Markowitz投资组合的渐近分布

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英文标题：
《Asymptotic distribution of the Markowitz portfolio》
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作者：
Steven E. Pav
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  The asymptotic distribution of the Markowitz portfolio is derived, for the general case (assuming fourth moments of returns exist), and for the case of multivariate normal returns. The derivation allows for inference which is robust to heteroskedasticity and autocorrelation of moments up to order four. As a side effect, one can estimate the proportion of error in the Markowitz portfolio due to mis-estimation of the covariance matrix. A likelihood ratio test is given which generalizes Dempster\'s Covariance Selection test to allow inference on linear combinations of the precision matrix and the Markowitz portfolio. Extensions of the main method to deal with hedged portfolios, conditional heteroskedasticity, conditional expectation, and constrained estimation are given. It is shown that the Hotelling-Lawley statistic generalizes the (squared) Sharpe ratio under the conditional expectation model. Asymptotic distributions of all four of the common `MGLH\' statistics are found, assuming random covariates. Examples are given demonstrating the possible uses of these results.
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中文摘要：
对于一般情况（假设存在收益的四阶矩），以及多元正态收益的情况，导出了马科维茨投资组合的渐近分布。该推导允许对高达四阶矩的异方差和自相关具有鲁棒性的推理。作为一种副作用，人们可以估计由于协方差矩阵估计错误而导致的马科维茨投资组合中的误差比例。给出了一个似然比检验，它推广了邓普斯特的协方差选择检验，允许对精度矩阵和马科维茨投资组合的线性组合进行推断。给出了处理套期保值投资组合、条件异方差性、条件期望和约束估计的主要方法的扩展。结果表明，Hotelling-Lawley统计量推广了条件期望模型下的（平方）Sharpe比率。在假设随机协变量的情况下，找到了所有四种常见“MGLH”统计量的渐近分布。举例说明了这些结果的可能用途。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：Markowitz 投资组合 Mark Mar distribution

MarkowitzPortfolioSteven E.Pav的渐近分布*2021年8月17日抽象了马科维茨投资组合的渐近分布，^∑-对于一般情况（假设存在收益的四阶矩），以及多变量正态收益的情况，导出了1μu。该推导允许对四阶矩的异方差和自相关具有鲁棒性的推理。另一方面，由于协方差矩阵估计错误，可以估计马科维茨投资组合中的误差比例。给出了一个似然比检验，它推广了邓普斯特的协方差选择检验，允许对精度矩阵和马科维茨投资组合的线性组合进行推断。[15] 给出了处理套期保值投资组合、条件异方差、条件期望和约束估计的主要方法的扩展。结果表明，hotelling-Lawley统计量推广了条件期望模型下的（平方）Sharpe比率。在假设随机协变量的情况下，找到了所有四种常见“MGLH”统计量的渐近分布。[60]举例说明了这些结果的可能用途。1简介假设p资产的预期收益率为u，收益协方差为∑，则投资组合定义为ν*=dfλ∑-1u（1）在现代投资组合理论中起着特殊的作用。[38,5,9]它被称为“有效投资组合”、“相切投资组合”，以及非正式的“马科维茨投资组合”。对于各种λ，它出现在许多投资组合优化问题的解决方案中。除了经典的均值-方差公式外，它还解决了（总体）夏普比最大化问题：maxν：ν>∑ν≤Rν>u- R√ν> 式中，∑r≥ 0表示无风险或“灾难性”回报率，R>0表示给定的“风险预算”。

这个优化问题的解是λ∑-1u，其中λ=R/pu>∑-1u.*steven@gilgamath.comIn实际上，马科维茨的投资组合有一段曲折的历史。人口参数u和∑未知，必须从样本中估计。估计误差导致一个可行的投资组合，^ν*, 价值可疑的。米肖甚至把均值-方差优化称为“误差最大化”[44]有人提出，简单的投资组合启发法在实践中优于马科维茨投资组合。[13] 本文主要研究样本Markowitz投资组合的渐近分布。通过将问题表述为线性回归，布里顿·琼斯非常聪明地设计了关于ν元素的假设检验*, 假设多变量高斯回报。[7] 在一系列引人注目的论文中，Okhrin和Schmid，Bodnar和Okhrin给出了v的点积的（单变量）密度*和非终结向量，同样适用于高斯回报的情况。[50,3]Okhrin和Schmid还表明，所有的^ν时刻*/1>^ν*大于或等于一的秩序并不存在。[50]这里我推导出^ν的渐近正态性*, ν的样品类似物*, 假设只有前四个时刻存在。^ν方差的可行估计*易受异方差和自相关稳健推理的影响。[68]还导出了高斯回报下的渐近分布。在估计^ν的协方差之后*, 可以计算^ν元素的瓦尔德检验统计量*, 可能会导致一方放弃对价中的部分资产（“股权分散”）。对协方差进行估计也可以允许Portfolio收缩。[14，31]本文中的推导实际上解决了一个比样本马科维茨投资组合的分布更一般的问题。^ν的协方差*和“精度矩阵”^∑-1是派生的。

例如，这允许我们估计马科维茨投资组合中由于协方差矩阵估计错误而产生的误差比例。根据lore的说法，投资组合权重的误差主要是由于对u的错误估计，而不是∑的错误估计。[8,43]最后，假设高斯回报率，推导出一个似然比检验，用于对马科维茨投资组合和精度矩阵的元素的线性组合进行推断。该测试推广了Dempster的一个程序，仅对精度矩阵进行推理。[15] 2增广的第二个动量挑战x是p资产的收益数组，平均值为u，协方差为∑。设xbe x前面有一个1:~x=1，x>>. 考虑第二个力矩x:Θ=dfEhxx>i=1 u>u Σ + uu>. （3） 通过检查，我们可以确定Θ的倒数是Θ-1=1 + u>Σ-1u -u>Σ-1.-Σ-1u Σ-1.=1 + ζ*-ν*>-ν*Σ-1., （4） 在哪里*= Σ-1^u是马科维茨投资组合，ζ*=pu>∑-1u是该投资组合的最大值。矩阵Θ包含x的一阶矩和二阶矩，但也是x的非中心二阶矩，这一事实使其易于通过中心极限定理进行分析。上述关系仅仅是线性代数的事实，因此也适用于样本估计：1 ^u>^u^Σ + ^u^u>-1=1 +^ζ*-^ν*>-^ν*^Σ-1.,式中，^u，^∑是u和∑，以及710ν的一些样本估计*=^Σ-1^u,^ζ*=^u>^Σ-1^u.给定NI.i.d.观测值xi，设X为矩阵，其行为向量xi>。naive样本估计量^Θ=dfn＠X>＠X（5）是一个无偏估计量，因为Θ=Eh＠X>＠xi。2.1矩阵导数需要一些关于矩阵的符号和技术结果。定义2.1（矩阵运算）。对于矩阵A，让vec（A）和vech（A）是向量和半空间向量算子。

前者将一个p×p矩阵转化为一个pvector，该pvector中的列相互堆叠；后者将对称（或下三角）矩阵向量化为非冗余元素向量。设L为“消去矩阵”，一个由0和1组成的矩阵，其性质为vech（a）=L vec（a）。“复制矩阵”D是0和1的矩阵，可以反转这个运算：D vech（A）=vec（A）。[36]注意这意味着ld=I（6=DL）。我们将K设为“交换矩阵”，即矩阵的行区域置换为单位矩阵的行，使得K vec（A）=vecA>对于平方矩阵A.定义2.2（导数）。对于m-向量x和n-向量y，让导数ydxb表示n×m矩阵，其第一列是y相对于x的偏导数。这遵循所谓的“分子布局”约定。格式Y和X，定义YDX=dfdvec（Y）d向量（X）。引理2.3（杂项衍生物）。对于对称矩阵Y和X，dvech（Y）d vec（X）=LdYdX，dvec（Y）d vech（X）=dYdXD，dvech（Y）d vech（X）=LdYdXD。（6） 证据。对于第一个方程，注意vech（Y）=L vec（Y），因此根据链式规则：dvech（Y）d vec（X）=dL vec（Y）d vec（Y）=LdYdX，通过导数的线性。其他身份也类似。引理2.4（矩阵逆的导数）。对于可逆矩阵A，dA-1dA=-A.-> A.-1.= -A> A.-1.（7）对于对称A，关于非冗余部分的导数为vechA.-1.d vech（A）=-LA.-1. A.-1.D.（8）注意这个结果如何推广标量导数：dx-1dx=-十、-1x-1..证据方程式7是一个已知的结果。

[18,37]然后，方程8使用单MMA 2.3.2.2马科维茨投资组合的渐近分布，将均值和协方差收集到二阶矩矩阵中，给出样本马科维茨投资组合的共有分布，无需做很多工作。在某种意义上，这种计算推广了多重资产夏普比率的“标准”渐近分析。[27,34,32,33]定理2.5。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x.Let的NI.i.d.样本Ohm 是维希的方差吗~xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希^Θ-1.- 维希Θ-1.N0，HOhmH>, （9） 其中h=-LΘ-1. Θ-1.D.（10）此外，我们可以替换Ohm 在这个具有渐近一致估计的方程中，^Ohm.证据在多元中心极限定理下[65]√N维希^Θ- 韦奇（Θ）N（0，Ohm) , （11） 在哪里Ohm 是向量的方差~xx>, 一般来说，这是未知的。通过德尔塔法[65]，√N维希^Θ-1.- 维希Θ-1.N0，“dvechΘ-1.维希（Θ）#Ohm“德威奇Θ-1.d维奇（Θ）#>.导数由引理2.4给出，结果如下。估计向量的协方差^Θ-1., 在协方差计算中插入^ΘforΘ，并使用一些一致的估计值Ohm, 叫它^Ohm. 计算^的一种方法Ohm 是通过向量vech的样本协方差~xi ~~xi>=h1，xi>，vech西溪>>i> 。例如，可以使用更精细的协方差估计来处理违反i.i.d.假设的情况。[68]请注意，因为vech的第一个元素~xi ~~xi>是一个确定性的1，它是Ohm 都是零，我们不需要估计。2.3夏普比率最优投资组合MMA 2.6（夏普比率最优投资组合）。假设u6=0，且∑是可逆的，投资组合优化问题argmaxν：ν>∑≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（12）表示r≥ 0，R>0由νR求解，*=dfRpu>∑-1uΣ-1u. （13） 此外，当r>0时，这是唯一的解决方案。

该投资组合实现的最大目标为：∑-1u - r/r=ζ*- 证明。通过拉格朗日乘子技术，最优投资组合求解以下方程：0=cu- c∑ν- γΣν,ν>Σν ≤ R、 其中γ是拉格朗日乘子，c是标量常数。解第一个方程得到的是ν=c∑-1u.这将问题简化为单变量优化maxc:c≤R/ζ*符号（c）ζ*-r | c |ζ*, （14） ζ在哪里*= u>Σ-1u. 最佳值出现在c=R/ζ时*, 此外，当r＞0时，最优解是唯一的。请注意，vech的第一个元素Θ-1.是1+u>∑-1u，元素2tp+1为-ν*. 因此，νR，*, 使Sharperatio最大化的投资组合是vech的一些转型Θ-1., 德尔塔方法的另一个应用给出了它的渐近分布，如下面对定理2.5的推论。推论2.7。让我们，*=Rpu>∑-1uΣ-1u，（15）和类似地，让，*作为样本模拟，其中R是一些风险预算。然后√n（^νR），*- νR，*)   N0，HOhmH>, （16） 在哪=-2ζ*νR，*,Rζ*Ip，0-LΘ-1. Θ-1.D,ζ*=dfu>∑-1u.（17） 此外，我们可以将H表示为-e> Θ-1.1.- ζ*2ζ*νR，*,Rζ*Σ-1.-Σ-1uu>Σ-12ζ*D.（18）证据。通过delta方法和定理2.5，可以证明dνR，*d维希（Θ-1)= -2ζ*νR，*,Rζ*Ip，0.为了说明这一点，请注意νR，*是-R乘以向量的元素2到p+1Θ-1.除以ζ*=pe>vech（Θ-1) - 1，其中ei是identitymatrix的第i列。

结果来自基本微积分。要建立方程18，请注意，只有第一个p+1列的dνR，*d维希（Θ-1） 有非零项，因此消去矩阵L可以忽略右边的项，我们可以写出导数asdνR，*d维希（Θ-1） =e> -2ζ*νR，*,Rζ*知识产权.我们可以写出产品asH=-e> Θ-1.2ζ*νR，*,Rζ*知识产权Θ-1.D.执行矩阵乘法以查找2ζ*νR，*,Rζ*知识产权Θ-1=1 + ζ*2ζ*νR，*-Rζ*Σ-1u, -2ζ*νR，*u>Σ-1+Rζ*Σ-1.,=1.- ζ*2ζ*νR，*, -2ζ*νR，*u>Σ-1+Rζ*Σ-1.,这进一步简化了给定的形式。样本统计量^ζ*是，直到n，只是霍特林的统计。[1] 可以对ζ进行推断*通过这个统计，至少在高斯分布下，T的分布是（非中心）F分布。然而，请注意ζ*是任何投资组合的最大总体夏普比，因此它是样本投资组合的夏普比的上界，*. 对ζ的估计没有多大意义*当样本投资组合的夏普比率很小，甚至为负时。因为ζ*是一个投资组合的夏普比的上界，似乎奇怪的是，声称样本投资组合的夏普比可能与平均ζ渐近正态*. 事实上，delta方法将失败，因为ζ的梯度*关于投资组合，在νR处为零，*. 这个难题的一个解决方案是估计“信噪比”，结合严格的正r。在这种情况下，投资组合可能会获得高于ζ的值*-r/r，由νr实现，*, 违反风险预算。为了推进这个论点，我们构造了信噪比函数的二次近似。假设r>0，r>0，并假设总体参数Θ是固定的。定义信噪比asSNR（ν；Θ，r）=dfν>u- R√ν>Σν.

（19） 我们通常会放弃对Θ和rand的依赖，只需写入SNR（ν）。定义νR，*如等式13所示，注意SNR（νR，*) = ζ*- r/r引理2.8（信噪比的二次泰勒展开）。让我们，*将SNR（ν）定义为等式26。然后snr（νR，*+ ) = 信噪比，*) +rRζ*u>+R>信噪比，*) - 2rRuu>ζ*- 信噪比，*) Σ + . . .证据根据泰勒定理，SNR（νR，*+ ) = 信噪比，*) +dSNR（x）dxx=νR，*!+>HxSNR（x）|x=νR，* + . . .通过简单的微积分，dSNR（ν）dν=√ν>Σνu -ν>u-R√ν>ΣνΣνν>Σν=√ν>Σνu - SNR（ν）∑νν>∑ν（20）要计算海森，取这个梯度的导数：H SNR=-h^ν>∑+∑νu>- 3信噪比（^ν）∑ν∑√^ν>∑ν+SNR（^ν）p^ν>∑∑∑i^ν>Σ^ν在δ=21/710时，*=R/pu>∑-1uΣ-1u，导数的取值为nr（x）dxx=νR，*=Ru- (ζ*- r/r）rζ*uR=rRζ*μ，黑森函数取hxsnr（x）|x=νR，*=ζ*ζ*- 3rRuu>-ζ*-rR∑R，完成证明。结合引理2.8和推论2.7，我们得到如下结果：推论2.9。让我们，*和^νR，*定义为推论2.7。作为问题2.6，信噪比（νR，*) = ζ*- r/r.让我来Ohm 是维希的方差吗~xx>.然后，在n，SNR（^νR，*)   N信噪比，*) ,nh>OhmH, （22）其中>=-rRζ*, u>, 0-LΘ-1. Θ-1.D. （23）此外，我们可以表示h>ash>=-r2Rζ*1 + ζ*, -u>Σ-1.1.- ζ*, u>Σ-1.D.（24）证据。通过delta方法和链式规则SNR（^νR，*)   N信噪比，*) ,nh>OhmH, h> =dSNR（νR，*)dνR，*>dνR，*维希（Θ）。从推论2.7中，我们得到了h>=dSNR（νR，*)dνR，*>-2ζ*νR，*, -Rζ*Ip，0-LΘ-1. Θ-1.D.取引理2.8中SNR（·）的导数，dSNR（νR，*)dνR，*>-2ζ*νR，*, -Rζ*Ip，0= -rRζ*u>2ζ*νR，*,Rζ*Ip，0,= -rRζ*, u>，0.（25）为了建立方程24，我们继续进行推论2.7的证明。小心由于u和∑是总体参数，因此SNR（^νR，*) 这是一个无法观察到的量。

然而，我们可以估计SNR的方差（^νR，*), 并可能使用样本统计数据构建it的置信区间。在r=0的情况下，这个推论是无用的，当考虑r&0时，它给出了一些令人震惊的结果，因为它表明NR（^νr）的方差，*) 归零。事实并非如此，因为推论中的收敛速度是r的函数。要考虑r=0的情况，必须采用信噪比函数的二次泰勒展开式。推论2.10。假设R>0，R=0，thusSNR（^ν）=df^ν>up^ν>∑∑∑∑ν。（26）让νR，*和^νR，*定义为推论2.7。根据引理2.6，信噪比（νR，*) = ζ*, 我们取r=0。允许Ohm 是维希的方差吗~xx>.然后，在n，n[SNR（^νR，*) - 信噪比，*)]trHOhm1/2>FHOhm1/2zz>, （27）其中z~ N（0，Ip），其中f=Ruu>ζ*- ζ*Σ,H=-2ζ*νR，*,Rζ*Ip，0-LΘ-1. Θ-1.D,就像推论2.7一样。证据引理2.8SNR（νR，*+ ) = 信噪比，*) +>F + . . . ,F=Ruu>ζ*- ζ*Σ.根据推论2.7， = ^νR，*- νR，*N0，新罕布什尔州OhmH>,所以，渐近地√NHOhm1/2z、 z在哪里~ N（0，Ip），其结果如下。我们现在试图将最佳可实现清晰度的样本估计与样本马科维茨组合的已实现信噪比联系起来。^ζ的大小*（连同n）是我们可以估计样本马科维茨投资组合是否良好的唯一信息。如果我们把它们都看作Θ的函数-1.我们可以找到它们的期望值以及它们之间的任何协方差。令人惊讶的是，最不相关的两个量是不相关的。因此，对于下面的定理，让我们滥用符号将等式26中定义的信噪比函数表示为某个向量的函数：SNR（x；Θ，r）=（[0，Ip，0]x）>u- rq（[0，Ip，0]x）>∑（[0，Ip，0]x）。