聚合效用的随机场及其鞍共轭

设C是Rn中的凸集，D是Rm中的凸集，Ebe是Rl中的凸开集，f=f（x，y，z）：C×D×E→ R对于x是函数con v ex，对于（y，z）是凹函数，设z∈ 例如：g（z），supy∈丁克斯∈Cf（x，y，z），z∈ E、 假设最大值g（z）在唯一的x处达到∈ 我可以做一些（不一定是独一无二的）∈ 函数f（x，y，·）在z处是可微的，然后函数g:E→ R∪{-∞} 在一个特定的区域，在一个特定的区域g（z）=Fz（x，y，z）。Rema rk A.2。Milgrom和Segal[9]中的定理5是我们在文献中能找到的最接近的结果。在这里，f上的凸性假设被C和D上的紧性要求s所取代。定理A.1的证明依赖于定理3.1的证明中使用的两个独立的引理。第一个引理本质上是已知的，例如参见[9]中的推论3。引理A.3。设f=f（x，y）：Rn×Rm→ R∪{-∞} 做一个凹形的f，让y∈ Rm。表示g（y），supx∈Rnf（x，y），y∈ Rm，并假设上界g（y）在某个（并非必要的）x处达到∈ r函数f（x，·）在y是可出租的，然后函数g:Rm→ R∪ {-∞} 是凹形的，在yand（A.1）可区分g（y）=Fy（x，y）。证据g的凹性源于f关于两个参数的凹性。作为g（y）=f（x，y）<∞, 这种凹性意味着g<∞. 自从g≥ f（x，·），函数g在y的邻域中是有限的。因此g（y）是g在y的次微分，它不是空的。如果*∈ g（y），曾（y）≤ g（y）+hy*, Y- 哎呀∈ Rm。作为f（x，y）≤ g（y），y∈ Rm和f（x，y）=g（y），它跟在f（x，y）后面≤ f（x，y）+hy*, Y- 哎呀∈ Rm。因此，y*属于f（x，·）在y的次微分，因此也属于y*=Fy（x，y）。

因此，y*是唯一的元素g（y），提供了g在Yan和身份上的差异（A.1）。引理A.4。设C是Rn中的凸集，D是Rm中的凸开集，f=f（x，y）：C×D→ R是一个关于x的凸函数，关于y是一个凸函数∈ D.定义功能G（y），supx∈Cf（x，y），y∈ D、 假设上界g（y）是在唯一的x上得到的∈ ri C和函数f（x，·）在y处是不同的，然后是函数g:D→ R∪ {∞} 是凸的，在y处不同，并且恒等式（A.1）成立。Rema rk A.5。莱玛的证据。4将遵循凸优化中众所周知的类似结果，其中xis中的凹度假设被C是紧的要求所取代，例如，参见推论4。45在Hiriart Urruty和Lemar\'echal[6]中。证据g的凸性很简单。设ε>0使得c（ε），{x∈ C:|x- x|≤ ε}  如果（yn）n≥1是一个在D中收敛到y的序列，然后是凹函数SF（·，yn），n≥ 1，在C的紧致子集上一致收敛于f（·，y）。因为X是f（·，y）的最大值的唯一点，所以存在n>0，使得每n≥ n凹函数f（·，yn）在某个点xn达到最大值∈ C（ε）。这个参数意味着δ>0的存在，使得g（y）=supx∈C（ε）f（x，y）<∞, Y∈ D、 |y- y |<δ。由于C（ε）是一个紧集，现在的结果来自于著名的事实，即RemarkA中提到的凸优化。5.定理A.1的证明。函数h=h（y，z）：D×E→ R∪{-∞} givenbyh（y，z），infx∈Cf（x，y，z），y∈ D、 z∈ E、 显然是凹的。莱玛著。4函数h（y，·）在zand是可微分的Hz（y，z）=Fz（x，y，z）。

艾玛的一个应用。3.t形屋顶。B鞍型随机场的可积性下列定理表明，鞍型随机场ξ的点态可积性意味着紧集C的伪范数kξk0，Cf的可积性。它还意味着kξk1，Cf的可积性，此外，ξ的采样路径是可微的。关于半形式k·km，C的定义，见第2.5节。该结果用于证明定理4.1。我们定义了一个概率空间(Ohm, F，P）并表示L=L(Ohm, F，P）可积随机变量的Banach空间。定理B.1。让你 Rnand V Rmbe开集与ξ：U×V→ Lbe是U×V上凹凸函数空间中具有样本路径的随机场。那么对于每一组C U×V（B.1）E[kξk0，C]<∞.此外，如果ξ的样本路径属于C（U），那么（B.2）E[kξk1，C]<∞.证明分为引理。引理B.2。让你成为Rd中的一个开放集，f:U→ R是conv-ex函数，C是U的紧子集，ε>0是（B.3）C（ε），十、∈ Rd：英菲∈C | x- y|≤ ε 那么每一个y∈ 我们有（B.4）貂皮∈Cf（x）≥ f（y）+supx∈C | x- y |εf（y）- 马克斯∈C（ε）f（x）.证据修好∈ C.每x∈ C有z∈  C（ε）使得y是x和z的凸组合：y=tx+（1- t） z代表一些t∈ (0, 1) . 利用| y- z|≥ ε我们得到（B.5）1- tt=|x- y | | y- z|≤好的∈C | x- y |ε。f的凸性意味着f（y）≤ tf（x）+（1）-t） f（z），或者，相当于f（x）≥ f（y）+1- tt（f（y）- f（z）），考虑到（B.5），它产生（B.4）。引理B.3。除了引理B.2的条件外，假设f∈C（U）。然后（B.6）kfk1，C≤√dε+1！kfk0，C（ε）。证据

为了你∈ C和x∈ C（ε）我们从f:f（x）的凸性得到- f（y）≥ hx- Yf（y）i.它遵循t2kfkk0，C（ε）≥ supy∈Csup{x:|x-y|≤ε} （hx）- Yf（y）i）=εsupy∈C|f（y）|。因为|f（y）|，vUtdxi=1Fxi（y）≥√ddXi=1Fxi（y）,我们得到| f（y）|+dXi=1Fxi（y）≤√dε+1！kfk0，C（ε），这显然意味着（B.6）。引理B.4。设U是Rd中的开集，ξ=ξ（x）：U→ Lbe在U上的con v ex函数空间中具有样本路径的随机场。然后，向前非常紧的集合C U、 （B.7）E[kξk0，C]<∞.此外，如果ξ的样本路径属于C（U），那么（B.8）E[kξk1，C]<∞.证据Let us首先表明，对于每一个紧集C U（B.9）E[maxx∈Cξ（x）]∞.在不限制一般性的情况下，我们可以假设C是闭凸hullof有限族（xi）i=1，。。。，由ξ的凸性，我们推导出maxx∈Cξ（x）=maxi=1，。。。，Iξ（xi）和（B.9）遵循假设ξ（x）∈ 五十、 x∈ U.由于C是U中的一个紧集，对于足够小的ε>0，（B.3）中定义的集C（ε）也是U的一个紧子集，由（B.9）和引理B.2 weobtainE[minx]定义∈Cξ（x）]>-∞,这意味着（B.7）。最后，如果f∈ C、 然后（B.8）由（B.7）和引理B.3派生而来。定理B.1的证明。有必要考虑C=C×C的情况，其中C分别考虑U和V的紧子集。证明（B.1）足以证明（B.10）supx∈Csupy∈Cξ（x，y）∈ L.事实上，对于满足引理条件的每一个随机场ξ和每一对开放集U和V，我们已经建立了（B.10）∈轻巧的∈Cξ（x，y）=- 好的∈Csupy∈C(-ξ（x，y））∈ 五十、 与（B.10）一起，意味着（B.1）。验证（B.10）观察随机场η（y），supx∈Cξ（x，y），y∈ 五、 在凸函数空间中有样本路径，由LemmaB给出。4，η（y）∈L

L emmaB的另一个应用。4产生kηk0，C∈ 五十、 这显然意味着（B.10）。为了验证（B.2），选择ε>0，以便（B.3）定义的集合C（ε）和C（ε）仍然在U和V中。然后，通过引理B.3，每x有c=c（ε）>0个这样的f∈ 坦率的∈ Ckξ（x，·）k1，C+kξ（·，y）k1，C≤ c（kξ（x，·）k0，c（ε）+kξ（·，y）k0，c（ε））≤ 2ckξk0，C（ε）×C（ε），结果如下。C鞅的随机场本附录包含有关定理证明中使用的鞅的随机场样本路径的结果4。1和4.2。我们定义了一个完整的过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）f=FT。从第2节中回忆具有半范数k·km的Fr’echet空间Cm。5.像往常一样，L=L(Ohm, F，P）表示概率收敛的（等价类）随机变量的空间。引理C.1。设m为非负整数，U为Rd中的开集，ξ：U→ Lbe是一个随机函数，其样本路径为Cm=Cm（U），因此对于每个紧集C UE[kξkm，C]<∞.然后是s-tocastic场mt（x），E[ξ（x）|Ft]，t∈ [0，T]，x∈ U、 对D（[0，T]，Cm）中的样本路径进行了修改，并且对于每m个非负整数的多重索引k=（k，…，kd），具有| k |，Pdi=1ki≤ m、 DkMt（x）=E[Dkξ（x）| Ft]，t∈ [0，T]，x∈ U、 其中（2.46）中定义了微分算子。证据通过归纳，可以充分考虑m=0,1的情况。首先假设m=0。众所周知，对于每一个x∈ U、 鞅（x）在D（[0，T]，R）中有一个修正。修正一个紧凑的集合C 你让我≥1b是C的稠密可数子集。

进一步，设Vbe为Rl中的一个开集，ξ=ξ（x，y）：U×V→ Lbe是一个具有连续样本路径的随机场，因此对于每个公司 U×VE[sup（x，y）∈C|ξ（x，y）|]<∞.然后s-tocastic场mt（x，y），E[ξ（x，y）| Ft]，0≤ T≤ T、 x∈ U、 y∈ 五、 在D（[0，T]，C（U×V]）中对样本路径进行了修改。此外，如果ξ的样本路径属于toeC，则D（[0，T]，eC）中的M wi样本路径有一个修改，其中eC=eC（U×V）是C=C（U×V）的以下子空间之一：（C1）eC包含所有非负函数；（C2）eC由所有函数sf=f（x，y）组成，这些函数相对于x不递减；（C3）eC由所有函数f=f（x，y）组成，这些函数与re spect tox凸；（C4）eC由所有函数f=f（x，y）组成，这些函数对于x:f（cx，y）=cf（x，y），c>0是正齐次的。（C5）所有严格正函数的eC证明；（C6）eC由所有函数f=f（x，y）组成，这些函数在gw中相对于x:f（x，y）<f（x，y），x严格递增≤ x、 x6=x；（C7）eC由所有函数SF=f（x，y）组成，这些函数对于x是严格凸的：（f（x，y）+f（x，y））>f（（x+x，y），x6=x。在LemmaC中已经证明了在D（[0，T]，C）中存在样本路径对M的修正。1.此后，我们将使用此修改。项目（C1）-（C4）的断言很简单，因为对于每个人来说∈ [0，T]这些条件显然满足随机场Mt:U的要求→ Land M的样本路径属于D（[0，T]，C）。为了验证（C5），回想一下众所周知的公式，如果N是[0，T]上的鞅，使得NT>0，那么∈[0，T]Nt>0。对于每一个紧集C U×Vwe通过（C5）得到inf（x，y）∈Cξ（x，y）>0，因此，inft∈[0，T]inf（x，y）∈CMt（x，y）≥ 输入∈[0，T]E[inf（x，y）∈Cξ（x，y）|Ft]>0，意味着（C5）。

注意，这个论点显然延伸到了这样的情况，当nu是一个Fσ-集，也就是一个闭集的可数并。案例（C6）和（C7）通过重新参数化从（C5）开始。例如，在（C6）中定义seteU r2和随机场η：eU×V→ 土地N:eU×V×[0，T]→ LaseU，{（x，x）：xi∈ U、 x≤ x、 x6=x}，η（x，x，y），ξ（x，y）- ξ（x，y），Nt（x，x，y），Mt（x，y）- Mt（x，y）。虽然seteU不是开放的，但它是一个Fσ集。将（C5）应用于η和n，然后得到ξ和M的（C6）。引理C.3。除了引理C.2的假设之外，假设（C.6）E[sup（x，y）∈U×Dξ（x，y）]∞,对于每个紧集D 五、然后是LemmaC的发音。2也适用于以下子空间：（C8）eC由所有非负函数f=f（x，y）组成，因此对于ev e，增加序列（Cn）n≥1套U型紧凑型，带∪N≥1Cn=Uand，适用于每个比较集 Vlimn→∞好的∈U/Cnsupy∈Df（x，y）=0；（C9）eC由所有函数f=f（x，y）组成，因此对于每一个增量序列ce（Cn）n≥1套U型紧凑型，带∪N≥1Cn=U，对于eve rycompac t集合D Vlimn→∞好的∈U/Cnsupy∈Df（x，y）=-∞.证据对于（C8）的证明，回想一下Doob不等式，如果（Nn）n≥1是一系列的内浇口→ L中的0，然后（Nn）*T、 sup0≤T≤T | Nnt |→考虑到（C.6），我们推导出，对于紧集（Cn）n≥1和D如（C8）中的limn→∞E[supx∈U/Cnsupy∈Dξ（x，y）]=0。（C8）对于M的样品样本的有效性如下所示：∈U/Cnsupy∈D（M（x，y））*T≤ sup0≤T≤好的∈U/Cnsupy∈Dξ（x，y）|Ft]，其中我们使用了（C8）ξ中的事实≥ 0 .最后，如果我们观察到函数f=f（x，y）满足（C9）当且仅当对于每个正整数n，函数gn（x，y），max（f（x，y）+n，0），（x，y），则（C9）从（C8）开始∈ U×V，满意度（C8）。致谢。

我们感谢安德烈亚斯·哈默尔（Andreas Hamel）对附录A中使用的子函数maxrule的参考。参考文献[1]彼得·班克和德米特里·克拉姆科夫。一个大型投资者以不同的市场价格进行交易的模型。I：单周期情况。arXiv:1110.322v2011年10月。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1110.3224v2.[2] 彼得·班克和德米特里·克拉姆科夫。一个大型投资者以不同的市场价格进行交易的模型。II：连续时间案例。arXiv:1110.3229v2，2011年10月。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1110.3229v2.[3] 彼得·班克和德米特里·克拉姆科夫。关于价格影响模型中的随机微分方程。随机过程。应用程序。，1 23(3):1160–1175, 2013. ISSN 0304-4149。doi:10.1016/j.spa。2012.10.011. 统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2012.10.011.[4] 罗丝·安妮·达娜。金融模型中ArrowDebreu均衡的存在性、唯一性和确定性。J.数学。经济。，22(6):563 –579, 1993. ISSN 0304-4068。内政部：10.1016/0304-4068（93）90005-6。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/0304-4068(93)90005-6.[5] Rose Anne Dana和Cuong Le Van。具有完全市场的LPS空间中的资产均衡：对偶方法。J.数学。经济。，25(3):263–280, 1996. ISSN 0304-4068。内政部：10.1016/0304-4068（95）00735-0。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/0304-4068(95)00735-0.[6] Jean Baptiste Hiriart Urruty和Claude Lemar\'echal。fcon v ex分析的基本原理。Grundlehren文本版。施普林格·维拉格，柏林，2001年。ISBN 3-540-42205-6。[7] Ioannis Karatzas、John P.Lehoczky和Steven E.Shreve。随机动态消费/投资模型中多重均衡的存在唯一性。数学奥普。决议，15（1）：80-1281990年。ISSN 0364-765X。内政部：10.1287/摩尔。15.1.80. 统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1287/moor.15.1.80.[8] 久田弘。随机流和随机微分方程，剑桥高级数学研究第24卷。剑桥大学出版社，剑桥，1990年。

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