跳扩散过程中半方差的时间标度

因此，对于λ的小值TP（t）可以用参数λ的aBernoulli分布来近似t、 以及Y（t）可以写成（3.1）fY（Y）=（1）-λt） fD（y）+λt（f）DfQ）（y），其中fDDE注意到扩散部分的概率密度函数（包括漂移）、跳跃强度的概率密度函数，以及？表示卷积运算符。如§1.2，f所述D遵循平均值（u）的正常规律-σ/2)t与方差σt、 IFFQI根据统计上独立于扩散部分的正态定律分布，然后是卷积fDfqfDand FQ正常，平均值（u-σ/2)t+uq和方差σt+σQ.对于观察到的日志返回序列YyT，模型参数θ=（λ，u，σ，uQ，σQ）的对数似然对数L以直接的方式从（3.1）作为（3.2）对数L（θ）获得|Yy=TXt=1对数fY(yt |θ），通过最大化（3.2）得到最大似然估计量^θ。Kiefer（1978）hasshown指出，在这种混合环境中可能存在多个局部极小值，这一事实我们也在下一节的实验装置中观察到。使用（3.2）将Ball-Torus模型与真实世界数据进行拟合（关于我们的实验设置的更多细节和解释，请参见§4），我们发现假设λT 1在实践中可能很容易被违反。事实上，我们在数据上观察到t=（即。，t代表252天交易年中的一天），λ的最佳估计值在区间[1252]内。这意味着λ的值t通常更接近于1，而不是0，这显然质疑了Ball和Torus所做假设在实践中的有效性，至少在我们的实验装置中是这样。

在下文中，我们提出了一种新的方法，将这个假设放宽到更温和的假设，即λt<1，我们证明它的使用是合理的。3.1我们的方法学我们在本节中描述的方法可以解释为Ball and Torus（1983）的扩展。在这种方法中，作者假设λt很小，或者换句话说，每分钟的预期跳数t周期非常小。然而，在实践中，正如我们在数据中观察到的那样，这一假设可能并不总是令人满意。我们建议放宽这一假设，用更温和的λ取代它t<1。对于t=1/252，假设一年中有252个交易日，这意味着λ<252：具体来说，这意味着平均每天不超过一次跳跃，或者，相当于，每年不超过252次跳跃。我们很容易同意，这种较为温和的假设乍一看似乎是武断的。然而，我们在§3.2中表明，它完全不受约束，因为我们可以很容易地证明，对于λ的增加值，一个泵扩散过程在分布上收敛于一个纯扩散过程。总之，通过我们的方法，我们能够在不对λ有任何强烈限制的情况下实现任何跳跃差异，这与Balland Torus（1983）的工作相比是一个重大改进。显然，鲍尔和托罗斯决定将跳跃速度限制在一个较小值的原因是为了捕捉残酷和罕见事件的幻影。事实上，从实用的角度来看，能够模拟罕见的、大规模的下行市场运动，显然比频繁的、小型的下行市场运动更可取。

这个假设意味着λ很小t值，因此，这意味着每分钟发生一次以上的跳跃t周期完全不可能被忽略。然而，我们已经通过实验证明，在我们的relaxedmodel上计算的半方差，也就是说，允许频繁和小的跳跃，可能会导致显著高于假设λ的模型上的值t很小（见图4.6）。换句话说，我们观察到，与我们的relaxedmodel相比，Ball and Torus模型似乎低估了下行风险，至少在我们的数据集上是这样。不限制跳跃发生率λ的直接后果 对于一个较小的值来说，当λ足够大时，在一天内发生一次以上跳跃的概率可能变得不可忽略。通过允许每个在此期间，我们还可以考虑一个事实，即在一个交易日，即一个交易日内，几个坏消息可能会影响市场t期。显然，如果t变得非常小，可能只有一秒钟那么小，在实践中很难证明在一个时间间隔内跳几次。然而，当在一天的时间内对过程进行离散化时，我们相信允许一次以上的跳跃更好地反映了现实。因此，在下文中，我们将假设≥ 1在以下时间间隔内，可能会发生跳跃：t、 我在哪里∈ N是一个固定值。

在一个时间间隔内可能发生的跳跃的概率分布那么t是如下所示：（3.3）pk=e-λt（λ）t） kk！对于k=0。。。，M- 1和pm=1-M-1Xk=0pk。由此产生的概率分布，我们用f表示Y（Y）可以和f比较（3.1）中的Y（Y）可以表示为fY（Y）=pfD（y）+mXk=1pkFDfQ（k）（y） ，其中fQ（k）表示k密度函数fQ的卷积。在接下来的内容中，我们将研究用截断的aPoisson定律代替aPoisson定律的近似误差。对于遵循参数λ泊松定律的随机变量，获得严格大于m的值的概率由以下函数f（λ）给出：（3.4）f（λ）=1-mXk=0pk和pk=e-λkk！当k=0时，m、 很容易看出f（λ）是λ中的一个增函数。实际上，f（λ）的导数是givenbyf（λ）=-mXk=0d pkdλ。那么，我们有dpkdλ=-pk+pk-1对于k=0，m、 sincedpkdλ=ddλe-λkk！=-E-λkk+柯-λk-1k！=-pk+pk-1，m上界1 0.2642 0.0803 0.0194 0.0035 0.001表3.1：具有λ的泊松定律获得超过m次跳跃的概率的上界t<1。p在哪里-1被设置为0 asdpdλ=ddλe-λ= -E-λ= -p、 在这个观察和伸缩总和之后，导数f（λ）可以重写为f（λ）=-Pmk=0dpkdλ=pm>0。现在，如果我们用λ代替λt并假设λt<1，则我们可以观察到（3.4）中的上确界为λt=1。我们得出结论，假设t<1，跳数超过m的概率由以下表达式上界：（3.5）+∞Xk=m+1e-1k！=1.-mXk=0e-1k！表3.1给出了当λt<1。

基于之前的结果，我们得出结论，“截断”泊松随机变量并结合我们的假设λt<1给出了回报分布的非常好的近似值。假设t=n一次跳跃不超过m次t区间，我们可以通过简单考虑OREM 2.1：（3.6）mnXk=0e中给出的（2.1）的第一项（mn+1），得出（a.2）中给出的半方差的非常精确的近似值-λt（λt）kk！（D）- uk）Φ（Dk）+σk（D- uk）f（Dk）+σkΦ（Dk）.对于泊松过程，t=1年的期望值和方差等于λ。换句话说，如果λ<252并且假设m=5，这意味着我们考虑表达式的前5×252+1=1261项。具体地说，这意味着我们忽略了发生在1260年以上的事件-252√≈ 泊松过程平均值的63个标准偏差；这意味着（3.6）中给出的近似值是一个几乎精确的公式。3.2关于λ假设的讨论到目前为止，我们假设λt<1，这一选择乍一看可能是任意的。本节的目的是说明这种假设实际上并不是一个很强的限制。如果我们假设t=1/252（1天）和λT≥ 1，或相当于λ≥ 252，这意味着，平均来说，我们每天有超过一次跳跃。在这种情况下，跳跃式收益率很小，通常其数量级小于典型日收益率的数量级。在这种特殊情况下，跳转收益的影响很难与过程中差异部分的影响区分开来。换言之，很难区分跳转产生的异常回报和差异过程产生的异常回报。当我们查看年度回报率分布时，这个问题变得更加明显。

当P（t）足够大时，我们可以调用中心极限定理来近似Q=PP（t）k=1Qk，因为Qk是具有有限均值和方差的iid随机变量。复合泊松分布的平均值和方差以一种简单的方式从总期望和总方差定律推导而来。形式上，让我们用EX[X]和Var[X]分别表示随机变量X的期望值和方差。此外，letEX | Y[X | Y]表示以Y为条件的随机变量X的条件期望。请注意，EX | Y[X | Y]是一个随机变量，因此可以计算其预期值。总期望定律告诉我们前| Y[X | Y]= 而总方差定律则表示为Var[Y]=EX[Var[Y | X]]+VarXEY | X[Y | X].让我们提醒一下，在我们的跳跃扩散过程中，单个跳跃的振幅Q被假定为分别服从平均uQ和标准偏差σQ的正态分布，并且给定区间内的跳跃次数P由参数λ的泊松定律建模t、 最后，让我们提醒一下，Q和P是独立的随机变量。我们有[Q]=EP等式| P[Q | P]= EP[P·EQ[Q]=EP[P]·EQ[Q]=λtuQas以及Var[Q]=EVarQ | P[Q]+ 变量等式| P[Q]= E[P·Var（Q）]+Var[P·E[Q]=E[P]Var[Q]+（E[Q]）Var[P]=λtσQ+uQλt=λt（σQ+uQ）基于之前的发展，我们可以得出结论，当P（t）变大时，跳跃扩散过程收敛于正态分布：（3.7）Yt~ N(u -σ+λuQ）t，（σ+λ（σQ+uQ））t.简言之，年化收益分布收敛于我们在纯扩散过程中获得的收益分布，但具有不同的漂移和波动参数。

具体来说，当λt大于1，那么这种模型的兴趣是有限的，至少在我们的环境中，使用纯扩散过程是可取的。4应用为了实际说明我们的结果，我们选择关注2007年1月3日至2012年7月31日期间的巴克莱美国高收益债券指数。我们在附录B中解释了为什么我们可以使用跳跃扩散过程来模拟债券基准指数。该指数的每日对数收益率（见图4.1）是一个很好的例子，说明了样本偏度为负的高度偏斜、长尾分布-1.63，样本峰度为24.08。近似对数回归概率密度函数的非直方图，以及参数为对数回归样本平均值的正态律≈ 0.033%和标准偏差^σ≈ 0.42%如图4.2所示。利用（1.1）可以很容易地计算出对数收益的半方差。然而，除了一种情况外，我们完全不清楚应该如何对这种半方差进行年化：如果假设对数收益遵循一个纯扩散过程，没有漂移，并且如果阈值τ设置为零，那么过程的方差随时间线性增加，年化半方差只是每日半方差乘以时间的平方根。然而，一旦我们在随机过程中引入跳跃，就没有理由再应用这个规则了。事实上，我们在（2.1）中推导出了一个精确的公式，使我们能够将每日半方差准确地年化为年度半方差。本节的目的在于进行滚动分析，并比较我们从三种不同方法中获得的最小方差：1。

该方法依赖于将我们的数据拟合为跳跃扩散过程，并根据我们的广义Ball-Torus模型和（3.6）计算年轮化半方差，我们已经证明这几乎是（2.1）的精确近似值；2.一种方法，其依赖于将我们的数据拟合为纯扩散过程（即无跳跃），并根据（2.2）计算年度半方差；3.时间规则的平方根。该分析的目的是通过实验确定这三种方法中哪一种似乎提供了最佳结果。在我们的计算中，所有的半方差都基于一年的历史数据，即252个点，我们在整个期间进行滚动分析。我们还决定在所有测试中设置τ=0，因为时间平方根的使用仅适用于该特定值。t中的半方差计算如下：首先，我们根据t中的历史数据计算每日半方差-总计251天；然后，我们对每日半方差进行变换，通过替换得到年度半方差t分别在（3.6）和（2.2）中，或通过应用时间平方根规则。本节组织如下：在§4.1中，我们讨论了我们的参数设置程序，该程序依赖于差分进化算法的使用。我们首先回顾了此类优化程序的显著特征，并描述了所遇到的困难，主要是所获得结果的稳定性。然后，在§4.2中，我们描述并讨论了根据上述三种不同方法计算年化半方差时获得的实验结果。4.1具有不同进化的优化从优化的角度来看，我们面临的主要挑战是objectivefunction（3.2）具有多个局部最优。

为了克服这个问题，我们决定使用Ardia和Mullen（2013）中描述的优化器。我们选择它的主要动机是它的易用性、处理局部最优的能力和管理参数约束的能力。此外，它在Ardia等人（2011b）中成功地测试了差异问题。最后，这种算法已经被证明是足够灵活的，我们可以定制EIT，以用于本文所讨论的滚动分析。我们称之为我们将在后面描述的带有内存的差分进化算法。基于差分进化（DE）的优化方法是Storn和Price（1997）提出的一类搜索算法，属于进化算法。这些算法对目标函数没有特殊的数学性质，比如梯度下降法或拟牛顿法的可微性。这意味着DE可以通过搜索大量候选解来处理连续或病态的优化问题；我们注意到，这一数量的候选解决方案可以满足一个人的计算能力。缺乏这种假设的代价是，依赖DE的优化算法永远不能保证收敛到最优解。注意，§2和§3中推导的公式可以应用于τ.2008 2009 2011 2012的任何值-5.-4.-3.-2.-10123巴克莱美国高收益债券指数log returns and Index value log returns 50060070080090010001100120013001400 Index value图4.1：巴克莱美国高收益债券指数——2007年1月3日至2012年7月31日的每日对数回报率（单位%）和指数值。-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 30.00.51.01.52.02.5美国高收益债券指数收益率分布^u, ^σ2^u=0.03和^σ=0.42图4.2：每日收益直方图。

结果显示样本偏斜度为负-1.63，样本峰度等于24.08。样本平均值^u和标准偏差^σ以%为单位。解决方案然而，这种元启发式方法似乎仍能在连续性问题上提供良好的性能，如Price等人（2005年）。粗略地说，基于DE的优化算法利用仿生操作，例如交叉、变异和候选种群的选择，以便在连续几代中优化目标函数。让f:Rd-→ R表示必须优化的d维目标函数。为了简单起见，我们假设f必须最小化；这不是限制性的，因为f可以通过最小化-f、 DEalgorithm从v初始向量xi的总体开始∈ 第三名，1名≤ 我≤ v、 可以由用户随机选择或提供。对于一定数量的轮次，固定不提前，一次迭代以下操作：对于每个向量xi∈ 其中一个选择了另三个向量xa、xb和xc，其中1≤ a、 b，c，i≤ t都是不同的，以及一个随机指数1≤ ρ ≤ d、 然后，后继xiof xi的计算如下：给定π的超越概率∈ [0,1]，一个微分权ω∈ [0,1]和xi=（xi，1，…，xi，d）T，foreach 1≤ J≤ d、 一个人随机抽取一个数字。如果rj<π，或者j=ρ，那么一个集合xi，j=xa，j+ω·（xb，j- xc，j）；否则，xi，j=xi，j保持不变。一旦这个变异完成，产生的向量xis将根据目标函数进行评估，如果更好，将替换候选群体中的xi。否则，Xi将被拒绝。关于更多细节，我们请读者参考Price等人（2005年）和Storn and Price（1997年）。