基于Agent的潜在流动性和凹形价格影响模型

这使模型更加灵活，这意味着相关性指数γ和影响指数δ之间不再存在唯一的关系，这将取决于订单动态的细节。有趣的是，在我们的框架内，为了研究市场影响而操纵的对象是平均价格变化h`而不是撞击本身。在这种语言中，市场影响的凹性对应于一个事实，即一旦订单流量增加了偏差，h`ti~n将逐渐减少suchas，以补偿（部分或完全）偏差。换句话说，这种观点表明，预期的价格变化`根据市场（统计）效率假设的要求，ti~n是订单动态的Lyapunouv函数：一旦引入某种可预测性（订单流中的偏差），人们预计市场动态将消除套利机会。模拟结果支持这种解释，如图12所示，其中我们表明，在元订单开始后的一个瞬态之后，平均价格变化放松为非零的平稳值（因为影响具有剩余永久性成分）。一旦元订单结束，另一个瞬态随之而来，最终在很大程度上，平均价格变化恢复为零。最后，我们注意到，第二节中提出的ε-智能市场完全符合本节中提出的理论框架所需的所有假设。换句话说，我们原则上应该能够准确描述我们的合成市场。然而，完成这个项目在技术上很困难，超出了本文的范围。然而。

（23）将t+1时的平均价格演变与t时的预期最佳报价联系起来，需要解决n级和t+1时的价差与n+1级和t时的价差之间的有限关系。这将对应于订单动态的部分微分方程的不连续近似。我们希望在未来的工作中再次讨论这个问题。这一点可以在其他市场模型中得到严格证明，比如[31]的Minority Game设置。然而，在少数人博弈的情况下，市场参与者的行为减少了预期的价格变化，而市场参与者的行为通过结构调整，以消除市场的可预测性。在这种情况下，这种下降的原因纯粹是机械的，因为市场一侧的订单序列往往会逐渐达到较高的容量。ε-情报人员根据最佳情况下的容量选择需要多少流动性，这一事实并没有引入对过程书的依赖t:虽然卷号是根据书的形状而定的，但订单的符号不是这样的。该描述有效性的另一个必要条件是，在ε-智能市场中，不存在通过构建的交易（即达到多个价格水平的交易）。唯一需要考虑的警告是，oneneedsζ=ζ：如果想要通过等式描述修改后的流量，与元订单和环境相关的市场订单应该消耗同样的流动性。（13） 和（14）。-0.001-0.000500.00050.0010.00150 1000 5000市场订单时间tT=3000u-1可变规模的元订单期间的平均价格变化-0.001-0.000500.00050.0010.00150 100 300 500市场订单时间tT=300u-1φ=0.316φ=0.1φ=0.0316φ=0.316φ=0.1φ=0.0316图。12

对于与图7相同的参数选择，在执行元订单期间和之后的平均价格变化，T=3000u-1（左图）且T=300u-1（右图）。曲线下的面积代表了ETA订单的价格影响。图中显示了在非常长的阶数（T~ 1000 u-1） ，而不是导致凹面冲击的初始瞬态状态。还要注意的是，动态总是倾向于降低平均价格变化，正如在一个套利机会因交易本身而减少的市场中所预期的那样。六、 结论这项工作的目的是重新审视和澄清T’oth等人[2]提出的“ε-智力”模型，该模型是理解金融市场元指令影响的惊人的非加性平方根依赖性的最低框架。由[2]的分析和数值结果证实的基本机制是，大部分每日流动性是“潜在的”，并且由于价格本身的差异而在当前价格附近线性消失，从而耗尽附近的流动性。尽管如此，这一想法的数字实现需要几个在某种程度上是任意的额外规定，并且需要确定T’oth等人的情景是否正确。我们的结论广泛支持[2]中报告的结果的普遍性，这本身就很重要，因为经验发现影响的平方根依赖性独立于市场、时代、微观结构、执行方式，如果理论结果在很大程度上取决于模型的微观精度，那么在概念上很难理解这种普遍性。事实上，在我们看来，这是Farmeret等人的“公平价格”方案的难点之一。

[9] 这主要取决于订单流量自相关函数的形状（例如，见图2，它表明预测δ=γ不受期货数据的支持）。我们提出并研究了T’oth等人模型的一个变体，其中市场效率并不完全依赖于市场订单的统计数据（如原始版本[2]），而是来自于市场订单的流动和限价订单的“针锋相对”反应之间的相互作用，这往往会补充书中承受压力的一面。这一规定远比最初的规定更为现实，事实上允许我们解释市场和限价指令符号的长期相关性，这一经验事实在[2]中没有重现。我们发现，与模型的原始版本相比，这种影响在体积上更凹，事实上更接近于实证结果。我们还研究了不同的执行协议，尤其是元顺序仅使用限制顺序执行的协议，具有相同的定性结果。这是一个重要的发现，因为人们普遍认为，市场订单的影响从根本上不同于限价订单。虽然这在单笔交易的水平上是正确的[30]，但实证结果表明，元指令的影响与用于执行的市场与限制指令的比率关系不大（见图1）。最后，我们证明了[2]中报道的从超扩散到亚扩散的转变实际上是一种交叉，取决于探索扩散行为的时间尺度。

虽然与实际应用没有太大关系，但从理论角度来看，这个问题具有一定的重要性，因为我们的模型是自适应环境中随机游动的一个例子，很少有数学结果可用。我们已经展示了如何对原始模型进行轻微修改，以便（至少在数值上）在超扩散和亚扩散阶段之间产生一个统一的相变，从而使纯扩散运动仅在参数的共维一个子空间上实现。在这些简单的市场模型中，获得关于这种转变、潜在订单簿的时间依赖形状以及元订单影响的分析结果将是非常有趣的。在本文的最后一节中，我们提供了一些可以在马尔可夫潜在订单框架内实现该计划的要素。作为一个普遍的结果，我们已经证明，异常的、非加性的冲击行为要求流动性缓冲层对订单流量的适应程度较低[31]，以这样的方式，由元订单引起的合意价格变化消失。这表明，预期价格变化作为订单簿动态的Lyapunouv函数，与市场效率密切相关：一旦引入某种可预测性（订单流中的偏差），人们应该预计市场动态将消除套利机会。至少在概念上，这与[9,27]中提出的论点很接近，尽管两种方法的详细成分和结论有所不同。

这些想法，以及它们与凯尔和奥比扎耶娃[6]的“微观结构不变性”的精确关系，都值得进一步阐明。总的来说，我们的研究有力地支持了这样一种观点：平方根碰撞定律是一个非常普遍和稳健的性质，并且只需要很少的元素就可以有效。只要潜在流动性的关联时间比交易间时间长得多，它预计在任何市场都会成立。例如，我们认为，对期权市场隐含波动性的影响将表现出类似的凹度。这将支持使用平方根影响法从头寸的市值中扣除预期清算成本，如[32]所述。致谢我们热烈感谢我们的合作者J.De Latailade、C.Deremble、Z.Eisler、J.Kockelkoren和Y.Lemp\'eri\'ere进行了许多非常有益的讨论。我们还从R.Benichou、X.Brokmann、J.Donier、D.Farmer、J.Gatheral、A.Kyle、C.Lehalle、F.Lillo、M.Potters和H.Waelbroeck的有趣评论和建议中获益。附录A：马尔科夫图书模型：均值和相关性在第V B节中，我们介绍了一个订单图书模型，该模型是在上一次执行价格\'t（其中t标记交易时间）的移动参考框架中构建的，并将其属性与签名过程的属性相关联t、 在这里，我们想展示等式。（18） 和（23）描述最后执行价格的演变可以通过使用马尔可夫订单簿的基本属性得出，该订单簿定义为交易t+1之前的状态，用ρ表示t+1，取决于交易号t之前的状态ρt、 在t-thtrade的标志上t、 这个条件可以等价地写成asp（ρt+1 |ρ, . . . , ρT, . . . , t） =p（ρ）t+1 |ρTt） 。

（A1）为了推导p（ρ）的主方程t |ρ, ), 需要指定流程的统计信息t、 我们认为这是由关系决定的(t） =1+9t（A2）p(T) = φ1 + T1 + （A3）+~n（1）- φ)1 + T+ (1 - φ)φ1 + + (1 - φ)1+gtT.这描述了一个市场，其中一小部分贸易商提交的订单是固定的、正面的，而剩下的1-相互关联（尽管与买方无关）。这些正是在ε-智能模型下指定元订单提交流程的条件（如第三节所述）。在这种情况下，我们可以推导出一个主方程来描述书viap（ρ）的演化t+1 |ρ, ) =XρTtp（ρ）t |ρ, )p（ρ）t+1 |ρTt） p(t|) （A4）=Xρtp（ρ）t |ρ, )p（ρ）t+1 |ρt、 +）+p（ρt+1 |ρT-)+p（ρ）t+1 |ρt、 +）- p（ρ）t+1 |ρT-)~n+gt（1）- φ)1 + φ,这是一个演化方程，表示在给定的起始条件ρ下，在给定的时间常数下，在特定的配置下观察一本书的概率还有asign第一笔交易。无条件概率p（ρ）的主方程t+1 |ρ) 可通过以下公式（A5）进行类似计算：用适当的重量p(), 或直接使用公式（A4）获得演化方程）。在任何情况下，无条件演化方程与替换gt=0对应（A5）。注意inEq。（A5）市场订单的影响已被整合，并通过与φ和gt成比例的条款予以考虑。有趣的是，尽管市场订单过程可能有很长的记忆，但等式（A5）只对后续时间进行耦合。通过定义中间价格π和一半分布，可以使用公式（A5）计算其平均值的演变。具体而言，公式（18）可以通过将非条件平均值的主方程乘以`并对书中的配置进行总结ρt+1。

为了最终恢复公式（18），我们必须使用（在没有交易通过的情况下）它保持sxρ的事实t+1`tp（ρ）t+1 |ρt、 +）=a（ρ+t）=at（A5）Xρt+1`tp（ρ）t+1 |ρT-) = b（ρ）-t） =bt，（A6），其中a（ρ+t）和b（ρ-t） 是图书状态ρ的函数表达要求和出价。请注意，类似于（18）的关系可以根据条件平均数导出，因此也可以写`蒂尼=hπtiа，+hπtiа，-+ φhπtiа+- hπtiа，-+hstiа，++hstiа，-,这与平均值的条件值和无条件值有关。尤其是通过逐项匹配。（18） 和（A7）一个得到shπtiа=hπtiа，++hπtiа，-（A7）hsti~n，= hsti k，-（A8）hπti~n- hπtiа，= -（hsti）- hsti k，) . （A9）这个过程的自相关函数的表达式要推导得稍微复杂一些：我们可以得到EQ。（23）考虑书的对称初始条件，并通过`T`i~n=sX1 + φ H`蒂尼，. （A10）在使用主方程（A5）以获得关系式后`蒂尼，= hπtiа，+~n+gt（1）- φ)1 + φhsti k，,（A11）然后可以恢复等式（23）。[1] Kyle，A.（1985）。持续的拍卖和内幕交易。计量经济学：计量经济学学会杂志，13151335。[2] 托斯，B.，莱姆普`埃里，Y.，德伦贝尔，C.，德拉泰莱德，J.，科克尔科伦，J.，布乔德，J.P.（2011年）。反常的价格影响和金融市场流动性的关键性质。物理回顾X，1（2），021006。[3] 托瑞，N.（1997）。巴拉市场影响模型手册。巴拉公司，伯克利。[4] 阿尔姆格伦，R.，图姆，C.，豪普特曼，E.，李，H.（2005）。直接估计股票市场影响，风险，18（7），5762。[5] 莫罗，E.，维森特，J.，莫亚诺，L.G.，格里格，A.，法默，J.D.，瓦格利卡，G.，利洛，F.，曼特尼亚，R.N.（2009）。股票市场中隐藏订单的市场影响和交易业绩。身体检查E，80（6），066102。[6] Kyle，A.P.，Obizhaeva，A.（2012）。

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