期权定价中的量子谐振子

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英文标题：
《Quantum harmonic oscillator in option pricing》
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作者：
Liviu-Adrian Cotfas and Nicolae Cotfas
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  The Black-Scholes model anticipates rather well the observed prices for options in the case of a strike price that is not too far from the current price of the underlying asset. Some useful extensions can be obtained by an adequate modification of the coefficients in the Black-Scholes equation. We investigate from a mathematical point of view an extension directly related to the quantum harmonic oscillator. In the considered case, the solution is the sum of a series involving the Hermite-Gauss functions. A finite-dimensional version is obtained by using a finite oscillator and the Harper functions. This simplified model keeps the essential characteristics of the continuous one and uses finite sums instead of series and integrals.
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中文摘要：
Black-Scholes模型很好地预测了在执行价格与标的资产当前价格相差不远的情况下期权的观察价格。通过适当修改Black-Scholes方程中的系数，可以得到一些有用的推广。我们从数学的角度研究了与量子谐振子直接相关的一个推广。在所考虑的情况下，解是一系列涉及厄米-高斯函数的和。利用有限振子和哈珀函数得到了有限维形式。这种简化模型保留了连续模型的基本特征，使用有限和代替级数和积分。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：math.MP is an alias for math-ph. Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
math.mp是math-ph的别名。这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Quantum Physics        量子物理学
分类描述：Description coming soon
描述即将到来
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PDF下载：
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关键词：期权定价中 期权定价 Mathematical Applications formulations

pricingLiviu Adrian Cotfasa，Nicolae Cotfasb，*布加勒斯特大学物理系布加勒斯特皮亚塔·罗马纳6号经济研究院经济控制论、统计和信息学学院，布加勒斯特大学物理系，邮政信箱MG-11077125，Black-Scholes模型很好地预测了在执行价格与标的资产当前价格相差不远的情况下期权的观察价格。通过对Black-Scholes方程中的系数进行适当的修正，可以得到一些有用的扩展。我们研究了量子谐振子的数学观点。在所考虑的情况下，解是涉及厄米-高斯函数的一系列级数之和。通过使用有限振荡器和哈珀函数获得有限维版本。这个简化模型保留了连续模型的基本特征，并使用了单位而不是级数和积分。关键词：经济物理学，布莱克-斯科尔斯方程，量子金融，量子系统，量子谐振子2010 MSC:91B80，91 G801。简介Black-Scho-les（BS）方程是物理学中最重要的方程之一，通常通过与热方程的直接联系来求解。此时t的期权价格V（S，t）是所考虑时刻股票价格S的函数。函数V（S，t）可以通过一系列自变量和因变量来表示*相应的authorEmail地址：lcotfas@gmail.com（利维乌·阿德里安·科塔斯），ncotfas@yahoo.com（Nicolae Cotfas）于2018年10月2日向Physica提交满足热方程的函数u（x，t）的预印本。

BST方程的解V（S，t）在成熟期t与Payoff函数一致，它直接从满足一定初始条件的热方程解中获得。BS方程在金融领域非常有用，但它只描述了一种理想情况（恒定波动率和无风险利率）。通过适当修改系数[1]，可以包括一些额外的影响。在本文中，我们只考虑一个广义Black-Scholes（GBS）方程的情况，该方程是通过在最后一个系数上加上一定的势而得到的。在GBS方程的情况下，直接简化为热方程似乎是不可能的。分离变量的方法可用作替代方法。通过寻找具有特定形式（分离变量）的解，GBS方程是一个带有偏导数的微分方程，它被导出为一个变量x中的普通微分方程族，取决于参数ε。此外，对于所考虑的GBS方程，一个变量中对应的方程是薛定谔方程。Janaan和Roy在[12]中研究了GBS方程的两种特殊情况。他们的目的是为他们每个人获得一个超对称的合作伙伴，并计算所有情况下的定价核。我们考虑了与量子谐振子相关的情况，并给出了：-一个关于厄米-高斯函数的解，-一类依赖于连续参数α的超对称参数，以及相应的解，-一个基于有限差分算子、有限傅里叶变换和哈珀函数的有限维方法。2.Black-Scholes方程我们根据[15]对热方程的使用进行了简要回顾，以便于将其与基于变量分离的方法进行比较。

众所周知，BS方程五、t+σS五、S+rS五、s- 对于欧式期权价格，rV=0（1），V（S，t）相当于热方程Uτ=U初始条件u（x，0）=u（x）isu（x，τ）的解=√4πτZ∞-∞E-（十）-ξ） 4τu（ξ）dξ。（3） Black-Scholes方程的解可以通过使用独立变量和相依变量BLESS=Kex，t=t的变化以闭合形式获得-2τσ，V（S，t）=ke-γx- （γ+1）τu（x，τ）（4），其中γ=rσ-（5） T是到期时间，S是股票价格，K是履约价格，σ是波动率，r是无风险利率。就新变量而言，Payoff函数svc（S，T）=max{S-K、 0}，VP（S，T）=max{K-S、 0}（6）becomeuC（x，0）=max{e（γ+1）x-eγx，0}，uP（x，0）=max{eγx-e（γ+1）x，0}（7）表示Φ（ζ）=√2πZζ-∞E-η/2dη（8）欧式看涨期权和看跌期权的Black-Scholes公式可以写成闭合形式vc（S，t）=SΦ（d）-K e-r（T）-t） Φ（d）VP（S，t）=ke-r（T）-t） Φ（d）- SΦ（d）（9）带d=log（S/K）+（r+σ）（T）-t） σ√T-t、 d=对数（S/K）+（r）-σ） （T）-t） σ√T-t、 （10）3。Black-Scholes方程的广义版本让我们考虑Black-Scholes方程的更一般版本五、t+σS五、S+rS五、S+（σU（ln-S）- r） V=0（11）通过使用函数U:r定义-→ R、 称为势[1]。分离变量sv（S，t）=eεtS的函数-γφ（lns）（12），其中γ是上一节中使用的常数，是方程（11）的解，当且仅当φ（x）是薛定谔方程的解-dφdx+U（x）φ=λφ（13），λ=εσ-(γ +1).（14） 显式可解的casesU（x）=0和U（x）=∞ 为了x≤ a0表示a<x<b∞ 对于x>b（15），在[12]中使用因子分解法进行了分析。对于它们中的每一个，都得到了一个超对称的伙伴。我们的目的是调查案例U（x）=xlying，在某种意义上，在案例（15）之间。

我们用厄米-高斯函数、一组依赖于连续参数α的超对称伙伴以及相应的解给出了一个解。4.一个与量子谐振有关的版本，即修正的Black-Scholes方程五、t+σS五、S+rS五、S+σ（ln-S）- RV=0（16）与量子振子的薛定谔方程直接相关-dφdx+xφ=λφ。（17） 函数ψn:R-→ R、 ψn（x）=pn！2n√πHn（x）e-x（18），其中Hn是厄米多项式Hn（x）=(-1） nexdndxnE-十、（19） 满足等式-dψndx+xψn=n+ψn∈{0, 1, 2, ...}. （20） 厄米-高斯函数系统{ψn}n∈{0,1,2,...}是orthonor ma lZ吗∞-∞ψn（x）ψk（x）dx=δnk=1如果n=k0如果n6=k（21）且在平方可积函数SL（R）的希尔伯特空间中完备=ψ：R-→ CZ∞-∞|ψ（x）|dx<∞. （22）鉴于上一节中获得的结果，函数vn（S，t）=eεntS-γψn（lns）（23），其中εn=nσ+σ+σ（γ+1）（24）是方程（16）的解。如果系数cnv（S，t）=S-γ∞Xn=0cneεntψn（lns）（25）存在并且可以逐项导出，那么它也是（16）的解。我们选择0<a<b，使得区间（a，b）足够大，可以包含股票价格S的所有可能值，并考虑平方可积Payoff函数svc（S）=0表示S<KS-K对K≤ s≤ b0代表S>b（26）vP（S）=0表示S<aK-这是一个≤ s≤ 由于δnk=Z，S>K（27）的K0∞-∞ψn（x）ψk（x）dx=Z∞Sψn（lns）ψk（lns）dS，（28）来自关系vc（S）=S-γ∞Xn=0cneεnTψn（lns）（29）we g etcn=e-εnTR∞vC（s）sγ-1ψn（lns）ds=e-εnTRbK（s）-K） sγ-1ψn（lns）ds。方程（S）的解=16-γ∞Xn=0eεn（t-T）ψn（lns）ZbK（S）-K） sγ-1ψn（lns）ds。（31）在看跌期权的情况下，（16）isV（S，t）=S的解-γ∞Xn=0eεn（t-T）ψn（lns）ZKa（K）-s） sγ-1ψn（lns）ds。

（32）如果实参数α为|α|>√π那么势[13]Uα（x）=x-dgαdx（x）（33）式中，gα：R-→ R、 gα（x）=e-xα+Rxe-udu（34）是U（x）=x的超对称函数。其函数为φ，φ=aψ，φ=aψ，φ=aψ。。。式中φ（x）=e-xexpRxgα（u）du（35）A是一阶微分算子=√-ddx+x+gα（x）,（36）属于L（R）并且是正交的。相应的正交系统Φ=| | | | | |，Φ=| | | |，Φ=| | | |。。。在L（R）和[8,13]中完成-dΦndx+Uα（x）Φn=n+有吗∈{0, 1, 2, ...}. （37）修正Black-Scholes方程的解五、t+σS五、S+rS五、S+（σUα（lns）- r） V=0（38）满足条件V（S，T）=vC（S）isV（S，T）=S-γ∞Xn=0eεn（t-T）Φn（lns）ZbK（S）-K） sγ-1Φn（lns）ds（39）及满足条件V（s，T）=vP（s）isV（s，T）=s的解-γ∞Xn=0eεn（t-T）Φn（lns）ZKa（K）-s） sγ-1Φn（lns）ds。( 40)5. 一种基于有限量子振荡器的方法量子振荡器的哈密顿量可以写成asH=-D+x，其中D=ddx（41）是傅里叶变换ψ7的逆→ F[ψ]，F[ψ]（x）=√2πZ∞-∞E-ixξψ（ξ）dx。（42）是伴随变换ψ7→ F+[ψ]，F+[ψ]（x）=√2πZ∞-∞eixξψ（ξ）dx（43）和F[Dψ]（x）=ix F[ψ]（x），FDψ（十）=-xF[ψ]（x）。（44）如果在上一个公式中，我们把F+[ψ]代替ψ，那么我们得到F DF+[ψ]（x）=-xψ（x）（45）我们有h=-（D+F-DF+）。（46）为了得到H的有限对应项，我们考虑一个正的奇数整数D=2l+1和布景[7]Rd={-l√κ, (-l+1)√κ, . . . , (l-1)√κ, l√κ} 其中κ=2πd.所有函数ψ：Rd的空间l（Rd）-→ C与内积hψ，ψi一起考虑=lPn=-lψ（n）√κ） ψ（n）√κ） （47）是与d维希尔伯特空间Cd同构的希尔伯特空间。辛塞利姆→∞√κ=0和limd→∞(±l)√κ = ±∞ （48）我们可以认为，在某种意义上，Rdd→∞---→ R和l（Rd）d→∞---→ L（R）。

（49）每个函数ψ：Rd-→ C可以看作是对非周期函数ψ：Z的限制√κ -→ C带周期d√κ.有限傅里叶变换l（Rd）的逆-→ l（Rd）：ψ7→ F[ψ]，其中F[ψ]（n）√κ) =√Dl主键=-lE-2πidnkψ（k）√κ).（50）是伴随变换l（Rd）-→l（Rd）：ψ7→F+[ψ]，由F+[ψ]定义（n）√κ) =√Dl主键=-le2πidnkψ（k）√κ).（51）有限差分算子D，其中Dψ（n）√κ） =ψ（（n+1）√κ) - 2ψ（n）√κ） +ψ（（n）-1)√κ） κ（52）是D的近似值，我们有fdf+ψ（n）√κ） =dπcos2πnd- 1.ψ（n）√κ). （53）有限差哈密顿量hd=-（D+FDF+）（54）与矩阵-d4π2（cos2πnd）-2） δnm+δn，m+1+δn，m-1+δn，m-2.l+δn，m+2l-l≤n、 m≤l（55）也就是说，-d4π2 cos2π(-l)D-410··112cos2π(-l+1） d-4 1··00 1 2 cos2π(-l+2） d-4 ··· 0...............1 0 0··2 cos2πlD-4.是哈密顿量H的有限对应物，在某种意义上是Hdd→∞---→ H.运算符H和hd都是傅里叶不变量f H=HF和FHd=HdF。（56）hd的特征值是不同的，按符号交替次数的递增顺序考虑的归一化特征函数hmofHd可被视为厄米-高斯函数ψ，ψ。。。，ψd-1.例如，我们有[4]Fψm=(-i） mψ和Fhm=(-i） 嗯。（57）函数hm，称为Harper函数[4]，是Hd的本征函数，对应于任意m的某些本征值λn，即Hdhm=λmhm∈{0,1,2，…，d-1}. （58）特征值λ和函数H只能通过对矩阵（55）进行对角化来获得。然而，它们在分数傅里叶变换、光学和信号处理理论中发挥着重要作用[14]。实际上，期权价格是一个离散变量，而不是一个连续变量。它是某个最小数量的整数倍，一种现金的数量（通常是货币单位的1/100或1/1000）。

在我们的简单方法中，我们只区分有限数量的可能值，即e-l√κ、 e(-l+1)√κ, . . . e(l-1)√κ、 el√κ. （59）对于d=2，可获得可接受的描述l+1个足够大。在执行价格K=ek的情况下√κ我们考虑支付函数svc（en√κ) =0代表-l ≤ n<ken√κ-埃克√κ代表k≤ N≤ l（60）副总裁（英文）√κ) =埃克√κ-EN√κ-l ≤ N≤ k0表示k<n≤ l（61）和一个假设，（16）的解可以近似为形式为V（em）的函数（见（14）和（25））√κ、 t=e-γ√κd-1Xn=0cneεnthn（m）√κ） （62）aeaeaeaeaeaeaeìììììS0。51.01.52.02.5VCaeaeaeaeaeaeaeaeìììììS0。20.40.60.81.01.2VP图1：期权价格的时间演变（见正文）。εn=σλn+σ（γ+1）。（63）由于hhn，hmi=δnm，from V（S，T）=vP（S），我们得到cn=e-εnTlXq=k情商√κ-埃克√κ等式γ√κhn（q√κ） （64）和（16）的相应解可以用Vc（em）近似√κ、 t=e-γ√κd-1Xn=0eεn（t-T）hn（m）√κ)lXq=k情商√κ-埃克√κ等式γ√κhn（q√κ).（16）满足V（S，T）=vP（S）的解可用vP（em）近似√κ、 t=e-γ√κd-1Xn=0eεn（t-T）hn（m）√κ） kXq=-l埃克√κ-情商√κ等式γ√κhn（q√κ） 在图1中，我们给出了VC（em）的值√κ、 t（左侧）和VP（em）√κ、 t）（右侧），在d=21、σ=0.25、r=0.03和履约价格K=e的情况下，t=3（正方形）、t=4（菱形）和到期时间t=5（子弹）√κ. 在执行价格附近，我们的结果与使用标准BS方程得到的结果一致。6.总结Remarks等式代表了融资的“黄金矿脉”，值得一探，因为可能存在其他一些非常有趣的事情。我们从数学角度研究了BS方程的修正版本，不知道任何可能的财务解释。

我们的主要贡献是对GBS方程的有限维方法，它保持了连续情况的基本特征。金融市场价格动态的数学建模是一个非常复杂的问题。我们永远无法考虑所有影响市场的经济和非经济条件[9,10]。因此，我们通常考虑一些非常简单和理想化的模型，一种模拟真实股市某些特征的玩具模型[2,3]。我们认为有限维模型[5,6,7,16]可能具有足够的精度，并且在数值上更容易获得。它们使用具有有限谱的线性算子、有限和代替级数和积分、有限微分算子代替微分算子等。谐振子是研究最多的物理系统之一。我们的结果为在量子金融中使用围绕量子振荡器开发的丰富数学形式开辟了一条道路。例如，我们可以使用相干态和相干态量化[11]、有限帧和有限名称量化[7]来定义具有财务意义的数学对象。参考文献[1]B.E.Baaquie，量子金融，剑桥大学出版社，2004年。[2] F.Baga r ello，《简化股票市场的量子统计方法》，物理A 388（2009）43 97。[3] F.Bagar ello，《经典系统的量子动力学：数字算子的应用》，约翰·威利父子出版社，新泽西，2013年。[4] L.Barker，C.Candan，T.Hakioglu，M.A.Kutay和H.M.Ozaktas，离散谐振子，哈珀方程和M的离散分数傅里叶变换，J.Phys。A:数学。Gen.33（2000）2209。[5] 陈志强，量子金融：有限维情形，2001，arXiv:quant ph/0112158。[6] L.-A.Cotfas，《股票市场的有限维量子模型》，物理A 392（2013）371。[7] N.Cotfas和D。

Dragoman，有限振荡器，通过Fieframe量子化获得，J.Phys。A:数学。理论。46 (2013) 355301.[8] N.Cotfas和L.-A.Cotfas，超几何型算子及其超对称伙伴，J.Math。菲斯。52 (2011) 052 101.[9] C.Delcea和C.Simion，《破产综合征对企业当前和未来发展的影响》，经济计算和经济控制论研究45（20 11）137。[10] C.Delcea和E.Scarlat，《利用灰色系统理论方法诊断企业“疾病”，灰色系统研究进展》，斯普林格·维朗-柏林海德堡，2010年，第105-119页。[11] J.-P.G azeau，《量子物理中的相干态》，Wiley VCH，柏林，2009年。[12] T.K.Jana和P.Roy，《期权定价中的超对称性》，Physica A 390（2011）2 350-55。[13] B.米尔尼克，因式分解法和振荡谱新势，J.数学。菲斯。2 5 (1984) 3387.[14] H.M.Ozaktas，Z.Zalevsky和M.A.Kutay，《分数傅里叶变换及其在光学和信号处理中的应用》，John Wiley&Sons，Chichester，2001年。[15] ¨O.Uˇgur，《计算金融导论》，帝国理工学院出版社，伦敦，2009年。[16] A.Vourdas，具有有限希尔伯特空间的量子系统，代表Prog。菲斯。67 (2 004) 267.