跳扩散过程中半方差的时间标度

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英文标题：
《On time scaling of semivariance in a jump-diffusion process》
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作者：
Rodrigue Oeuvray and Pascal Junod
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  The aim of this paper is to examine the time scaling of the semivariance when returns are modeled by various types of jump-diffusion processes, including stochastic volatility models with jumps in returns and in volatility. In particular, we derive an exact formula for the semivariance when the volatility is kept constant, explaining how it should be scaled when considering a lower frequency. We also provide and justify the use of a generalization of the Ball-Torous approximation of a jump-diffusion process, this new model appearing to deliver a more accurate estimation of the downside risk. We use Markov Chain Monte Carlo (MCMC) methods to fit our stochastic volatility model. For the tests, we apply our methodology to a highly skewed set of returns based on the Barclays US High Yield Index, where we compare different time scalings for the semivariance. Our work shows that the square root of the time horizon seems to be a poor approximation in the context of semivariance and that our methodology based on jump-diffusion processes gives much better results.
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中文摘要：
本文的目的是研究当收益率由各种类型的跳跃-扩散过程建模时，半方差的时间标度，包括收益率和波动率跳跃的随机波动率模型。特别是，当波动率保持不变时，我们推导出了半方差的精确公式，解释了在考虑较低频率时，应如何对其进行缩放。我们还提供并证明了跳跃-扩散过程的球-环近似的推广，这种新模型似乎提供了更准确的下行风险估计。我们使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法来拟合我们的随机波动率模型。在测试中，我们将我们的方法应用于基于巴克莱美国高收益率指数的一组高度倾斜的收益率，其中我们比较了半方差的不同时间标度。我们的工作表明，在半方差的情况下，时间范围的平方根似乎不是一个很好的近似值，我们基于跳扩散过程的方法给出了更好的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> On_time_scaling_of_semivariance_in_a_jump-diffusion_process.pdf (970.33 KB)

2022-5-5 04:12:53 上传

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关键词：扩散过程 Applications Quantitative Econophysics Statistical

跳跃扩散过程中半方差的时间标度*Pascal Junod+2021年11月19日摘要本文的目的是研究当收益率由各种类型的跳跃扩散过程建模时，半方差的时间标度，包括收益率和波动率跳跃的随机波动率模型。特别是，当波动率保持不变时，我们推导出了这些半方差的精确公式，解释了当考虑较低的频率时，它应该如何缩放。我们还提供并证明了对跳跃扩散过程的球环面近似的推广，这个新模型似乎提供了对下行风险的更准确估计。我们使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法来拟合随机波动率模型。在测试中，我们将我们的方法应用于基于巴克莱美国高收益率指数的一组高度倾斜的收益率，在该指数中，我们比较了半方差的不同时间标度。我们的工作表明，在半方差的情况下，时间范围的平方根似乎不是一个很好的近似值，我们基于跳差过程的方法给出了更好的结果。关键词：风险的时间标度、半方差、跳跃扩散、随机波动性、MCMCmethods1简介现代投资组合理论表明，投资于某些有望获得更高回报的资产类别总是与这些回报的更高可变性（也称为波动性）相关联，从而导致投资者的风险增加。

因此，准确估计给定资产（或资产组合）回报的可变性，并在各种任务（包括风险管理、为给定风险规避水平找到最佳投资组合策略或衍生品定价）中考虑这一数据，是金融工程的主要任务之一。例如，正确估计波动率对于应用Black and Scholes（1973）期权定价方法至关重要；另一个突出的例子是计算风险价值（VaR）的回报分布分位数的估计，这是巴塞尔银行监管委员会等国际银行监管机构通常推荐的一种方法。这种方法也广泛应用于全球许多金融机构的内部风险管理系统中。在实践中，关于资产回报率过去行为的有效统计信息并不可用，因此人们通常被迫使用所谓的时间平方根规则。本质上，该规则通过乘以*Pictet资产管理公司，瑞士日内瓦73号CH-1211阿拉伯之路60号euvray@gmail.com)+瑞士西部应用科学与艺术大学/HEIG-VD，瑞士CH-1401Yverdon-les-Bains Cheseaux路1号（帕斯卡）。junod@heig-性病。ch）波动系数为√T

作为一个例子，巴塞尔规则建议通过估计一天的VaR并将该值乘以√10，其中VaR是解方程ε=Z的值-变量-∞^f（r）dr考虑到银行收益估计概率分布的密度^f（r）和密度水平ε，例如固定为1%。众所周知，只有在实践中通常未观察到的一定数量的假设下，用时间平方根来衡量波动率才是准确的：根据toDanielsson和Zigrand（2006年），收益率需要是同方差的，并且在所有导联上都有条件地连续不相关，一个比独立和独立分布（iid）回报略弱的假设。Dan'elsson和Zigrand进一步表明，对于所有分位数和视界，时间平方根规则都是正确的，这意味着零均值回报的iid属性，但回报也是正态分布的。在本文中，我们感兴趣的是研究应用时间规则的平方根对连续跳跃扩散过程的半方差的影响。作为第一步，半方差作为一种下行风险度量，我们将在下一节快速回顾其历史和特性。1.1 20世纪50年代，随着Markowitz（1952）和Roy（1952）对有助于管理风险投资组合的决策工具的开发，在投资组合理论的背景下出现了下行风险和半方差下行风险度量。Markowitz（1952）展示了如何利用投资组合中包含的资产收益分布的平均值、方差和协方差，以计算有效边界，在该边界上，每个投资组合要么最大化给定变量（即风险水平）的预期收益，要么最小化给定预期收益的方差。

在Markowitz的场景中，效用函数定义了投资者对财富和风险变化的敏感性，用于在最佳边界上选择合适的投资组合。罗伊（1952）愿意推导出一种实用的方法，以确定最佳的风险回报交易；由于他不相信在实践中用效用函数模拟人类对风险的敏感性是可行的，他选择假设投资者更喜欢低于灾难水平或目标回报的可能性最小的投资。Markowitz（1959）认识到这一说法的智慧，提出了两个非常重要的观点，即只有下行风险与投资者有关，而收益分布在实践中可能会出现倾斜，即不对称分布。本着这种精神，马科维茨建议使用以下可变性度量，他称之为半方差，因为它只考虑收益分布的一个子集：（1.1）Zτ-∞(τ -r） 其中f（r）表示收益概率分布的密度，r表示根据f（r）分布的随机变量，τ表示收益目标水平。如果τ等于uR=Rrf（R）dr，则（1.1）称为R的下均值半方差，而如果τ是任意的，则（1.1）称为R的下目标半方差，其中τ被定义为目标收益。换句话说，在计算可变性时，只考虑收益分布平均值左侧的偏差或固定收益目标。类似地，半方差的平方根被称为半偏差，类似于标准偏差。

注意，对于非对称的，即非偏态收益分布，随机变量R的方差等于其低于平均值的半方差的两倍。Sharpe（1966）比率是对资产、投资组合或投资策略的风险调整后回报的衡量，它量化了每单位偏差的超额回报；定义为（1.2）E[RA- RB]pVar[RA- RB]，其中，RAR和RBA是分别对资产A和资产B的收益进行建模的随机变量。夏普比率的一个主要变量称为索蒂诺比率（见索蒂诺和范德梅尔（1991）），它依赖于收益分布的半偏差而不是标准偏差。众所周知，很容易理解的是，夏普和索蒂诺比率对于高度倾斜的回报分布往往给出非常不同的结果。最后，我们想指出的是，半方差的概念已经得到了推广，导致Bawa（1975）和Fishburn（1977）发展了低偏矩。从本质上讲，平方被一个可以自由变化的任意幂a所取代：（1.3）Zτ-∞(τ -r） af（r）DRA可能有助于模拟投资者对风险更敏感（通过a的较大值）或更不敏感（通过a的较小值）的事实。在本文中，出于简单的原因，我们选择使用toa=2。在下文中，我们将回顾跳跃扩散模型的概念。1.2跳跃扩散模型跳跃扩散模型是默顿（1976）在定量金融中引入的连续时间随机过程，扩展了布莱克和斯科尔斯（1973）关于期权定价的著名工作。这些模型是标准扩散过程和跳跃过程的混合。它们通常用于重现资产价格动态中观察到的程式化事实，如均值回归和跳跃。

事实上，将资产价格建模为标准布朗过程意味着短期内不太可能出现大幅度的跳跃，因为现实生活中有时会出现这种情况，除非出现不现实的大波动值。因此，引入跳跃的概念可以考虑这些残酷的价格变化，这在考虑风险管理时尤其有用。文献中提出了各种规格，我们请读者查阅Contand Tankov（2004）的广泛综述。在下文中，我们首先（在§3中）考虑具有时不变系数、恒定波动性和高斯分布跳跃的标准跳跃扩散模型。稍后，在§5中，我们还将考虑更复杂的随机过程，包括收益率和波动率的随机跳跃。基本跳跃扩散随机过程是具有常数漂移u和波动率σ的标准布朗过程和具有参数λ的（统计独立的）复合泊松过程的混合，其跳跃大小根据独立的正态分布（uQ，σQ）分布。更准确地说，该模型可以表示为以下随机微分方程：（1.4）dX（t）=X（t）（udt+σdW（t）+J（t）dP（t）），其中X（t）表示描述金融资产价格的过程，其中Pr[X（0）>0]=1，其中u∈ R是过程漂移系数，σ>0是过程方差，W（t）是标准维纳过程，P（t）是恒定强度λ>0的泊松过程，J（t）是产生跳跃大小的过程，与P（t）一起形成复合泊松过程。随机微分方程（1.4）的解由（1.5）X（t）=X（0）e给出u-σt+σW（t）+PP（t）k=1Qk，其中qk根据J（Tk）=eQk隐式定义- 1，Tkis是泊松过程第k次跳跃发生的时间。

如果P（t）=0，根据惯例，总和为零。我们假设qk形成了一个独立且相同的正态分布序列，其均值为uQ，方差为σQ。t周期内X（t）的对数收益定义为Yt=log X（t）-logx（0），从（1.5）开始，它的动力学由（1.6）Yt给出=u -σ在高斯分布的混合分布中，qt=1k+1tu - 0.5σt+kuQ，σt+kσQ）其密度函数由（1.7）fYt（y）给出=+∞Xk=0E-λt（λt）kk！q2π（σt+kσQ）e-（y）-((u-0.5σ）t+kuQ）σt+kσQ.1.3贡献和本文概述我们在本文中的贡献可以总结如下：首先，我们在§2中推导了一个计算标准跳跃扩散过程的半方差的明确公式，当波动率为常数时。据我们所知，这是第一次提供这样的公式。其次，我们在§3中提出了跳跃扩散过程的Ball和Torus（1983、1985）近似的推广。事实上，Ball和Torous带来的简化是基于这样一个事实，即在非常短的时间内，并假设一个小跳跃强度参数，只能发生一次跳跃。通过这样做，作者希望捕捉大型和罕见的事件，而不是频繁但微小的跳跃。然而，我们在§4中的分析表明，限制跳跃强度参数可能导致低估风险；因此，从风险管理的角度来看，这种方法似乎并不合适。这就是为什么我们不喜欢对泊松过程强度参数施加任意条件，而是用最大似然法来估计它的原因。我们对Ball和Torus工作的扩展也意味着一天中可能会发生更多的跳跃。

这是一个事实的结果，即当强度参数足够大时，获得多个跳跃的概率不再是可忽略的。在我们的方法中，唯一剩下的约束是λ应该小于一个（大的）上界。然而，我们在§3.2中表明，这种限制实际上并不是一个很强的限制。第三，我们将§4中的结果用于计算基于巴克莱美国高收益指数回报率的半方差估计，表明标准时间平方根规则确实可能低估某些时期的风险，而高估其他时期的风险。为此，我们使用基于差异进化的定制优化算法来最大化似然函数。最后但并非最不重要的一点是，我们在§5中讨论了将我们的工作扩展到一个收益率和波动率都有跳跃的跳跃扩散模型。其中，我们首先回顾了考虑收益率和波动率随机跳跃的重要性。然后，我们描述了我们使用的随机波动率模型，它是Eraker等人（2003）提出的模型的扩展。下一节将介绍其参数的统计估计。我们特别使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法来推导它们的值。在§5.4中，我们提出了一种在确定模型参数后计算年度半偏差的方法。最后，我们给出了一些实验结果。2跳跃微分过程半方差的显式形式在本节中，我们推导了具有时不变系数、常数波动率和高斯分布跳跃的标准跳跃微分模型半方差的显式公式。

据我们所知，这是第一次为计算半方差提供明确的公式。下面，让我们分别用φ（x）和Φ（x）表示平均值为0、方差为1的标准正态分布N（0，1）的概率密度函数和累积分布函数，即φ（x）=√2πe-x和Φ（x）=Zx-∞x的φ（t）dt∈ R.定理2.1。密度（1.7）的半方差由（2.1）给出+∞Xk=0e-λt（λt）kk！（D）- uk）Φ（Dk）+σk（D- uk）f（Dk）+σkΦ（Dk）,在哪里=u -σt+kuQ，σk=σt+kuQ，Dk=D-ukσk=0+∞.附录A给出了证明。对于没有跳跃的纯扩散过程，先前的公式（2.1）简化为以下公式。推论2.1。漂移μ和波动率σ等于（2.2）（D）的纯扩散过程的半方差- u）Φ（D）+σ（D）- u）f（D）+σΦ（D），其中u=u -σt、 σ=σt和D=D-uσ.该证明是附录a中给出的命题a.1和（1.6）可以改写为（2.3）Yt这一事实的直接结果=u -σ当我们考虑纯扩散过程时，t+σW（t）。3球环面法的推广将跳跃扩散模型与现实世界的数据相结合的任务并不像看上去那么容易，而且这个事实早就被认识到了，例如贝克斯（1981）或霍诺尔（1998）。本质上，原因在于有限混合分布的似然函数可以是无界的，从而导致不一致。然而，通过对该模型的参数做出一些假设，就可以准确地估计它们。下面，我们将介绍Ball和Torus（1983、1985）的方法。其中，作者提出了跳跃扩散过程的简化版本，假设如果跳跃发生率很小，那么在足够短的时间内，只有一个跳跃可以发生。