Gamma过程的精确模拟定价及其推广

正如我们稍后将看到的，当我们在BNS OU SV模型下提出模拟问题时，这种差异非常重要。本节其余部分将对两种不同类型的SVM模型及其与上述定价问题相关的模拟问题进行总体介绍。2.1二元扩散SV模型一个相当一般的二元扩散型连续时间模型，用于标的资产价格过程，通过以下SDE在风险中性度量下具体说明：dS（t）=（r- q） S（t）dt+pv（t）S（t）dW（t），dv（t）=κv（ηv）- v（t））dt+σvv（t）αvdW（t），（1）其中r是无风险利率，q是股息收益率，W（t）是标准布朗运动，v（t）是描述股票价格随时间变化的潜在瞬时波动过程，W（t）是另一个标准布朗运动，可能与W（t）相关，我们稍后将看到dκv，ηv，σ和αvare正参数。（1）中给出的波动过程称为常数弹性方差（CEV）过程，也被Chan等人（1992）用作短期利率模型。当αv=1和αv=1/2时，（1）分别退化为Nelson（1990）的GARCH扩散过程和Cox等人（1985）的流行CIR过程。另见Meddah i（2002年）。当αv=1/2时，我们得到了流行的Heston（1993）SV模型。以下是赫斯顿模型下价格S（t）和波动率v（t）过程的典型说明：dS（t）=（r- q） S（t）dt+pv（t）S（t）（ρHdW（t）+q1- ρHdW（t））dv（t）=κv（ηv- v（t））dt+σvpv（t）dW（t）。（2） 这里的W（t）和W（t）是两个独立的标准布朗运动，κv，η和σ变正参数W为2κvηv≥ v（t）的σvf从未达到零（换句话说，保持正值）和ρH∈ [-1，1]是表征价格和波动过程之间杠杆效应或协同运动的参数。

精确地说，ρHis是价格过程驱动布朗运动之间的瞬时常数相关性，即W（t）：=ρHW（t）+（1）- ρH）1/2W（t），以及波动过程的参数，即W（t）。假设我们在时间t，我们关心的是未来的时间t。应用随机指数，我们可以求解（2）的价格：S（T）=S（T）exp{（r）- q） （T）- （t）-ZTtv ds+ρHZTtpv（s）dW（s）+q1- ρHZTtpv（s）dW（s）}。（3） 简单的随机积分给出：v（T）=v（T）+κvηv（T）- （t）- κvZTtv（s）ds+σvZTtpv（s）dW（s）。（4） Broadie和K aya（2006）提出了一种精确的模拟方法，用于从赫斯顿模型（2）下的价格过程的过渡分布（即S（T）| S（T），v（T）中取样，从而从价格过程的有限维分布（即S（T），…）中取样，S（Tm）|S（t），v（t）表示t<t<…<Tm。表示τ（t，t）：=ZTtv（s）数据，称为时间间隔内的综合波动率[t，t]。Broadie和Kaya（2006）方法的基本模拟步骤可列为以下步骤1。采样v（T）|v（T）遵循非中心卡方分布；第二步。采样τ（t，t）|v（t），v（t）；第三步。RTtpv（s）dW（s）很容易通过（4）恢复；第四步。在所有上述量的条件下，S（T）| S（T）为对数正态分布。Broadie和K aya（2006）意识到关键困难出现在步骤2中，并提出了一种基于使用FFT反转相关特征函数的采样方法。这种方法并非没有任何困难；参见Glasserman和Kim（2011），了解更多关于Heston模型下dan替代模拟程序的讨论。备注3在步骤3中，我们注意到，由于CIR过程的平方根规格，在（3）中显示为杠杆效应的RTtv 1/2dW项可以通过（4）恢复。这一事实有助于Heston模型的精确路径模拟。

当αv6=1/2时，对于v（t）的其他更一般的规范（1），精确模拟要复杂得多，也不平凡。请注意，CIR过程是更大类别（1）的瞬时波动率模型的一个特殊实例。2.2 BNS OU SV模型连续时间SV模型不限于双变量扩散类型。Barndor ff-Nielsen和Shephard（2001）提出了另一种SV模型，称为BNS OU SV模型，其中瞬时波动过程v（t）由非高斯OU过程而非离散过程建模。Nicolato和Vernardos（2003）的计量变更参数保证了Barndorff-Nielsen和Shephard（2001）通常的BNS OU SV模型中的杠杆效应，可以在风险中性计量下定义为：dX（t）=（r）- q）- λκ(ρ) -v（t）dt+pv（t）dW（t）+ρdZ（λt）dv（t）=-λv（t）dt+dZ（λt）。（5） 这里X（t）：=log（S（t））- log（S（0））是资产的对数价格，参数ρ≤ 0代表波动效应，λ>0控制瞬时波动过程v（t）的持续速率。这里，v（t）遵循一个非高斯OU过程，该过程由一个从属变量Z（t）驱动（具有无漂移的正增量的L’evy过程）。注意，κ（ρ）=Z∞（eρx）- 1） w（x）dx。这里w是BDLP Z（t）的L′evy密度。如果度量e的变化是结构保持的，那么物理度量和等价人工度量中的模型可以是同一类型的。在续集中，我们将假设度量的变化是结构保持的，并使用这种风险中性度量。有关这方面的更多细节，请参见Nicolato和Vernardos（2003）。接下来，我们将展示如何在BNS OU SV模型下进行模拟。我们在BNS框架下讨论了路径独立和依赖的情况及其差异。路径无关情况：首先，对于路径无关情况，基本问题是对某些T<T的X（T）|X（T），v（T）的分布进行精确采样。

很容易看出X（T）的分布- X（t）是正常的，平均μ（t，t）=（r- Q- λκ（ρ））（T- （t）-τ（t，t）+ρZTtdZ（λs）（6）和方差τ（t，t），条件是X（t），v（t），τ（t，t）和rttdz（λs）。从Barndor ff-Nielsen和Shephard（2001）（另见Nicolato和Vernardos（2003））我们得到：τ（t，t）=λ(1 - E-λ（T）-t） v（t）+ZTt（1）- E-λ（T）-s） ）dZ（λs）. （7） 因此，问题归结为如何生成后续g随机对的精确i.i.d.样本ZTtdZ（λs），ZTt（1- E-λ（T）-s） ）dZ（λs）. （8） 请注意，（8）中的第一个要素，即杠杆增量，来自杠杆效应，而第二个要素则来自综合波动率（7）。相应的模拟算法步骤1。随机取样p空气（8）；第二步。通过（6）和（7）恢复u（t，t）和τ（t，t）；第三步。采样正态X（T）- X（t）与均值u（t，t）和方差τ（t，t）一起得到（t）=S（t）exp（X（t）- X（t））。路径依赖情形：第二，对于路径依赖情形，基本问题是从（X（T），X（Tm）|v（t），X（t）表示t<t<Tm。与PathIndependent案例的区别如下所示。生成X（T）| v（T），X（T）可以按照与独立情况下的路径相同的方式执行。然而，从X（T）到X（T）等等，我们需要在v（T）上设置条件以生成τ（T，T）等等。表示T:=T，v:=v（T），τ：=0，i:=Ti- 钛-1，vi:=v（Ti）和τi:=τ（Ti）-1，Ti）对于i=1，2，m、 路径依赖情况下的模拟问题有效地减少到如何从以下二维AR（1）方程（见Barn dor fff-Nielsen和Shephard（2001）第5.4.3节）指定的序列中，除了（8）的平均增量外，精确采样：τivi=λ(1 - E-λi） 0 e-λ我τi-1vi-1!+λ-λ0 1!O1，iO2，我！。（9） 来，我=阿尔蒂蒂-1dZ（λs）RTiTi-1e-λ（Ti）-s） dZ（λs）！对于i=1，2。（10） 和Oi:=（O1，i，O2，i）是独立的。

这种情况下的模拟算法是，对于i=1，2，第一步。对随机对Oi进行抽样，并注意到O1也作为杠杆增量，即（8）中的第一个元素；第二步。通过（9）和u（Ti）恢复τi和vithrough-1，Ti）到（6）；第三步。采样法向X（Ti）- X（Ti）-1） 平均μ（Ti-1，Ti）和方差τito得到（Ti）=S（Ti-1） exp（X（Ti）- X（Ti）-1)).备注4尽管增量为-1dZ（λs）对于随机对（8）和（10）可能是相同的，注意它们来自BNS OU SV模型的不同部分。对于（8）而言，增量来自资产价格过程的杠杆部分，而（10）的增量来自驱动瞬时增值过程的BDLP。当杠杆部分与BDLP一致时，它们会重合。一般来说，从随机对（8）和d（10）中精确采样是困难的，因为它们具有非平凡的依赖结构，而当BDLP Z（t）是复合泊松时，情况很简单。罗辛斯基（1991）的有限级数表示法通常被建议用于抽样随机对中出现的随机积分，即BDLP的泛函；见巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2001）第2.5节。然而，正如我们之前提到的，如Schoutens（2003）第5.2.2节所述，该方法的实施存在困难，因此模拟不准确。具体来说，除了一个有限的系列表示法外，罗辛斯基的m方法还包括对反尾质量函数W的评估-1（x）：=inf{y>0:W（y）≤ x} ，其中尾部质量函数定义为W（x）：=R∞xw（y）dy。特别是，在提出的OU-GGC模型下，BDLP的L’evy密度的形式为w（x）=θ/xE[exp(-x/R）]，其中θ>0，期望值E取w.R.t。正随机变量R（R是一个恒常的约化为OU-Gamma的情况）。

因此，O U-GGC模型下的尾质量函数是非标准的，写为w（x）=Z∞xθyE[e-y/R]dy，其数值计算非常困难，尤其是当x接近零时，因为对这样一个积分asR1/ydy的数值计算是一个不恰当的问题（更多细节见Press et al.（2007）第4章第4.4节）。此外，重要的是，尾质量函数的反演不可用，需要进行数值反演，这给在OU-GGC模型下实施罗辛斯基方法带来了额外的挑战。我们不继续这一过程，因为它超出了本文的范围，毕竟本文旨在提供一种精确的模拟方法。3 BNS OU伽马SV模型的精确路径模拟在本节中，我们将在BNS框架内提出一个与Heston（1993）模型平行的BNS OU伽马SV模型，即BDLP Z（t）被指定为具有形状参数θ和比例参数c的伽马过程的模型（5），随机对（8）和（10）的两个分量的分布和依赖结构是非平凡的。但在BNS-O-U-Gamma-SV模型下，这两对可以显式分解如下：（cγδ，cγδMδ）（11）（cγδ，cγδ（1）- Mδ）。（12） 这里，γδ表示一个γ（δ，1）随机变量，Mδ表示一个Dirichlet M平均随机变量，可以写成以下随机方程的稳定解Mδd=β1，δ（1）- E-λU（T）-t） ）+（1- β1，δ）Mδ，其中β1，δ是β（1，δ）随机变量，U是非if orm（0，1）变量，δ=θλ（T- t），方程右侧出现的所有变量彼此独立。此外，γδ和Mδ是独立的，这有助于精确模拟。Dirichlet意思是随机变量是Dirichlet过程的泛函或函数的积分，换句话说就是w.r.t.Dirichlet过程。见詹姆斯等人。

（2008年）进行了相关调查，詹姆斯（2010年）进行了新的发展。附录A提供了这方面的一般理论。Devroye和James（2011）的Double CFTP方法可用于（11）和（12）中Mδ的精确采样，更多细节见第5节。仍然需要获得γδ，这很简单。因此，可以准确地实现资产价格过程的路径模拟，即在固定的多个时间点采样价格，从而实现路径无关和依赖性定价的模拟。为了说明如何在BNS OU Gamma SV模型下模拟衍生品价格，我们研究了路径无关的情况，而路径依赖的情况类似。我们需要生产一个S（T）|S（T），v（T）的i.i.d.随机样本，以获得衍生产品价格的蒙特卡罗评估。对于每个b=1，2，B、 我们生成p-air（11），即（γBδ，γBδMbδ），并根据标准正态分布独立生成wbair。我们通过设置sb（T）=S（T）exp（Xb（T）得到S（T）的随机dom样本- X（t）），其中S（t）=S（0）exp（X（t）），Xb（t）- X（t）={r- q+λθ对数（1）- ρc）}（T- （t）-τb（t，t）+qτb（t，t）Wb+ρcγbδ和τb（t，t）：=λn（1）- E-λ（T）-t） v（t）+cγbδMbδo，注意到κ（ρ）=-θlog（1）- ρc）在BNS OU伽马SV模型下。正如我们在第2节开头所讨论的，（1/B）PBb=1f（Sb（T））将是真实衍生产品价格E[f（S（T））|S（T），v（T）]的无偏估计，带有贴现支付函数f（S（T））。备注5选择Z（t）作为BNS OU SV模型的伽马过程与在双变量扩散设置下选择αv=1/2 in（1）是平行的。也就是说，在这两种情况下，在从相关瞬时/综合波动率着手进行精确模拟的困难问题的同时，我们能够获得杠杆效应的精确样本，见备注3和备注4。

表1比较了赫斯顿模型和BNS OU伽马模型在两个时间点情况下的地下资产价格过程路径模拟中的相关数量分布及其精确抽样方法。3.1叠加Barndor ff-Nielsen和Shephard（2001）在第3节中讨论了通过叠加独立的非高斯OU过程，即具有不同持续率的独立非高斯OU过程的加权和，生成更灵活的依赖结构的可能性。Nicolato和Vernardos（2003）在第6节中还指出了研究股票期权定价影响的可能研究方向。在下文中，我们将展示之前的模拟方法在叠加情况下的效果。也就是说，在叠加的BNSOU伽马SV模型下，可以对路径无关和相关情况进行精确模拟。在风险中性测度下，具有叠加的BNS O U-伽马SV模型的一个典型对数价格动态可以表示为：dXs（t）=R- Q- λκ(ρ) -vs（t）dt+pvs（t）dW（t）+ρdZ（λt），表1：Heston和BNS OU伽马模型之间的比较：精确路径模拟中相关量的分布和采样方法。Heston BNS OU Gammadistribution sampling method distribution sampling method path indep。v（T）| vNoncentralχχ与Poisson d.f.τ| vBroadie和Kaya（2006）FFT（11）和（12）双CFTPPath-dep.τv（T）注释。模拟中涉及的量是综合挥发性，即τ=τ（T，T）和τ=τ（T，T），以及内在挥发性，即v=v（T）和v（T），其中T<T<T。Path-dep表示路径依赖的路径索引。用于路径独立和d.f。

代表自由度。当XS和vs的上标s代表“叠加”时，瞬时波动率由l个独立的OU过程之和给出，即vs（t）=Plj=1v（j）（t）代表l≤ ∞. 第j个输出过程具体如下：dv（j）（t）=-λjv（j）（t）dt+dZ（j）（λjt），其中λj被选择为λ=Plj=1λjandZ（j）（t）1.≤J≤在相依伽马过程中，具有共同的形状和尺度参数θ和c，使得Z（λt）=Plj=1Z（j）（λjt）。只要分布Ss（T）| Ss（T），v（T）或（Ss（T），Ss（Tm）| Ss（t），v（t），其中v（t）=（v（j）（t）；j=1，2，l） SSS代表叠加模型下相应的资产价格，涉及金融衍生品的定价，如果我们以与之前相同的方式对待每个单独的v（j）（t），那么前面的精确模拟策略很容易适用于这里。请注意，这里正确的衍生产品价格写为E[f（Ss（T））|Ss（T），v（T）]。更多的技术细节可以在第4.2节中找到，在这里我们把问题放在一个更一般的环境中。4 OU Gamma的扩展：BNS OU Gamma SV模型的OU-GGC ClassA自然扩展将是BNS OU-GGC SV模型，其中我们将（5）的BDLP Z（t）视为具有形状参数θ和尺度随机变量R的广义Gamma卷积（GGC）。对叠加情况也可以进行类似的扩展。GGC变量/从属变量的行为可能与Gamma变量截然不同。接下来，我们将从密度的角度讨论这个问题。在时间1计算的伽马过程，即GGC（θ，c）（c是一个正常数），是密度为θΓ（θ）xθ的伽马（θ，1/c）随机变量-1e-x/cf或x>0。在下文中，我们提供了两个取自James（2010）的GGC从属关系示例。Werefer to（詹姆斯等人。

（2008）和James（2010）），以获取更多示例。例1：对于0<α<1，让Sα表示由其拉普拉斯变换[e]指定的正α稳定随机变量-ωSα]=e-ωα.设S′α是Sα的独立副本。此外，德涅兹α=SαS′αα.James（2010）第4.3节中的∑α（t）从属是GGC（1）- α、 1/Gα），其中Gαd=Z1/α1-α1+Z1/α1-α.此外，∑α=∑α（1）d=γ1-αU1/α（U是一个统一的[0，1]变量）与密度函数αΓ（1）- α） x-α-1(1 - E-x） f或x>0。有关这个例子的更多信息，请参见Bertoin等人（2006年）。例2 cet>0时，GGC（1- α、 cet/（cet+Gα），也就是∑α，cet（t），由指数化的GGC（1）产生- α、 1/Gα）。∑α，cet（1）/cet的密度由αx给出-α-1e-cetx（1）- E-x） [（cet+1）α- cαet]Γ（1）- α） 对于x>0。从上面的例子中，我们可以看到，GGC变量甚至可以没有第一时刻，因为与Gamma情况相比，在示例1中，GGC变量∑α对于0<α<1没有第一时刻。重要的是，我们进行GGC扩展的动机是，如第6.2节所示，OU-GGC模型可以在生成不同类型的回报分布时提供更大的灵活性。4.1路径无关情况：Gamma Leverage由于通常情况下，泛化意味着失去一定程度的可处理性，因此这里没有例外。回想一下，对于定价路径无关的衍生品，我们必须处理随机对（8），即（RTtdZ（λs），RTt（1- E-λ（T）-s） ）dZ（λs））。尽管如此，与OU-Gammacase不同的是，由于其两个组成部分的反向依赖结构，很难精确地对这对（8）进行采样。还记得备注4，成对取样的必要性，即（8），可归因于GGC BDLP Z的使用，以模拟杠杆年龄效应。