Markowitz投资组合的渐近分布

（63）根据等式62中的约束条件，通过求解λi，在数值上找到约束条件下的最大似然估计量。这个框架稍微推广了Dempster的“协方差选择”[15]，它简化为每个ais为零的情况，每个ais是一个全零矩阵，除了右下角p×p子矩阵中的两个（对称）1之外。然而，在所有其他方面，这里的解决方案都遵循Dempster。基于牛顿步的最大似然估计迭代方法如下。[48]设λ（0）是λi的向量的一些初始估计（通过滥用第2.2节中的渐近正态性结果，可能会得到一个好的初始估计）kthestimate的残差λ（k）为（k） i=dftr艾岛^Θ -Xjλ（k）jAj-1.- 人工智能。（64）关于λ（k）isd的元素的剩余量的雅可比矩阵（k） idλ（k）l=tr艾岛^Θ -Xjλ（k）jAj-1Al^Θ -Xjλ（k）jAj-1.,= vec（Ai）>^Θ -Xjλ（k）jAj-1.^Θ -Xjλ（k）jAj-1.vec（Al）。（65）牛顿法是迭代格式λ（k+1）← λ（k）-D（k） dλ（k）-1.（k） 。（66）何时（如果？）迭代格式收敛于最优值，将λ（k）插入方程63中，得到零位下的最大似然估计。似然比检验统计量为-2对数∧=df-2原木LΘ^ΘLΘ无限制MLE^Θ,= N日志Θ^Θ-1.+ trhΘ-1.-^Θ-1i^Θ,= N日志Θ^Θ-1.+ trΘ-1^Θ- [p+1],（67）根据推论3.5，使用^Θ是无限制MLE的事实。根据威尔克斯定理，在零假设下，-2 log∧在n中渐近分布为具有m个自由度的卡方分布。[66]然而，大多数“有趣的”空值测试假定Θ位于可接受值的边界上；对于这样的测试，渐近收敛到其他一些分布。

[2] 4扩展对于大样本，使用上述程序计算的Markowitz Portfolio元素的Wald统计数据往往与Britten Jones程序产生的统计数据非常相似。[7] 然而，这里提出的技术允许一些有趣的扩展。这些扩展的脚本都是一样的：定义然后解决某个投资组合优化问题；证明了该解可以通过Θ的某些变换来定义-1.基于^Θ的相同变换，给出构建样本投资组合的隐式方法-1.确定样本投资组合在以下方面的渐近分布：Ohm.4.1子空间约束考虑约束投资组合优化问题maxν：J⊥ν=0,ν>Σν≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（68）其中J⊥是a（p- 秩p的pj）×p矩阵- pj，ris为灾难率，andR>0为风险预算。让J的行跨越J的行的空空间⊥;就是说，J⊥J> =0，JJ>=I。我们可以解释正交约束tj⊥ν=0表示ν必须是J>列的线性组合，因此ν=J>ξ。J>列可被视为“篮子”资产，我们的投资受到限制。我们可以通过求解ξ来重写投资组合优化问题，但随后可以找到结果ν的渐近分布。注意，投资组合ξ的预期收益和协方差分别为ξ>Ju和ξ>J∑J>ξ。因此，我们可以将Ju和J∑J>插入引理2.6，得到以下类似物。引理4.1（子空间约束的夏普比率最优投资组合）。

假设J行跨越J行的空空间⊥, Ju6=0，∑是可逆的，投资组合优化问题maxν：J⊥ν=0,ν>Σν≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（69）表示r≥ 0，R>0由νR，J求解，*=dfcJ>J∑J>-1Ju，c=Rqu>J>（J∑J>）-1Ju。当r>0时，解决方案是唯一的。我们可以很容易地找到^νR，J，*, 引理4.1中最优投资组合的样本类比。首先定义子空间二阶矩。定义4.2。设J为（1+pj）×（p+1）矩阵，~J=df100J.简单代数证明了下面的引理。引理4.3。~J>~JΘ~J>-1~J是~J>~JΘ~J>-1~J=“1+u>J>J∑J>-1Ju-u>J>J∑J>-1J-J>J∑J>-1JuJ>J∑J>-1J#。特别是-维希~J>~JΘ~J>-1~J是公文包^νR，J，*引理4.1中定义的，直至标度常数c，即R与向量的第一个元素的平方根的比率~J>~JΘ~J>-1~J负一。向量的渐近分布~J>~JΘ~J>-1~J由以下定理给出，该定理与定理2.5类似。定理4.4。假设^Θ是基于x的n i.i.d.样本的无偏样本估计值。假设J定义为定义4.2。允许Ohm 是维克的变异~xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希~J>J^ΘΘJ>-1~J- 维希~J>~JΘ~J>-1~JN0，HOhmH>,（70）其中h=-LJ>~J>~JΘ~J>-1.~JΘ~J>-1.~J~JD.证据。

通过多元delta方法，可以证明h=dvech~J>J^ΘΘJ>-1~J维希（Θ）。通过引理2.3，证明DJ>~JΘ~J>-1~JdΘ=-~J>~J>~JΘ~J>-1.~JΘ~J>-1.~J~J.关于矩阵操作的一个众所周知的事实[37]isvec（ABC）=C> A.因此，vec（B）dABCdB=C> A.使用这个和链式规则，我们有：dJ>~JΘ~J>-1~JdΘ=d~J>~JΘ~J>-1~Jd~JΘ~J>-1d~JΘ~J>-1dJΘJ>dJΘJ>dΘ=~J>~J>D~JΘ~J>-1dΘJΘJ>~J~J.引理2.4给出了中间项，完成了证明。推论2.7的类似物给出了νR，J的渐近分布，*在引理4.1.4.2套期保值约束考虑中定义，现在是约束投资组合优化问题，maxν：G∑ν=0，ν>∑ν≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（71）其中G现在是秩为pg的pg×p矩阵。我们可以解释G约束，假设可行投资组合的收益与权重位于给定G行的投资组合的收益的协方差应等于零。在这个问题的园艺品种应用中，G由识别矩阵的pgrows组成；在这种情况下，就G选择的PGAssets而言，可行的投资组合被“对冲”（尽管它们可能在对冲资产中持有一些头寸）。引理4.5（约束夏普比率最优投资组合）。假设u6=0，∑是可逆的，投资组合优化问题maxν：G∑ν=0，ν>∑ν≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（72）表示r≥ 0，R>0由νR，G求解，*=dfcΣ-1u - G>G∑G>-1Gu,c=Rqu>∑-1u - u>G>（G∑G>）-1Gu。当r>0时，解决方案是唯一的。证据通过拉格朗日乘子技术，最优投资组合求解以下方程：0=cu- c∑ν- γΣν - ∑G>γ，ν>∑ν≤ R、 G∑ν=0，其中γi是拉格朗日乘数，c是标量常数。求解第一个方程得到了ν=cΣ-1u - G> γ.将其与对冲方程相协调，我们得到0=G∑ν=cG∑Σ-1u - G> γ,因此γ=G∑G>-1Gu。

因此，ν=ch∑-1u - G>G∑G>-1Gui.将其插入目标将问题归结为单变量优化Maxc:c≤R/ζ*,Gsign（c）ζ*,G-r | c |ζ*,G、 ζ在哪里*,G=u>∑-1u - u>G>G∑G>-1Gu。最佳值出现在c=R/ζ时*,G、 当r>0时，最优解是唯一的。引理4.5中的最优套期保值投资组合是引理2.6中的无约束最优投资组合与引理4.1中的子空间约束投资组合的差异，直至可扩展。这一“三角洲”类比将在本节的其余部分继续进行。定义4.6（δ反二阶矩）。设G为（1+pg）×（p+1）矩阵，~G=df100克.将“增量反二阶矩”定义为GΘ-1=dfΘ-1.-~G>~GΘ~G>-1~G.简单代数证明了以下引理。引理4.7。元素GΘ-1是GΘ-1=\"u>Σ-1u - u>G>G∑G>-1Gu-u>Σ-1+u>G>G∑G>-1克-Σ-1u+G>G∑G>-1Gu∑-1.- G>G∑G>-1G#。特别是-维希GΘ-1.投资组合是νR，G，*引理4.5中定义，直至标度常数c，即R与向量第一个元素的平方根之比GΘ-1..统计^u>^∑-1^u - ^u>G>G∑G>-1G^u，对于G是p×p单位矩阵的某些行的情况，首先由Rao提出，其在高斯回报下的分布后来由Giri发现。[57,20]该测试统计数据可用于测试无风险工具交易情况下的投资组合跨度。[23,30]的渐近分布G^Θ-1由以下定理给出，该定理与定理2.5类似。定理4.8。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x.Let的NI.i.d.样本GΘ-1定义如定义4.6所述，以及类似定义G^Θ-1.让我们Ohm 是维希的方差吗~xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希G^Θ-1.- 维希GΘ-1.N0，HOhmH>, （73）其中h=-LΘ-1. Θ-1.-~G>~G>~GΘ~G>-1.~GΘ~G>-1.~G~GD.证据。定理4.4证明的微小修改。小心

在本文考虑的套期保值投资组合优化问题中，最优投资组合通常会在G的行空间中持有资金。例如，在园艺品种应用中，通过包括一个广阔市场的ETF，并将G作为身份矩阵的对应行，对冲对“市场”的敞口，最终投资组合可能会在大市场ETF中持有一些头寸。这是ETF的定义，但人们可能希望对冲不可交易回报流的风险——比如指数的回报。在G行被J行跨越的情况下，将本节的对冲约束与第4.1节的子空间约束结合起来是很简单的。然而，更一般的情况要复杂得多。4.3条件异方差上述方法忽略了“波动率聚类”，并假设为同方差。[11,47,4]为了解决这个问题，考虑一个严格正的scalarrandom变量si，在投资决策需要捕获xi+1时可以观察到。出于稍后显而易见的原因，将SIA视为“平静”指标或加权回归的“权重”更为方便。条件异方差的两个简单竞争模型是（常数）：E[xi+1 | si]=si-1u，Var（xi+1 | si）=si-2∑，（74）（浮动）：E[xi+1 | si]=u，Var（xi+1 | si）=si-2Σ. （75）在等式74中的模型下，最大夏普比ispu>∑-1u，与硅无关；根据等式75，它是sipu>∑-1u. 模型名称反映了最大夏普比是否随si而变化。两种模型下的最优投资组合是相同的，如下面的引理所述，通过简单使用引理2.6来证明。引理4.9（条件夏普比率最优投资组合）。

在方程74或方程75中的模型下，在观察si的条件下，组合优化问题argmaxν：Var（ν>xi+1|si）≤重新ν> xi+1 | si- r的rpVar（ν>xi+1 | si），（76）≥ 0，R>0由ν求解*=siRpu>∑-1uΣ-1u. （77）此外，当r>0时，这是唯一的解决方案。对公文包进行推理*根据引理4.9，在方程74的“常数”模型下，将无条件技术应用于sixi+1的采样秒矩。然而，对于方程式75的“浮起”模型，需要对技术进行一些调整。定义xi+1=dfsi xi+1；也就是说，xi+1=si，sixi+1>>.考虑第二个力矩，即=γγu>γu Σ + uγu>, 式中γ=dfEs. （78）ΘsisΘs的倒数-1=γ-2+ u>Σ-1u -u>Σ-1.-Σ-1u Σ-1.（79）invech再次出现了最佳投资组合（达到比例和符号）Θs-1.. 类似地，确定样品模拟物：^Θs=dfnXixi+1xi+1>。（80）我们可以找到向量的渐近分布^Θs在无条件的情况下使用相同的技术，如以下类似定理2.5：定理4.10。假设^Θs=dfnPixi+1xi+1>，基于s、 x>>. 允许Ohm 是维希的方差吗xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希^Θ-1s- 维希Θs-1.N0，HOhmH>, （81）其中h=-LΘs-1. Θs-1.D.（82）此外，我们可以替换Ohm 在这个具有渐近一致估计的方程中，^Ohm.与无条件情况的唯一真正区别在于，我们不能自动假定Ohm 是零（除非s实际上是常数，这没有抓住要点）。此外，估算Ohm 在高斯分布下，如果没有一些修补，返回是无效的，这是留给读者的练习。最大夏普比率与波动率的依赖性或独立性是一种消费，理想情况下，可以用数据进行测试。

包含这两个特征的混合模型可以写成如下：（混合）：E[xi+1 | si]=si-1u+u，Var（xi+1 | si）=si-2Σ. （83）然后可以测试u或u的元素是否为零。分析这个模型有点复杂，没有像续集中那样转移到更一般的框架。4.4条件期望和异方差假设你观察到随机变量si>0，并且在投资决策需要捕捉xi+1的某个时间之前观察到f-向量。s和f不一定是独立的。一般模型现在是（双条件）：E[xi+1 | si，fi]=Bfi，Var（xi+1 | si，fi）=si-2∑，（84），其中B是一些p×f矩阵。如果没有siterm，这些是战术资产配置中常用的“预测回归”方程。[10,22,5]通过让=硅-1, 1>我们恢复方程83中的混合模型；然而，双条件模型要普遍得多。条件最优投资组合由以下引理给出。再一次，证明只需在引理2.6中插入条件预期收益率和波动率。引理4.11（条件夏普比率最优投资组合）。在等式84中的模型下，在观察siand fi的条件下，投资组合优化问题argmaxν：Var（ν>xi+1 | si，fi）≤重新ν> xi+1 | si，fi- r的rpVar（ν>xi+1 | si，fi），（85）≥ 0，R>0由ν求解*=siRqfi>B>∑-1Bfi∑-1Bfi。（86）此外，当r>0时，这是唯一的解决方案。小心显然，投资组合不是*从引理4.11来看，每个时间步都是长期夏普比最优的。当有条件的夏普比率较低时，可以通过向下杠杆操作来实现更高的长期夏普比率。最优长期投资策略属于“多期投资组合选择”的范畴，是一个活跃的研究领域。

[46,17,5]矩阵∑-1B是马科维茨投资组合的推广：它是一个模型的乘子，在该模型下，最优投资组合在特征SFI中是线性的（达到可伸缩性以满足风险预算）。我们可以把这个矩阵看作“马科维茨系数”。如果∑的整列-1B为零，表明在投资决策中可以忽略相应的f元素；如果∑的整个行程-1B为零，表明相应的工具不会产生回报或对冲收益。在观察fiand si的条件下，最大可实现的平方信噪比为ζ*|si，fi=dfEν*>xi+1 | si，fipVar（ν）*>xi+1 | si，fi）！=fi>B>∑-1Bfi。这与si无关，但取决于fi。最大平方信噪比的无条件期望值为thusEfζ*=dfEfhtrft>B>∑-1英尺i、 =EfhtrB> ∑-1Bftft>i、 =trB> ∑-1BEfhftft>i,= trB> ∑-1BΓf.这个量就是霍特林-劳利轨迹，通常用于检验所谓的多变量一般线性假设。[58,45]见第6节。要对马科维茨系数进行推理，我们可以按照上面的步骤进行。设▽xi+1=dfhsfi>，sixi+1>i>。（87）考虑第二个力矩，即=ΓfΓfB>BΓf∑+BΓfB>, 式中，Γf=dfEhsff>i.（88）ΘfisΘf的倒数-1=Γf-1+B>-1B-B> ∑-1.-Σ-1B∑-1.（89）马科维茨系数（达到比例和符号）再次出现在invechΘf-1..下面的定理与定理2.5相似，并与定理2.5共享一个证明。定理4.12。假设f=dfnPixi+1xi+1>，基于H的NI.i.d.样本，f>，x>i>，其中xi+1=dfhsfi>，sixi+1>i>。允许Ohm 是维希的方差吗xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希^Θ-1f- 维希Θf-1.N0，HOhmH>, （90）其中h=-LΘf-1. Θf-1.D

（91）此外，我们可以替换Ohm 在这个具有渐近一致估计的方程中，^Ohm.4.5条件期望和异方差与套期保值约束一点工作允许我们将第4.4节的条件模型与第4.2节的套期保值约束结合起来。假设回报遵循等式84的模型。为了证明下面的引理，只需插入Bfiforu和si-2∑转化为引理4.5。引理4.13（对冲条件夏普比率最优投资组合）。设G是秩为pg的agiven pg×p矩阵。在等式84中的模型下，条件为观测siand fi，组合优化问题argmaxν：G∑ν=0，Var（ν>xi+1 | si，fi）≤重新ν> xi+1 | si，fi- r的rpVar（ν>xi+1 | si，fi），（92）≥ 0，R>0由νR，G求解，*=dfcΣ-1B-G>G∑G>-1GBfi，c=siRq（Bfi）>-1（Bfi）- （Bfi）>G>（G∑G>）-1G（Bfi）。此外，当r>0时，这是唯一的解决方案。关于多期投资组合选择的警告同样适用于上述引理。结果与第4.2节相似，但与第4.6节相似。引理4.14。现在，设G为（f+pg）×（f+p）矩阵，~G=df如果0克,其中右上角是f×f单位矩阵。将“deltainverse第二时刻”定义为GΘf-1=dfΘf-1.-~G>~GΘf~G>-1G，（93），式中定义为公式88。元素GΘf-1是GΘ-1=“B>第∑”-1B-B> G>G∑G>-1GB-B> ∑-1+B>G>G∑G>-1克-Σ-1B+G>G∑G>-1GB∑-1.- G>G∑G>-1G#。特别是引理4.13中的Markowitz系数出现在-维希GΘf-1., 引理4.13中常数c的分母取决于fi的二次型，其右上角为vechGΘf-1..定理4.15。假设f=dfnPixi+1xi+1>，基于H的NI.i.d.样本，f>，x>i>，其中xi+1=dfhsfi>，sixi+1>i>。允许Ohm 是维希的方差吗xx>.