聚合效用的随机场及其鞍共轭

断言的等价性是鞍函数理论中的一个众所周知的事实，是引理2中给出的共轭函数f和g的梯度表征的直接结果。4和隐函数定理。在下面的陈述中，我们将通过考虑g引理2.13的正同质性（2.10），使f和g的Hessian矩阵之间的关系更加明确。设f和dg如引理2所示。3.那么下面的断言是等价的：1。f是两次连续可微的，并且对于所有v∈ (0, ∞)曼德x∈ R（2.41）Fx（v，x）<0，f h的Hessian矩阵K（v，x）为满秩。2.f是两次连续可微的，对于所有v∈ (0, ∞)曼德x∈ R不等式（2.41）成立，M×M矩阵（v，x）的条目（2.42）为eAkl（v，x），Fvkvl-F十、Fvk十、Fvl十、（v，x），具有完整的等级。3.g是两次连续可微的，对于所有u∈ (-∞, 0）曼迪∈ (0, ∞) M×M矩阵b（u，y）和条目（2.43）eBkl（u，y），G英国ul（u，y）具有完整等级。此外，如果（v，x）∈ (0 , ∞)M×R和（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞ ) arecon j ugate的addle points在引理2的意义上。4，theneB（u，y）是fea（v，x）的反比。证据1.<==> 2.从（2.41）a和（2.42）中mat r ixeA（v，x）的构造，我们推导出a∈ RMand b∈ R方程k（v，x）ab= 0等于tob=-Fx（v，x）MXm=1F虚拟机x（v，x）amandeA（v，x）a=0。因此，在（2.41）下，矩阵K（v，x）andeA（v，x）只能同时具有满秩。1.<==> 3.我们得到满足引理2.4共轭关系的等式（u，y）和（v，x）。

从（2.43）中对eB=eB（u，y）的定义出发，我们得出Gat（u，y）的Hessian matr ix具有代表性（u，y）=eB（u，y）Gu（u，1）(Gu（u，1））T=Ebyvt！。为了简化符号，我们还将在（v，x）asK（v，x）处表示f的海森矩阵=M ppTz,其中M是f（·，x）在v，p处的海森矩阵(F虚拟机x（v，x））m=1，。。。，混合导数的向量列，和z，Fx（v，x）。观察（2.42）中定义的矩阵a=eA（v，x）由（2.44）eA=M给出-zppT。AseB是一个对称的正半有限矩阵a ndyv 6=0，OB的满秩表示L（u，y）的满秩。因此，通过引理2。12，在第1项或第3项的条件下，Hessian矩阵K（v，x）和L（u，y）具有满秩，并且彼此相反。用I表示M×中间实体矩阵，我们推导出ebm+yvpT=I，eBp+yvz=0。（2.45）如果z<0，也就是说，（2.41）成立，那么，通过（2.44）和（2.45），eBeA=I。因此，eB是ea的倒数，尤其是，它有满秩，证明1==> 3.相反，如果EB有满秩，则z=Fx（v，x）6=0。事实上，从（2.45）中的第二个等式，我们得到了p=0，与完整的rankof K（v，x）相矛盾。由于f（v，·）是凹的，我们推导出z<0，证明了3==> 1.定理2的证明。10.如果（v，x，q）∈ A和（u，y，q）∈ B满足定理2.2第1-4项的等价关系，则（2.4）和（2.11）中定义的矩阵A和B，以及（2.42）和（2.43）中定义的矩阵A和B由AKL=vkvlyeAkl，Bkl=yvkvleBkl，k，l=1，狐猴。13则意味着（2.38）以及该理论的其他断言，除了涉及关于q的二阶导数的断言。首先假设f∈ F.我们必须证明g是连续可微的两倍，并且（2.39）和（2.40）保持不变。

暂时∈ rm定义函数h:（0，∞)M×(-∞, 0）M×RJ→ 人民币YH（v，u，q）(Fv（v，g（u，1，q），q）- u） +a(Fx（v，g（u，1，q），q）- 1).从理论上讲。2我们推断，对于每一个（u，y，q）∈ B、 h(Gu，u=0，q，u。修正（u，y，q）∈ B、 表示v，Gu（u，y，q），x，g（u，1，q），然后选择seam，-F虚拟机x/F十、（v，x，q），m=1，直接计算表明，对于M，l=1，M和j=1，J陛下vl（v，u，q）=eAml（v，x，q）=YVMVLAM（v，x，q），陛下qj（v，u，q）=yvj（v，x，q）。通过隐函数定理Gu=Gu（u，y，q）在（u，y，q）的邻域中与q是连续不同的，此时的关系（2.39）成立。为了证明g关于q的连续二阶导数和剩余恒等式（2.40）的存在性，我们表示BJ(F十、qj/Fx） （v，x，q），j=1，J.Fr om Theorem 2。2我们推断，对于每一个（u，y，q）∈ BGq（u，y，q）+by=-Fq(Gu（u，y，q），g（u，1，q），q）+bFx(Gu（u，y，q），g（u，1，q），q）。这意味着g对Q的连续两次微分。此外，直接计算表明，上述恒等式在（u，y，q）处相对于q的差异在此时产生（2.40）。现在假设∈ G.为了完成证明，我们必须证明F有连续的二阶导数，涉及q.定理2。2，对于每个（v，x，q）∈ A我们有平局Gu(Fv（v，x，q），Fx（v，x，q），q）- v=0，Gy(Fv（v，x，q），Fx（v，x，q），q）- x=g(Fv（v，x，q），1，q）- x=0，Fq（v，x，q）+Gq(Fv（v，x，q），Fx（v，x，q），q）=0。引理2。12和2.13，矩阵B（u，y，q）的满秩意味着g（·，·，q）的海森矩阵在（u，y）处的满秩。将隐函数定理应用于上面的前两个等式，就得到了方程的连续可微性F范德FX代表q。

通过第三实体，这意味着生命的存在和延续F气qj。2.5收敛下的稳定性设m为非负整数，U为Rd的开子集。用Cm=Cm（U，Rn）表示m-t时间的Fr’echet空间连续微分问题f:U→ 由半范数skfkm，C，X0生成的RNT拓扑≤|k|≤msupx∈CDkf（x）,其中C是U的紧子集，k=（k，…，kd）是非负整数的多指数，|k |，Pdi=1ki，和（2.46）Dk，|k|xk。xkdd。特别是，对于m=0，Dis是恒等式运算符，kfk0，C，supx∈C | f（x）|。以下结果表明，空间F和G之间的共轭关系已在定理2中建立。2和2.10在Ci收敛下保持稳定，i=1,2。这些结果将用于证明我们的主要理论。1和4.2确定随机场F和G在时间变量t中具有RCLL（左极限右连续）的版本。定理2.14。让（fn）n≥1和f属于Fand（gn）n≥1和g是g的葡萄糖酸盐对应物。然后（fn）n≥1在C（A）i中，仅当（gn）n≥C（B）中的g。定理2.15。让（fn）n≥1和f属于Fand（gn）n≥1和g是g的葡萄糖酸盐对应物。然后（fn）n≥1在C（A）i中，仅当（gn）n≥C（B）中的g。2.5.1定理的证明。14和2.15定理2的证明。14.回想一下，f或凸o或鞍函数在Cis中的收敛相当于点态收敛。我们还提醒读者，（2.12）和（2.13）中的共轭运算在这种收敛下通常是不连续的，因此，结果不会自动成立。

在这种情况下，标准验证方法是显示点态收敛和epi收敛（或其类似物，如epi次收敛）的等价性，在此情况下，共轭运算是连续的；参见R ockafellar和Wets[11]，定理11.3.4。我们发现直接论证更简单。首先假设（fn）n≥1在C（A）中接近f。通过正齐性条件（G4）以及由于它们是鞍函数，可以有效地验证（gn）n的逐点收敛性≥1at b=（u，y，q）∈ B，y=1。修正ε>0并找到ui∈ (-∞, 0）M，i=1，2，使得u<u<uand（2.47）|g（b）- g（b）|<ε，其中bi，（ui，1，q）。对于i=1，2，ai=（vi，xi，q）(Gu（bi），g（bi），q），和，对于n≥ 1，bi，n=（ui，n，1，q）(fnv（ai），1，q）。fn和gna之间的共轭关系，以及f和g之间的共轭关系，意味着gn（bi，n）=xind ui=Fv（ai）。从（fn）n的C-收敛≥1.去森林→∞ui，n=limn→∞fnv（ai）=Fv（ai）=ui，i=1，2，因此存在n>1，使得u1，n<u<u2，n≥ n、 考虑到gw元素对u的单调性，我们得到（b）<g（b）<g（b），g（b）=gn（b1，n）<gn（b）<gn（b2，n）=g（b），n≥ n、 然后（2.47）产生| gn（b）- g（b）|<ε，n≥ n、 从而证明了点态的C（B），f（gn）n的收敛性≥1吨。现在假设t（gn）n≥1在C（B）中接近g。我们遵循与之前含义证明相同的方法。

固定ε>0，取a=（v，x，q）∈ A设ai=（vi，xi，q）∈ A、 i=1，2，使得v>v>v，x<x<x，和（2.48）|f（A）- f（a）|<ε。表示，对于i=1，2，bi=（ui，yi，q）(Fv（ai），Fx（ai），q），和，对于n≥ 1，ai，n=（vi，n，xi，n，q）(gnu（bi），gny（bi），q）。从fn和g之间的共轭关系以及f和g之间的共轭关系得出fn（ai，n）=hui，vi，ni，f（ai）=hui，vii和ai=(Gu（bi），Gy（bi），q）。作为（gn）n的C-收敛≥1到g意味着（ai，n）n的收敛≥1toai，有n>1这样，对于n≥ n、 v1，n>v>v2，n，x1，n<x<x2，n和| hui，vi，ni-hui，vii |<ε。考虑到元素对v和x的单调性，我们推导出f（a）<f（a）<f（a），f（a）- ε<fn（a1，n）<fn（a）<fn（a2，n）<f（a）+ε，n≥ n、 然后，（2.48）意味着|fn（a）- f（a）|<2ε，n≥ n、 证明（fn）n的整体收敛性（因此也是C（A））收敛性≥为了证明定理2.15，我们需要矩阵A（f）和C（f）的一些初等恒等式。引理2.16。为了f∈ F、 （2.4）中定义的矩阵A（F）满足xM=1Alm（F）=-vlFvlx/Fx、 l=1，M、 MXl，M=1Alm（f）=-Fx/Fx、 证据。从正齐性条件（2.1）中，我们推导出mxm=1vmFvlvm=0，MXm=1vmF十、虚拟机=Fx、 结果如下。引理2.17。为了f∈ F、 （2.34）中定义的矩阵C（F）为（2.49）MXm=1Cmj（F）=F十、Fqj-F十、Fqjx、 j=1，J.证据。正齐性性质（2.1）产生了欧拉恒等式：f=MXm=1vmFvm，这反过来意味着Fx=MXm=1vmF虚拟机十、Fqj=MXm=1vmF虚拟机qj，j=1，J、 证明（2.49）。定理2的证明。15.根据定理2.14，我们只需要在紧致集上建立二阶导数收敛的一致性。

回想一下（2.4）、（2.34）和（2.35）中定义的矩阵的旋转A（f）、C（f）和D（f），以及（2.11）、（2.36）和（2.37）中定义的材料的旋转B（g）、E（g）和H（g）。首先假设（fn）n≥1在C（A）中接近f。让（bn）n≥1b收敛到B的B序列∈ B.根据理论2。14，sequencean(gn美国（bn），gny（bn），qn），n≥ 1.收敛到一个(Gu（b），Gy（b），q）。f（fn）n的收敛性≥C（A）中的to f则意味着矩阵（（A（fn），C（fn），D（fn））（A））的收敛≥1至（A（f）、C（f）、D（f））（A）。根据它们的一致性（2.38）、（2.39）和（2.40），这意味着矩阵（（B，E，H）（gn）（bn））n的收敛性≥1到（B，E，H）（g）（B），通过这些矩阵的构造，得到了gnatbn，n的所有二阶导数的收敛性≥ 这显然意味着（gn）n的二阶导数在紧集上的一致收敛性≥类似的论证表明，（gn）n的C（B）-收敛性≥1到g意味着对于每个序列（an）n≥1在一个汇聚到∈ 矩阵（（A（fn），C（fn），D（fn））（A））n≥1接近（A（f）、C（f）、D（f））（A）。这，inturn，意味着FNan，n的二阶导数收敛≥ 如果我们考虑矩阵C（f）的恒等式（2.49）和引理2中矩阵a（f）的等式，则f在a处的二阶导数。16.2.6额外的婚姻关系f∈ 范德格∈ 在（2.12）和（2.13）成立的意义上，f的任何额外条件都有其与g的共轭类似物。下面我们将给出几个这样的扩展，它们将出现在随机场f和g的样本路径描述中。

在本节中，我们确定了一个常数c>0。对于函数f:a→ (-∞, 0）确定以下条件：（F6）如果M>1，则每（x，q）∈ R×rj和每个序列（wn）n≥1在接近SMwe havelimn的边界点时→∞MXm=1Fvm（wn，x，q）=-∞.（F7）对于每个a=（v，x，q）∈ A和m=1，M、 cFx（a）≤ -虚拟机Fvm（a）≤ CFx（a）。（F8）对于每个a∈ A和每个z∈ RM，chz，zi≤ hz，A（f）（A）zi≤ c hz，zi，其中矩阵A（f）（A）在（2.4）中定义。（F9）对于每个a=（v，x，q）∈ A和m=1，M-CFx（a）≤ 虚拟机F虚拟机x（a）≤ -CFx（a）。对于a函数g:B→ 确定以下条件：（G6）对于每个（y，q）∈ (0, ∞)x rj和每个序列（un）n≥1英寸(-∞, 0）M接近(-∞, 0）Mwe havelimn→∞g（un，y，q）=∞.（G7）对于每（u，q）∈ (-∞, 0）M×RJ和M=1，M、 c≤ -嗯G嗯（u，1，q）≤ c、 （G8）每b∈ B和每个z∈ RM，chz，zi≤ hz，B（g）（B）zi≤ c hz，zi，其中矩阵B（g）（B）在（2.11）中定义。（G9）对于每（u，q）∈ (-∞, 0）M×RJ，向量z∈ 求解线性方程：B（g）（u，1，q）z=1，其中1，（1，…，1）∈ 牢固，令人满意≤ zm≤ c、 m=1，注意，对于g∈ G条件（G6）在（G2）中暗示（a）和（b），当M=1乘以（2.5）时，条件（G6）基本成立。定理2.18。让f∈ 范德格∈ Gbe共轭在（2.12）和（2.13）的范围内。Th en（F6）相当于（G6），（F7）相当于（G7）。此外，如果f∈ 范德格∈ 当（F8）等价于（G8）且（F9）等价于（G9）。定理2.18的证明遵循以下引理，其中f∈ 范德格∈ 如（2.12）中所述。引理2.19。假设M>1。那么条件（F6）和（G6）是等价的。证据为了简化符号，我们将省略f和g对相关参数q的依赖性。回忆一下符号 集合A（F6）的边界和闭包的A和cl A==> （G6）。

让我们≥1是一个序列吗(-∞, 0）Mconvergingto bu∈  (-∞, 0）M.表示xn，g（un，1），n≥ 1，与（G6）相反，假设→∞g（un，1）=lim infn→∞xn<∞.因为g（·，1）是(-∞, 0）命令序列（un）n≥1从下面开始，序列（xn）n≥1也从下面开始。因此，通过对一个子序列进行赋值，我们可以假设（xn）n≥1接近某个bx∈ R.表示vn，Gu（un，1）和wn，vnPMm=1vmnw是从定理2.2的第3项和第4项以及f的正齐性条件（2.1）推导出来的=Fv（vn，xn）=Fv（wn，xn），n≥ 1.作为∈ SM，传递给一个子序列，我们可以假设（wn）n≥1 Convergesto bw∈ cl SM。如果bw∈ SM，thenbu=limn→∞n=limn→∞Fv（wn，xn）=Fv（bw，bx）∈ (-∞, 0）M，与我们选择的bu相矛盾。另一方面，如果∈  SM，by（2.2）和f=f（v，x）关于x，limn的单调性→∞f（wn，xn）=0。因此，对于每一个v∈ (0, ∞)M、 0≥ f（v，bx）=limn→∞f（v，xn）≥ 画→∞f（wn，xn）+Fv（wn，xn），v- wn= 画→∞（f（wn，xn）+hun，v- wni）=hbu，v- bwi。因此，如果我们通过连续性将凸函数f（·，bx）通过设置f（v，bx）=0，v扩展到其域的边界∈  (0, ∞)M、 然后是它的次差异bw处的fv（bw，bx）包含bu，因此为非空。在这种情况下，还有欧盟∈ fv（bw，bx）和a序列（evn）n≥1. (0, ∞)McConvergent to bw，使EU=limn→∞Fv（evn，bx），见[10]中的定理25.6。表示ewn，evnPMm=1evmn，n≥ 1，并考虑（2.1）我们得到eu=limn→∞Fv（ewn，bx），与（F6）相矛盾。（G6）==> （F6）。修正x∈ R、 让（wn）n≥1是SMCONVERGING中的一个序列∈  SM和UN，Fv（wn，x），yn，Fx（wn，x），n≥ 1.通过（2.2），凹函数f（wn，·），n≥ 1，收敛到0。因此，他们的比值也收敛到0，这意味着（2.50）limn→∞yn=0。与（F6）相反，假设（un）n≥1包含有界子序列。

通过一个子序列，我们可以假设（un）n≥1接近你∈(-∞, 通过定理2.2中项目3和4的等价性，wn=ynGu（un，1），x=g（un，1），n≥ 1.鉴于（2.50），第一个等式意味着∈ (-∞, 0）M.因此，u∈  (-∞, 0）M，与（G6）和第二个等式相矛盾。回想一下，常数c>0出现在（F7）-（F9）中，而（G7）-（G9）是固定的。引理2.20。条件（F7）和（G7）是等效的。证据根据定理2.2中鞍点的等价刻画列表中的项目3和4，以及g的正齐性条件（2.10）。此外，我们假设∈ 范德格∈ 引理2.21。条件（F8）和（G8）是等效的。证据根据矩阵A（f）（A）和B（g）（B）之间的逆关系（2.38）得出。引理2.22。条件（F9）和（G9）是等效的。证据通过外稃2。16，条件（F9）可等效为asc≤ （A（f）（A）1）m≤ c、 m=1，M、 结果来自矩阵a（f）（a）和B（g）（B）之间的反比关系（2.38）。2.7 spaceseF、eGandeF（c）、eG（c）为了简化未来的参考，我们定义了以下函数族：，F∈ F:（F6）等待,如，G∈ G:（G6）保持,对于常数c>0，eF（c），nf∈ F∩eF：（F7）–（F9）为给定的co保留，例如（c），ng∈ G∩例如：（G7）–（G9）对给定的co保持不变。注意，当M=1时，条件（F6）和（G6）保持不变；特别是，eF=FandeG=G.Fr从理论上2。2，2.10和2.18我们立即得到了2.23。