Markowitz投资组合的渐近分布

（28）然后维希^Θ-1.; Θ，r对应于方程式26中的定义。此外，将“最佳信噪比”函数定义为向量asSNR的函数*（x） =pe>x- 1.（29）我们有信噪比*维希Θ-1.= ζ*, 如你所愿。在滥用符号的情况下，我们只需写SNR即可^Θ-1.Θ，r信噪比*^Θ-1.而不是写出向量函数。定理2.11。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x的n i.i.d.样本。假设ζ*> 0.让我们Ohm 是维希的方差吗~xx>. 定义（·）和信噪比*（·）如等式28和等式29所示。然后，渐近为n，信噪比^Θ-1.Θ, 0ζ*+第2次HOhm1/2>FHOhm1/2zz>,^ζ*= 信噪比*^Θ-1.ζ*+h>Ohm1/2z2ζ*√N-trh>Ohm1/2>h>Ohm1/2zz>8ζ*n、 ^ζ-1.*= 信噪比*^Θ-1.-1ζ-1.*1.-h>Ohm1/2z2ζ*√n+3 trh>Ohm1/2>h>Ohm1/2zz>8ζ*N,（30）其中z~ N（0，Ip），其中矩阵H和F如推论2.10所示，其中H>=-1 + ζ*, -u>Σ-1.1 + ζ*, -u>Σ-1.D.证据。SNR（x；Θ，0）的分布是推论2.10的重述。改善^ζ的分布*, 执行泰勒函数的SNR展开*（·）：信噪比*（x+) = 信噪比*（x） +dSNR*（x） dx +>HxSNR*（十） + . . .= 信噪比*（x） +e>2SNR*（十）->ee>4SNR*（十） + . . .通过类似推理，SNR*（x+)=信噪比*（十）-e>2SNR*（十）+>3ee>8SNR*（十） + . . .现在通过定理2.5，我们知道了Θ的渐近分布-1，因此我们得到了一些h的分配形式，其中h=e>-LΘ-1. Θ-1.D.我们可以消去L，写出eas a（p+1）长度向量，或者更确切地说ase> e> ，其中，这是一个（p+1）长度向量。Kronecker乘积是矩阵积soh=-e> Θ-1.e> Θ-1.D、 建立h的恒等式。该定理建议使用可观测量^ζ*对未知量进行推断，信噪比^Θ-1.Θ, 0. 渐近地，它们之间的相关性很低，误差很小，我们在下面的推论中对此进行了量化。推论2.12。

这两个量的协方差是渐近的N-2.:冠状病毒信噪比^Θ-1.Θ, 0, 信噪比*^Θ-1.ON-2., （31）并且它们的相关性是渐近ON-1/2.证据找到信噪比的时刻^Θ-1.Θ, 0和^ζ*, 我们认为z是多元标准正态分布，因此奇数幂次产品的期望值为零。它们的协方差完全来自二次项（z）的乘积。根据同样的逻辑，信噪比的渐近标准误差^Θ-1.Θ, 0是O吗N-1.,而^ζ*是O吗N-1/2.推论2.13。不同的信噪比^Θ-1.Θ, 0-^ζ*具有以下渐近均值和方差：EhSNR^Θ-1.Θ, 0-^ζ*i2ntrH>FH+hh>4ζ*!Ohm!. （32）Var信噪比^Θ-1.Θ, 0-^ζ*4ζ*nh>Ohmh、 （33）其中h，F和h在定理中给出。它们的比率具有以下渐近均值和方差：E信噪比^Θ-1.Θ, 0^ζ*1+2nζ*trH>FH+3hh>4ζ*!Ohm!. （34）Var信噪比^Θ-1.Θ, 0^ζ*4ζ*nh>Ohmh、 （35）这一推论给出了在NR上建立信任的方法^Θ-1.Θ, 0通过观察到的ζ*, 即通过插入样本估算Ohm 这个结果与信噪比的“夏普比率信息准则”估计器相当^Θ-1.Θ, 0. [51]要使用这个推论，可能需要一个H>FH的紧凑表达式。Westart方程18，writeH>FH=H>e> Θ-1. F1.- ζ*2ζ*νR，*,Rζ*Σ-1.-Σ-1uu>Σ-12ζ*D.但请注意F∑-1u=0（因此FνR，*= 所以我们可以写eh>FH=H>e> Θ-1.0，Rζ*F∑-1.D、 =RH>e> Θ-1.0,uu>Σ-1ζ*- 我D、 =ζ*D>Θ-1ee>Θ-1.\"0 0>Σ-1uu>Σ-1ζ*- Σ-1#!D.（36）类似地，hh>:hh>=D>e> Θ-1Θ-1ee> Θ-1Θ-1eD.（37）3高斯回归下的分布本节的目的是推导定理2.5的一个变体，用于x服从多元高斯分布的情况。首先，假设x~ N（u，∑），我们可以用p，N和Θ来表示x和^的密度。引理3.1（高斯样本密度）。假设x~ N（u，∑）。

让x=1，x>>, Θ=Eh＠x＠x>i，那么x的负对数似然为- 对数fN（x；u，∑）=cp+log |Θ|+trΘ-1*x*x>, （38）对于常数cp=-+plog（2π）。证据根据块行列式公式，|Θ|=|1|Σ + uu>- u1-1u>= |Σ|.还要注意（x- u)>Σ-1（x）- u）=x>-1x- 1.这些关系在不假设x的特定分布的情况下成立。x的密度为fn（x；u，∑）=p（2π）p |∑| exp-（十）- u)>Σ-1（x）- u),=|Σ|-（2π）p/2exp-~x>Θ-1x- 1.,= (2π)-p/2 |Θ|-经验-~x>Θ-1x- 1.,= (2π)-p/2exp-日志|Θ|-trΘ-1*x*x>,结果如下。引理3.2（高斯二阶矩矩阵密度）。让x~ N（u，∑），x=1，x>>, 和Θ=Eh＠x＠x>i.给定NI.i.d.样本xi，让^Θ=nPi＠xi＠xi>。然后是^Θisf的密度^Θ; Θ= 经验中国，p^ΘN-P-2 |Θnexp-ntrΘ-1^Θ, （39）对于某些cn，p.证明。设X为矩阵，其行为向量xi>。根据引理3.1，并使用迹线的线性，负对数密度X为-日志fN~X；Θ= ncp+nlog | | |+trΘ-1~X>~X,∴-2日志fN~X；Θn=2cp+log |Θ|+trΘ-1^Θ.通过Press[55]的引理（5.1.1），这可以表示为^Θ上的密度：-2日志f^Θ; Θn=-2日志fN~X；ΘN-NN- P- 2log^Θ-Np+1N-P对数π-p+1Xj=1logΓn+1- J,=2cp-p+1nN-P对数π-np+1Xj=1logΓn+1- J+ 日志|Θ|-N- P- 2nlog^Θ+ trΘ-1^Θ,= 中国，p- 日志^ΘN-P-2n |Θ|+trΘ-1^Θ,其中cn，pis是第三行括号中的术语。考虑因素-2/n，取一个指数得出结果。推论3.3。随机变量n^Θ与具有n个自由度和尺度矩阵Θ的p+1维Wishart随机变量具有相同的密度，最大密度为康斯坦丁p和n。因此n^Θ是一个条件Wishart，条件为^Θ1，1=1。[55,1]推论3.4。对数似然的导数由dlog f给出^Θ; Θd向量（Θ）=-nhvecΘ-1.- Θ-1^ΘΘ-1.i> ，dlog f^Θ; Θd vec（Θ-1)= -nhvecΘ -^Θi> 。（40）证据。

插入日志f中的日志^Θ; Θd向量（Θ）=-Ndlog|Θd vec（Θ）+dtrΘ-1^Θd vec（Θ）,然后标准矩阵演算给出第一个结果。[37,54]过程同样给出了第二个结果。这立即给出了最大似然估计量。推论3.5（MLE）。^Θ是Θ的最大似然估计量。要计算向量（Θ）的协方差，Ohm, 在高斯情况下，我们可以计算Fisher信息，然后利用Θ是最大似然估计这一事实。然而，由于vech（Θ）的第一个元素是确定性1，因此Ohm 都是零。这是一条不幸的皱纹。一种解决方案是计算关于非冗余变量的Fisher信息；然而，直接暴力方法也是可能的，并给出更一般的结果，如以下部分所示。3.1椭圆回归下的分布我们对^Θ的分布寻求一个更一般的结果，假设x是独立于椭圆分布绘制的，具有平均值u、协方差∑和“峰度因子”κ，我们指的是每个XI的多余峰度3（κ- 1). 在高斯情况下，κ=1。具体来说，我们假设x=u+a∧1/2zkzk，其中~ N（0，In），其中是独立于z的标量随机变量。协方差∑通过∑=E与矩阵∧相关A.n∧。然后将峰度参数定义为κ=nn+2EA.E[a]。Isserlis定理在椭圆分布上的扩展给出了x元素乘积的矩。[64，29]该结果与Iwa*****a和Siotani方程（2.1）中给出的中心二阶矩的协方差相当，但适用于非中心二阶矩。[25]定理3.6。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x的NI.i.d.样本，假设为具有峰度参数κ的椭圆分布。

与x如何从x中生成x类似，定义u=df1, u>>, 和∑=df0 0>0 Σ. （41）请注意Θ=＠∑+＠u＠u>。Thenn Varvec^Θ= Ohm= (κ - 1)vec~Σvec~Σ>+ （I+K）∑~Σ（42）+（I+K）hΘΘ - ~u~u> 一、由于这是一项繁琐而乏味的工作，我们把证据放在附录中。然后，中心极限定理给了我们以下推论。推论3.7。在前一个定理的条件下，渐近式为n，√N维希^Θ- 韦奇（Θ）N0，LOhmL>, （43）在哪里Ohm如等式42所示。利用定理2.5，我们也立即得到以下推论3.8。在前一个定理的条件下，渐近式为n，√N维希^Θ-1.- 维希Θ-1.N0，HLOhm五十> H>, （44）在哪里Ohm在等式42中定义，h=-LΘ-1. Θ-1.D.（45）同样推论的更丑陋形式明确给出了协方差。有关证据，请参见附录。推论3.9。在前一个定理的条件下，渐近式为n，√N维希^Θ-1.- 维希Θ-1.N（0，B），（46）式中，B=（κ- 1） LhvecΘ-1.- ee>vecΘ-1.- ee>>iL>+2（κ- 1） 在Θ-1.- ee>Θ-1.- ee>N> L>+2LNΘ-1. Θ-1.- ee> ee>N> L>。我们经常关注信噪比和样本Markowitz组合，其联合渐近分布我们可以从之前的推论中挑选出来：推论3.10。

在前一个定理的条件下，渐近式为n，√N1 +^ζ*-^ν*-1 + ζ*-ν*N（0，C），（47）其中C=2ζ*2 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*-1 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*ν*>-1 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*ν*1 + κζ*Σ-1+ (2κ - 1) ν*ν*>.此外，如果Q是正交矩阵（QQ>=I），那么Σ1/2-1u=ζ*e、 式中，∑1/2是∑的下三角Cholesky因子，然后渐近inn，√N1 +^ζ*Q∑>/2^ν*-1 + ζ*ζ*EN（0，D），（48）其中=2ζ*2 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*1 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*ζ*e>1 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*ζ*E1 + κζ*I+（2κ）- 1) ζ*ee>.我们注意到^ζ的渐近方差*我们在这里发现，对于高斯回报（κ=1）的情况，通过与霍特林T的联系，它与我们从非中心F分布计算出的精确方差一致。该方差（假设，正如我们在这里所做的，^∑是用分子中的n而不是n来估计的）- 1） 不是吗ζ*+ 2ζ*+ NP- 4ζ*- 2p（n）- P- 2） （n）- P- 4)= 2ζ*2 + ζ*不适用N-2..正如人们所预料的，我们的渐近方差只捕捉到前导项。在等式48中，选择通过Q和∑>/2重新缩放是值得解释的。首先请注意，^ν的真实预期回报率*等于u>^ν*= u>Σ1/2-1.>Σ>/2^ν*=Σ1/2-1u>Q> Q∑>/2^ν*= ζ*e> Q∑>/2^ν*.也就是说，预期收益完全由q∑>/2^ν的第一个元素决定*. 现在请注意^ν的波动性*等于向量的欧几里德范数：^ν*>Σ^ν*=Σ>/2^ν*>Σ>/2^ν*=Σ>/2^ν*>Q> QΣ>/2^ν*=Q∑>/2^ν*.旋转也给出了对角渐近协方差。

也就是矩阵1 + κζ*I+（2κ）- 1) ζ*ee>是对角的，所以我们处理向量q∑>/2^ν中的误差*渐近不相关。我们可以利用这些事实得出马科维茨投资组合信噪比的近似渐近分布，通过函数SNR（ν）确定*) =dfν*>upν*>Σν*.由上面的*) = ζ*e> Q∑>/2^ν*Q∑>/2^ν*.渐近地，我们可以认为这个asSNR（^ν）*) = ζ*ζ*+ λzq（ζ）*+ λz）+λpz+…+zp,式中λ=n-1/2p（1+κζ）*) + (2κ - 1) ζ*, λp=n-1/2p（1+κζ）*),其中Zi是独立的标准法线。现在考虑反正弦的正切，或“tas”，转换定义为asftas（x）=x/√1.- x、 [52]将此转换应用于重新缩放的信噪比，就可以得到FTAS信噪比（^ν）*)ζ*=ζ*+ λzλpqz+…+zp看起来很像一个非中心t随机变量。所以写塔斯信噪比（^ν）*)ζ*=λp√P- 1ζ*λ+zqz+…+zp/√P- 1=λp√P- 1t，（49），其中t是一个非中心t随机变量，p-1自由度和非中心参数ζ*/λ. 但是，有关模拟，请参见第7.1.2节，该模拟表明，为了使该近似值具有任何用途，需要不合理的大样本量。我们可以再执行一次转换，并在地图x7上使用delta方法onceagain→√十、- 1将等式48转换为√N^ζ*Q∑>/2^ν*-ζ*ζ*EN（0，D），（50）其中=1 +2+3(κ-1)ζ*1 + ζ*+(κ - 1) ζ*e>1 + ζ*+(κ - 1) ζ*E1 + κζ*I+（2κ）- 1) ζ*ee>.注意ζ的方差*这里给出的是夏普比标准误差的梅尔滕形式，假设椭圆分布的倾斜度为零，峰度为3（κ）- 1).

[42]我们可以通过交换^ζ来更进一步*ζ*到达√NQ∑>/2^ν*-^ζ*EN（0，D），（51）其中=1 + κζ*我-1 +2 + (κ - 1)ζ*ee>。现在对t随机变量执行相同的转换，以声明FTA信噪比（^ν）*)ζ*=λp√P- 1t，（52）式中，t是带p的非中心t随机变量- 1自由度和非中心参数^ζ*/λ、 λ=n-1/2r2+3（κ- 1)ζ*, λp=n-1/2p（1+κζ）*).这表明了另一个置信极限，即t是非中心t分布的α分位数，p- 1自由度和非中心参数^ζ*/λ、 式中λ和λp插入^ζ*ζ*在需要的地方，将等式52变换为SNR的置信限（^ν*). 然而，该置信限值也是可疑值，请参见第7.1.1节。注意，等式49中的关系要求知道ζ*. 对信噪比（^ν）进行参考*) 鉴于观察到的数据，我们将推论2.13应用于椭圆回报的情况。定理3.11。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x的NI.i.d.样本，假设为具有峰度参数κ的椭圆分布。让我们*作为马科维茨投资组合的样本，以及*成为该投资组合的夏普比率样本。确定^ν的信噪比*asSNR（ν；Θ，0）=dfν>u√ν>Σν.然后，在n中渐近地，差异SNR^Θ-1.Θ, 0-^ζ*具有以下均值和方差：EhSNR^Θ-1.Θ, 0-^ζ*我κζ*+ 1.(1 - p） +（3κ）-1)ζ*+ 12nζ*. （53）Var信噪比^Θ-1.Θ, 0-^ζ*(3κ-1)ζ*+ 1n。（54）比率具有渐近均值和方差信噪比^Θ-1.Θ, 0^ζ*1 +κζ*+ 1.(1 - p） +3(3κ-1)ζ*+ 1.2nζ*. （55）Var信噪比^Θ-1.Θ, 0^ζ*(3κ-1)ζ*+ 1nζ*. （56）我们把冗长的证据放在附录中。请注意，类似的推理线应该会产生霍特林的Tunderellical回报的渐近分布，这可以与Iwashita给出的形式进行比较。

[24]同样值得注意的是Paulsen和S¨ohl[51]的结果，他们表明对于高斯回归，E信噪比^Θ-1.Θ, 0-^ζ*+1.- pn^ζ*= 0.该定理表明，NR的α置信区间如下：^Θ-1.Θ, 0, 通过插入^ζ*对于未知量ζ*:^ζ*+κ^ζ*+ 1.(1 - p） +c(3κ-1)^ζ*+ 1.2n^ζ*±Z1-α/2s（3κ-1)^ζ*+ 1n，（57）式中，差分公式取c=1，比率公式取c=3。然而，这些置信区间没有得到模拟的很好支持，因为它们需要非常大的n才能提供接近标称的覆盖率，参见第7.1.1.3.2节矩阵正态分布。我们考虑（增加的）回报遵循矩阵正态分布的情况。也就是说，我们假设存在一个n×（1+p）矩阵M和对称正半有限矩阵Ξ和ψ，它们的大小分别为（1+p）×（1+p）和n×n，使得~X~ N（vec（M），Ξ Ψ) .此表格允许我们考虑Allowenge对i.i.d.假设的偏差。g、 ，随时间变化的u，收益的自相关等。在这种情况下，我们不考虑椭圆分布，因为它可以在收益之间施加长期依赖性，即使它们是不相关的。我们现在求^Θ=n ~X>~X引理3.12的矩。矩阵正态返回向量~X~ N（vec（M），Ξ ψ），gram的平均值和协方差为ehX>Xi=M>M+tr（ψ）Ξ，（58）和varvec~X>~X= （I+K）Ξ ΞtrΨ+M> ψM Ξ + Ξ M> ψM.（59）作为检验，我们注意到这个结果与i.i.d.情况下的定理3.6是一致的，它对应于M=1μ>，ψ=i，Ξ=Ξ∑。引理3.13。让vec~X~ N（vec（M），Ξψ），其中ψ和Ξ是重新标度的，因此tr（ψ）=n。

设^Θ=n)X>XDe fineΘ=limn→∞纳米>米+Ξ。然后在n中渐近，√N^Θ-1.- Θ-1.N（0，B），（60）带B=2NΘ-1ΞΘ-1.Θ-1ΞΘ-1.trΨ+ 2NhΘ-1M>ψMΘ-1.Θ-1ΞΘ-1.+Θ-1ΞΘ-1.Θ-1M>ψMΘ-1.i、 特别是，让ζ*= e> Θ-1e- 1和^ζ*= e> ^Θ-1e- 1那么√N^ζ*- ζ*N0，b, （61）对于b=e> e>B（e） e） 。证明遵循推论3.10的思路，省略了。这一推论有助于发现^ζ的渐近分布*（和霍特林斯特）在与i.i.d.常态的某些差异下。例如，我们可以通过使ψi，j=ρi来施加一般的自相关-j |对于某些ρ∈ (-1, 1). 人们可以施加异方差结构，其中M=lu>和ψ=diaglλ对于一些标量lambda。研究表明，夏普比率与类似配置下的假设偏差相对较小。[53]3.3 Markowitz-portfolioLet的似然比检验我们再次考虑x采用高斯分布，而不是一般的光学分布。考虑一下无效假设：tr艾Θ-1.= 哎，我=1，m、 （62）约束必须合理。例如，它们不能违反Θ的积极特性-1、对称性等。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设A是对称的，因为Θ是对称的，对于对称的G平方H，tr（GH）=trGH+H>, 所以我们可以用Ai+Ai>.利用拉格朗日乘子技术，零假设下的最大似然估计，称之为Θ，解出以下方程0=dlog f^Θ; ΘdΘ-1.-Xiλidtr艾Θ-1.dΘ-1,= -Θ+^Θ -XiλiAi。因此，空值下的MLE为Θ=^Θ-XiλiAi。