Gamma过程的精确模拟定价及其推广

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英文标题：
《Exact simulation pricing with Gamma processes and their extensions》
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作者：
Lancelot F. James, Dohyun Kim and Zhiyuan Zhang
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Exact path simulation of the underlying state variable is of great practical importance in simulating prices of financial derivatives or their sensitivities when there are no analytical solutions for their pricing formulas. However, in general, the complex dependence structure inherent in most nontrivial stochastic volatility (SV) models makes exact simulation difficult. In this paper, we present a nontrivial SV model that parallels the notable Heston SV model in the sense of admitting exact path simulation as studied by Broadie and Kaya. The instantaneous volatility process of the proposed model is driven by a Gamma process. Extensions to the model including superposition of independent instantaneous volatility processes are studied. Numerical results show that the proposed model outperforms the Heston model and two other L\\\'evy driven SV models in terms of model fit to the real option data. The ability to exactly simulate some of the path-dependent derivative prices is emphasized. Moreover, this is the first instance where an infinite-activity volatility process can be applied exactly in such pricing contexts.
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中文摘要：
当金融衍生产品的定价公式没有解析解时，对潜在状态变量的精确路径模拟在模拟金融衍生产品的价格或其敏感性方面具有重要的实际意义。然而，一般来说，大多数非平凡随机波动率（SV）模型固有的复杂依赖结构使得精确模拟变得困难。在本文中，我们提出了一个非平凡的SV模型，该模型与著名的Heston SV模型在允许精确路径模拟的意义上相似，正如Broadie和Kaya所研究的那样。该模型的瞬时波动过程由伽马过程驱动。研究了该模型的扩展，包括独立瞬时波动过程的叠加。数值结果表明，所提出的模型在模型拟合实物期权数据方面优于赫斯顿模型和另外两个勒夫驱动的SV模型。强调了精确模拟某些路径相关衍生产品价格的能力。此外，这是第一个可以在这种定价环境下精确应用无限活动波动过程的实例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Exact_simulation_pricing_with_Gamma_processes_and_their_extensions.pdf (378.95 KB)

2022-5-5 03:29:44 上传

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关键词：gamma GAM Applications Quantitative Computation

使用Gamma流程及其张力的精确模拟定价Lancelot F.James香港科技大学信息系统、商业统计和运营管理系，香港九龙清水湾。lancelot@ust.hkDohyun韩国首尔夸那古锡林洞首尔国立大学金统计研究所，邮编151-878。dhkim0211@gmail.comZhiyuan上海财经大学统计与管理学院，上海市国定路777号，邮编：200433。ismtzzy@gmail.comDecember282017Abstracts基本状态变量的精确路径模拟在模拟金融衍生工具的价格或其敏感性时具有非常重要的实际意义，因为它们的定价公式没有分析解决方案。然而，一般来说，大多数非平凡随机波动率（SV）模型固有的复杂依赖结构使得精确模拟变得困难。在本文中，我们将提出一个非平凡的SV模型，该模型与著名的HestonSV模型在允许Broadie和Kaya研究的精确路径模拟的意义上相似。该模型的惯性波动过程由Ga mma过程驱动。研究了该模型的扩展，包括独立瞬时波动过程的叠加。

数值结果表明，就模型对实物期权数据的拟合而言，所提出的模型优于Hestonmodel和另外两个L’evy驱动的SV模型。强调了精确模拟路径相关衍生产品价格的能力。此外，这是第一个可以在此类定价环境中准确应用有限活动波动率的实例。关键词：精确路径模拟、资产定价、伽马过程、广义伽马卷积、伽马杠杆1简介在资产定价背景下，不可靠资产价格过程的金融模型通常被指定为随机微分方程（SDE）。这些模型包括传统的双变量差分SV模型，如Heston（1993）模型，以及Barndor ff-Nielsen和Shephard（2001）后来的流行SV模型（BNS her eafter），其中瞬时波动过程由非高斯的Ornstein-Uhlenb-eck（OU）过程建模。BNS模型由于其灵活性和相对简单性，已逐渐受到欢迎，并在文献中得到了很好的体现。例如，参见Carr等人（2003）的论文和（Cont和Tankov（2003）和Schoutens（2003））的专著。这类基础资产价格模型的精确模拟具有重要的实际意义。当我们可以使用蒙特卡罗模拟来生成衍生证券价格的无偏估计时，尤其是当其定价公式没有解析解时。通过精确计算，我们排除了一阶Eu-ler离散化等方法，正如Broadie和Kaya（2006）的例子所指出的那样，这种方法会导致额外的偏差，并减慢估计量从O（s）的收敛速度-1/2）至O（s）-1/3）（杜菲和格林（1995）），其中s代表总计算预算。特别是，我们的意思是获得状态变量的精确样本路径。

然而，一般来说，大多数非平凡SV模型中固有的复杂依赖结构使得这项任务变得困难。Broadie和Kaya（2006）的工作是一个值得注意的例外，他们能够准确地模拟Heston模型及其jum p-DiffusionExtension的路径。因此，在Heston模型下，平方根收敛速度O（s-1/2的模拟估计器（如期权价格）可以恢复。赫斯顿模型通过将资产价格的瞬时波动建模为Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程，其驱动布朗运动可能与价格过程相关，解决了杠杆效应的可能问题，杠杆效应指的是波动率与资产回报率负相关的现象。Broadie和Kaya使用的模拟技术在一定程度上依赖于Pitman和Yor（1982）的分解结果，这对CIR过程非常特殊。然而，正如Broadie和Kaya（2006）所指出的，基于特征函数数值反演的采样程序并不困难。特别是，Arglasserman和Kim（2011）提出了一种ap近似方法，该方法绕过了特征函数的使用，因此，尽管技术上不是一个精确的模拟过程，但缓解了这些困难。一个自然的问题是：是否还有其他价格过程可以精确取样，它们表现出极大的灵活性？在这项工作中，我们将证明BNS框架中的一类模型，称为BNS OU Gamma SV模型及其扩展，与Broadie和Kaya（2006）的情况是平行的，允许进行精确模拟。然而，我们的精确采样方法完全不同，我们认为更简单，因为它只依赖于有限数量的非独立均匀[0,1]和伽马随机变量的模拟。

此外，值得一提的是，尽管这是BNS考虑的更大类别中的一员，但我们表明，与赫斯顿模型相比，它在模型fit与期权市场之间具有相当的可比性，甚至更好。毕竟，正如我们将在第2.1节中看到的，Hestonl模型也是一个更大的双变量扩散类的特殊实例。首先，我们表明，当瞬时波动过程（即非高斯OU过程）的背景驱动L’evy过程（BDLP）由伽马过程（带刻度）指定时，基于模拟的定价方法不仅可以准确地应用于仅依赖终端资产价格边际分布的金融衍生品（如欧式期权），无杠杆效应和有杠杆效应，但也适用于依赖于多个时间点资产价格的j点d分布的路径依赖衍生工具（如前向启动期权）。我们用于精确模拟的技术工具基于Devroye and d J ames（2011）最新开发的完美采样方法，称为双CFTP（过去的耦合）方法。具体来说，根据BNS OU SV模型对资产价格进行采样的问题最终被简化为对综合波动率（非重叠时间间隔内瞬时波动过程的积分）进行采样的问题，可能与相应的杠杆增量有关，这些杠杆增量是BDLP增量，这是由于用于模拟杠杆效应的价格过程的组成部分。在BNS OU伽马SV模型下，这些量是广义伽马卷积（GGC）变量，允许独立分解，以便于精确模拟。例如，参见（Bondesson（1992）和James等人（2008））关于GGC变量的内容。双CFTP方法就是为了精确模拟这类变量而设计的。

这是首次在此类定价环境中准确应用有限活动（任何有限时间范围内的有限跳跃）非高斯OU过程。请注意，当BDLP是复合泊松时，价格模型的精确模拟是微不足道的，这不是我们的兴趣所在。否则，众所周知，在BNS框架下，一种通用方法是应用罗西恩斯基（1991）的有限系列表示法。然而，有限序列表示的截断、序列的低收敛速度以及反尾质量函数的无显式表达式（Schoutens（2003）第5.2.2节）等问题通常使得有限活动情况下的精确模拟变得困难。这种困难通常源于综合波动率和杠杆增量之间或综合波动率之间的非平凡依赖性，据我们所知，这只能在平凡的复合情况和OU Gamma情况研究中准确解决。此外，正如我们前面提到的，就模型对同一实物期权数据集的拟合而言，我们在第7.1节中显示，BNS OU Gamma SV模型优于HestonSV模型和Nicolato和Vernardos（2003）研究的其他两个BNS OU SV模型。第二，我们提供了模拟方法，将带有Gamma BDLP的非高斯输出过程自然推广到BDLP是GGC子过程的情况，即带有GGC边缘分布的OUT漂移的递增evy过程，而不是Gamma过程，因为GGC子过程包括Gamma过程作为特例。的确，如第6节所示。2.这种扩展确实为我们提供了更多的分配灵活性。这是因为GGC随机变量可以表示为伽马随机变量的比例混合，因此其分布与伽马分布截然不同。

事实上，这样的随机变量可能有很重的尾巴。我们在第4节中举例说明一些例子。对于更一般的BNS OU-GGC模型，我们利用的BNS OU伽马模型的独立性不可用，因此，一般来说，我们无法实现精确的模拟过程。然而，在第4.1节中，我们讨论了如果我们稍微修改Barndor ff-Nielsen和Shephard（2001）中提出的框架，如何获得非路径选项的精确模拟。我们将此修改称为伽马杠杆。在第4.3节和第5节中。2.我们讨论了某些类型的基于路径的选项的高精度近似方法。本文的其余部分组织如下：我们首先在第2节中对与金融衍生品定价相关的模拟问题进行了一般性介绍，包括双变量效用SV模型和BNS型SV模型。在第3节中，我们证明了BNS类型模型，即BNS O U-Gamma SV模型，在Broadie和K aya（2006）的意义上与扩散类型的Heston模型平行，允许进行精确的路径模拟。第4节对OU Gammamodel进行了GGC扩展。第3节和第4节也考虑了独立瞬时波动过程的叠加。第5节介绍了双CFTP精确采样技术，其中还讨论了两种近似技术。第6节和第7节收集了所有相关的数值结果，而精确取样器的算法和一些理论细节在附录中给出。注1众所周知，由于布朗运动的存在，精确模拟许多SV模型的任务可以简化为涉及模拟由综合波动率和瞬时波动率组成的联合分布的陈述。赫斯顿模型就是这种情况，它是BNS OU的通用模型类，以及许多其他模型。

然而，关键是能够开发一种有效的方法，从涉及挥发性成分的复杂联合分布中准确取样。到目前为止，唯一实现这一点的非平凡案例是赫斯顿模型。在这里，我们通过不同的采样技术表明，这也可以应用于BNS OU伽马模型。注2：本文旨在为衍生工具定价提供精确的模拟技术，这些衍生工具的潜在资产遵循与赫斯顿模型平行的非平凡BNS OU型SV模型。另一方面，在Heston模型（见Heston（1993））和另外两种BNS OU类型模型下，欧式期权的价格可用半封闭表达式，即非高斯OU波动过程具有伽马边际分布的情况（复合情况）和波动过程具有逆高斯（IG）边际的情况（见Nicolato和Vernardos（2003））。这些半封闭价格公式是使用逆傅里叶变换思想推导的，该思想涉及相应的终端对数资产价格特征函数，其指数仅由便于数值计算的基本复函数组成，详细示例见Schootens（2003）第87-91页，计算方法快速傅里叶变换（FFT）见Carr和Madan（1999）。

然而，在本文的BNS OU Gamma/GGC模型下，特征函数的指数由非平凡的复杂函数组成（甚至包括复杂函数的多次积分，除了FFT之外，还需要进行数值计算），这使得转换方法的实现变得困难。OU-GGC模型的一般特征函数公式见Zhang（2010）第93页f。2不同SV模型下的模拟衍生产品价格我们应考虑使用一般贴现支付函数f（S（t）对金融衍生产品进行定价的问题；0≤ T≤ T），其中S（T）是特定价格模型给出的基础资产价格过程。基于资产定价的基本定理，衍生工具的无套利价格由风险中性度量下的预期贴现收益ieE[f（S（t）；0）给出≤ T≤ T）]。能否明确评估这种预期取决于基础资产价格模型S（t）和支付函数f（S（t）的复杂性；0≤T≤ T）。请注意，在s等式中，除非另有说明，否则我们将始终假设我们使用风险中性度量（或互换的等价鞅度量）。在Black-Scholes（BS）模型这样的简单模型下，衍生品价格通常是明确且容易评估的。然而，有很强的随机波动性的经验证据，例如（Shephard（1996）和Ghysels等人（1996）），这反映了BSM模型在描述基础资产价格以及金融衍生品定价方面的不足，因为CEBS模型假设波动率为常数。SV对BS模型进行了扩展，以避免缺点。在大多数SV模型下，对上述期望的评估变得更加复杂和重要。

无论何时，只要价格模型或价格函数非常复杂，以至于难以进行分析计算，蒙特卡罗模拟方法都可以作为选择。这个想法很简单，因为我们可以精确地（如果可能的话）模拟Bi。i、 d.{S（t）}的副本：0份≤ T≤ T}，即{Sb（t）：0≤ T≤ T}1.≤B≤B、 然后是衍生价格，ieE[f（S（t）；0≤ T≤ T）]，可通过以下蒙特卡罗平均值BBxb=1f（Sb（T）进行估计；0≤ T≤ T）。估计值收敛到真值B→ ∞ 根据大数定律。为了使p问题始终被认为是可处理的，我们将只考虑两类具有以下贴现支付函数（i）（路径独立）f（S（T））的导数例如，支付折扣的欧式看涨期权-rT（S（T）-K） “+”，其中K是履约价格，r是恒定无风险利率。（ii）（路径依赖的）f（S（T），S（T），S（Tm）），对于0<T<T<Tm=T.–例如带有折扣支付的远期启动选项-rT（S（T）- kS（T））+“，其中k决定了洪水走向的大小。很容易看出，（ii）类衍生工具在很多时间点涉及基础资产价格，而（i）类衍生工具仅依赖于终端资产价格。