，t+1]资产i单位头寸回报率的随机变量。因此，预期的投资组合回报率为xixie[Ri]=xTE[R]。投资组合收益的方差为xi，jxixjcij=xTCov（R，R）x。n×n方差协方差矩阵Cov（R，R）的元素cijo=Cov李，Rj:= E里- E[Ri]Rj- Rj[E].投资者面临的问题是决定头寸xi（t）。该问题的均值-方差方法建议通过解决以下优化问题来选择位置，x（t）=arg maxx∈RnxTE[R]（2.1）s.t。

xTCov（R，R）x≤ σmax，其中arg max指的是x∈ 目标函数最大化的地方。为了使模型（2.1）在实践中可用，需要用估计值ui代替期望值和协方差≈ E[Ri]，σij≈ 冠状病毒李，Rj.这通常是通过使用历史价格和时间t时可用的其他数据的专有方法完成的。要解决的实际问题是thenx（t）=arg maxx∈RnxTu，（2.2）s.t.xTQx≤ σmax，其中·t表示向量的转置，u表示ui的向量，Q表示σij的矩阵。满足优化问题约束的决策向量集F称为可行域。对于模型问题，这是由不等式约束xTQx诱导的椭球的内部≤ σmax.如果F是凸集（即，对于任意一对点x，y∈ F线段{ξx+（1）- ξ） y:ξ∈ 在x和y之间的[0，1]}位于F），如果F是凸函数（即，对于任何x，y∈ F和ξ∈ [0,1]，f（ξx+（1- ξ） y）≤ ξf（x）+（1）- ξ） f（y）），则该问题称为凸优化问题。如果Q为对称正定义且u6=0，则该问题的解析解为asx*= σmaxQ-1upuTQ-1u. （2.3）凸问题的一个等价定义是要求题词epi f:={（x，z）∈F×R:F（x）≤ u}是一个凸集。-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-10123x1x2Fig。2.1. Q的期望方差xTQx的等高线=0.2 0.10.1 0.2. 红线标记了椭球体xTQx的边界≤ 1.Q的特征向量定义了椭球体的主方向和特征值平方根的倒数是相应的赤道半径。注意，xT*Qx*= σmax，例如，最佳值位于上述Dellipsoid的边界处。在本文中，我们引入了X6=0的夏普比[23]，即asS（x）=xTu- rfpxTQx，其中rfpxTQx是在考虑的投资期内的无风险利率。

此后，我们将以天为单位假设短期投资期，并将rf设置为0，但所有计算都很容易扩展到rf=0的情况。请注意，SharpeRatio S（x*) 最优投资组合的风险不依赖于σmax.3。七宗罪的清单。我们将模型公式、参数估计和算法解决方案确定为投资组合优化的潜在领域。另一个矿区涉及参数不确定性。为了将本文的技术难度降到最低，我们选择不在这里讨论这个问题，但我们建议读者参考关于稳健优化的大量最新文献[3,4,6,8,9,10,11,12,20,21,27]。我们选择了七种最常见的建模方法来讨论最常见的TCO结果。3.1. 协方差矩阵中的负特征值。这是一个真正的经典，值得在这里排名第一。一个单一的负特征值（即使接近零）可能会毁掉一切。在实践中，协方差矩阵Q是使用历史数据估计的。对每个条目使用独立的过程来估计矩阵的元素是很有诱惑力的，例如具有不同更新率的移动平均值。这是一个灾难的食谱。我们说明了结果：设Q是一个对称实矩阵。然后存在一个实正交矩阵xV，使得D=VTQV是一个对角矩阵。D的对角项是Q的特征值。V的列是特征向量。假设存在一个与负特征值λ相关的特征向量v。然后vTQv=λvTv=λ<0。因此，我们可以找到一个方差为负的投资组合，即v对应于负风险的投资组合。

取权重x=符号（uTv）τv，其中当uTv>0时符号（uTv）=1，且-1否则，在τ>0的情况下，我们获得一个预期回报τ|uTv |的投资组合，该投资组合满足风险预算，因为（τx）TQ（τx）=-τλ<0<σmax。这可能会诱使人们错误地认为不会超过风险预算，从而采取任意大的立场。一些人认为，引入额外的约束条件，如自我融资条件Pixi=1和非卖空条件xi≥ 0避免大仓位的问题。然而，这些头寸仍然是完全无意义的，额外的约束可能不适用于所有资产类别。虽然有一些方法可以纠正估计和污染的协方差，见Higham[13]，但我们发现，仔细分析估计过程本身会为交易策略增加更多价值。3.2. 没有意识到病态。罪的第二个和更多的微妙之处是。对于几乎没有秩的矩阵，图2.1中的椭球变得非常雪茄形状。即使矩阵的扰动很小，与小特征值相关的特征向量也会发生强烈变化。在典型的回溯测试中，这样一个矩阵的条目会被更新，因此椭球会旋转。即使Q只有正特征值，它们也可能太小。qisq的反比-1=vd-其中V和D是上述特征向量和特征值的矩阵。这种分解可以表示为外积之和，即isQ-1=nXi=1λivivTi。我们假设λ≥ λ≥ . . . ≥ λn.插入（2.3）产量x（t）=σmaxpuTQ-1unXi=1vTiμλivi。位置x（t）是n个主要投资组合vi的线性组合。该项仅适用于标准模型的显式解。在约束更多的问题中，病态的影响同样重要。

这揭示了马科维茨模型的基本问题：权重标度为λ-1，也就是说，优化器将尝试将头寸与具有小特征值的主要投资组合对齐。Michaud[18]将这种影响称为估计误差的最大化，因为与小特征值相关的特征向量对噪声最敏感。在实践中，人们经常观察到这会导致相当极端的情况。有很多方法可以克服这种行为。一种常用的方法是忽略x（t）和中小于阈值的特征值。通常，阈值是由Wigner半圆分布引起的。另一个强大的方法是，例如，对于未来合同的投资组合来说，自我融资条件没有意义。使用收缩估计器[7,14,15,16,25]，其中最简单的是凸组合Q=κQ+（1- κ） 我，0≤ κ ≤ 1其中I是单位矩阵。所以Qare（1）的特征值- κ） +κλi>（1）- κ).虽然向I方向的矩阵收缩不会改变特征向量，而且特征向量对噪声同样敏感，但特征值会发生变化（特别是大于1）- κ). 这削弱了最后几个特征向量的影响，尤其是当u趋向于与它们正交时。Zuev[29]提出了第三种方法，显示了出色的实际结果，他使用半有限元编程来最大化位于对称正有限元矩阵集合某个子集中的协方差矩阵qt中的最小特征值。3.3. 进行中间步骤。我们已经观察到，有些人觉得在优化过程中使用一个更简单的中间阶段来绕过所有的数学问题是很容易的。一些实践者没有解决玩具问题（2.1），而是首先确定导致最大预期回报的单位向量y。这个向量是u/kuk。

在第二阶段中，他们确定达到ηyTQy=σmax的比例因子η。使用这种方法，最佳向量是y*= ηy=σmaxupuTQu。虽然这看起来与解析解（2.3）很接近，但存在着巨大的差异：在y的分子中*Q中包含的所有信息都将被忽略。因此，这种方法没有利用多元化，这是投资组合而不是单一资产的一个无可争议的好处。更糟糕的是，分母中潜伏着一些危险。一旦u与对应于最小特征值的特征向量对齐，分母就可能非常小，从而放大位置大小，从而扩大投资组合。现代解算器可以通过几十个中间步骤迭代可行域，这些步骤收敛到唯一的全局最大值（2.2）。然而，这些步骤的选择应该留给解算器。3.4. 没有认识到凸性。大多数投资组合优化模型都是凸规划问题，这是一类数学结构丰富的优化问题[2,5]。非凸优化问题可能有多个局部极值，无法保证收敛到全局极值（可能不是唯一的），因为解算器可能会被任何局部极值吸引[19]。当多个优化问题按顺序求解时，每次解都可能被吸引到不同的局部极值，即使模型参数变化很小，这可能会导致较高的交易成本。

因此，通常更倾向于使用凸投资组合模型来避免这些成本，或者至少进行广泛的回溯测试来估计这些成本对绩效的影响。一个相关的问题是，当凸性隐式地存在于模型中时，无法识别它，因为这会阻止人们使用凸优化软件，该软件能够比大多数非凸解算器更高效、更稳健地解决问题。例如，考虑一位投资组合经理，他旨在最大化夏普比率[23]x（t）=arg maxx∈RnS（x）。（3.1）我们注意到，夏普比率没有定义为x 6=0和S（x）x k的极限→ 0不存在。此外，夏普比率函数没有唯一的最大化子，因为对于所有τ>0和x6=0，S（τx）=S（x）。将模型（3.1）与非凸解算器结合使用可能会导致对靠近原点的点的S（x）进行评估，从而导致数值不准确。为了避免这个问题，我们希望避免起源和周围一个相当大的区域。利用S（τx）=S（x）这一事实，我们可以重新调整x的比例，使其满足yPxTqx=σmax。因此，问题变成了sx（t）=arg maxx∈RnS（x），s.t.pxTQx=σmax。S（x）的分子现在被限制在一个固定的数字上，它在S（x）的最大化中不起作用，可以忽略，也就是说，可以通过解决更简单的问题x（t）=arg maxx来找到最优决策向量（t）∈RnxTu，s.t.xTQx=σmax，（3.2）这个问题仍然不是凸的，因为可行域是风险椭球体的边界，但可以证明它与凸问题X（t）=arg maxx具有相同的解∈RnxTu，（3.3）s.t.xTQx≤ σmax，一般来说，我们有uTx（t）>0，如果xT（t）Qx（t）<σmax，那么τx（t）是τ=σmax/（xT（t）Qx（t））1/2>1的一个可行解。这与x（t）的最优性相矛盾，并表明最优x（t）必须自动满足非凸问题的约束（3.2）。

以这种方式，解决凸问题（3.3）会产生非凸问题（3.1）的最大化子x（t），同时避免相关的数值问题。3.5. 使用错误的解算器。大多数投资组合经理使用附加约束来解决（2.1）的一个变体，而最优解不再以closedform的形式给出。在这种情况下，必须通过算法计算出一个解，选择好的解算器至关重要。我通常会用下面描述的最强大的标准方法来解决这个问题。例如，如果不将风险约束提升到效用函数中，Matlab的quadprog无法直接解决问题（2.2）。不建议通过编写专有优化软件来绕过这些步骤，因为在这些尝试中面临的数字挑战很容易被低估。在这种情况下，一种特别流行的方法是使用模拟退火，因为它对理解很有帮助，对代码来说也很简单。然而，虽然模拟退火在高度非凸和非结构化的全局优化问题中占有一席之地，但它并不是为了利用构成portfolioRecall基础的任何强大数学结构，我们假设无风险率为零。问题，尤其是凸性，因此它的收敛速度远远低于现代凸优化求解器。为了证明模拟退火的谬误，我们尝试实现一个简单的方案。然而，即使是最基本的凸问题和约束问题也很难与此类算法接近，需要仔细调整。