聚合效用的随机场及其鞍共轭

根据共轭鞍函数的对偶理论，参见[10]，定理37.1和推论37。1.1和37.1.2，函数g和g有一个共同的有效域，我们将其表示为C×D，并在（int C×D）上重合∪ （C×int D），其中int A表示集合A的内部。因此，on（int C×D）∪（C×int D）我们可以定义一个有限的鞍函数g=g（u，y），使得g（u，y）=supv∈RM+infx∈R[hv，ui+xy- f（v，x）]=infx∈Rsupv∈RM+[hv，ui+xy- f（v，x）]。（2.18）此外，从[10]中相同的定理37.1和推论37.1.1和37.1.2，由于（2.17）是f到RM+1的唯一闭扩张，我们推导出f（v，x）=supu∈轻巧的∈int D[hv，ui+xy- g（u，y）]，=infy∈Dsupu∈int C[hv，ui+xy- g（u，y）]，（v，x）∈ RM+1。（2.19）注意到g的持续差异(-∞, 0）M×（0，∞) 作为（2.15）鞍点的存在性和唯一性的直接结果，见[10]，定理35.8和推论37.5.3，我们得到的结果为if1。集合C和D的内部由int C=(-∞, 0）M，（2.20）int D=（0，∞);(2.21)2. 对于（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞), （2.18）中的极小极大值在唯一（v，x）处得到∈ (0, ∞)M×R；3.对于（v，x）∈ (0, ∞)M×R，在（2.19）中的极小极大值是唯一的（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞).对于集合C，我们有C，U∈ RM:g（u，y）<∞ f或所有y∈ R=（u）∈ 客房：supv∈RM+[hu，vi]- f（v，x）]∞ 为了一些x∈ R）=U∈ 客房：谢谢∈SM[hu，wi- f（w，x）]≤ 0代表一些x∈ R,在最后一步中，我们使用了（2.1）。作为f≤ 在RM+×R上为0，我们有C (-∞, 另一方面，由（2.2）和（2.3），以及，自，f或everyw∈ SM，函数f（w，·）在增加，limx→∞infw∈SMf（w，x）=0。接下来就是(-∞, 0）米 C、 证明（2.20）。对于我们得到的D组，Y∈ R:g（u，y）>-∞ 为了所有的你∈ RM=Y∈ R:infx∈R[xy- f（v，x）]>-∞ 对一些人来说∈ RM.Fr om（2.3）我们推断D R+。作为f≤ 在RM+×R上为0，点y=0属于D。

如果y>0，那么（2.1）意味着v的存在∈ ( 0, ∞ )姆苏切蒂=Fx（v，1），因此，对于这样的y和v，infx∈R[xy- f（v，x）]=y-f（v，1）>-∞.因此，D=R+，意味着（2.21）。修正v∈ (0, ∞)曼德x∈ R.根据f的性质，f（v，x）∈ (-∞, 0）M×（0，∞) = int C×int D，意味着（u，y），f（v，x）是（2.19）的唯一鞍点，参见[10]中的推论37.5.3。现在修好你∈ (-∞, 0）曼迪∈ (0, ∞). 由于f（被视为RM+1上的函数）是一个闭鞍函数，（u，y）属于g的有效域的内部，所以（2.18）中的极小极大值附加在鞍点的闭凸集上，即g在（u，y）处的次微分，见[10]中的推论37.5.3。为了完成这个证明，我们需要证明这个集合是（0，∞)M×R.如果（bv，bx）是（2.18）的鞍点，那么（bv，bx）∈ domf=RM+×R，and g（u，y）=bxy+hbv，ui-f（bv，bx）=bxy+supv∈RM+[hv，用户界面- f（v，bx）]=hbv，ui+infx∈R[xy- f（bv，x）]。考虑到f（·，bx）的阳性同质性（2.1），我们推断BXY=g（u，y），（2.22）hbv，ui- f（bv，bx）=supv∈RM+[hv，用户界面- f（v，bx）]=0，（2.23）bxy- f（bv，bx）=infx∈R[xy- f（bv，x）]。（2.24）平等（2.22）定义了bx的独特性。为了展示bv的独特性，我们首先观察bv∈ (0, ∞)事实上，否则，我们会有f（bv，x）=0，x∈ R、 （2.24）的右边是-∞. 因此，bv可以分解为bw的产物∈ SMand bz>0。根据（2.1）和（2.23），hbw，ui-f（bw，bx）=supw∈SM[hw，ui- f（w，bx）]=0。由于f（·，bx）在SM上是严格凸的，这个恒等式唯一地决定了bw。最后，从（2.24）和f（bv，·）在R上的连续可微性得出thaty=Fx（bv，bx）=bzFx（bw，bx），证明了bz的唯一性。引理2.4。设f和g如引理2.3所示。

然后g满足正同质性性质（2.10）和（v，x）∈ (0, ∞)M×R和（u，y）∈(-∞, 0）M×（0，∞) 下面的关系是等价的：1。给定（u，y）时，（2.15）中的最小最大值在（v，x）处达到。给定（v，x）（2.16）中的极小极大值是在（u，y）处得到的。我们有x=Gy（u，y）=g（u，1）和v=Gu（u，y）。我们有一个=Fx（v，x）和u=Fv（v，x）。此外，在这种情况下，f（v，x）=hu，vi和g（u，y）=xy。证据首先，我们观察到g的（2.10）遵循f的相应特征（2.1）和（2.15）中g的构造。项1–4的等价性来自于根据共轭函数的次微分对鞍点的表征，参见[10]中的定理37.5和推论37.5.3。最后一个环节很简单。引理2.5。设f和dg如引理2.3所示。然后g∈ G.证据。在引理2.3和2.4中已经建立了g=g（u，y）的连续可微性和正齐性条件（G4），而（g3）（对于不依赖于q的g）则从（G2）开始。因此，（G2）是唯一有待证明的剩余属性。鉴于（G4），仅对y=1进行验证是有效的。函数g（·，1）严格递增，因为根据表2.4第3项对鞍点（2.15）的描述，其梯度严格为正。要显示g（·，1）的严格凸性，请选择u和u，distinctelements of(-∞, 0）M，用utheir中点表示，对于i=1，2，3，setvi，Gu（ui，1），xi，g（ui，1）。自从每个vi∈ (0, ∞)M、 我们可以把它表示为产品vi=ziwiof zi∈ (0 , ∞) 还有wi∈ SM

来自外稃2。4和正同质性（2.1）我们推导出thathui，wii- f（wi，xi）=supw∈SM[hui，wi-f（w，xi）]=0，（2.25）（y=）1=ziFx（wi，xi）。（2.26）由于（ui）i=1,2,3是不同的，（vi，xi）i=1,2,3（作为ui）也是不同的=Fv（vi，xi）由引理2.4）中的第3项和第4项的等价性得到，因此由（2.26）得到，（wi，xi）i=1,2,3。由于f（v，·）在R上是严格凹的，我们从（2.25）推出f（w，x）=hu，wi=（（hu，wi）- f（w，x））+（hu，wi）- f（w，x））+（f（w，x）+f（w，x））<f（w，（x+x））。由于f（w，·）在R上严格增加，我们推导出x<（x+x）/2，这意味着g（·，1）的严格凸性。（G2）（a）的断言（2.5）源于g（·，1）的单调性，以及通过引理2.3和2.4，每x∈ R一个人可以找到∈ (-∞, 0）这样x=g（u，1）。对于（G2）（b）和（G2）（c）的证明，我们将用矛盾来论证。让我们≥1是一个序列吗(-∞, 0）正在接近一个极限点(-∞, 0）M.表示xn，g（un，1），vn，Gu（联合国，1），n≥ 与（2.6）相反，假设序列（vn）n≥这是有界的。然后，通过g（·，1）的凸性和（un）n的有界性≥1，序列（xn）n≥1也是有界的。因此，通过传递到子序列，我们可以假设序列（vn）n≥1和（xn）n≥1接近最终限值bv∈ RM+和bx∈ R、 分别。来自Lemma2。我们推断（2.27）un=Fv（vn，xn），1=Fx（vn，xn），n≥ 1.如果bv∈ (0, ∞)M、 德林→∞n=limn→∞Fv（vn，xn）=Fv（bv，bx）∈ (-∞, 0）M，与我们选择的（un）n相矛盾≥1.另一方面，如果∈  RM+，然后由（2.1）和（2.2）limn→∞f（vn，x）=0，x∈ R.由于函数f（vn，·）是凹的，它们的逐点收敛到0意味着其导数在紧致集inR上一致收敛到0，见[10]中的定理25.7。这就跟那个利姆一样→∞Fx（vn，xn）=0，与（2.27）中的第二个等式相矛盾。

这就完成了（G2）（b）的证明。让我们现在（联合国）≥1是一个序列吗(-∞, 0）满足（G2）（c）中的条件（2.7）和（2.8）。与（2.9）相反，假设→∞g（un，1）=lim supn→∞xn>-∞.因为g（·，1）是(-∞, 0）M，（2.7）表示序列（xn）n的有界性≥1从上面看。因此，如果有必要，通过将y传递给子序列，我们可以假设它收敛到bx∈ R.确定序列（wn）n≥1在SMbywn=Gu（un，yn）=ynGu（un，1），适用于适当的归一化常数yn，n≥ 1.通过传递给子序列，我们可以假设（wn）n≥1在单纯形cl SM中接近bw。从外星2号开始。我们推断=Fv（wn，xn），n≥ 1.如果∈ SM，thenlimn→∞n=limn→∞Fv（wn，xn）=Fv（bw，bx）∈ (-∞, 0）M，矛盾（2.8）。如果bw∈  SM，然后，通过（2.2），凹函数的序列f（wn，·），n≥ 1在R上逐点收敛到0，因此在紧集上也是一致的。解释外稃2。4.我们推断Limn→∞hun，wni=limn→∞f（wn，xn）=0，与（2.7）相矛盾。这就完成了（G2）（c）的证明，以及引理的证明。引理2.6。设g=g（u，y）：(-∞, 0）M×（0，∞) → 在G中有一个连续可微函数f=f（v，x）：（0，∞)M×R→(-∞, 0）使得mi-nimax关系（2.15）和（2.16）保持并具有唯一的鞍点。证据我们遵循与引理2.3的证明类似的论点。为了使用[10]中第37节的结果，我们需要通过适当的闭合操作确定原始域边界处的g=g（u，y）值。为了你∈ (-∞, 0）Mwe集，通过连续性，g（u，0），0。

那么对y来说≥ 0 wede fine，通过下半连续性，（2.28）g（u，y），limε→0infz∈B（u，ε）g（z，y），u∈  (-∞, 0]M，其中b（u，ε），Z∈ (-∞, 0）M:| u- z|≤ ε.请注意，（2.28）中的限值可能是有限的。在引理2.3的证明中，我们推导出（C×int D）上定义的鞍函数f=f（v，x）的存在性∪ （D×int C），其中C，五、∈ RM:f（v，x）<∞ 为了所有的x∈ R=（五）∈ RM:supu∈(-∞,0]M[hv，ui- g（u，y）]∞ 有一段时间∈ R+，D，十、∈ R:f（v，x）>-∞ 总之∈ RM=十、∈ R：infy∈R+[xy- g（u，y）]>-∞ f或一些u∈ (-∞, 0]M,使得，f或每（v，x）∈ （C×int D）∪ （D×int C），f（v，x）=supu∈(-∞,0]Minfy∈R+[hv，ui+xy- g（u，y）]，=infy∈R+supu∈(-∞,0]M[hv，ui+xy- g（u，y）]，（2.29）和，对于每一个（u，y）∈ ( -∞, 0）M×（0，∞),g（u，y）=supv∈Cinfx∈int D[hv，ui+xy- f（v，x）]=infx∈Dsupv∈int C[hv，ui+xy- f（v，x）]。（2.30）作为g（u，y）=yg（u，1），由（G2）（c）表示每x∈ 有你∈(-∞, 0）如x所示≥ g（u，1），我们有d=R。在上面C的第二个描述中选择y=0，我们得到SUPU∈(-∞,0]米[胡，六]- g（u，0）]=supu∈(-∞,0]M[hu，vi]<∞ 我∈ RM+。如果v6∈ RM+，然后是u∈ (-∞, 0）胡说，vi>0。根据（G2）（c），对于每一个y>0，limn→∞g（nu，y）=-∞,因此，苏普∈(-∞,0]米[胡，六]- g（u，y）]≥ 林尚→∞[hnu，vi]- g（nu，y）]=∞.它遵循tC=RM+。为了你∈ (-∞, 0）Mand y>0我们有g（u，y）∈ (0, ∞)M×R，意味着（v，x），g（u，y）是（2.30）的唯一鞍点。特别地，我们得出极小极大恒等式（2.15）和（2.30）具有相同的唯一鞍点。现在让我们来看看v∈ (0, ∞)曼德x∈ R由于（v，x）属于f的有效域的内部，所以（2.29）中的极小极大值是在（v，x）处计算的属于f的次微分的鞍点的闭凸集上获得的，参见[10]中的推论37.5.3。我们将向大家展示这一套是一个独立的(-∞, 0）M×（0，∞).让（bu，by）成为鞍点。

然后（bu，by）∈ 多姆g (-∞, 0]M×R+，andf（v，x）=xby+hbu，vi- g（bu，by）=xby+supu∈(-∞,0]米[胡，六]- g（u，by）]=hbu，vi+infy∈R+[xy- g（bu，y）]。当g（u，y）=yg（u，1）时，我们推导出，通过>0，bu 6=0，和f（v，x）=hbu，vi，（2.31）x=g（bu，1），（2.32）hbu，vi- xby=supu∈(-∞,0]米[胡，六]- 比格（u，1）]。（2.33）bu（2.33）中上限的可达到性意味着g（bu，1）定义明确，v∈ 通过g（bu，1）。从（G2）（b）我们得出g（·，1）在(-∞, 0]因此∈ ( -∞, 当g（·，1）在（-∞, 0）M，（2.32）定义不唯一，并且，因为g（·1）在(-∞, 0）M，由等式v=by唯一确定Gu（bu，1）。鞍点（bu，by）的唯一性意味着f在（0，∞)最后，从（2.31）我们推断出f<0on（0，∞)M×R引理2.7。设g和f如引理2.6所示。然后f满足正齐次条件（2.1）和d，对于（v，x）∈ (0, ∞ )M×R和（u，y）∈(-∞, 0）M×（0，∞), Lemm的断言是2.4 hold证明。f的正同质性（2.1）是g的相应特征（2.10）的结果。剩余的断言后面跟引理2.4的证明中相同的等式。引理2.8。让g和f与lemma2.6中的一样。然后是f满意度（F2）。证据修正x∈ R.关于v的阳性同质性已在Lemma2中建立。7.引理2.4的第4项，Fv<0，表示函数f（·，x）严格递减。设（wi）i=1,2为SM中的不同点，wb为它们的中点，对于i=1,2,3，表示ui，Fv（wi，x）和yi，Fx（wi，x）。通过引理2中鞍点的刻画。4，对于i=1，2，3，我们有f（wi，x）=hui，wii，x=g（ui，1），wi=yiGu（ui，1）。根据上一个等式，我们推断点（ui）i=1,2,3是不同的。

（2.16）鞍点的唯一性意味着hu，wii<hui，wii，fori=1，2，因此f（w，x）=hu，wi=（hu，wi+hu，wi）<（hu，wi+hu，wi）=（f（w，x）+f（w，x）），证明了f（·x）在SM上的严格凸性。让我们现在（wn）n≥1是一个接近w的序列∈  SMFr om（G2）（c）对于每一个ε>0，我们推导出u（ε）的存在性∈ (-∞, 0）Msuchth g（u（ε），1）≤ x和-ε ≤ hu（ε），wi=limn→∞胡（ε），wni。从（2.16）中f的构造出发，我们推导出f（v，x）≥ hu（ε），vi代表每个v∈ (0, ∞)M.下面是thatlim infn→∞f（wn，x）≥ 画→∞胡（ε），wni≥ -ε、 证明（2.2）。引理2.9。让g和f与lemma2.6中的一样。然后是f满意度（F4）。证据修正v∈ (0, ∞)根据引理2.4的第4项，Fx> 函数f（v，·）严格递增。设（xi）i=1,2是R，x，（x+x）和ui的不同元素，Fv（v，xi），i=1，2，3。来自外稃2。我们推导出g（ui，1）=xi，f（v，xi）=hui，vi，i=1，2，3。由此可知，（ui）i=1,2,3是不同的，因此，通过g（·，1），g（（u+u），1）<（g（u，1）+g（u，1））=（x+x）=x的严格凸性，我们从（2.16）中鞍点的唯一性推导出，如果g（u，1）<xthen f（v，x）>hu，vi（u+u），v=（f（v，x）+f（v，x）），证明了f（v，·的严格凹性。对于每一个ε>0，我们可以清楚地找到u（ε）∈ (-∞, 0）如hu（ε），vi≥-ε. 表示x（ε），g（u（ε），1）我们推导了limx→∞f（v，x）>f（v，x（ε））≥ hu（ε），vi≥ -ε、 证明（2.3）。在这些准备工作之后，我们准备完成定理2.2的证明。从现在起，函数f和g将取决于“辅助”变量q∈ RJ。理论证明2。2.如果f=f（v，x，q）∈ F、 然后，通过引理2.3和2.5，得到函数g（u，y，q），supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- f（v，x，q）]满足（G2）和（G4），并且对于u和y是不同的。此外，f（v，·，·，·）的凹性意味着g（·，y，·）的凸性。

相反，如果g=g（u，y，q）∈ G、 然后，通过引理2.6–2.9，函数f（v，x，q），supu∈(-∞,0）碎肉∈(0,∞)[hu，vi+xy]- g（u，y，q）]满足（F2）和（F4），并且相对于v和x是可区分的。此外，当g相对于（u，q）是凸的时，f相对于（x，q）是凹的。最重要的证明，即关于q和关系式（2.14）的可微性off和g的等价性，遵循附录A中给出的鞍函数包络定理，定理A.1。最后，我们记得，对于鞍函数，导数的存在意味着导数的连续性，参见[10]中的定理35.8和推论35.7.1。2.4 Fand和GFor f之间的共轭关系∈ 范德格∈ G、 除了矩阵A（f）和B（G）的givenby（2.4）和（2.11）之外，还定义了以下二阶导数矩阵：形式=1，M和i，j=1，J、 Cmj（f）（v，x，q），vmF十、F虚拟机qj-F十、F虚拟机十、F十、qj！（v，x，q），（2.34）Dij（f）（v，x，q），F十、-F气qj+F十、F十、气F十、qj！（v，x，q），（2.35）和mj（g）（u，y，q），G嗯G嗯qj（u，y，q）=G嗯G嗯qj（u，1，q），（2.36）Hij（g）（u，y，q），yG气qj（u，y，q）=G气qj（u，1，q），（2.37），其中在（2.36）和（2.37）中，我们使用了g相对于y的正同调性（2.10）。我们使用线性代数的标准符号：对于全秩的平方矩阵a，a-1表示它的逆矩阵，对于矩阵B，bt表示它的转置。定理2.10。

A函数f:A→ ( -∞, 0）属于Fif，并且只有IFT与函数g共轭∈ （2.12）和（2.13）的意义。此外，如果，对于q∈ RJ，向量a=（v，x，q）∈ A和b=（u，y，q）∈B在第2.2条第1-4项的等效条件意义上是共轭的，那么第（2.4）、（2.34）和（2.35）条中定义的f、A（f）、C（f）和D（f）的二阶导数矩阵，以及第（2.11）、（2.36）和（2.37）条中定义的g、B（g）、E（g）和H（g）的二阶导数矩阵，由B（g）（B）=（A（f）（A））关联-1，（2.38）E（g）（b）=-（A（f）（A））-1C（f）（a）、（2.39）H（g）（b）=（C（f）（a））T（a（f）（a））-1C（f）（a）+D（f）（a）。（2.40）重新标记2.11。我们选择矩阵A（f）（A）、c（f）（A）、D（f）（A）和B（g）（B）、E（g）（B）和H（g）（B）的特定形式，部分是因为它们在变换（v、x、q）下是不变的→（zv，x，q）和（u，y，q）→ （u，zy，q），z>0，根据正均质性条件（2.1）和（2.10）是自然的。2.4.1理论证明2。10在定理2.2的证明中，我们从几个引理开始，我们省略了对q的依赖。引理2.12。设f=f（v，x）和dg=g（u，y）如引理2中所示。3.那么下列断言是等价的：1。f是两次连续可微的，并且对于所有v∈ (0, ∞)曼德x∈ Rits-Hessian矩阵K（v，x）=（Kkl（v，x））K，l=1。。，M+1排名满。2.g是两次连续可微的，对于所有u∈ (-∞, 0）曼迪∈ (0, ∞) 它的海森矩阵L（u，y）=（Lkl（u，y））k，L=1。。，M+1为满秩。此外，如果（v，x）∈ (0 , ∞)M×R和（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞ ) 引理2意义下的arecon j ugate鞍点。那么L（u，y）是逆toK（v，x）。证据