实践中最好的风险度量是什么？标准的比较

事实上，由于γc的可引出性，我们可以首先预测γ（P），然后在第二步中，将γ（P）的结果作为x和f预测γ（P，c），因为γc具有可引出性。通过回溯测试和预测比较，条件可诱导性提供了一种将预测方法分成两部分的方法，并分别进行回溯测试和比较其预测性能的方法。这反映了在实践中经常使用的一种方法，即将复杂的预测方法分解为单独验证的组件方法。虽然这款应用程序roach在处理复杂问题方面很有吸引力，但它不一定需要对预测模型进行最佳选择。备注2.1每一个可引出的泛函都是有条件合法的。2.4稳健性评估风险度量时的另一个重要问题是稳健性。如果没有不确定性（在适当的意义上定义），结果在gful中可能没有意义，因为损失分布中的小测量误差可能会对风险度量的估计产生巨大影响。这就是为什么我们从连续性的角度研究稳健性。由于大多数相关的风险度量对于弱拓扑不是连续的，我们需要一个强大的收敛方向。在此之前，由于一些标度特性便于风险管理，在调查风险度量的可靠性时，考虑瓦瑟斯坦距离是有用的（参见Bellini等人[6]）。回想一下，两个概率测度P和Q之间的瓦瑟斯坦距离定义如下：dW（P，Q）=inf{E（|X）- Y |）：X~ P、 Y~ Q} 当我们将风险度量称为与瓦塞尔斯坦距离相关的稳健时，我们指的是与瓦塞尔斯坦距离相关的连续性，其含义如下：定义2.8让Pn，n≥ 1，P是概率测度，Xn~ Pn，n≥ 1和P~ 十、

风险度量ρ在X处称为连续，与瓦瑟斯坦距离相关→∞dW（Xn，X）=0=> 画→∞|ρ（Xn）- ρ（X）|=0。在下面的第3.2节中，我们讨论了一些流行的风险度量关于Wasserstein距离的鲁棒性。Cont等人[16]使用了一个不同的、可能更直观的稳健性概念，将估计过程考虑在内。他们研究稳健性，即风险度量估计对向用作估计基础的数据集添加新数据点的敏感性。结果表明，对于相同的风险度量，估计方法会对敏感性产生显著影响。例如，如果我们使用参数模型而不是使用经验损失分布，那么风险度量估计可以以完全不同的方式对额外的数据点做出反应。因此，Cont等人认为的鲁棒性更多地与数据样本中的异常值的敏感性有关，而不仅仅与测量误差有关。继续。还表明风险度量的次可加性和稳健性（在上下文意义上）之间存在冲突。与基于弱拓扑或Wasser状态连续性的鲁棒性相比，Cont等人的概念允许区分不同程度的鲁棒性。这一概念可能会使人们很难决定风险度量是否合理地对风险敏感，或者对于估计样本中的数据异常值不再敏感。然而，在金融和保险中，确实会出现较大的值，这些值不是异常值或测量误差，而是观察过程本身的事实。尤其是在（再）保险中，有人可能会说，大额索赔实际上比小额索赔得到了更准确的监控，其价值也得到了更好的估计。因此，康特等人提出了鲁棒性问题。

可能与此无关。这就是为什么为了本文的目的，我们采用了基于瓦瑟斯坦距离的稳健性概念，该距离侧重于较小的测量误差。2.5流行的风险度量方差和标准差历来是金融领域的主要风险度量。然而，在过去20年左右的时间里，它们在实际应用中经常被VaR所取代，VaR是目前最流行的下行风险度量。定义2.9α级的风险价值（VaR）∈ 损失变量L的（0，1）定义为损失分布的α分位数：VaRα（L）=qα（L）=inf{l : P（L）≤ l) ≥ α}.VaR有时因许多不同的原因而受到批评。最重要的是它缺乏次可加性，而且它完全忽略了损失分布尾部损失的严重性。为了解决这些问题，引入了一致的风险度量预期短缺。定义2.10（Acerbi和Tasche[2]）α级的预期短缺∈ 损失变量L的（0,1）（也称为风险尾值或超分位数）定义为α（L）=1- αZαqu（L）du=E[L | L≥ qα（L）]+（E[L | L≥ qα（L）]- qα（L））P[L≥ qα（L）]1- α- 1..如果P[L=qα（L）]=0（特别是，如果L是连续的），则ESα（L）=E[L | L≥ qα（L）]。2.6预期已被证明是不可诱发的（片麻岩[33]）。这就是为什么期望值被认为是连贯的、可引出的替代方案（Bellini等人[6]，Ziegel[65]）。以下定义描述了期望值的特征，类似于常见的期望值特征，作为最小化问题的解决方案。因此，它们概括了预期值。然而，这种定义并不是最普遍的，因为它要求随机变量是可积的。

因此，我们随后对其进行了修订。定义2.11对于0<τ<1且squ为不可理解的L，τ-期望值eτ（L）为定义基τ（L）=arg minl∈RE[τmax（L- l, 0)+ (1 - τ） 麦克斯(l - 五十、 [0]）由于风险价值不一致，预期短缺缺乏直接可引出性，因此寻找既一致又可引出的风险度量是有意义的。可能的候选人是我们刚刚定义的预期；以下观察结果提出了一个更一般但不那么直观的定义：引理2.1（Newey和Powell[53]或Bellini等人[6]）如果L是可积随机变量，则eτ（L）是唯一解l 方程τE[max（L- l, 0)] = (1 - τ） E[max(l - 五十、 [0]）。因此，eτ（L）满足τ（L）=τe[L1{L≥eτ（L）}]+（1- τ） E[L1{L<Eτ（L）}]τP[L≥ eτ（L）]+（1- τ） P[L<eτ（L）]。根据Gneiting（33），定理10），在所有可积随机变量的空间上都可以导出E x谱。命题2.1（Bellini等人[6]）期望值具有以下性质：表1：标准风险度量的性质属性方差VaR ESτ（对于τ≥ 1/2）相干性x超单调可加性x鲁棒性xw。r、 t.弱拓扑热胀度x x w。r、 t.Wassers-tein距离可诱导性x xxxxxelicatibility（i）对于0<τ<1，期望值是齐次的，且具有规律不变性。因此，期望值是线性相关随机变量的加法，即corr[L，L]=1=> eτ（L+L）=eτ（L）+eτ（L）。（二）1/2≤ τ<1，期望值是次加的（因此是相干的），而f或1/2≥τ>0，它们是超加的。Ziegel[65]最近表明，期望值确实是唯一不变的、连贯的风险度量。从引理2.1和命题2.1来看，期望值似乎是弥补VaR和ES不足的理想选择。

然而，情况并非如此，因为预期值不是从其所谓的Kusuoka表示（如Ziegel[65]中给出的f或实例）直接得到的共单调相加。1/2<τ<1期望值的命题2.2不是共单调加法。命题2.2的证明。如果eτ是共单调可加的，那么根据Tasche[60]的eorem 3.6，它将是所谓的光谱风险度量。但是，根据Ziegel[65]的推论4.3，它是不可引出的，与命题2.1（iii）不矛盾。3标准风险度量的属性尽管考虑不同的风险度量可以更全面地描述投资组合的风险，但在实践中，人们通常必须选择一个数字，作为战略决策的基础进行报告。为了帮助做出这一选择，让我们从表1开始，概述所考虑的风险措施及其相互关系，然后再回到表1，介绍更多细节。可以证明，对于Fif处的弱拓扑，α级的VaR是鲁棒的-1在α处是连续的。参见[39]中的定理3.7。3.1当风险值是次可加的时？一般来说，VaR的次可加性属性不成立，因此VaR不是一个相干度量。缺乏次可加性与合并投资组合应带来多元化效益的概念相矛盾。因此，使用VaR分散风险管理是困难的，因为我们无法确定，通过汇总不同投资组合或业务单位的VaR数字，我们将获得企业整体风险的界限。此外，α级的VaR没有提供概率小于1的尾部损失严重程度的信息- α、 与相同信任水平的专家相比。当查看聚合风险SPni=1Li时，众所周知（Acerbi和Tasche[2]）风险度量ES是一致的。

尤其是它是次可加的。相比之下，VaR通常不是次加的。事实上，可以给出超加的例子（例如e mbrechts等人[27]），即V aRαnXi=1Li>nXi=1V aRα（Li）。VaR是否为次加性取决于共同损失d分布的性质。我们不会对VaR次可加性条件下的结果进行详尽的回顾，但在本节的剩余部分中，我们只给出了其中三个结果，即三个标准情况：（i）随机变量是独立的、同分布的（iid），并且是正规则变化的。（ii）随机变量呈椭圆形分布。（iii）r和dom变量具有阿基米德生存依赖结构。有关更多相关结果，请参见Danielson等人[18]和Embrechts等人[27,28,29,30]。广告（一）。下面的结果给出了风险值iid随机变量的尾部行为满足渐近s可加性的条件。命题3.1（Embrechts e t al.[27]）考虑独立且同分布的随机变量Xi，i=1，n具有公共累积分布函数F。假设它们随尾指数β>0而有规律地变化，这意味着右尾指数为1- F.他们的收入分配满意度→∞1.- F（ax）1- F（x）=a-β、 总的来说，a>0。那么风险度量VaR对于X是渐近次可加的，Xnif且仅当β≥ 1:limα1V aRαPni=1XiPni=1V aRα（Xi）≤ 1.<=> β ≥ 1.广告（二）。另一类重要的分布是椭圆分布，它暗示了VaR的次可加性。命题3.2（Embrechts等人[28]）Le t X=（X，…，Xn）是具有椭圆分布的随机向量。

考虑线性投资组合M={Z=Pni=1λiXi |Pni=1λi=1}。如果0.5<α<1:VaRα（Z+Z），则α级的VaR在M上是次可加的≤ V-aRα（Z）+V-aRα（Z），Z，Z∈ 广告学硕士（iii）。此外，对于另一种类型的依赖关系，阿基米德的生存copula也存在类似的结果：命题3.3（Embrechts等人[29]）考虑随机变量Xi，i=1，n具有相同的连续边际分布函数F。F=假设分布为尾部‘-F随尾部指数有规律地变化-β<0，即F（x）=x-对于某些函数，βG（x）在单位时间缓慢变化，并假设(-十、-Xn）有一个带生成器ψ的阿基米德copula，它在0处随索引有规律地变化-α < 0. 那么对于所有α>0，我们有oVaR对于所有β>1是渐进的对于所有的β<1，VaR都是渐近超加的。最近，为了在关于损失随机变量的不同依赖性假设下评估风险度量VaR和ES，发展了数值和分析技术。这些技术当然有助于更好地理解风险度量的聚集和分散特性，尤其是VaR等非一致性度量。在本文中，我们不回顾所有这些技术和结果，而是参考Embrechtset al.[30]和其中的参考文献以了解概述。然而，值得一提的是最近的两项研究，一项是Embrechts及其合著者[30]引入的新数值算法，用于提供聚合风险VaR的边界，另一项是Kratz[43]，[44]关于聚合重尾风险VaR评估的研究。Embrechts等人[30]介绍的数值算法允许计算高维（非齐次）投资组合的可靠上下限f或VaR，无论依赖结构是什么。

引用作者的话，“令人惊讶的是，额外的正相关性信息（如正相关性）通常不会显著提高上限。相比之下，模型上的高阶边际信息（如果可用）可能会导致边界得到极大改善。这是一个好消息，因为在实践中，通常只有边际损失分布函数是已知的或统计估计的，而损失之间的依赖结构要么完全未知，要么部分未知。”在Kratz[44]中，开发了一种新方法，称为Normex，用于为聚合独立重尾风险提供高分位数的准确估计。这种方法对样本大小的依赖性很弱，对于任何非负的风险尾部指数都能给出很好的结果。3.2鲁棒性关于弱拓扑，大多数常见的风险度量是不连续的。因此，由于Stahlet al.[58]的命题2.1中详述了一些方便的标度性质，在风险管理中，人们通常将稳健性视为（2.4）定义的Wasserstein距离的连续性。根据S tahl等人[58]，方差、期望短缺、期望值和平均值对于弱拓扑是不连续的，而α级的SVAR在Fif F下是稳健的-1在α处是连续的。Stahl等人观察到，m平均值、VaR和预期短缺与Wasserstein距离是连续的，Bellini等人[6]表明，预期值与Wasserstein条件是Lipschitz连续的，常数K=max{α1-α;1.-αα}，这意味着关于瓦瑟斯坦距离的连续性。关于Cont等人[16]中给出的稳健性（如第2.4节所述），Cont等人证明，历史预期短缺对数据点的变化比VaR更敏感。

此外，与VaR相比，ES对数据点的大小很敏感。作者还调查了估算方法对敏感性的影响，发现99%水平的历史预期短缺比高斯和拉普拉斯预期短缺更敏感。此外，他们还讨论了次可加性要求、一致性要求和arisk测度估计的稳健性之间的潜在冲突。考虑到VaR因其作为分位数的定义而对不属于VaR邻域的数据点的大小不敏感，Cont等人的观察结果并不令人惊讶。ESP的引入是为了弥补VaR的风险敏感性不足。最后，请注意，在实践中，ES的估计通常基于比VaR估计更大的子样本。例如，当使用100000次模拟迭代时，99%水平的ES估计值为1000点，而VaR估计值基于99000阶统计量的小邻域。此外，Hauksson等人[38]在实证研究VaR和ES的标度特性时发现，ES的标度指数的数值稳定性要高得多。这一观察结果在某种程度上反驳了Cont关于估算所需数据量的评论。因为oftenone可以使用高频数据来精确估计E S，然后使用缩放特性来确定聚合风险的E S。3.3可激发性和条件可激发性风险价值（VaR）缺乏一致性，这是目前实践中最流行的风险度量，提请注意另一个下降的风险度量，即（2.10）中定义的预期短缺。

预期缺口是一个连贯的风险度量，与风险价值相比，预期缺口对风险价值以外的损失的严重程度很敏感。然而，一旦涉及到预测和回溯测试预期的hortfall，与风险价值相比，一种潜在的效率就出现了。Gneiting[33]表明，预期的短缺是无法引发的。他证明了凸水平集的存在是风险测度可导性的一个必要条件，并证明了凸水平集的存在与期望的不足。值得注意的是，其他重要的风险度量，如方差，也无法得出（Lambert等人[47]）。引理3.1对于具有有限平均数的连续分布，ES是有条件可导出的。最近，Jadhav等人[40]提出，“修正后的预期短缺”是一个随机且连贯的变量。然而，他们对连贯性的证明是错误的。此外，Jadhav等人似乎忽略了Contet al.（[16]，第3.2.3节）之前研究过修正后的预期缺口，并观察到其不一致。引理3.1的证明。修正α∈ (0, 1). 设P={R上具有有限平均数的连续分布}和D=（P，c）∈P×R:P[c，∞)> 0. 对于连续分布P，ES简化为ESα（L）=E[L | L≥qα（L）]，其中L表示分布为P的一般随机变量。因此我们可以用γ：D重写α（L）→ 由（P，c）7定义→ γ（P，c）：=EP[L | L≥ c] 和∧γ：P→ 由第7页定义→ γ（P）：=qα（L）。因为我们有P（L）≥ qα（L））=1- 对于连续分布P，满足定义2.7的属性（ii）和（iv）。属性（i）成立，因为具有有限平均值的分布分位数可通过严格一致的评分函数s（x，y）=（1{x）得出≥y}-α） （十）-y） （纽伊和鲍威尔[53]）。