跳扩散过程中半方差的时间标度

Bates（1996）和Scott（1997）将这两种方法结合起来，引入了收益跳跃的随机波动率模型。尽管他们的新方法有助于更好地描述股票价格的行为，但几项研究表明，具有不同随机波动性和回报率跳跃的模型无法完全捕捉股票指数回报的经验特征，例如Bakshi等人（1997）；贝茨（2000）；潘（2002）。他们的主要缺点是，他们没有很好地捕捉到经验事实，即回报的条件波动率迅速增加。通过增加波动率的跳跃，波动率过程更具体。Duffee等人（2000年）首次引入了收益率和波动率都有跳跃的模型。Erakeret al.（2003）已经证明，波动率跳跃的新模型比以前的模型表现更好，并且在波动过程中没有导致重大的误判。5.2上文提到的Eraker、Johannes和PolsonAs工作的扩展，Eraker等人（2003年）考虑了回报率和波动率跳跃的跳跃扩散过程。这些跳跃同时到达，跳跃大小相互关联。根据该模型，资产价格的对数Yt=log（St）解（5.1）dYtdVt=uκ(θ - 五、-（t）dt+pVt-10ρσνp（1）- ρ)σνdWt+ξyξνdNtwhere Vt=lims↑tVs，Wt=（W（1）tW（2）t）是标准的布朗运动，用Rand（·）t表示矩阵或向量的转置。跳跃到达是一个泊松过程，具有常数密度λ，该模型假设收益率和波动率的跳跃到达是同时发生的。变量ξyandξν分别表示收益率和波动率的跳跃大小。

波动率的跳跃大小遵循指数分布ξν~ exp（uv），而收益率和波动率的跳跃大小与ξy |ξν相关~ N（uy+ρjξν，σy）。他们的方法依赖于马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法。MCMC估计的基础是（5.1）：Yt的时间离散化+T- Yt=ut+pVttεyt+t+ξyt+tJt+t、 Vt+T- Vt=κ（θ）- （Vt）t+σνpVttενt+t+ξνt+tJt+t、 （5.2）Jkt+t=1表示跳转到达。εyt+t、 ενt+皮重标准正态随机变量的相关系数ρ和t是时间离散间隔（即一天）。跳跃的大小取决于它们的分布结构，跳跃时间是强度λ为常数的伯努利随机变量t、 作者随后应用贝叶斯技术计算模型参数Θ。后验分布总结了关于参数Θ以及潜在波动率、跳跃时间和跳跃大小的样本信息：（5.3）Pr（Θ，J，ξy，ξν，V|y）∝ Pr（Y|Θ，J，ξY，ξν，V）Pr（J，J，ξY，ξν，V），其中J，ξY，ξν，V是包含相关变量的时间序列的向量。后验概率结合了似然概率Pr（Y | J，ξY，ξν，V）和前验概率Pr（|，J，ξY，ξν，V | Y）。由于后验分布在封闭形式下未知，基于MCMC的算法通过迭代地从以下条件后验中提取样本：参数：Pr（Θi |Θ-i、 J，ξy，ξν，V，y）i=1，跳转次数：Pr（Jt=1 |Θ，ξy，ξν，V，y）i=1，TJump大小：Pr（ξyt |Θ，Jt=1，ξν，V，Y）i=1，TPr（ξνt|，Jt=1，V，Y）i=1，实用性：Pr（Vt | Vt+t、 Vt-t、 Θ，J，ξy，ξν，y）i=1，TwhereΘ-IDE注意到参数向量的元素，除了Θi。从这些分布中提取是简单的，除了波动性，因为其分布不是标准形式。

为了从中取样，作者使用了随机行走大都会算法。对于ρ，他们使用了一个独立的Metropolis算法，其建议密度以布朗增量之间的样本相关性为中心。对于这些MCMC技术的回顾，werecommend Johannes and Polson（2009）在文中作者回顾了连续时间金融计量经济学背景下MCMC算法背后的理论。Eraker等人（2003）的算法生成了一组绘图Θ（g），J（g），ξy（g），ξν（g），V（g）Gg=1是来自Pr（Θ，J，ξy，ξν，V|y）的样本。我们的方法依赖于Eraker等人（2003）开发的方法。唯一的区别是，我们用§3中描述的跳跃过程取代了伯努利跳跃过程。这种变化非常简单。在（5.2）中，Jt+tcan只取两个值及其参数λ的后验贝努利t、 为了计算伯努利概率，作者使用增量对波动率的条件独立性和收益对getPr（Jt）的条件独立性+t=1 | Vt+t、 Vt，Yt+t、 ξyt+t、 ξνt+t、 Θ）∝λt×Pr（Yt）+t、 Vt+t | Vt，Jt+t=1，ξyt+t、 ξνt+t、 Θ）。我们的概括很简单。遵循Jt第3节中解释的方法+t可以取0到m之间的任何值。然后取（Jt+t=m | Vt+t、 Vt，Yt+t、 ξyt+t、 ξνt+t、 Θ）∝pk×Pr（Yt+t、 Vt+t | Vt，Jt+t=m，ξyt+t、 ξνt+t、 Θ），pk=e-λt（λ）t） kk！对于k=0，M- 1和pm=pm-1k=0pk。5.3参数估计我们采用Numatsi和Rengifo（2010）开发的方法来估计模型参数。这些作者描述了Eraker等人（2003）提出的方法论在R中的一个实现，并将其应用于富时100指数日收益率。我们假设我们有每天的数据，时间为i=1，T和ti+1- ti=t=1天。

所考虑的二元密度函数由（5.4）f（Bti）=2π|∑| 0.5exp给出-（Bti）- E[Bti]）T∑-1ti（Bti）- E[Bti]）,其中|·|表示矩阵的行列式。似然函数简单地由qni=1f（Bti）和（5.5）Bti给出=ytiνti（5.6）E[Bti]=u+ξytiξJtiκ（θ- Vti-1） +ξνtiJti（5.7）∑ti=Cov[yti，νti]=Vti-1ρσνVti-1ρσνVti-1σνVti-1.哪里yti=yti-Yti-1和νti=Vti-Vti-1.联合分布由似然数乘以状态变量的分布数乘以参数的先验数的乘积给出，更具体地说：“TYi=1f（Bti）#×TYi=1f（ξyti）×f（ξνti）×f（Jti）#×”f（u）×f（κ）×f（θ）×f（ρ）×f（σν）×f（uy）×f（ρJ）×f（σy）×[f（μν）×f（λ）]状态变量的分布分别由ξνti给出~ exp（μν），ξyti~ N（uy+ρJξνti，σy）和Jti~ B（λ）。在Numatsi和Rengifo（2010年）中，作者通过遵循与Eraker等人（2003年）相同分布的先验信息施加了很少的信息~ N（0，1），κ~ N（0，1），θ~ N（0，1），ρ~ U(-1, 1), σν~ IG（2.5,0.1），uy~ N（01100），ρJ~ N（0，1），σy~ IG（5,20），uν~ G（20,10）和λ~ β(2, 40).按照我们的方法，我们只做了以下更改：我们放宽了关于伯努利过程的假设，以考虑§3中提出的更一般的过程。改变关于λ分布的假设也很有诱惑力，但β分布非常灵活，它可以处理关于这些参数的各种假设。例如，β（1，1）给出了一个统一的变量，如果我们想要一个无信息的分布，可以使用它。在每次采样时存储采样参数和状态变量向量非常重要。迭代次数内每个参数的平均值给出了参数估计值。使用显示链foreach参数历史的轨迹图检查收敛性。

ACF图用于分析绘图的相关结构。最后，可以通过均方误差和正常QQ图来评估测试的质量。标准化误差定义如下：Yt+T- Yt- uT-ξyt+tJyt+tpVt+Tt=εyt+t、 5.4计算半偏差一旦我们能够根据每日数据估计模型的参数，我们仍然需要计算一个年化半偏差。第一步是模拟τ水平上的收益率，如果我们有兴趣计算年化收益率，则τ通常为1年。这里，B（·）、G（·、·）、IG（·、·）、U（·、·）、β（·、·）分别表示伯努利分布、伽马分布、逆伽马分布、均匀分布和β分布。半偏差。我们首先模拟一个跳跃强度为λ的泊松过程Nτ。该模拟的输出包括在时间0和τ之间发生的N次跳跃，以及时间0≤ J≤ ··· ≤ jN≤ τ，这些跳跃发生的时间。每间隔[ji]-1，ji]，我们根据Heston模型的规则离散化模式模拟收益和波动过程的扩散部分，该过程将在本节后面进行解释。这给了我们初步的Y值-吉安五世-ji对于退货和差异处理，请在Atime ji。接下来，我们模拟这两个过程中跳跃的大小。这些跳跃分别由ξyjian和ξνji给出。两个过程在时间ji的最终值可以计算为：Yji=Y-ji+ξyji（5.8）Vji=V-ji+ξνji（5.9）如果jN6=τ，那么区间[jN，τ]中不会发生跳跃，我们可以应用Heston模型的Euler离散模式来获得Yτ和Vτ的值。下面，我们将解释如何为Hestonmodel实现Euler离散化模式。

将两个方程（5.1）离散化，忽略跳跃部分+以及Vt和Vt之间的差异+tand vt是由yt简单给出的+T- Yt=ut+pVtW（1）t,Vt+T- Vt=κ（θ）- （Vt）t+σνpVtρW（1）t+p1- ρW（2）t.（5.10）如前所述，我们通常使用t=1天，将两个过程离散化。模拟布朗增量W（1）tandW（2）t，我们使用的事实是，每一个增量都独立于其他增量。每个这样的增量都是正态分布，均值为0，方差为0t、 然而，使用（5.10）进行模拟可能会产生负波动。这是一个众所周知的影响，在文献中已多次提到。继Lordet al.（2006）之后，我们稍微修改了（5.10），以防止模拟产生负面值：（5.11）Vt+T- Vt=κ（θ）- V+t）t+σνqV+tρW（1）t+p1- ρW（2）t,式中，V+是0和Vt之间的最大值。如果不同跳跃之间的时间较小，则离散化步骤t、 那么它只是意味着我们在这个时间间隔内发生了几次跳跃。在这种情况下，我们只需要模拟适当的跳跃次数，在这段时间内，收益率和波动率都是如此。最后，周期[0，τ]上的返回值就是Yτ。通过重复这个过程M次，我们得到了[0，τ]期间累计收益的M次实现，这使得可以估计其密度。在我们的测试中，我们使用了高斯核来估计它。这可以通过使用density（）函数在R中轻松实现。然后，通过对（1.1）中给出的表达式进行数值积分，可以得到半方差。为此，我们通过在R中使用integrate（）函数来使用QUADPACK库。

QUADPACK是一个著名的数值分析库，用FORTRAN 77实现，包含非常有效的一维函数数值积分方法。5.5结果我们使用10万次迭代和10万次磨合迭代运行算法。表5.1提供了参数后验均值及其计算标准误差。返回的平均值u接近参数值（100k iter.）u0.0333（0.0132）uy-0.0222（0.2055）uν0.0028（0.0007）θ0.2087（0.0147）κ0.9059（0.0433）ρ-0.0058（0.2595）ρJ0。0050（2.0007）λ0.0236（0.0293）σy1。0829（0.1379）σν0.2060（0.0204）表5.1：基于10万次迭代的估计参数。时间单位是一天，而不是一年，这意味着应该每天对参数进行解释。u、uy、uν、σy和σν的单位为%。与数据中的日平均收益率（0.0325%）相比。Vt的长期平均值，即E[Vt]=θ+（μνλ）/κ等于0.2088%。这个值与收益率的方差相差不远，它等于0.1751。跳转回报率随平均值呈正态分布-0.0222%，标准偏差0.2055%。具体地说，这意味着有68%的可能性在两个阶段之间实现跳跃式回报-23个基点和+18个基点。参数σyandσν分别为1.0829%和0.2060%。最后，跳跃的强度为0.0236。这意味着，平均每年大约有6次跳跃。与我们在数据中观察到的跳跃次数相比，这有点低，因为我们更希望强度在0.05左右。然而，在计算这种经验强度时，考虑到与平均值的偏差超过2.57的回报差异可被视为跳跃。必须谨慎一点，因为这种经验强度对用作定义跳跃阈值的标准偏差的数量非常敏感。

关于实施的更多细节可以在附录C中找到。在第二步中，我们根据该过程计算了年度半偏差。我们遵循§5.4中解释的方法，首先计算模拟收益，然后计算半偏差。我们的测试表明，1000次模拟有助于准确估计密度，并由此得出半偏差。注意，这个半偏差是基于整个历史数据的。由于以下两个原因，假设波动率不变，我们不可能进行与之前相同的滚动分析。第一，参数的估计非常耗时。用IntelR生成整个周期的参数大约需要7个小时CoreTMi5-3470 CPU@3.20 GHz。假设我们必须根据同一时期的1年历史进行滚动分析，那么我们必须进行1000次以上的分析。这并非不可能实现，但通常需要并行计算技术。没有进行这种分析的第二个原因是，我们必须在滚动分析中考虑的每个阶段检查流程的收敛性，这是一项很难完全自动完成的任务。值得注意的是，可以使用显示每个参数链历史的跟踪图来检查收敛性，使用ACF图来分析绘图的相关结构，并且可以通过均方误差和正态QQ图来评估图的质量。

所以这两个原因阻止了我们在-20-10 0 10 20 30 40收益率（单位%）0.000.010.020.030.040.050.060.07密度模拟收益图5.1：此图显示了基于1000次模拟的收益直方图。考虑具有随机波动性、收益率和波动率跳跃的模型。然而，我们根据2008年和2011年两个最糟糕时期的1年数据进行了一些分析。表5.2总结了结果，并比较了我们在本文中探索的不同模型的半偏差。我们可以观察到，用随机波动率模型得到的半偏差SD4似乎更符合半偏差SD2（基于跳跃扩散模型）和SD3（基于纯扩散模型），而不是SD1（时间平方根规则）。这并不令人惊讶，因为SD4可能被解释为SD2的一个替代品，这解释了为什么这两种分析方法不应该如此不同。年份SD1 SD2 SD3 SD42008-2012 4.70 1.21 1.39 1.742008 8.71 31.59 31.72 32.162011 3.69 1.31 1.34 2.90表5.2：不同时期的年化半偏差（单位%）。SD1基于时间的平方根规则，SD2基于具有恒定波动性的跳跃扩散模型，SD3基于具有恒定波动性的纯扩散模型，SD4基于具有随机波动性、收益和波动性跳跃的跳跃扩散模型。6结论和未来的研究地点在本文中，我们提出了跳跃扩散过程的球环面近似的推广，并展示了如何基于几种跳跃扩散模型计算半偏差。我们特别考虑了一个基于巴克莱美国高收益率指数的非常详尽的例子，该指数的回报率呈现负偏态和厚尾。

通常的做法是对泊松过程强度参数施加一个界，以确保跳跃过程只捕捉到较大的偶然事件。然而，我们的分析清楚地表明，在这种情况下，风险可能被低估。在不限制强度参数的情况下，中间偏差可能比通过任意限制该参数获得的偏差大50%以上，以便仅捕获大的跳跃。我们至少有两个理由认为我们的方法应该更受欢迎。第一，我们不对强度参数施加任何任意约束。通过我们的方法，确定该参数是为了获得数据的最佳拟合。跳跃可能在某些时期经常发生，在其他时期可能非常罕见（每年很少发生）。第二个原因是，对强度参数施加任意限制可能会导致低估风险。尽可能准确地捕捉风险是风险管理中最重要的任务之一。这就是为什么基于Ball和Torous工作的“传统”方法在我们的环境中似乎不合适的原因。此外，我们的结论之一是，使用时间平方根规则可能会低估高波动期的风险，或者低估低压力期的风险。本文还对Eraker、Johannes和Polson的工作进行了推广，他们考虑了一个具有随机波动性、收益率和不可逆性跳跃的跳跃扩散模型。在波动率恒定的情况下，我们通过将跳跃贝努利过程替换为一个更一般的过程，扩展了他们的方法，该过程能够在强度参数较高时模拟每天的几个事件。参数估计方法基于MCMC方法。