粘性连续过程具有一致的价格体系

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英文标题：
《Sticky continuous processes have consistent price systems》
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作者：
Christian Bender, Mikko S. Pakkanen, Hasanjan Sayit
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Under proportional transaction costs, a price process is said to have a consistent price system, if there is a semimartingale with an equivalent martingale measure that evolves within the bid-ask spread. We show that a continuous, multi-asset price process has a consistent price system, under arbitrarily small proportional transaction costs, if it satisfies a natural multi-dimensional generalization of the stickiness condition introduced by Guasoni [Math. Finance 16(3), 569-582 (2006)].
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中文摘要：
在比例交易成本下，如果存在一个具有等价鞅测度的半鞅，且该鞅测度在买卖价差内演化，则称价格过程具有一致的价格系统。我们证明了一个连续的、多资产的价格过程在任意小的比例交易成本下，如果它满足Guasoni[Math.Finance 16（3），569-582（2006）]引入的粘性条件的自然多维推广，则具有一致的价格系统。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：价格体系 proportional Applications Differential Quantitative

粘性连续过程具有一致的价格系统Schristian Bender*, Mikko S.Pakkanen+，Hasanjan Sayit2014年4月17日摘要在比例交易成本下，如果存在一个具有等价鞅测度的半鞅，且该鞅测度在买卖价差内演化，则称价格过程具有一致的价格系统。我们证明了一个连续的多资产定价过程在任意小的比例交易成本下具有一致的价格系统，如果它满足Guasoni[5]引入的粘性条件的自然多维推广。关键词：一致价格体系、粘性、鞅、套利、交易成本2010年数学科目分类：91G80（初级）、60G44（次级）JEL分类：G10、G12、D231介绍在对交易施加比例交易成本的资产定价模型中，一致价格系统（CPS）是一个具有等价鞅测度的影子价格过程，在交易成本隐含的买卖价差内演化，这一概念可以追溯到Jouini和Kallal[10]的论文中。很明显，交易成本不足的交易不可能比在没有摩擦的情况下按交易价格进行交易更有利。因此，有关交易成本下无套利（NA）条件的问题可以用无摩擦理论来回答。事实上，这样的交易成本模型可以满足存在CPS的情况——任何套利也都是关于CPS的套利，没有摩擦，这是一种矛盾。*萨尔兰大学数学系，德国萨尔布尔肯邮政学院151150，D-66041。电子邮件：bender@math.uni-某人。de+丹麦奥胡斯五世DK-8210奥胡斯大学经济与商业系，Fuglesangs All\'e 4。

电子邮件：mpakkanen@creates.au.dk英国达勒姆市南路达勒姆大学数学科学系DH1 3LE。电子邮件：hasanjan。sayit@durham.ac.ukThe在连续时间价格过程是连续的情况下，几位作者研究了连续时间价格过程在比例交易成本下是否具有CPS的问题，我们在本说明中重点讨论了这种情况。Guasoni等人[6，定理1.2]表明，如果多资产价格过程具有所谓的条件完全支持（CFS）性质，则在任意小的交易成本下，该过程具有CPS（见下面的备注2.4）。Kabanov和Stricker[11，定理1]在假设价格过程不允许简单交易策略的套利机会且具有粘性的情况下，建立了一个类似的存在性结果（我们将很快详细说明这个性质）。然而，这两个存在结果的条件并不是CPS存在的必要条件（见下面的示例2.6）。事实上，在单一资产的情况下，Guasoni等人[7，定理2]已经证明，在任意小的交易成本下，CPS存在，当且仅当价格过程满足任意小交易成本下的NA条件（资产定价的基本定理）。早些时候，Guasoni[5]表明，如果价格过程仅仅是粘性的，那么在任意小的交易成本下，价格过程满足条件。非正式地说，粘性意味着过程保持在其当前值的任何邻域内，并具有正的条件概率（有关严格的公式，请参见下面的定义2.2）。结合[5,7]中的结果，在单一资产的情况下，如果连续过程具有粘性，则在任意小的交易成本下，它具有CPS。本说明的目的是说明在多资产情况下，任何粘性连续过程在任意小的交易成本下都有CPS。

特别是，我们给出了这个陈述的直接证明，也就是说，即使在Guasoni等人[7，定理2]的基本定理可用的单一资产情况下，我们也不依赖这样的结果。相反，我们的证明基于[6,11]中使用的论点，但我们以一种新颖的方式对其进行了修改（有关讨论，请参见下面的备注3.4）。通过这种方式，我们可以在粘性条件下单独构建CPS，这比[6,11]中的假设更弱，更容易检查。2初步和主要结果如下。让我们∈ R+：=（0，∞) 有固定的时间范围Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P一个完整的过滤概率空间，如过滤（Ft）t∈[0，T]满足FT=F以及右连续性和完整性的通常条件。我们说一个“F-可测”性质P几乎肯定在A上成立∈ Fif P[{P}∩ A] =P[A]。此外，让d∈ N:={1，2，…}让我们∈[0，T]，其中St:=（St，…，Sdt）是在Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P在Rd+中具有连续路径和值。在经济解释方面，S描述了d风险证券在货币市场上的价格演变。定义2.1。一种自适应的d维随机过程（Mt）t∈[0，T]，其中Mt:=（Mt，…，Mdt）被称为S的ε-一致价格系统（ε-CPS），如果是任何i∈{1，…，d}和t∈ [0，T]，Sit1+ε≤ 麻省理工学院≤ （1+ε）Sita。s、 ，如果有一个概率测度Q(Ohm, F） 这样Q~ P，M是aQ鞅。如果S有一个ε-CPS，那么S作为一个价格过程，不存在套利和免费午餐，风险为零，交易成本为ε大小（如下所示，例如，结合[3]的推论1.2和[5]的引理2.1）。

我们请读者参考[6,7]了解如何根据连续时间内的比例交易成本确定投资组合的价值。为了阐述我们的主要结果，我们回顾了粘性的概念——这里是一种多维形式——最初由Guasoni[5]引入。为此，我们使用范数kxk:=max（|x |，…，|xd |）表示任意x=（x，…，xd）∈ Rd，并写入任意停止时间τ∈ [0，T]，S？τ：=supu∈[τ，T]kSu- Sτk.定义2.2。过程S是粘性的，如果有任何t∈ [0，T）和δ>0，P[S？T<δ| Ft]>0 a.S.备注2.3。我们强调定义2.2中的t是非随机的。然而，粘性的这种定义相当于下面引理3.1在[16，定义2]中引入的关节粘性概念。当d=1时，定义2.2也相当于[1]的命题1和引理3.1对粘性的原始一维定义[5，定义2.2]。备注2.4。回想一下，流程S有条件完全支持（CFS），如果是针对anyt的∈ [0，T），δ>0，对于任何连续函数f:[0，T]→ Rd使得f（0）=0，这是P苏普∈[t，t]kSu- 圣- f（u）- t） k<δ英尺> 0a。s、 关于{f（u）- t） +St∈ Rd+为所有u∈ [t，t]}。直觉上，过程（Su）u∈[t，t]然后“坚持”任何形式为f（·的随机函数- t） +ST具有正条件概率。CFS属性显然比粘性要求更高，粘性要求S仅以正条件概率（即f=0）将其“粘滞”到当前值。CFS地产最近已为多种工艺建立，见[2,4,6,8,9,13,14]。特别是，许多高斯过程，包括分数布朗运动，都有CFS。值得指出的是，在具有连续函数的过程S的组合下，粘性明显保持不变，这在一般情况下对CFSproperty是不正确的。

由于这一观察，人们可以通过组合来轻松构建大量粘性过程，例如，一个具有连续函数的CFS的过程。我们现在可以陈述我们的主要结果，将其证明推迟到第3节。定理2.5（一致价格体系）。如果S是粘性的，那么对于任何ε>0的情况，它都允许ε-CPS。奇怪的是，定理2.5的一个含义是，存在一个具有单调光滑路径的过程的例子，该过程可以通过一个在等效概率测度下转化为鞅的过程以任意精度逼近——从概率的角度来看，这可能有点违反直觉。例2.6（严格递增过程）。假设（Bt）t∈[0，T]是标准（一维）布朗运动，s>0是常数。让我们考虑一下进程st:=s+Zt | Bs | ds，t∈ [0，T]。很明显，S有着严格的、不断变化的路径。因此，无论是CFS属性（见备注2.4）还是卡巴诺夫和斯特里克[11]的标准都是无效的。然而，利用B增量的独立性和平稳性，以及它们的完全支持性质[15，推论VIII.2.3]，可以直接证明S是不可靠的。因此，根据定理2.5，任何ε>0都存在一个概率测度Q~ 求一个Q-鞅M，使| Mt/St- 1| ≤ εa.s.适用于所有t∈ [0，T]。请注意，S的单调性和微分性在Q下保持不变，因为Q~ P.3定理2.5的证明我们将首先介绍一些额外的符号和概念，这些符号和概念在下文中至关重要。假设E Rd.回想一下，用conv E表示的E的凸包是包含E的rde的最小凸集集。此外，用ri E表示的E的相对内部是包含E的rde的最小有效子集（所谓的E的有效壳）的相对拓扑中的E的内部。我们用int E表示E的（普通）内部。

Rd上概率度量u的支持度（由suppu表示）是最小的闭集E Rd使得u（E）=1。Rd中arandom向量X的（正则）条件定律，定义于(Ohm, F、 P），关于σ-代数G F将被L（X | G）包围。我们使用的标准惯例 = ∞.作为定理2.5证明的准备，我们证明粘性意味着（似乎）更强的性质，分别用停止时间τ和Fτ-可测量的随机半径η替换定义2.2的确定时间t和半径δ。这一结果类似于[6]中的命题2.9，该命题表示CFS性质意味着强CFS性质，其证明实际上是以类似的方式进行的（参见[12]中的引理2.2]）。引理3.1。如果S是粘性的，则对于任何停止时间τ∈ [0，T]和Fτ-可测随机变量η≥ 0，P[S？τ<η| Fτ]>0a.S.{η>0}。证据为了排除平凡性，我们假设P[η>0]>0。我们使用一个反正命题，并假设断言不成立，即存在一个停止时间τ∈ [0，T]，一个Fτ-可测随机变量η和一个∈ Fτ使得A {η>0}，P[A]>0，和P[S？τ≥ η| Fτ]=1（3.1）注意，A {τ<T}。自从 {η>0}，我们可以写A=Sn∈NAn，其中An:=A∩ {η>2/n}∈ Fτ。属性P[A]>0意味着对于某些n，P[An]>0∈ N.进一步，通过S的连续性，我们得到了a=Sq∈[0，T）∩QAq，whereq:=An∩ {τ<q}∩监督∈[τ，q]kSt- Sτk<n∈ Fq。因此，P[An]>0意味着对于某些q，P[Aq]>0∈ [0，T）∩ Q.性质（3.1）意味着1{S？τ≥η} =1 a.s.。因此，回顾Aq A、 P[Aq]=E[1Aq{S？τ≥η} ]=P[Aq∩ {S？τ≥ η}]. （3.2）由于我们有包容性AQ∩ {S？τ≥ η}  Aq∩ {S？q≥ 1/n}，它跟在thatP[Aq]后面∩ {S？τ≥ η}] ≤ P[Aq∩ {S？q≥ 1/n}]≤ P【Aq】。（3.3）结合（3.2）和（3.3），我们得到了p[S？q]≥ 1/n | Fq]=1 a.s。

在Aq上，这意味着S没有粘性。与Kabanov和Stricker[11]的论文类似，定理2.5证明的关键部分是以下结果（修订版[11]中的引理1]），该结果给出了有限时间范围内的混凝土参数过程存在等价鞅测度的充分条件（另见下面的备注3.5）。引理3.2（等价鞅测度）。让（Gn）n≥0成为一个过滤器(Ohm, F、 P）让（Xn）n≥0是一个离散参数的d维过程，适用于（Gn）n≥0.进一步，写出ξn:=Xn- Xn-1对于任何n∈ N.如果（i）0∈ ri conv supp L（ξn | Gn）-1） a.s.适用于任何n∈ N、 （ii）1{ξN=0}↑ 1 a.s.当n↑ ∞,（iii）P[ξn=0 | Gn-1] {ξn>0 a.s-16=0}表示任意n∈ N、 然后存在一个概率测度Q~ 使得X是一个Q-鞅且在L（Q）中有界。备注3.3。卡巴诺夫和斯特里克[11]以不同的形式写出条件（i），要求过程（Xn）Nn=1在任何时间范围N内都没有套利∈ N.为了我们的目的，几何公式（i）将更方便。[17]第五章中的定理A*等价于这两个公式。定理2.5的证明。固定ε>0。让我们定义一个递增序列（τn）n≥通过设置τ：=0和任意n来计算停止时间∈ N、 τN:=infT≥ τn-1:SitSiτn-1/∈1 + ε, 1 + ε对于一些i=1，D∧ 正如[6，p.509]中所述，过程S的连续性确保了1{τn=T}↑ 1 a.s.当n↑ ∞.根据[11]中定理1的证明，我们对骨架（Sτn）n进行了近似≥通过一个精心构造的离散参数过程（Xn）n≥0将满足引理3.2的条件（Gn）n≥0:=（Fτn）n≥0.偏离[6,11]中X的构造，我们首先分解事件{τn=T，τn-1<T}转化为（2d+1）不相交的子事件，使得每个子事件都有正Fτn-条件概率-1.

在其中一个子事件上，我们设置Xn- Xn-1:=0以确保引理3.2的条件（iii）成立。在剩下的2d子事件中，Xn- Xn-1将被分配由RDD的标准基向量及其对立面给出的指定值，通过一个小的正因子进行缩放，使X保持“接近”骨架（Sτn）n≥通过这种方式，我们可以保证X满足引理3.2的支撑条件（i）。现在我们继续严格构造离散参数processX。对于任何停止时间τ∈ [0，T]，我们引入τ：=sup supp L（S？τ| Fτ）。（3.4）观察随机变量Sτ假定值为[0，∞] Fτ是可测量的，因为我们可以用τ=sups来表示它∈Q+s1{P[S？τ≥s | Fτ]>0}，其中{P[s？τ}≥ s | Fτ]>0}∈ Fτ和Q+：=R+∩ Q.我们设置δn-1:=minε1+εSτn-1.ε1+εSdτn-1，Sτn-1.,这是一个Fτn-1-可测量（有限）随机变量，以及CIN：=sτn-1.∈我- 12d+1δn-1，i2d+1δn-1.∩Sτn-1> 0 {τn=T，τn-1<T}，（3.5）带n∈ N和我∈ {1，…，2d+1}。下面，在引理3.6中，我们展示了这些事件具有正Fτn-1-条件概率，作为过程粘性的结果。我们将X定义为（Fτn）n≥0-自适应过程xn:=S+nXk=1ξk，n≥ 0，其中ξn:=（Sτn）- Sτn-1） 1{τn<T}+dXi=1δn-1（1C2in）- 1C2i+1n）对于任何EIN∈ N、 （3.6）使用eito表示任意N的第i个标准基向量Rd∈ N、 （3.6）中的第二项确保ξN=δN-离子c2in和ξn=-δn-离子C2i+1N，带i∈ {1，…，d}，而且，在Cn上ξn=0。为了验证引理3.2的条件（i），注意supp L（ξn | Fτn-1） ={0}a.s.开启Sτn-1= 0, （3.7）式中为L（ξn | Fτn）-1)  {±δn-1ei:i=1，d} a.s.onSτn-1> 0（3.8）通过构造ξ非集合和引理3.6。因此，它是0∈ ri conv supp L（ξn | Fτn）-1） 答：引理3.2的条件（ii）是满足的，因为{ξn+1=0} {ξn=0} {τn-1=T}和{ξn=0}≥ 1{τn-1=T}↑ 1 a.s。

当n↑ ∞.最后，引理3.2的条件（iii）来自（3.7）和不等式p[ξn=0 | Fτn-1] ≥ P[Cn | Fτn-1] 上午10点以上Sτn-1> 0, （3.9）后者来自下面的引理3.6。现在可以使用标准方法（参见[6,11]）构建CPS。根据引理3.2，存在一个概率测度Q~ 使得X是一致可积的Q-鞅，因此在∞. n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续n.连续∞|Ft]对于任何t∈ [0，T]。根据可选采样定理，Mτn=Xna。s、 对任何人来说≥ 0.关于证据的剩余部分，让我们假设∈ {1，…，d}和t∈ [0，T]。通过构造，过程ESX和M满足任意n的要求≥ 0,(1 + ε)≤XinSiτn=MiτnSiτn≤ （1+ε）a.s.（3.10）如[6，第510页]所示，（1+ε）≤SiρtSit≤ （1+ε）a.s.（3.11），其中ρt:=min{τn:τn>t}，这是一个停止时间。然后从（3.10）和（3.11）得出（1+ε）≤MiρtSit=MiρtSiρtSiρtSit≤ （1+ε）a.s.根据可选采样定理，Mit/Sit=EQ[Miρt/Sit | Ft]，因此我们发现（1+ε）≤米西特≤ （1+ε）a.s.，我们可以通过适当调整ε得出证明。备注3.4。定理2.5的证明与文献[6,11]中更强假设下CPS存在的早期证明之间的区别在于，我们在增量定义中引入了第二项（3.6）。这个术语是不可否认的，因为它确保了引理3.2的支撑条件（i）在S仅仅是粘性的情况下保持不变。也就是说，在粘性条件下，条件（i）可能会失效，因为有可能，例如，{0}6=supp L（Sτn- Sτn-1 | Fτn-1)  [0, ∞)爸爸。s、 关于{τn-1<T}（与示例2.6的情况类似）。备注3.5。定理2.5证明中的概率测度Q可以用[6]中的引理3.1来构造，而不是用引理3.2。