跳扩散过程中半方差的时间标度

出于实际目的，目前有几种基于DE的优化算法，如Storn维护的基于DE的通用优化软件网络列表所示。在下文中，我们依赖DEoptim软件包，见Ardia等人（2011a）；Ardia和Mullen（2013）；Mullen等人（2011年）在R语言和统计计算环境中实现了基于DE的优化，参见R开发核心团队（2008年）。对于优化器，我们使用了250的最大迭代次数，交叉概率π=0.5和微分权重ω=0.8的默认值，以及v=200向量的初始总体。我们还将λ的值限制在区间[025]内，以符合假设λt<1。滚动分析面临的主要挑战是目标函数的某些参数随着时间的推移缺乏稳定性。这在图4.3的上图中进行了说明，图中描述了基于DE的优化器计算的λ值。我们可以观察到，这种缺乏稳定性的情况在一定时期内可能是极端的。例如，在2010年上半年，我们可以看到λ从一个接近上限252的高值跳到下一天的一个非常低的值。这是因为目标函数具有多个最优解，而对于每一个解，λ可能会非常不同。为了克服这个问题，我们建议在算法中添加“内存”。实际上，对于每个日期，我们计算一个使对数可能性最大化的解（3.2）。我们的想法是存储这些解决方案，并用优化问题的最后50个解决方案来满足初始人口的需求。

具体地说，为了在特定日期确定解决方案，初始总体（其规模为v=200）将在t时提供优化问题的解决方案- 1，t-2.T- 50.没有理由认为时间t的解与时间t相同-1，除非目标函数保持不变；然而，解决方案很可能-如果目标函数发生变化，1将为当前优化问题提供一个良好的起点，如果目标函数未发生变化，1将直接提供一个最优解。通过这个过程，我们还可以保证，如果目标函数没有改变，那么在下一个优化问题t+1的日期t时，日期t的解不会从一个点切换到另一个具有相同对数似然值的点。图4.3下方的图表说明了该稳定程序的效果。稳定程序对于解释我们的结果非常重要。如果没有这种稳定程序，2009-2010-2011-201205010150200250λ在没有稳定程序的情况下随时间的演化将远大于2009-2010-2011-201205010010150200250有稳定程序图4.3：没有和有稳定程序的λ的演化。稳定程序依赖于用最后50种溶液（如果可用）喂养初始种群。2009年2010年2011年201020340年化半偏差时间平方根的时间演化。（2.1）图4.4：通过时间平方根规则获得的半偏差（单位%）与基于跳跃扩散过程的半偏差（单位%）的比较。

我们可以观察到，基于时间平方根规则的中值显著低估了高波动期的风险，高估了低压力期的风险。在一段时间内很难甚至无法解释结果。4.2结果讨论我们首先在图4.4中比较年化半偏差的演变，即根据时间平方根规则计算的半方差的平方根，以及通过对约束λ下的数据进行跳跃扩散过程计算的半偏差≤ 252，我们应用（3.6）中给出的公式。令人惊讶的是，跳跃扩散过程中估计的风险比根据时间平方根规则计算的风险高出4倍。在2009年初，第一个大于40%，而另一个略低于10%。风险不仅在危机时期被低估，而且在市场反弹或中低压力时期也可能被高估。事实上，我们可以观察到，从2009年底到2011年底，跳跃扩散半偏差几乎为零，而在此期间，时间半偏差的平方根保持在2%左右的水平。4.2.1重要工艺参数之间的关系为了更好地理解跳跃扩散半偏差的工作原理，理解不同工艺参数之间的关系非常重要。图4.5展示了跳跃扩散过程中一些重要参数随时间的演变，即2009年至2010年至2012年-100-50050100150200250具有重要工艺参数的年化半偏差的时间演化中间偏差（单位：in%）λu（in%）uQ（单位：bps）图4.5：跳跃扩散工艺参数λ、u和uQ的时间演化。

我们可以观察到λ和uQ之间的直接关系，即当λ变小时，uQ变大（绝对值）。这种行为很容易解释：在正常市场条件下，λ相当高，而uQI相当低。在正常市场条件下，这两个参数的组合反映了信贷组合中一个众所周知的影响，即回报分布的负不对称性。参数u具有抵消复合泊松过程的设置效果。例如，假设λ=252，且uq的平均大小为1个基点。在这种情况下，泊松过程导致的事故的累积年度影响平均为252×1=252个基点的负回报。假设我们可以从投资中预期的年回报率为7%，那么u的统计值很可能在10%左右（请注意，从（1.6）中，我们还必须考虑σ的作用，以确定年度预期回报）。在危机情况下，λ真的捕捉到了极端事件的频率，其值通常从252降至较小的值，有时接近1。相比之下，从结构上看，u对这些极端事故不太敏感，尽管我们可以通过图4.5看到它受到了影响。事实上，我们可以观察到，在2008年金融危机期间，u已降至负值。看看2009年3月开始的反弹阶段发生了什么也很有趣。我们可以观察到u的峰值大于60%。值得一提的是，尽管由于市场强劲反弹，u的价值在2009年底非常大，但在该阶段，uQ仍然为负值。直到2010年，该指数才出现正值。这种情况非常特殊，因为我们习惯于信贷组合的回报出现负偏态。

然而，在某些非常特殊的情况下，它们可能表现出正偏态，uqc的值不能再被解释为损失，而是增益。还请注意，在非常特殊的情况下，跳变扩散半偏差可能非常接近零，尤其是当u远大于λ·uQ时，当uqi为负值时，或在u和uqa均为正值的情况下。这只是意味着在这种情况下，获得低于零的年化回报的可能性非常低，导致接近零的半偏差。在过去五年中，金融市场经历的两个最严重的危机时期，按重要性排序是2008年的金融危机和2011年的美国债务上限危机。经过数周的谈判，奥巴马总统于8月2日签署了《2011年预算控制法》，这是财政部估计的美国借款权将用尽的日期。四天后，即8月5日，信用评级机构标准普尔（Standard&Poor\'s）首次下调了美国ZF债券的信用评级。全球市场经历了自2008年金融危机以来最动荡的一周，道琼斯工业平均指数单日暴跌635点（或5.6%）。然而，由于投资者更加担心欧洲主权债务危机和世界经济的经济前景，并转向美国ZF债券的安全性，美国国债收益率下降。这就是为什么我们可以看到跳跃扩散半偏差在这段时间内大幅增加的原因。4.2.2λ和半偏差之间的关系值得研究λ和跳跃微分过程的半偏差之间的关系。

在图4.6中，我们给出了基于不同λ值的半偏差的演变。这种分析清楚地表明，关于λ的假设对半偏差的计算有很大的影响。特别是，自Ball and Torus（1983）的著作出版以来，使用伯努利跳跃扩散过程作为真实扩散过程的近似值已经成为一种标准做法，假设λt很小。然而，我们在图4.4中的分析表明，λ较大的模型最适合数据。显然，Ball和Torous的动机是通过与小而频繁的跳跃相对立来捕捉大而不频繁的事件。然而，对于λ在高波动期，做小有低估风险的不良后果。事实上，图4.6中的图表显示，在一段应力期间，用λ=252获得的半偏差可能比用λ=10的约束计算的半偏差大50%。这一观察结果是我们通过允许模型扩展Ball和Torus的工作的主要动机，在这种模型中，跳跃的频率不再是强制的，而是由数据驱动的。在§3.2中，我们已经证明，当λ较大时，跳跃扩散返回分布应接近纯扩散过程的分布，但参数不同。我们没有将由λ=252的跳跃扩散过程计算出的半偏差与纯扩散过程叠加，而是将跳跃扩散半偏差及其与从纯扩散过程获得的半偏差的差异放在图4.7中。除了2008年金融危机期间，这种差异很小。在这段时间里，差异可能会大上好几个百分点。

中心极限定理告诉我们，年化回归分布应该收敛到正态分布，其参数在（3.7）中给出。但纯扩散过程的参数是通过对数可能性的最大化来确定的，其结果可能与（3.7）中的结果截然不同。此外，我们可以看到，这两个半偏差在危机时期出现分歧，也就是说，在2009年、2010年、2011年、20102034050年化半偏差（单位%）难以实现的时候，在跳跃过程中计算的年化半偏差的时间演化具有不同的λ值λ=252λ=100λ=50λ=10图4.6：不同λ值的半偏差演化（单位%）。红色曲线对应于约束λ=252，绿色对应于λ=100，蓝色对应于λ=50，紫色对应于λ=10。请注意，红色和绿色的曲线几乎相同。2009年2010年2011年20102034050年化半偏差（单位%）在纯扩散过程和λ=252λ=252λ=0差的跳跃过程中计算的年化半偏差的时间演化图4.7：从λ=252的跳跃扩散过程和λ=0的纯扩散过程中获得的半偏差（单位%）之间的比较。蓝线和绿线分别表示跳跃扩散和纯扩散半偏差，而红线表示两者之间的差异。尽管半偏差的大小相似，但我们可以观察到，在2008年金融危机期间，这种差异是巨大的。2009 2010 2011 2012-1300-1200-1100-1000-900-800对数似然度当满足λ=252λ=252λ=252λ=0的纯扩散过程和跳跃过程时，对数似然值的时间演变图4.8：跳跃扩散过程（蓝色）与λ=252以及纯扩散过程（红色）的对数似然度比较。

在这两种情况下，我们都可以看到，在高市场压力时期，对数概率较小，这意味着模型的校准也更具挑战性。由于极端事件的出现，使得模型参数的确定非常具有挑战性，因此需要校准模型。为了说明这一事实，我们在图4.8中描述了两个过程的对数似然值的演变。我们还比较了跳跃扩散和伯努利跳跃扩散半偏差，根据§3.2的结果，两者应该是相同的。我们的结果如图4.9所示。在整个时期内，差异可以忽略不计，这意味着我们的方法提供了与基于Ball和Torous模型的方法相同的结果，前提是λ被限制为较小。4.2.3σ的演变最后，我们在图4.10中比较了波动率σ在跳跃过程和纯扩散过程中的时间演变。我们可以观察到，纯扩散过程得到的σ比跳跃扩散过程得到的σ大；这并不令人惊讶，就像第二种情况一样，波动性也被跳跃捕获。我们想概述的第二个事实是，对于跳跃过程，σ似乎非常不稳定。这可以被解释为模型的一个可能的误判，因为跳跃可能会影响σ的值。

换句话说，对于我们的数据来说，假设一个常数σ可能是一个错误的假设，这可以转化为研究过程的进一步动机2009 2010 2011 2012051015202530年化半偏差（单位%）当满足跳跃过程和伯努利跳跃过程时，年化半偏差的时间演化，图4.9：从跳跃扩散过程（蓝色）获得的半偏差（单位%）与球和环形跳跃扩散（红色）的差异之间的比较。在这两种情况下，我们都设置了λ=10。与半偏差水平相比，差异非常小。2009年2010年2011年20120.000.020.040.060.080.100.120.14跳跃过程和纯扩散过程中σ的方差（σ）时间演化跳跃扩散过程纯扩散过程图4.10：跳跃过程（蓝色）和纯扩散过程（绿色）中参数σ的时间演化比较。随机波动性包括收益率和波动率的跳跃，我们将在下一节中介绍。5收益率和波动率跳跃的随机波动率模型的扩展我们现在解释如何将我们之前开发的方法扩展到涉及收益率和波动率跳跃的随机波动率的过程。本节的结构如下。在§5.1中，我们回顾了考虑收益率和波动率跳跃的重要性。然后，在§5.2中，我们描述了收益率和波动率跳跃的随机波动率模型，这是Eraker等人（2003）分析的模型的扩展。唯一不同的是，我们用§3中开发的更一般的模型取代了伯努利跳跃过程。我们继续在§5.3中讨论模型参数及其后验分布的统计估计。

我们遵循Numatsi和Rengifo（2010）中开发的方法，我们的实现基于一个脚本，该脚本是用我们修改过的相同作者提供的语言开发的，以便能够处理我们的方法。一旦参数被估计，我们将在§5.4中展示如何计算年际化半方差。简而言之，第一步是生成1年期的回报，然后通过数值积分计算半方差。最后，我们在§5.5.5.1收益率和波动率跳跃的重要性中展示了一些实验结果。准确确定股票价格是金融工程中的一个重要课题。Black and Scholes（1973）模型是一个重大突破，但它至少克服了两个主要缺点。第一个原因是股票价格服从对数正态分布，第二个原因是其波动性是恒定的。几项研究（例如，见Chernov等人（1999年））强调，资产收益的无条件分布显示出比正态性假设所暗示的更大程度的峰度，并且数据中存在波动性聚类，表明收益率波动性的随机变化。该模型的一个扩展是整合股票价格的大幅度波动，从而可以模拟金融崩溃，比如黑色星期一（1987年10月19日）。它们以跳跃差异模型的形式引入，见Cox和Ross（1976）；默顿（1976）。Black-Scholes模型的一个重要扩展是使用随机波动率，而不是将其视为常数，参见instanceHeston（1993）；赫尔和怀特（1987）；斯科特（1987）。