跳扩散过程中半方差的时间标度

特别是，当条件分布已知时，我们使用了吉布斯采样器，当情况并非如此时，我们使用了Metropolis算法的变体。我们还提供了一个程序，一旦估计了模型的参数，就可以计算年化半偏差。当我们考虑了收益率和波动率跳跃的随机波动性模型时，我们不可能达到我们想要的程度。如果能够像我们在波动率保持不变时所做的那样进行滚动分析，那将是非常有益的。然而，从计算的角度来看，这样的分析会耗费太多时间，而且在滚动分析的每个阶段，自动检查流程的一致性会很复杂。当我们试图从经验上确定日半偏差与其年化版本之间的关系时，这显然是一个局限。我们真的认为，使用半偏差（或半方差）可以通过提供有用且强大的风险度量对金融业有利。这个风险度量很久以前就被提出了，但是它很难计算，而且它的伸缩性也不好，这使得它很难实现。然而，我们在本文中已经表明，即使我们考虑非常复杂的随机过程，仍然有可能计算它，并且在一些温和的假设下，可以导出一些有用的时间标度公式。最后，我们希望本文将有助于其在资产管理行业的民主化使用。免责声明：本文中表达的观点由作者全权负责，不一定反映Pictet Asset Management SA的观点。

任何剩余的错误或不足均由作者负责。定理2.1的证明作为第一步，我们注意到以下两个恒等式：（A.1）Za-∞tφ（t）dt=-φ（a）andZa-∞tφ（t）dt=-aφ（a）+Φ（a）。通过观察dφdt=-tφ（t）与极限→-∞φ（t）=0。那么，扎伊-∞tφ（t）dt=-Za-∞滴滴涕φ（t）dt=φ（a）。为了获得第二个恒等式，我们可以如下进行：我们注意到，对于标准化的正常密度φ，Rtφ（t）dt=-φ（t）。通过部分整合，我们得到了-∞tφ（t）dt=Za-∞t（tφ（t））dt=-tφ（t）A.-∞+Za-∞φ（t）dt。最后，我们可以指出→-∞tφ（t）=0。这两个恒等式有助于证明以下结果。提议A.1。让我们~ N（u，σ），密度函数fw（w）=σ√2πexp-W- uσ!,然后让∧D=D-uσ; 然后，fw的半方差由（A.2）ZD给出-∞fW（w）（D）- w） dw=（D）- u）Φ（D）+σ（D）- u）f（~D）+σΦ（~D）证明。首先使用变量x=w的变化-根据（A.1）中给出的等式，我们得到了以下简单的发展。ZD-∞fW（w）（D）- w） dw=ZD-∞f（x）（D）- （σx+u）dx=ZD-∞（D）- u）f（x）dx+ZD-∞2σ(u- D） xf（x）dx+Z~D-∞σxf（x）dx=（D）- u）Φ（D）+2σ（D）- u）f（~D）+σ-~Df（~D）+Φ（~D）=（D）- u）Φ（D）+σ（D）- u）f（~D）+∑Φ（~D）考虑到日志返回遵循（1.7）中给出的密度，我们可以在（1.7）上应用投影A.1，以获得定理2.1的公式。B使用跳差过程对债券基准进行建模跳差过程指数化是对股票价格建模的标准做法。我们在这里解释了为什么可以将该模型用于债券基准指数，因为这一点乍一看似乎很难实现。事实上，股票和债券的特殊性是完全不同的。特别是，债券的到期日很明确，而股票则不然。此外，债券的净价格在到期时会收敛到100。

这就是众所周知的键拉效应。然而，在考虑债券基准时，大多数支持在这种情况下不使用权益模型的批评变得无关紧要。事实上，债券基准有一些与债券截然不同的特征。例如，它们通常按月重新平衡，其到期日（几乎）保持不变，而债券的到期日则随时间线性下降。到期时间最短（例如，少于1年）的债券将自动从指数中删除。保持到期日（几乎）不变的一个直接后果是，投资组合层面的影响不再相关。债券和股票之间的区别在于股票支付股息。当一张优惠券被支付时，它的脏价会下降到相当于两张优惠券的金额。然而，没有必要为债券基准的息票支付建模，因为它们遵循的规则意味着息票会自动再投资。具体来说，这意味着支付息票不会影响基准指数。此外，在一个差异模型中，如果我们忽略模型的随机部分，股票价格会呈指数增长。这是一个直接的结果，即收益不是相加的，而是必须复合的。这也适用于债券基准指数，该指数的表现也是复合的。最后，由于股票市场可能会经历崩盘，债券市场也可能会受到极端严重和突然的损失的影响，因此有理由使用收益率和波动率的跳跃。所有这些评论都表明，使用跳差过程来模拟债券基准指数似乎是合适的，尽管推动债券的动力不同于推动股票的动力。

但在投资组合层面上，当我们考虑一个具有固定到期日的债券基准时，没有根本理由不将指数层面的动态近似为股票价格。我们的MCMC算法是用R语言实现的，并依赖Numatsian和Rengifo（2010）提供的代码。我们修改了它们的实现，以适应本文介绍的模型。我们算法的起始值如下所示。波动性向量是使用三个月的滚动窗口创建的。我们认为绝对收益（收益的绝对值）高于平均值2.57个标准差（在考虑异常值后）。对于标准化正态分布，2.57对应于它的0.995分位数，这意味着我们应该预期大约1%的绝对收益大于该阈值。事实上，在我们的数据中，超过14%的数据超过了这一阈值，证实了回报率存在跳跃。一旦确定了这些“事故”，我们仍然需要确定跳转返回大小、跳转波动性大小和发生的跳转次数。事实上，根据我们的方法，在一个特定的日期内可能会发生不止一次的跳跃。假设跳跃大小远远大于在没有“事故”的日子里观察到的回报，我们认为跳跃大小对应于观察到的每日回报。例如，如果我们已经确定了一个跳跃，并且在该日期观察到的回报率为-67个基点，那么我们认为跳跃的大小是相同的。我们也做出了类似的假设。描述巴克莱债券指数管理的技术文件可在https://indices.barcap.com/index.dxml.for波动性。

因此，波动率跳变只是对应于某一天的实际估计值与前一天之间波动率的差异。跳跃收益总和的过程是具有正态分布跳跃的泊松复合变量。与波动率跳跃总和之后的过程相同，只是跳跃是指数分布的。假设收益的跳跃可以是负的，也可以是正的，但波动性（总是正的）则不一样，考虑波动性来确定跳跃的数量要容易得多。这就是为什么我们考虑波动率跳跃的复合泊松过程X，其中泊松过程导致P（λ），跳跃大小是参数ν的指数变量ξν。很容易证明过程x的分布函数F（x）是由F（x）=Pr（x）简单给出的≤ 十）=+∞Xk=0pkPrkXi=1ξν！，其中pk=e-λkk！。如果没有跳跃，那么X=0，概率p=e-λ. 直接的结果是密度不存在。为了克服这个问题，我们建议根据至少有跳跃的天数的比例来估计λ。在某一天没有发生事故的概率是e-λ≈ 1.- λ、 当λ很小时。根据这个公式，我们可以简单地通过至少一次跳跃的天数与该期间的总天数之比来估计λ。一旦对这些参数进行了估计，我们仍然需要确定检测到事故时的跳变次数。众所周知，k iid指数变量的卷积由参数为k和λ的伽马分布给出。因此，基于对跳跃大小的观察，我们可以通过确定哪个KG的密度最高来确定跳跃的数量。在确定了状态空间变量之后，我们现在可以解决估计模型参数的问题。

我们实现了吉布斯采样器或Metropolis Hasting，这取决于我们是否知道参数分布的闭合形式。为了将我们的结果与Eraker等人（2003年）和Numatsi andRengifo（2010年）的结果进行比较，我们使用了相同的先验。请注意，很少有信息是通过优先级强加的。具体如下：~ N（0，1），κ~ N（0，1），κθ~ N（0，1），ρ~ U(-1, 1), σν~IG（2.5,0.1），uy~ N（01100），ρJ~ N（0，1），σy~ IG（5,20），uν~ G（20,10）和λ~ β(2, 40).我们使用其他研究提供的参数的另一个原因是为了确保已独立于其后验分布来确定优先级。在Eraker等人（2003年）的研究中，还发现，当应用于标准普尔500指数和纳斯达克100指数的回报率时，这些先决条件可能会导致非常不同的后验条件。此外，我们工作的主要目标不是挑战参数的估计，尤其是关于周期的假设，而是表明即使考虑复杂的随机过程，也可以计算半偏差。ReferencesArdia，D.，Boudt，K.，Carl，P.，Mullen，K.M.，和Peterson，B.G.（2011a）。差分进化与DEoptim——非凸投资组合优化的应用。R期刊，3（1）：27-34。Ardia，D.，David，J.，Arango，O.，和G\'omez，N.D.G.（2011b）。使用差异进化进行跳跃差异校准。威尔莫特，2011（55）：76-79。Ardia，D.和Mullen，K.M.（2013）。DEoptim：R中的差异进化优化，版本2。2-2. http://CRAN.R-project.org/package=DEoptim.Bakshi曹，C.和陈，Z.（1997）。替代期权定价模型的实证表现。《金融杂志》，52:2003-2049。Ball，C.A.和Torus，W.N.（1983）。普通股回报的简化跳跃过程。《金融与定量分析杂志》，18:53-65。Ball，C.A.和Torus，W.N.（1985）。

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