聚合效用的随机场及其鞍共轭

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英文标题：
《The stochastic field of aggregate utilities and its saddle conjugate》
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作者：
Peter Bank and Dmitry Kramkov
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We describe the sample paths of the stochastic field $F = F_t(v,x,q)$ of aggregate utilities parameterized by Pareto weights $v$ and total cash amounts $x$ and stocks\' quantities $q$ in an economy. We also describe the sample paths of the stochastic field $G = G_t(u,y,q)$, which is conjugate to $F$ with respect to the saddle arguments $(v,x)$, and obtain various conjugacy relations between these stochastic fields. The results of this paper play a key role in our study of a continuous-time price impact model.
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中文摘要：
我们描述了经济中由帕累托权重$v$和现金总额$x$以及股票数量$q$参数化的聚合效用随机场$F=F_t（v，x，q）$的样本路径。我们还描述了随机场$G=G_t（u，y，q）$的样本路径，它与鞍参数$（v，x）$共轭为$F$，并得到了这些随机场之间的各种共轭关系。本文的结果对我们研究连续时间价格影响模型起到了关键作用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：Applications Quantitative Differential Probability Application

集合效用及其鞍共轭的随机场。P.柏林理工大学（Berlininstitute f–ur MathematikStrasse des 17）。Juni 13510623德国柏林(bank@m阿瑟。柏林。D）D.克拉姆科夫*卡内基梅隆大学数学科学系，美国宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，15213-3890(kramkov@cmu.edu)2018年7月19日摘要我们描述了由帕累托权重v和现金总量x以及经济体中股票数量q参数化的总效用的随机场F=Ft（v，x，q）的样本路径。我们还描述了随机场G=Gt（u，y，q）的样本路径，它与F关于鞍参数（v，x）共轭，并获得了这些随机场之间的各种共轭关系。本文的研究结果对我们研究[1]、[2]和[3]的连续时间价格影响模型起到了关键作用。*作者还在牛津大学兼职。这项研究部分得到了卡内基梅隆-葡萄牙项目和牛津大学牛津质量金融研究所的支持。关键词：包络定理、均衡、效用差异价格、帕累托分配、价格影响模型、风险规避、风险容忍度、鞍函数、随机场。理学硕士：52A41，60G60，91G10，91G20。JEL分类：G11、G12、G13、C61。内容1设置和激励2鞍函数的共轭空间72.1空间Fand F。72.2空间和G。82.3 Fand和G.之间的婚姻关系。102.3.1定理2.2的证明。102.4 Fand和G之间的婚姻关系。222.4.1定理2.10的证明。232.5收敛条件下的稳定性。

282.5.1定理2.14和2.15的证明。282.6额外的婚姻关系。322.6.1定理2.18的证明。342.7太空船，埃甘道夫（c），eG（c）。363聚合效用函数373.1定理3.1和3.2的证明。384聚合效用的随机场及其共轭424.1定理4.1和4.2的证明。45A鞍函数的包络定理50B鞍随机场的可积性52C鞅的随机场561设置和动机集um=um（x），m=1，M、 满足假设1.1的r实线上的函数。每个函数都是严格凹的、严格增加的、连续可微分的，并且（1.1）limx→∞嗯（x）=0。（1.1）中的标准化归零仅为方便起见而添加。根据假设1。我们清楚地推断出（1.2）limx→-∞嗯（x）=-∞.我们的许多结果都是在附加条件下得到的，特别是从上面暗示了UMP的有界性。假设1.2。每个函数都是两次连续可微的，对于某些常数c>0，（1.3）c≤ am（x），-u′m（x）u′m（x）≤ c、 x∈ R.在下面讨论的价格影响模型中，函数（um）和（am）描述了公司的效用和绝对风险规避。根据假设1。1和1.2我们推断（1.4）c≤ -u\'m（x）um（x）≤ c、 x∈ R.用R=R（v，x）表示v加权的sup卷积：R（v，x），maxx+···+xM=xMXm=1vmum（xM），（v，x）∈ (0, ∞)M×R。此函数的属性在第3节中收集。在某种程度上，为了∈ (0, ∞)M、 r上的函数r（v，·）满足与每个um相同的假设1.1和1.2。

通常，在金融经济学中，我们称r=r（v，x）为聚集效用函数。设∑和ψ=（ψj）j=1，。。。，完全过滤概率空间上的Jbe随机变量(Ohm, 英尺（英尺）0≤T≤T、 P）具有一定的成熟度。表示∑（x，q），∑+x+hq，ψi=∑+x+JXj=1qjψj，（x，q）∈ R×RJ，并假设（1.5）E[R（v，∑（x，q））]>-∞, （v，x，q）∈ A、 式中（1.6）A，（0，∞ )M×R×RJ。论文的主要结果，理论4。1和4.2，描述给定随机场F=Ft（a）和G=Gt（b）的采样路径，对于t∈ [0，T]，byFt（a），E[r（v，∑（x，q））|Ft]，a=（v，x，q）∈ A、 Gt（b），supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- Ft（v，x，q）]，b=（u，y，q）∈ B、 其中（1.7）B(-∞, 0）M×（0，∞) ×RJ。尤其是理论4。1表明，这些领域的空间参数和RCLL随时间的变化是不同的，而定理4.2仅根据假设1的风险规避界限，为其空间二阶导数提供了统一的估计。2.鉴于其建设，我们将其称为综合公用事业领域。当然，r=r（v，x）的基本正则性性质是众所周知的，尽管主要是针对正半直线上的效用函数。我们参考了Dana[4]、Dana和Le Van[5]以及Karatzas等人[7]以及其中的参考文献，以获得相关结果，例如，关于x的差异性和关于v的敏感性。然而，据我们所知，之前尚未深入研究现场FHA描述的诱导预期效用的过滤版本。特别是，它在鞍函数空间中作为anRCLL过程的结构似乎是新的。我们也无法找到分析或制作鞍形共轭G的参考。我们的工作是基于对具有价格影响的金融模型的研究；参见随附的文件[1]、[2]和[3]。

在该模型中，M市场庄家向大型投资者提供J股票的效用差异价格。市场庄家的偏好由效用函数（um）m=1，。。。，最终的财富。他们最初的捐赠总额由∑给出。最终股息ψ=（ψj）j=1，。。。，J.如果由于在时间t之前与大型投资者进行交易，做市商获得了现金金额x和股票数量q=（qj），那么他们的总捐赠变成∑（x，q）。该模型假设∑（x，q）以帕累托最优配置π（a）=（πm（a））的形式分布在做市商之间，对于a=（v，x，q）∈ A、 由（1.8）vmu′m（πm（A））给出=Rx（v，∑（x，q）），m=1，这里是帕累托权重∈ (0, ∞)正常数乘法的唯一性。时间t in时的贸易q股票导致新的帕累托最优配置π（a+a） =π（x+x、 q+q、 v+v） 由效用差异的条件决定：E[um（πm（a））|Ft]=E[um（πm（a+a） ）|Ft]，m=1，M.更一般地说，给定股票的RJ值需求过程Q=（Qjt），模型的演化由现金量的过程X=（Xt）和帕累托权重的过程V=（Vmt）来描述，求解方程：（1.9）Umt（At）=Um（A）+ZtUm（As，ds），t∈ [0，T]，m=1，M.这里A，（V，X，Q）是一个可预测的过程，其值为A，随机域（A）=Um（A，t），E[Um（πM（A））|Ft]，A∈ A、 代表mth做市商的预期公用事业，该领域的非线性Tochastic积分定义见Kunita[8]第3.2节。

特别是，如果uma对d维布朗运动B进行积分表示umt（a）=Um（a）+ZtKms（a）dBs，使得d维tochastic field Km=Kms（a）具有关于a的连续样本，则ztum（As，ds），ZtKms（As）dBs。如果我们限制V取单纯形内部的值：（1.10）SM，（w∈ （0,1）M:MXm=1wm=1），那么，对于给定的Q，如果（1.9）有唯一解（X，V），则模型的演化是明确的。然后，数学问题是指定条件，如果这是真的。（1.9）研究中的一个自然想法是用U代替（X，V），因为这个方程采用了一种熟悉的“显式”形式。随机场X=（Xt（u，q））和V=（Vmt（u，q））的相关构造与u=（Umt（X，u，q））相反，即Umt（Xt（u，q），Vt（u，q），q）=um，m=1，M、 通过观察U是F:Umt（a）的v梯度，可以大大简化=英尺vm（a），a=（v，x，q），m=1，M.共轭鞍函数理论，见Rockafellar[10]的第七部分，然后允许我们用G:Xt（u，q）的偏导数来表示X和V=燃气轮机y（u，1，q）=Gt（u，1，q），Vmt（u，q）=燃气轮机umPMl=1燃气轮机ul（u，1，q）。因此，随机场U、X和V的性质源自F和G，从而推动了对后者的研究。我们请读者参考[1]和[2]了解价格影响模型的更多细节，并参考[3]了解确保（1.9）唯一性的便利条件。这些论文广泛使用了当前研究的结果，并解释了经济背景以及相关工作。本文的组织结构如下。第2节定义并研究了可加函数的适当共轭空间。在第4节中，这些空间包含随机场Ft=Ft（a）和Gt=Gt（b）的样本路径。

第4节中主要定理的证明还包括第3节中给出的函数r=r（v，x）的性质，以及附录A中所述鞍函数的“包络”定理，在附录b和C.2鞍函数共轭s空间中给出的随机场和随机场的样本路径标准上，我们研究了鞍函数的共轭空间，这些空间后来被证明支持随机场F=Ft（a）和G=Gt（b）的样本路径。回想一下一些标准符号。对于函数f=f（x，y），其中x∈Rnand y∈ Rm，我们用F十、F十、Fxn关于tox和by的部分导数向量f(F十、Fy） 这是梯度。为了一个刚毛 第三，符号 A和cl分别代表边界和闭包。对于x，y∈ Rd表示hx，yi，Pdi=1xiyi和|x |，phx，xi，欧氏标量积和范数。2.1对于RM中的单纯形内部，空格Fand FRE称为参数集A from（1.6）和符号SMfrom（1.10）的构造。我们经常会写一篇文章∈ A作为A=（v，x，q），其中v∈ (0, ∞)M、 x∈ R、 q∈ RJ。对于函数f:a→ (-∞, 0）确定以下条件：（F1）函数f在A（F2）上对每个（x，q）连续可微∈ R×RJ，函数f（·，x，q）是正齐次的：（2.1）f（zv，x，q）=zf（v，x，q），对于所有z>0和v∈ (0, ∞)M、 在（0，∞)M

此外，如果M>1，则f（·，x，q）在SMand（2.2）limn上是严格凸的→∞f（wn，x，q）=0，对于每个序列（wn）n≥1在接近M的边界点时。（F3）每v∈ (0, ∞)M、 函数f（v，·，·）在R×RJ上是凹的。（F4）对于每（v，q）∈ (0, ∞)M×RJ，函数f（v，·，q）在R和（2.3）limx上严格凹增→∞f（v，x，q）=0。（F5）函数f在A上是两次连续可微分的，对于everya=（v，x，q）∈ A.Fx（a）<0，矩阵a（f）（a）=（Alm（f）（a））l，m=1，。。。，由（2.4）Alm（f）（a）和vlvm管理F十、Fvl虚拟机-F十、Fvl十、F虚拟机十、（a） ，具有完整的等级。我们现在定义函数族：F，{F:A→ (-∞, 0）：（F1）-（F4）保持}，F，F∈ F:（F5）保持.Rema rk 2.1。稍微滥用符号我们将使用相同的符号Fi，i=1，2，表示函数族f=f（v，x）（0，∞)对A上的函数的M×R自然扩展ef（v，x，q），f（v，x）属于Fi。注意，在本例中，（F3）跟在（F4）后面。下面介绍的其他功能空间也将使用类似的约定。2.2空格和GRE调用（1.7）中参数集B的构造。我们将经常写作b∈ B为B=（u，y，q），其中u∈ (-∞, 0）M，y∈ (0, ∞), 安迪克∈ RJ。对于a函数g:B→ 定义以下条件：（G1）函数g在B（G2）上对每个（y，q）连续可微∈ (0, ∞ ) x RJ，函数g（·，y，q）严格递增且严格凸(-∞, 此外，（a）如果（un）n≥这是一个序列(-∞, 0）M接近0，然后（2.5）limn→∞g（un，y，q）=∞.（b） 如果（联合国）≥这是一个序列(-∞, 0）M接近边界点(-∞, 0）M，然后（2.6）limn→∞Gu（un，y，q）= ∞.（c） 如果M>1和（un）n≥这是一个序列(-∞, 0）如（2.7）lim supn→∞对于所有m=1，…，umn<0，曼德（2.8）林→∞umn=-∞ 对我来说∈ {1, . . .

，M}，然后（2.9）limn→∞g（un，y，q）=-∞.（G3）对于每个y∈ (0, ∞), 函数g（·，y，·）是凸的(-∞, 0）M×RJ。（G4）对于每（u，q）∈ (-∞, 0）M×RJ，函数g（u，·，q）是正齐次的，即（2.10）g（u，y，q）=yg（u，1，q），y>0。（G5）函数g在B上是两次连续可微的，对于每个B=（u，y，q）∈ B、 矩阵B（g）（B）=（Blm（g）（B））l，m=1，。。。，由（2.11）土地管理局（g）（b）管理，yGulG嗯Gul嗯（b）有完整的等级。我们定义了函数g，{g:B的族→ R:（G1）–（G4）保持}，G，G∈ G:（G5）保持.2.3 f与G之间的共轭关系下列定理建立了本文的关键共轭关系。定理2.2。A函数f:A→ (-∞, 0）属于Fif且仅当存在g时∈ Gwhich与f共轭，对于每一个（u，y，q）∈B、 g（u，y，q）=supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- f（v，x，q）]=infx∈Rsupv∈(0,∞)M[hv，ui+xy- f（v，x，q）]，（2.12）和，对于每一个（v，x，q）∈ A、 f（v，x，q）=supu∈(-∞,0）碎肉∈(0,∞)[hv，ui+xy- g（u，y，q）]，=infy∈(0,∞)苏普∈(-∞,0）M[hv，ui+xy- g（u，y，q）]。（2.13）（2.12）和（2.13）中的最小最大值是在唯一鞍点处获得的，对于每个固定的q∈ RJ，以下是（v，x）之间的共轭关系∈ (0, ∞)M×R和（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞) 相当于：1。给定（u，y），在（v，x）处获得（2.12）中的最小i最大值。给定（v，x），在（u，y）处获得（2.13）中的极小极大值。我们有x=Gy（u，y，q）=g（u，1，q）和v=Gu（u，y，q）。我们有一个=Fx（v，x，q）和u=Fv（v，x，q）。此外，在这种情况下，f（v，x，q）=hu，vi，g（u，y，q）=xy和（2.14）Gq（u，y，q）=-F2.3.1定理的证明2。2证明基于罗卡费拉经典著作[10]第七部分中提出的鞍函数理论。

为了简化计算，我们省略了对q的依赖，因为q并不重要，然后用Remark2来解释这些类。引理2.3。设f=f（v，x）：（0，∞)M×R→ (-∞, 存在一个连续可微分的g=g（u，y）：(-∞, 0）M×（0，∞) →R、 它与f共轭，在这个意义上，对于每一个u∈ (-∞, 0）曼迪∈ (0, ∞),g（u，y）=supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- f（v，x）]=infx∈Rsupv∈(0,∞)M[hv，ui+xy- f（v，x）]，（2.15）和，对于每一个v∈ (0, ∞)曼德x∈ R、 f（v，x）=supu∈(-∞,0）碎肉∈(0,∞)[hv，ui+xy- g（u，y）]，=infy∈(0,∞)苏普∈(-∞,0）M[hv，ui+xy- g（u，y）]。（2.16）此外，（2.15）和（2.16）中的m i nimax值是在唯一鞍点处获得的。证据为了便于参考[10]中的第37节，我们通过在（0，∞)M×R为（2.17）f（v，x）=（0，v）∈  RM+∞, v6∈ RM+，x∈ R、 其中RM+，[0，∞)M.通过（2.1）和（2.2），扩展f变成了封闭鞍函数（根据[10]第34节中的定义），具有有效域f，domf×domf=RM+×R，其中，五、∈ RM:f（v，x）<∞, 十、∈ R= RM+，domf，十、∈ R:f（v，x）>-∞, 五、∈ RM= R.使用f的扩展版本，我们引入了鞍函数sg（u，y），supv∈RMinfx∈R[hv，ui+xy- f（v，x）]=supv∈RM+infx∈R[hv，ui+xy- f（v，x）]，g（u，y），infx∈Rsupv∈RM[hv，ui+xy- f（v，x）]=infx∈Rsupv∈RM+[hv，ui+xy- f（v，x）]为u定义∈ 曼德·y∈ R和取值[-∞, ∞].