基于Agent的潜在流动性和凹形价格影响模型

事实上，绝大多数每日交易量随着交易的进行而逐渐显现：流动性是一个动态的过程，参见[12–14]，对于一项传达类似信息的早期研究[15]。显然，交易者倾向于尽可能长时间地隐藏自己的意图，因为他们没有动机通过向真正的订单簿添加订单来过早地泄露私人信息。事实上，未来以某个价格p进行交易的实际决定本身可能是“潜在的”：例如，想想均值回归算法，如果价格上涨了一定数量，该算法将决定卖出。Weimagine认为，当交易价格和限价之间的距离减小时，潜在订单簿中的交易量在实际订单簿中具体化的概率急剧增加。特别是，我们在下面假设，潜在订单簿和真实订单簿在最佳报价时重合。潜在订单书的演变模型是从realorder书的“零智能”模型[16,17]中得到启发的，但还有一些额外的特性，使得价格具有差异性[2]。在这种情况下，潜在订单簿被建模为一个离散的价格网格，由大小可变的两个品种（买入或卖出）的订单填充。卖出订单位于书的左侧（出价），而买入订单位于书的右侧（询问）。这样的交易是通过指定交易双方和每个价格水平的交易量来描述的，而它的时间演化是由三种随机过程决定的：o沉淀：一个潜在有兴趣在aprice p购买或出售股票的投资者在该价格水平下（虚拟）单位交易量的限制订单。

我们假设这些限价订单以每单位价格λ的价格到达，为了简单起见，我们假设价格线是一致的取消：交易员可能会删除潜在订单簿中的订单。我们允许任何订单在同一时间被取消的概率相同交易：一个买入（卖出）的市场指令可能会击中账面，导致交易量减少，以最好的出价卖出。显然，如果给定价格水平上的数量被完全消耗，就会立即触发价格变化。WeIt实际上值得注意的是，“平方根”影响法并未受到高频交易发展的太大影响；这是另一个支持最新流动性模型的有力论据。假设市场订单遵循泊松过程，并用u表示此类订单到达市场的速率。这里我们忽略了金融市场中众所周知的活动聚集[18]，但我们认为，这种影响与当前的问题无关。另一方面，这些市场订单的迹象具有长期相关性，见下文。正如下一小节所讨论的，每份市场订单的数量统计结果将起到重要作用。请注意，选择u=1对应于以市场订单为单位的度量时间。对uonstock市场的估计得出u=0.1-10秒-1.在下文中，我们将经常使用符号t来表示市场订单时间，而不是标记为实时的τ。在不丧失一般性的情况下，我们还将把刻度sizew（即价格网格的间距）设为10-2（比如美元）。在当前版本的模型中，我们假设限额订单的存款率独立于账簿的侧面，取消率独立于订单的符号（但见下文第四节）。

另一方面，市场订单的信号由一个非平凡的过程决定，如产生与经验结果一致的长期相关性[14]。更准确地说，这个标志tof市场订单号t的平均值为零（在没有可能导致局部偏流的元订单的情况下），hti=0，但具有幂律衰减自相关函数：hTti=gt-T∝ |T- t|-γ小于1。这种选择是由经验证据推动的，这些证据表明市场秩序流动中存在长期相关性，倾向于指数γ≈ 0.5适用于股市和股市≈ 期货市场为0.8（参见参考文献[14,20,21]和期货市场图2）。该模型的另一个组成部分是每个单一市场订单消耗量的统计数据。一个可能的选择是假设，如[16,17]中所述，每个市场订单都是单位数量的。然而，这是不现实的，因为在最好的情况下，更多的交易量是一种发送大量市场订单的动机，以便在不立即影响价格的情况下加速交易。更合理的假设是市场秩序的规模。o、 是最好的Vbest下的当前量的递增函数。我们在[2]中建议设置Vm。o、 =max（bfVbestc，1），其中b。c表示取整数部分，f是一个随机变量。具体来说，我们考虑f的订单生成公式。[19] ：我们使用幂律分布p（L）~ L-γ-1买卖市场订单趋势的持续时间。通过以相等的概率将每个趋势的符号取为正或负，我们可以得到一个自相关函数hT钛~ |T-t|-γ.虽然模型的短期特性可能取决于这种选择，但只要渐近特性相同，其长期行为应该独立于订单生成机制的细节。[0,1]中的变量，其分布P（f）由以下公式给出：P（f）=ζ（1- f） ζ-1.

（2） 通过这种方式，可以通过单个参数ζ来调整市场订单的攻击性，该参数允许oneto在每个市场订单具有单位数量（ζ=∞) 以及每个市场订单完全耗尽相反最佳数量（ζ=0）的情况。直观地说，ζ的大值（即每笔交易的小交易量）会降低每笔交易的影响，从而降低市场的波动性（有关讨论，请参见[22]）。取消率定义了一个时间尺度τν=ν-1这对模型至关重要，因为这是市场的记忆时间。在比τν大很多倍的时间里，所有的限价订单都已取消，并在此处替换，因此初始（潜在）订单簿的内存无法保留。现在，正如我们上面强调的，只有在存在某种记忆的情况下，凹（非加性）碰撞定律才会出现。因此，我们将在时间比τν小的情况下研究系统的动力学。从数学的角度来看，关于价格的差异性和影响的非加性的严格陈述只能在以下限制条件下实现：→ 0，即在市场中，潜在流动性在时间尺度上的变化远大于反向交易频率。虽然很难使用市场数据直接估计τν，但有理由认为，当交易价格变化了很少的百分比时，交易决策会发生变化，这导致τν~ 股票和期货市场的几天。因此，我们预计ν/u与的比值非常小，大约为10-5.在这些市场。B.超级差异vs。

价格的子差异首先调查我们的人工模型中的价格变化统计数据，特别是变异函数D（t）定义为：D（t）=h（p（t+t）- p（t））i，（3）其中，平均值要么超过Tf，要么超过单个轨迹（与实际经验数据一样），要么超过给定t的不同轨迹——但在这两种情况下，Tm都必须被忽略 τν才能处于静止状态。可用的数量是σt=D（t）/t（所谓的“signatureplot”），它可以被视为时间尺度t上平方可利用性的度量。对于一个纯粹的差异过程（例如布朗运动），σ是严格独立的，再次强调，在真实（可见）订单簿中，ν不是取消率，它非常高，为10秒-1或者如此，但潜在订单簿中交易意图的取消率要慢得多。“次分化”过程是指σ是t的递减函数，表示均值回归，而“超分化”过程是指σ是t的递增函数，表示趋势。一个简单的例子是分数布朗运动，它给出D（t）∝ t2H，其中H是过程的赫斯特指数。通常的布朗情形对应于h=1/2；H>1/2（分别H<1/2）相当于超（或亚）扩散。也可能发生的情况是，该过程在很长时间内变得不一致，即σt指向一个有限的非零值σ∞当t→ ∞.上述动态流动性模型包含一个有利于超扩散的成分（订单流动的长期相关性质），以及一个有利于次扩散的成分（订单本身的长记忆时间）。让我们更明确一点。当订单簿τν的记忆时间很短时，价格变化的自相关性由订单流量的自相关性决定。

很容易证明，对于指数γ的幂律自相关，如上所述，当γ>1H=1时，价格变化的赫斯特指数为：H=-γ> ，当γ<1时，（4）对γ=1进行对数修正。事实上，同样的结果也适用于任意的存储时间τν，但当市场订单总是以最佳报价消耗全部可用容量时（即当ζ→ 0). 事实上，在这种情况下，每个市场秩序都会导致一个中点变化。对于不相关的订单流（即γ→ ∞) 快速演化环境中的τ~ u-1） 价格过程有明显的差异。然而，完全不相关的流动γ→ ∞, 但是现在有了一个非常缓慢发展的订单 u-事实证明，这绝非小事，并导致了一种强烈的次分化动态。直觉上，这种强烈的均值回复行为可以用以下论点来解释：假设价格已经向上漂移了一段时间。这本书的买方价格低于当前价格，但几乎没有时间进行重新定价，而卖方价格已满，并产生了一个抗进一步上涨的阻力。因此，后续的卖出市场订单将比买入订单产生更大的影响，将价格推低。当ζ→ 0和γ→ ∞, 然后H=1/2，因为每个市场订单完全删除了最佳报价，消除了均值回归效应。然而，事实上，这就是[16]早期的零智能模型作为真实价格模型不能令人满意的原因。正如那篇论文中的图11所示，在这些模型中，价格确实是强烈的次影响因素。

事实上，在那篇论文的结论中适当地指出，需要一个相关的订单流来抵消这种影响。ζ → ∞ 当执行量为单位时，模拟表明价格运动实际上是限定的，即：σt≈ σ∞-C√t、 （5）在双极限t中→ ∞, ν → 0和νt→ 0，其中c是一个常数，取决于u和λ的值。在意识到σ之后，可以直观地理解这个结果∞与价差的平稳值成正比：在这种制度下，价格在买卖价差区域内会出现不确定的反弹，而该区域以外的价格水平在时间上呈线性增长，导致陷阱效应。当ζ为有限（既不为零也不为有限）时，与[10,11,23]中研究的扩散反应模型的类比表明，τν区域的H=1/4 u-1.在该框架内，买卖订单被描述为沿最终价格线使用的A型和B型差异颗粒。然后，通过假设买卖订单一满足（A+B）就相互抵消，对市场清算条件进行建模→ ), 富A区和富B区之间的界面确定了中点的位置。这种扩散湮灭问题已经被详细研究过，之前的数值结果表明指数H=1/4[24]。在[25]的结果基础上，可以在[11,26]中找到更多的正式公式。在我们的模型中，我们仔细地重新考虑了极限情况τν u-1，并发现一个结果与H=1/4一致，并对ζ的所有有限值进行对数修正，如扩散湮灭模型[25]中预测的那样。请注意，在这里考虑的订单簿模型中，订单不会直接“使用差异”，因此，映射到差异消除问题（如果正确的话）似乎并不简单。

我们无法构建一个令人信服的论点来证明这两个模型属于同一个普适性类别，而这两个模型之间的相似性可能会产生误导。C.差异价格和市场效率从金融角度来看，超差异和次差异都会带来套利机会，即试图从H6=1/2时存在的趋势或均值回归模式中获利的策略。出现的交易规则必须确保简单策略不可行，即价格接近随机游动≈ 1/2，通常被称为“统计效率”的属性。在我们模型的原始设置中，许多幂律函数的结果导致H≈ 0.32，非常类似于针对扩散问题得到的数值结果[24]。这种随机游走行为是否表明市场在价格反映基本价值的意义上是“有效的”，则是另一回事。我们相信，虽然前面提到了[12,20]的精神，但我们有两个参数γ和ζ，这两个参数允许我们调整由市场指令引起的趋势效应的相对强度，以及由限价指令引起的均值回归力。注意，由于根据经验发现γ小于统一，市场显然必须在τν范围内运行 u-1，否则，在H=1的情况下，会出现不同的行为- γ/2必然随之而来。[2]中提出的主张是，在γζ平面上存在一条临界线，将价格发行人分散的阶段（在该线下方）与价格发行人分散的阶段（在该线上方）分开。因此，在参数空间中的某一直线ζc（γ）上，艺术市场被认为是唯一“可行”（即有效）的。在数值上，通过比较σt或t=10u来近似确定该临界线的位置-1和t=10u-1[2]. 结果如图所示。

3.有了新的数据。从数学上讲，[2]的主张如下：对于任何γ<1的情况，都有一个临界值ζc（γ），因此中间渐近条件下的价格行为为u-1. T τν由超差异性（σt）演化而来∝ 对于ζ<ζc（γ）至次扩散（σt），H>1/2）的t2h∝ 对于ζ>ζc（γ），H<1/2的t2h。我们对原始模型进行了更广泛的数值模拟，我们的结论是不同的。尽管存在ζ的独立值，其价格在足够长的时间内大致不同，具有实际意义，但我们发现→ 亚分化转变实际上只是一种交叉。进行足够长时间的仔细模拟（仍处于中间状态）-1. T τν），我们看到交易符号的长期相关性的影响在很长一段时间内始终占主导地位，并导致渐近赫斯特指数h=1- γ<1时的γ/2–见图4。然而，人们应该把实际感兴趣的问题与纯粹的理论问题分开。从实践的角度来看，在[2]中观察到的价格在特定时间范围内的近似差异行为足以证明该模型是真实的，这使我们能够继续测量同一时间范围内的元订单的影响——正如我们在下一幅图中所做的那样。尽管如此，在数学意义上，定义一个超级到次微分真的存在的模型仍然是一个相当有理论意义的问题。为此，我们对设置市场订单规模的规则稍作修改，如下所示：给定市场订单的特定符号，其交易量被设置为交易量的幂ψ，与最佳交易量Vbest:Vm相反。o、 带ψ（bv6）的最大值∈ [0,1]，所以≥ 虚拟机。o、 。。

显然，ψ的值越大，对应的顺序就越激进，因此属性确实是服从的，导致统计效率的机制与基本的RBI者的活动几乎没有关系。有关这一点的详细讨论，请参见[14]。-2.-1012持久性指数γ阶攻击性ζ扩散性估值器对数σ2（t=1000）σ2（t=10）101000-2.-1012持久性指数γ级攻击性ψ0.4 0.6 0.8 10.511.522.533.50.4 0.6 0.8 10.60.70.80.91图。3.（左）模型在u=0.1 s状态下的相图-1，λw=5×10-3秒-1, ν = 10-7秒-1.通过考虑数量S=对数来评估模型的不同性质D（t=10）D（t=10）, 因此，完全不同的制度差异对应于S=0（粗黑线）。（右）对于修改后的模型，绘制了相同的数量，其中订单消耗由同一组参数的ψ指数控制。在这两种情况下，对于γ的任何值，都可以找到临界ζ，超过该临界ζ，模型的行为将从超扩散转变为（明显的）亚扩散。对于ψ=0，一个恢复单元执行，价格确定（见上文等式（5））。另一方面，如果ψ=1，则当γ<1时，价格具有微小的超差异性。但当ψ<1时，市场订单消耗的量（渐进地）充其量只是交易量的很小一部分，这表明，如果ψ足够小，这本书的影响可能最终会主导动态。这就是我们从数字上得出的结论——见图。3和4。更准确地说，我们现在发现价格过程的赫斯特指数H是γ和ψ的连续变化函数，从H（γ，ψ=0）=0单调增加到H（γ，ψ=1）=min（1）- γ/2, 1/2). 因此，对于所有γ<1的情况，存在一个临界值ψc（γ），使得市场效率严格恢复到u-1. τ  τν.