聚合效用的随机场及其鞍共轭

A函数f:A→ (-∞, 0）属于F，且仅当它与函数g共轭时∈在（2.12）和（2.13）的意义上。此外，如果c>0，那么f∈eF（c）当且仅当g∈例如（c）.3聚合效用函数n调用聚合效用函数r=r（v，x）由（3.1）r（v，x）给出，supx+···+xM=xmxmxm=1vmum（xM），v∈ (0, ∞)M、 x∈ R.理论3。1和3.2分别在假设1.1和1.2下，将r=r（v，x）确定为FANDEF（c）的一个元素。请注意，在本节中，我们解释了第2节中定义的这些函数族。7，在评论2.1的意义上。定理3.1。在假设下。1函数r=r（v，x）等于toeF。此外，对于每个（v，x）∈ (0, ∞)M×R，（3.1）中的上确界位于向量bx处∈ rm由以下（3.2）或（3.3）等效确定：vmu′m（bxm）=Rx（v，x），（3.2）um（bxm）=Rvm（v，x），m=1，M.（3.3）用tm=tm（x）表示效用函数的耐受系数的风险um=um（x）：（3.4）tm（x），-u′m（x）u′m（x）=am（x），x∈ R、 m=1，M.此后，符号bx=bx（v，x）用于定义最大向量bx=（bxm）M=1，。。。，从理论上讲。1.关于v和x.定理3.2。在假设下。1和1.2函数r=r（v，x）属于f（c），与（1.3）中的常数c>0一样，函数bx=bx（v，x）是连续可微分的，对于l，m=1，Mbxmx（v，x）=tm（bxm）PMk=1tk（bxk），（3.5）vlbxmvl（v，x）=vmbxlvm（v，x）=tm（bxm）δlm-tl（bxl）PMk=1tk（bxk）！，（3.6）其中δlm，1{l=m}是克罗内克三角洲，Rx（v，x）=-Rx（v，x）PMk=1tk（bxk），（3.7）vmR虚拟机x（v，x）=Rx（v，x）tm（bxm）PMk=1tk（bxk），（3.8）vlvmRvlvm（v，x）=Rx（v，x）tl（bxl）δlm-tm（bxm）PMk=1tk（bxk）！，对于（F5）中的矩阵A（r），Alm（r）（v，x），vlvmR十、Rvl虚拟机-R十、Rvl十、R虚拟机十、（v，x）=tl（bxl）δlm。（3.10）3.1理论证明3。1和3.2定理3的证明。1.

定义函数g=g（v，x，z）：（0，∞)M×R×RM-1.→ R byg（v，x，z），M-1Xm=1vmum（zm）+vMuM（x-M-1Xm=1zm），观察（3.11）r（v，x）=supz∈RM-1g（v，x，z），v∈ (0, ∞)M、 x∈ R.每v∈ (0, ∞)M、 函数g（v，·，·）是严格凹的，连续可微的，并且对于每一个x，由（1.1）和（1.2）决定∈ R、 林| z|→∞g（v，x，z）=-∞.因此（3.11）中的上界是在唯一的bz=bz（v，x）下得到的，对于m=1，M- 1,(3.12) 0 =Gzm（v，x，bz）=vmu′m（bzm）- vMu′M（x-M-1Xk=1bzk）。因此，（3.1）中的上界是在唯一的bx=（bxm）m=1，。。。，Mgiven bybxm=bzm，m=1，M- 1，bxM=x-M-1Xm=1bzm。莱玛著。3在附录A中，函数r（v，·）是凹的、可微分的（因此，连续可微分），且Rx（v，x）=Gx（v，x，bz）=vMu\'M（x-M-1Xm=1bzk=vMu′M（bxM），与（3.12）一起证明（3.2）。当u\'M>0时，我们有Rx> 因此，r（v，·）严格地增加。从（1.1）我们得到了limx→∞r（v，x）=0。最后，r（v，·）的严格凹性直接从（um）m=1，。。。，以及（3.1）中上限的可达到性，从而完成（F4）的验证。对于（x，z）∈ 函数g（·，x，z）是（0，∞)Mand，在特定的、凸的和连续可区分的。因此，由莱玛。4在附录A中，函数r（·x）是凸的、可微分的（因此，连续可微分），并且Rvm（v，x）=Gvm（v，x，bz）=um（bxm），m=1，M、 证明（3.3）。当um<0时，函数r（·，x）严格递减。显然，这是完全一致的。此外，如果M>1，则由（1.1）（3.13）limn→∞r（wn，x）=0，对于每个序列（wn）n≥1英寸接近w∈  SM

因此，为了完成（F2）的验证，我们只需要证明该函数在SM上的严格凸性。让wand wbe区分SM的元素，wbe它们的中间点，bxibe（3.1）中的上界达到f或r（x，wi），i=1，2，3的点。从（3.2）我们推断出点（bxi）i=1,2,3是不同的，因此，r（w，x）=MXm=1wmum（bxm）=MXm=1wmum（bxm）+MXm=1wmum（bxm）<MXm=1wmum（bxm）+MXm=1wmum（bxm）=（r（x，w）+r（x，w））。这就完成了（F2）的验证。正如我们已经展示的，r=r（v，x）是一个鞍函数，在每个点上都有明确的偏导数。在这种情况下，r是连续可微分的，参见[10]中的定理35.8和推论35.7.1，因此满足（F1）。（F3）跟在（f4）后面，为了完成证明，我们必须验证（F6）。假设M>1，设（wn）n≥1是一个接近w的序列∈  SM为了n≥ 1用bxn表示∈ rmx对应于wn的最大分配。鉴于（3.13），limn→∞bxkn=∞ 对于wk>0的每个索引k。AsPMm=1bxmn=x，有一个索引msuch thatlimn→∞bxmn=-∞ 因此，考虑到（3.3）和（1.2），limn→∞MXm=1R虚拟机（wmn，x）≤ 画→∞Rvm（wmn，x）=limn→∞嗯（bxmn）=-∞.定理3的证明。2.证明依赖于隐函数定理。定义函数h=h（v，x，y，z）：（0，∞)M×R×RM×R→ RM+1byhm（v，x，y，z）=z- vmu′m（ym），m=1，M、 hM+1（v，x，y，z）=MXm=1ym- x、 并通过理论3观察到这一点。1，hv、 x，bx（v，x），Rx（v，x）= 0，（v，x）∈ (0, ∞)M×R.固定（v，x），集合y，bx（v，x），z，Rx（v，x），用B=（Bkl）k，l=1。。，M+1在（y，z）处求出的h（v，x，·，·，·）的雅可比矩阵。考虑到vmu′m（ym）=z，m=1，M、 我们推断BKL=Blk=-vku′k（yk）δkl=ztk（yk）δkl，k，l=1，M、 B（M+1）M=Bm（M+1）=1，M=1。

，M，B（M+1）（M+1）=0。直接计算表明逆矩阵C，B-1由ckl=Clk=tk（yk）zδkl给出-tl（yl）PMi=1ti（yi）！，k、 l=1，M、 ym=1，ym=1，M、 C（M+1）（M+1）=-zPMi=1ti（yi）。因为，对于m=1，M+1和l=1，M陛下x（v，x，y，z）=-δm（m+1），vl陛下vl（v，x，y，z）=-vmu′m（ym）δlm=-zδlm，隐函数定理意味着函数bx=bx（v，x）和Rx=R（v，x）的邻域中的x（v，x）及其恒等式：bxmx（v，x）=-M+1Xk=1Cmk香港x（v，x，y，z）=Cm（M+1），vlbxmvl（v，x）=-M+1Xk=1Cmkvl香港vl（v，x，y，z）=zCml，Rx（v，x）=-M+1Xk=1C（M+1）k香港x（v，x，y，z）=C（M+1）（M+1），vlR十、vl（v，x）=-M+1Xk=1C（M+1）kvl香港vl（v，x，y，z）=zC（M+1）l，证明（3.5）-（3.6）和（3.7）-（3.8）。连续的差异性R五=Rv（v，x）关于v和恒等式（3.9）遵循fr om（3.3）和（3.6）。依赖于（3.7）、（3.8）、a和（3.9）的直接计算得出了a（r）的表达式（3.10），它与（3.7）结合意味着（F5）对于r=r（v，x）的有效性。最后，考虑（1.4）并观察到（1.3）可以等效为asc≤ tm（x）≤ c、 x∈ R、 m=1，M、 我们推断，对于函数r=r（v，x），从（3.2）和（3.3）中得出的性质（F7），（F8）由（3.10）隐含，从（3.7）和（3.8）中得出的性质（F9）由（3.7）和（3.8）隐含。一套一套 Rda映射ξ：A→L（Rn）被称为随机场；ξ是连续的、凸的等，如果其采样路径ξ（ω）：A→ r对于所有ω都是连续的、凸的等∈ Ohm. 如果ξ和η是A上的随机场，那么η是ξ的一个修正，如果ξ（x）=η（x）代表每个yx∈ A.

A随机m场X:A×[0，T]→ L（Rn）被称为随机场，如果∈ [0，T]，Xt，X（·，T）：A→ L（Ft，Rn），也就是说，随机变量x是Ft可测量的。回想一下，总效用的随机场由Ft（a），E[r（v，∑（x，q））|Ft]，a=（v，x，q）给出∈ A、 t∈ [0，T]，其关于（v，x）的鞍形共轭定义为（4.1）Gt（b），supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- Ft（v，x，q）]，b=（u，y，q）∈ B.理论4中描述了这些随机场的样本路径。1和4.2构成本文的主要结果。通过D（[0，T]，X），我们将[0，T]的RCLL（rig ht continuous with leftlimits）映射空间表示为度量空间X。此后，对于i=1，2，我们将查看第2节开头定义的Fr’echet空间Ci（a）的Fias拓扑子空间。5.在eGandeF（c）和eG（c）之前也使用了类似的约定。定理4.1。补充假设1。1和条件（1.5）保持。结果表明，F=Ft（a）和G=Gt（b）的储层分别在D（[0，T]，eF）和D（[0，T]，eG）中的采样路径及其左极限处进行了修改-（·）和Gt-（·）与ea c h共轭，如（4.1）所示。此外，对于每个compac t集C A（4.2）E[kFT（·）k1，C]<∞,对于a=（v，x，q）∈ A、 t∈ [0，T]，i=1，M+1+J，（4.3）英尺ai（a）=E[英尺艾未未（a）|英尺]。定理4.2。假设假设s1。1和1.2以及条件（1.5）保持不变。然后，随机场F=Ft（a）和G=Gt（b）分别在D（[0，T]，eF（c））和D（[0，T]，eG（c））中用假设1中的常数c>0对样本路径进行了修改。2.此外，对于每一个紧凑的setC A（4.4）E[kFT（·）k2，C]<∞,对于a=（v，x，q）∈ A、 t∈ [0，T]和i，j=1，M+1+J（4.5）英尺人工智能aj（a）=E[英尺人工智能aj（a）|英尺]。第2节中的定理2.2、2.10和2.18允许我们在Ft（·）和Gt（·）的一阶导数和二阶导数之间建立各种恒等式。

Westet第1节中提到的一个这样的推论。证明了连续函数空间在紧集上具有一致或m收敛拓扑；见第2.5节。推论4.3。假设假设1。1，条件（1.5）保持不变。然后是随机费用（a），英尺vm（a），a=（v，x，q）∈ A、 m=1，M、 在D（[0，T]，C（A））、随机域x（u，q）、Gt（b），b=（u，1，q）中有样本路径∈ B、 Vmt（u，q），燃气轮机umPMl=1燃气轮机ul（b），b=（u，1，q）∈ B、 m=1，M、 在D（[0，T]，C]中有采样路径((-∞, 以下可逆性关系成立：um=Umt（Vt（u，q），Xt（u，q），q），M=1，M、 x=Xt（Ut（v，x，q），1，q），vm=Vmt（Ut（v，x，q），1，q），M=1，M、 你在哪里∈ (-∞, 0）M，x∈ R、 五∈ SM，q∈ RJ和t∈ [0, 1].此外，如果假设1。2则这些随机场在D（[0，T]，C）中有样本路径。证据结果直接来自理论4。1和4.2以及定理2.2第3项和第4项中的共轭关系，只要我们解释了G.Rema rk 4.4元素的正齐性性质（2.10）。考虑第1节中的价格影响模型。回想一下（1.8）中帕累托分配π（a）=（πm（a））的定义，并用理论3观察它。1和4.1Umt（a）=英尺vm（a）=E[um（πm（a））|Ft]。因此，Umt（a）代表给定帕累托分配π（a）的mth做市商在t时的预期效用。根据滚动4.3中的可逆关系，随机变量Xt（u，q）和Vt（u，q）确定了做市商在t时的集合现金金额和帕累托权重，此时他们的当前预期效用由u给出，并且他们共同持有q股。4.1定理4.1和4.2的证明对于定理4.1的证明，我们需要以下结果，将定义of的条件（F6）与引理C.3 fr omAppendix C.引理4.5中的条件（C9）联系起来。让M>1。

函数f∈ fsaties（F6）（即，belongstoeF）当且仅当对于每个递增序列（Cn）n≥1个紧凑的SMS设置∪N≥1Cn=SMand对于每一个紧凑的集合D R1+J（4.6）limn→∞苏普∈SM/Cnsup（x，q）∈DMXm=1Fvm（w，x，q）=-∞.证据“如果”的说法很简单。此后，我们将集中讨论相反的含义。为了验证（4.6），我们必须证明∈eFand every an=（wn，xn，qn）∈SM×R×RJ，n≥ 1，收敛到（w，x，q）∈ 我们有（4.7）个limn→∞MXm=1Fvm（an）=limn→∞Fv（an），1= -∞,其中1，（1，…，1）。设ε>0。考虑函数f（·，xn，qn），n的凸性和正齐性≥ 1，在（0，∞)Mwe Limn→∞Fv（an），1≤ 画→∞Fv（wn+ε1，xn，qn），1=Fv（w+ε1，x，q），1=Fv（w（ε），x，q），1,其中w（ε），w+ε11+εm等于SM。通过（F6），当ε→ 0收益率（4.7）。定理4的证明。1.AsFT（a）=r（v，∑（x，q）），a=（v，x，q）∈ A、 关于FT=FT（A）的样本路径的断言是在定理3中建立的r=r（v，x）的相应属性的直接滚动。1.到（1.5）时，我们得到了FT（a）∈ 五十、 a∈ A、 然后，根据附录B中的定理B.1，得到（4.2）。引理C.1则意味着F在D（[0，T]，C（A））中有采样路径，等式（4.3）成立。为了验证F的样本路径属于D（[0，T]，F），可以将F描述中的性质（F1）-（F4）与引理C.2和C.3中的性质（C1）-（C8）进行匹配。在大多数情况下，这些对应关系是直接的，（F2）中的（2.2）或（F4）中的（2.3）与它们各自版本的（C8）之间的联系，这是因为t七点方向的等价性和紧集上的一致性m对于序列o fconvex或鞍函数的收敛性。注意，为了在引理C.3中使用（C8），我们仍然需要验证该引理中的可集成性条件（C.6）。

它对（F2）中（2.2）的适应形式为：E[infw∈SMinf（x，q）∈干膜厚度（w，x，q）]>-∞,对于每个紧集D R1+J和fo允许，因为（4.2）和由于FT（·）的采样路径相对于v减小（因此，FT（w，x，q）>FT（1，x，q），w∈ SM，其中1，（1，…，1））。为了对（F4）中的收敛性（2.3）进行类似验证，我们将x的域限制为[0，∞). （C.6）的分析则有如下形式：E[infx≥0inf（v，q）∈干膜厚度（v，x，q）]>-∞,对于每个紧集D (0, ∞)M×RJ，并从（4.2）和F相对于x的单调性得出。因此，我们已经证明了F的采样路径属于D（[0，T]，F）。引理4.5建立了（C9）和（F6）之间的联系。（C.6）对这种情况的适应化处理，可以说是微不足道的Fv<0。因此，F的样本路径属于D（[0，T]，eF）。这就完成了与F有关的断言的证明。关于G的其余部分直接来自定理2。23和2.14。我们把定理4.2的证明分成几个引理。引理4.6。在定理4.2的条件下，随机场FT=FT（·）的样本路径属于空间f（c），在假设1中具有相同的常数>0 a s。2.此外，（4.4）适用于setC的每一项公约 A.证据。样本路径ofFT（a）=r（v，∑（x，q）），a=（v，x，q）的断言∈ A、 直接遵循定理3中r=r（v，x）的性质。2.验证（4.4）x紧凑集C A.根据定理3.2中r=r（v，x）的二阶导数公式和假设1.2，我们推导出常数b>0的存在性，从而（4.8）英尺人工智能aj（a）≤ B英尺x（a）（1+|ψ|），a∈ 从（3.7）我们推断Rx（v，x）≤ -MRx（v，x）≤ CRx（v，x），x∈ R、 其中c>0是假设1中的常数。2.

这就产生了指数增长型房地产-y+c/M+y-/（厘米）≤Rx（v，x+y）Rx（v，x）≤ E-y+/（厘米）+y-c/M，x，y∈ R、 其中x+，max（x，0）和x-, (-x） +。因此，（4.8）的右端主要由bkFTk1，df控制，对于某个常数b>0和包含C的a中的紧集D。因此，存在一个常数b>0，使得kftk2，C≤ bkFTk1，Dand（4.4）成立，因为根据定理4.1，kFTk1，dha是一个确定的期望值。引理4.7。在定理4.2的条件下，随机场F=Ft（a）在D（[0，T]、C（a））和（4.5）中有一个简单的路径。证据根据引理4.6，随机场FT（·）具有C（A）和（4.4）中的样本路径。结果来自引理C.1。回想一下（2.4）中定义的材料九的符号A（f）。定理4.2中的一个微妙之处是验证矩阵A（Ft），t的（f8）∈ [0，T]。暂时∈ A、 用（4.9）dR（A）dP定义概率测度R（A），英尺x（a）/F随机过程（4.10）Rt（a），-英尺x（a）/英尺x（a），t∈ [0，T]和随机变量（4.11）τm（a），tm（πm（a）），m=1，M、 其中tm=tm（x）是um=um（x）的绝对风险容忍度，πM（a）是帕累托最优配置；见（3.4）和（1.8）。观察R（a）是R（a）下的阿马丁格尔，通过（3.7），（4.12）MXm=1τm（a）=RT（a），通过假设1。2，（4.13）c≤ τm≤ c、 m=1，M.引理4.8。假设定理4的条件成立。2等一下。然后矩阵A（Ft）（A）由alm（Ft）（A）=Rt（A）ER（A）[τl（A）（δlmMXk=1τk（A）给出- τm（a）|Ft]+Rt（a）ER（a）[τl（a）|Ft]ER（a）[τm（a）|Ft]，l，m=1，M、 其中概率测度R（a）、随机过程R（a）和随机变量τ（a）分别在（4.9）、（4.10）和（4.11）中定义，δlm，1{l=M}是克罗内克增量。而且，对于每一个z∈ Rn，（4.14）c|z|≤ hz，A（Ft）（A）zi≤ c | z |，其中常数c>0在假设1中给出。2.证据。

根据定理3中r=r（v，x）的二阶导数的表达式。2.我们推断英尺虚拟机x（a）=-英尺x（a）τm（a），vlvm英尺vlvm（a）=-英尺x（a）τl（a）（δlmMXk=1τk（a）- τm（a）），a（Ft）的表达式后面是直接计算。为了简化符号，在（4.14）的证明中，我们省略了对a的依赖∈ 考虑t=0的情况。初步计算表明，hz，A（F）zi=RER“RTMXm=1τmzm- hτ，zi#+她[τ]，zi=RER“RTMXm=1τmzm- hτ-ER[τ]，zi#，我们使用（4.12）。这立即意味着（4.14）中的上限：hz，A（F）zi≤RER[RTMXm=1τmzm]≤ c | z |，其中我们使用了不等式（4.13）和R的鞅性质。为了验证下限，观察（4.13）θm，τm-C≥ 我们得到了hz，A（F）zi=RER“RTMXm=1（c+θm）zm- hθ- ER[θ]，zi#=c | z |+RER“RTMXm=1θmzm- hθ- 呃[θ]，子#。当RT=hτ，1i≥ hθ，1i，其中1，（1，…，1），我们推导出hz，A（F）zi-c|z|≥ ER“hθ，1iMXm=1θmzm- hθ- ER[θ]，zi#=ER“hθ，1iMXm=1θm（zmhθ，1i-hθ，zi）#+她[θ]，zi≥ 0.定理4的证明。2.在引理4.6中建立了不等式（4.4）和FT（·）的样本路径属于F（c）的事实，而在引理4.7中证明了它们的同一性（4.5）和F=FT（a）的样本路径属于toD（[0，T]，c（a））的事实。如果我们考虑FT（·）的样本路径的属性，并使用引理4，则F的剩余属性来自引理C.2。8.最后，样本路径forG=Gt（b）的性质直接来自于定理2.23和定理2.15。在定理2的证明中，给出了鞍函数的一个包络定理。2我们使用了民间传说中鞍函数的“包络”定理的以下版本。通常，ri C表示凸集C的相对内部。定理a.1。