Gamma过程的精确模拟定价及其推广

鉴于此，我们想引入一个有趣的概念，称为伽马杠杆，这意味着通过提取的伽马分量来替代GGC BDLP Z（t），它是资产对数价格过程（5）中的杠杆分量。具体而言，新gammaleveraged BNS（GL-BNS）OU-GGC S V模型的原木价格过程重写为：dXl（t）=R- Q- λκγ(ρ) -v（t）dt+pv（t）dW（t）+ρdγ（λt），（13），其中xl的su-perscript l指的是“γ”，κγ（ρ）=-θlog（1）- ρ） γ（t）是GGC-BDLP Z（t）的γcomp，这从泊松随机测度的角度在理论上是清楚的。详情见美联社pendix A。然后，根据GL-BNS OU-GGC SV模型调整的随机对（8）重写为：ZTtdγ（λs），ZTt（1- E-λ（T）-s） ）dZ（λs）d=（γδ，γδMδ），其中δ=θλ（T- t） ，Mδ是Mδd=β1，δR（1）的稳定解- E-λU（T）-t） ）+（1- β1、δ）Mδ、γδ和Mδ是独立的。因此，在引入伽马杠杆后，精确模拟再次适用。下面的备注6表明，与原始BNS OU-GGC模型相比，伽马杠杆模型（13）中的“杠杆效应”实际上没有失去任何重要的经济学意义，即（5）BDLP Z（t）由GGC从属方给出。备注6继Barndor ff-Nielsen和Shephard（2001）第4.3节之后，我们可以通过比较协方差：Cov（yn，yn+s）=ρe[R]λ（1），在BNS OU-GGC模型（5）和GLBNS OU-GGC模型（13）下，通过当前收益率和未来波动率之间的相关性来比较杠杆效应- E-λ） e-λ（s）-1） andCov（~yn，~yn+s）=E[R]E[R]Cov（yn；yn+s），其中yn:=X（n）- X（n）- 1） 和~yn:=Xl（n）- Xl（n）- 1） 是长度为1的间隔内的日志返回，s是滞后的长度。

因此，从这个意义上讲，两种模型在杠杆效应方面显然没有太大差异。注7：通过参数化：ρ′，我们可以将BNS OU伽马模型表示为GL-BNS OU-GGC模型← cρ，其中ρ′和ρ分别是GL-BNS OUGGC模型和BNS OU-Gamma模型中杠杆效应的参数。注意，R≡ c代表OU Gammamodel。4.2 GL-BNS OU-GGC与叠加GL-BNS OU-GGC模型也可以推广到林登凹痕非高斯OU过程的可数超位情况。在这种情况下，风险中性度量下的对数价格模型可以表示为：dXl，s（t）=R- Q- λκγ(ρ) -vs（t）dt+pvs（t）dW（t）+ρdγ（λt），（14）其中上标l，s of Xl表示“伽马杠杆”和“叠加”，VSI的定义与第3.1子节中的定义类似。此外，Z（j）是独立的GGC子类，具有公共形状参数θ和相应的尺度随机变量Rj。此外，γ（λt）=Plj=1γ（j）（λjt），其中γ（j）（t）是其对应的jth GGC BDLP Z（j）（t）的提取γ分量。接下来，我们将说明如何基于此设置对路径无关衍生品进行定价。设Sl，s（t）表示对应于模型（14）的价格，且设v（t）=（v（j）（t）；j=1，2，l） 。因此，如果可以精确地对具有Sl，s（T）| Sl，s（T），v（T）条件分布的随机变量进行采样，则可以模拟相关的预期贴现支付函数：E[f（Sl，s（T））| Sl，s（T），v（T）]。这可以按照以下步骤进行。Xl，s（T）|Xl，s（T），v（T）的条件分布是正态的，平均u（T，T）=Xl，s（T）+（r- Q- λκγ（ρ））（T- （t）-τs（t，t）+ρZTtdγ（λs）和方差τs（t，t），给定rtdγ（λs）和τs（t，t）。

注意，τs（t，t）=RTtvs（u）du=Plj=1τj（t，t），其中每个单独的综合波动率可以像往常一样表示：τj（t，t）=λj(1 - E-λj（T）-t） v（j）（t）+ZTt（1）- E-λj（T）-s） ）dZ（j）（λjs）.因此，模拟问题归结为如何从以下ingrandom对中产生精确样本：ZTtdγ（λs），lXj=1λjZTt（1- E-λj（T）-s） ）dZ（j）（λjs）. （15） 下面的命题1描述了配对（15）的分布，这使得我们能够使用双CFTP进行精确采样。命题1考虑（15）中的配对规范，其中Z（j）s是独立的GGC（θ，Rj）从属。这里（R，…，Rl）是具有分布（FR，…，FRl）的自变量。设置λj=λpjwithPlj=1pj=1。那么，对于δ=θλ（T- t） ，则（15）的j点分布等于向量的分布：（γδ，γδMδ），其中γδ独立于Mδ，满足δd=βδ，1Mδ+（1- βδ，1）OL，其中OLd=RL[λ-1L（1- 经验(-λLU（T）- t） 是{1，2，…，L}上的离散随机变量，P（L=j）=pj，与（R，…，Rl）无关。如果Rjd=R分布相同，则Old=R[λ-1L（1- 经验(-λLU（T）- t） ）]。证据通过s向前追踪计算，Lxj的L’evy指数=1λjZTt（1- E-λj（T）-s） dZ（j）（λjs）可以表示为θλ（T）- t） lXj=1pjE[log（1+ωRjλ）-1j（1）- E-λjU（T）-t） 这和θλ（t）是一样的- t） E[log（1+ωOL）]，得出结论。4.3路径依赖情形：近似值如我们在第2.2节中所述，请参见备注4，为了模拟路径依赖的衍生价格，除了杠杆增量（8）外，还需要能够精确采样随机对（10），即（ZTiTi）-1dZ（λs），ZTiTi-1e-λ（Ti）-s） dZ（λs）），其中-1dZ（λs）来自BDLP Z（t），它驱动瞬时波动过程v（t），而不是价格过程的杠杆部分。

因此，在GL-BNS OU-GGC SV模型下，由于（10）中两个元素之间的非平凡依赖性，双CFTP方法不能直接应用于精确路径模拟。此外，前面介绍的gamma杠杆不能帮助解决路径依赖情况下的这一难题。然而，正如我们将在下一节中演示的，几种近似方法在处理上述情况时表现得出奇地好。5采样GGC随机变量正如我们已经看到的那样，在OU伽马和OU-GGC模型模拟中，都有效地涉及到像Tk（s）dZ（λs）这样的随机积分的分解，其中BDLP Z（t）是伽马过程或GGC子目标。本文中k（s）的可能选择是：1，exp(-λ（T）- s） ）和1- 经验(-λ（T）- s） ）。在这两种模型下，该积分是一个GGC随机变量，具有类似于γδMδ的分解，其中γδ是一个γ（δ，1）变量，Mδ是一个Dirichletmean随机变量，正如我们前面提到的，这是形式为：Mδd=β1，δY+（1）的随机方程的稳定解- β1，δ）Mδ，（16），其中Y是正尺度随机变量。对应于上述三个选项k（s），Yis R，R exp(-λU（T）- t） ）和R（1- 经验(-λU（T）- t） ）），其中R是GGC BDLP Z（t）和dr的标度变量≡ c减少到伽马BDLP情况。此外，γδ和Mδ是独立的。下一节讨论Dirichlet均值变量δ的精确抽样方法。在第5.2小节中，我们讨论了几种近似采样方法，以及在第4.3小节中提到的GL-BNS OU GGC模型下，这些方法如何处理p air（10）的非平凡依赖结构。

通过与第6.5.1节“精确方法：双CFTP”中的精确双CFTP方法进行比较，证实了近似精度。第一种算法是Devroye和James（2011）提出的精确采样方法，称为过去的双耦合（双CFTP）。Propp和Wilson（1998a，b）提出了来自过去的耦合（CFTP）方法，这是马尔可夫链稳态分布的精确采样算法。在CFTP中，过去的时间是由每个可能的状态在当前时间第一次合并成一个单一状态来确定的，单一状态与马尔可夫链的稳态分布是完全一致的，参见Devroye和James（2011）对CFTP的回顾。Devroye和J ames（2011）通过使用双重g技巧，提出了DoubleCFTP算法m，该算法可确定聚结时间，从而从由方程（16）确定的马尔可夫链稳态分布中生成样本。如果Y是有界随机变量且δ≤ 1然后，双CFTP可以直接应用于从Dirichlet m ean随机变量mδ中精确采样。当δ>1时，我们不能直接采用双CFT方法。尽管如此，让0<δj≤ 1，j=1，l使得plj=1δj=δ。那么Mδ可以表示为：Mδd=lXj=1GjGMδj，其中Gj是独立的伽马（δj，1）随机变量，G=Plj=1Gj，Mδj是独立的Dirichlet均值变量，具有形状参数δjand和公共尺度随机变量Y，而且Gj独立于Mδj。总之，只要Y是有界随机变量，我们就可以使用双cftpm方法进行精确模拟。Ap pendix B总结了该算法。注8从第6节图1中，我们注意到映射δ的函数f∈ （0，1]对于导出的堆栈大小是凸的。根据凸函数的性质，我们得到了f（δ/l）≤1/lPlj=1f（δj）表示δ>1，且任何分解使得δj∈ (0, 1].

因此，很容易看出，对于任何非整数δ>1，最佳分解为：δi=δ/l，对于i=1，l、 其中l=δ + 1.5.2近似方法第二类算法是基于截断的近似方法，包括分量的执行数和随机数。定义为thr ou gh（16）的Dirichlet均值随机变量可以表示为：Mδd=∞Xj=1WjYj。（17） 这里W=Vand Wj=VjQj-1i=1（1- Vi），j≥ 这里是2W，Vj，j≥ i.i.d.变量等于β1，δ和Yj，j的分布吗≥ 1是i.i.d.变量，其分布与某些N的Y相同≥ 1，我们可以通过mn=NXj=1WjYj来近似Mδ+1.-NXj=1WjYN+1。首先，我们考虑了固定项截断法，该方法与Ishwaran和James（2001）的方法类似。它假设N是一个固定数，Y可以是有界的，也可以是无界的，但必须满足E[Y]<∞. 通过简单计算，得到了Lsense-asE（|Mδ）的误差界- MN |）≤ E[|Y |]δδ + 1N+1。其次，我们考虑了Guglielmi等人（2002）的停止时间方法。一方面，如果Y受已知常数cY>0的约束，则该方法依赖于检测n:=minnn:cY1.-nXj=1Wj< ，n=1，2。这是第一次Mδ等于MN，达到给定的机器精度ε>0，对于IEEE 754标准双精度，该精度约为2.22e-016。我们在下面的数值研究中实现了这个数字。上述停止规则保证了以下精确误差boun-drather，而不是Lsense | Mδ中的误差boun-drather- MN|≤ ε.参见Muliere和Tardella（1998）的相关作品。另一方面，对于[Y]<∞, 我们可以很容易地将上述停车时间概念扩展为asN:=minnn:E[|Y |]1.-nXj=1Wj< ，n=1，2。这保证了一个Lerror界，如下sE（|Mδ- MN |）≤ .参见Murdoch（2000）将CFTP修改为无限制案例。

在第6小节。1.我们比较了精确采样方法，即双CFTP方法和近似方法，表明它们具有较高的精度。备注9基于Dirichlet平均变量的求和表示（17），O U-GGC模型下的路径模拟可大致如下处理。注意到（10）的两个元素和（8）的可能杠杆增量有W（或相当于V）个共同变量，除了它们有不同的Y变量外，我们可以首先为这两个元素和可能的杠杆增量生成N个V变量，然后分别生成随机对（10）的近似样本和可能的平均增量（8）。注10：注（17）中Mδ的有限序列表示基于序列（Wi），该序列具有泊松-狄里克莱定律概率序列的尺寸偏态分布，也被称为断棒序列；参见Ishwaran和James（2001）的相关参考文献和背景资料。众所周知的事实是，这个序列的和的尾∞k=N+1Wk，N的指数下降率是我们使用的近似方法良好性能的关键。6模拟研究所有模拟实验都是在一台笔记本电脑上进行的，该电脑采用Intel（R）Core（TM）2 DuoCPU P8700 2.53GHz和1.89RAM。所有程序均采用C编程语言编写，GNU Scientifi Fic library（GSL）1.4版用于生成标准分布（如正态分布、伽马分布、β分布和均匀分布）的随机dom数。

有关标准随机数生成器算法及其参考文献的详细信息，请参阅GSLF的参考手册。C程序由Microsoft Visual C++6.0.6.1编译，采用双CFTP与δ近似方法∈ {0.1,0.2,0.5,1,2,5,10}，设M为Dirichlet均值变量，形状参数δ和尺度随机变量由1给出- 经验(-λU）根据我们的模型。通过模拟计算，M的真实均值和方差由[M]=exp给出(-1） /2和Var[M]=（2/3 exp(-1) - 5/12 exp(-2) - 1/6)/(δ + 1).表2显示了双CFTP和近似算法的实验结果，共进行了10000000次试验。对于组件数量固定的ap近似算法，我们考虑∈ {10, 50, 100}. 所有算法都给出了合理的结果，与真实值的误差很小。这意味着所考虑的所有近似算法都可以很好地替代双CFTP算法。

另一方面，双CFTP的确切性质为比较提供了可靠的基准柜。表2:10000000次试验中双CFTP和近似方法的模拟结果。δ0.1 0.2 0.5 1 2 5 10E（M）0.18393Var（M）0.02018 0.01850 0.01480 0.01110 0.00740 0.00370 0.00202双CFTP^E（M）0.18399 0.18389 0.18390 0.18392 0.18398 0.18394 0.18395^Var（M）0.02019 0.01849 0.01479 0.01110 0.007400.00370 0.00202App。0.1839 0.1839 0.1839 0.1839 0.1839 0.1839 0.1839 0.18392 0.1839 0.1839 0.1839 0.1839 0.1839 0 0.1839 0 0.1839 0.1839 0.1839 0.18394 0.18394 0.1839 0.1839 0 0.1839 0 0.18391 0 0.18391 0.1839 0 0.1839 0 0 0 0.1839 0 0 0 0.1839 0 0 0.1839 0 0 0 0 0.1839 0 0 0 0.1839 0 0 0.1839 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1839 0 0 0 0 0 0.1839 0 0 0 0 0 0 0 0.1839 0.1839 0 0 0 0 0 0 0 0.1839 0 0 0 0 0 0 0 0.1839 0 0 0 0.1839 0.1839 0 0 0 0 0 0 0 0.1839 0 0 0 0 0 0 0 0 18394^Var（M）0.02017 0.01850 0.01480 0.01109 0.00739 0.003700.00202停止^E（M）0.18397 0.18391 0.18396 0.18393 0.18391 0.18394 0.18396^Var（M）0.02017 0.01850 0.01480 0.01109 0.00739 0.00370 0.00202双CFTP^E（S）76.14446 38.07715 15.22293 7.61515 15.23131 38.08296 76.14860App-停止^E（N）4.74350 8.49265 19.76969 38.69694 77.41112 217.53297 1406.53346注。M的均值和方差的真值分别为E（M）=0.18393和Var（M）=0.02220/（δ+1）。这里，^E（M）是平均估计，^Var（M）是方差估计，^E（s）是E（s）的估计，^E（N）是E（N）的估计。设S为双CFTP算法的堆栈大小，见附录B。双CFTP算法的计算时间和内存消耗严重依赖于E（S），具有停止时间的迭代算法的计算时间和内存消耗严重依赖于E（N）。双CFTP算法的主要问题是E（S）不是一致有界的。当δ非常小或非常大时，情况尤其糟糕。图1显示了δ=0.1,0.2,0.3，9.8, 9.9, 10.0. 当δ=1时，达到最小值。

对于具有停止时间的截断算法，E（N）的估计值不断增加，因为δ在增加，请参见Devroye和James（2011）的更多讨论。6.2从BNS OU伽马到GL-BNS OU GGC在本节中，我们比较了BNS OU伽马和GL-BNS OU-GGC模型在ρ=0和ρ=-1.对于s im plicity，我们假设θ=c=λ=1，v（0）=0，X（0）=0，r=q=0。图1：双CFTP算法（δ=0.1、0.2、0.3、…、9.9和10）中总堆栈大小的平均数的曲线图有10000000次试验。-3.-2.-1 0 1 2 30 1 2 3 4 5（a）ρ=0.0X（1）密度你GammaOU GGC:Beta（1,0.01）你GGC:Beta（1,0.1）你GGC:Beta（1,1）你GGC:Beta（1,10）你GGC:Beta（0.5,0.5）-6.-4.-20.0 0.2 0.4 0.6 0.8（b）ρ=- 1.0X（1）密度OU GammaOU GGC:Beta（1,0.01）OU GGC:Beta（1,0.1）OU GGC:Beta（1,1）OU GGC:Beta（1,10）OU GGC:Beta（0.5,0.5）图2:E 10000000次试验中X（1）的估计密度。θ=c=λ=1，v（0）=0，r=q=0。这些假设X（1）是简化的toX（1）|γ（1），τ（0,1）~ 正常（u（0，1），τ（0，1）），其中n owu（0，1）=对数（1）- ρ）- τ（0，1）/2+ργ（1）和τ（0，1）=R（1）- 经验(-(1 - s） ）dZ（s）。这里Z是BNS OU伽马模型的形状为1、比例为1的伽马过程，或者是带有R的aGGC（1，R）从属过程~ 贝塔（a，b），（a，b）∈ GL-BNS O U-GGC模型的{（1,0.01），（1,0.1），（1,1），（1,10），（0.5,0.5）}。图2显示了超过10000000里亚尔的X（1）的估计密度。表3给出了10000000里亚尔X（1）的平均值、标准偏差、偏度和峰度。