实践中最好的风险度量是什么？标准的比较

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英文标题：
《What is the best risk measure in practice? A comparison of standard
  measures》
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作者：
Susanne Emmer, Marie Kratz, Dirk Tasche
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Expected Shortfall (ES) has been widely accepted as a risk measure that is conceptually superior to Value-at-Risk (VaR). At the same time, however, it has been criticised for issues relating to backtesting. In particular, ES has been found not to be elicitable which means that backtesting for ES is less straightforward than, e.g., backtesting for VaR. Expectiles have been suggested as potentially better alternatives to both ES and VaR. In this paper, we revisit commonly accepted desirable properties of risk measures like coherence, comonotonic additivity, robustness and elicitability. We check VaR, ES and Expectiles with regard to whether or not they enjoy these properties, with particular emphasis on Expectiles. We also consider their impact on capital allocation, an important issue in risk management. We find that, despite the caveats that apply to the estimation and backtesting of ES, it can be considered a good risk measure. As a consequence, there is no sufficient evidence to justify an all-inclusive replacement of ES by Expectiles in applications. For backtesting ES, we propose an empirical approach that consists in replacing ES by a set of four quantiles, which should allow to make use of backtesting methods for VaR.   Keywords: Backtesting; capital allocation; coherence; diversification; elicitability; expected shortfall; expectile; forecasts; probability integral transform (PIT); risk measure; risk management; robustness; value-at-risk
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中文摘要：
预期缺口（ES）已被广泛接受为一种风险度量，在概念上优于风险价值（VaR）。然而，与此同时，它也因与回溯测试相关的问题而受到批评。特别是，ES被发现是不可引出的，这意味着ES的回溯测试不如VaR的回溯测试那么简单。预期值被认为是ES和VaR的潜在更好的替代品。在本文中，我们重新讨论了风险度量的普遍接受的理想属性，如一致性、协单调可加性、鲁棒性和可引出性。我们检查VaR、ES和Expectiles是否享受这些属性，特别强调Expectiles。我们还考虑了它们对资本配置的影响，这是风险管理中的一个重要问题。我们发现，尽管存在适用于ES估计和回溯测试的警告，但它可以被视为一个良好的风险度量。因此，没有足够的证据证明在应用中用预期值全面替代ES是合理的。对于回测ES，我们提出了一种经验方法，将ES替换为一组四个分位数，这应该允许对VaR使用回测方法。关键词：回测；资本配置；一致性；多元化启发性；预期短缺；期待的；预测；概率积分变换；风险度量；风险管理；稳健性；风险价值
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> What_is_the_best_risk_measure_in_practice?_A_comparison_of_standard_measures.pdf (290.53 KB)

2022-5-5 06:25:53 上传

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关键词：风险度量 最好的 风险度 Applications Quantitative

实践中最好的风险度量是什么？标准测量方法的比较*, Marie Kratz+，Dirk Tasche2015年1月30日摘要预期短缺（ES）已被广泛接受为一种风险度量，在概念上优于风险价值（VaR）。然而，与此同时，它也因与回溯测试相关的问题而受到批评。特别是，ES被发现是不可激发的，这意味着ES的回溯测试不如，例如。，对forVaR进行回溯测试。有人建议将E目标作为ES和VAR的潜在更好替代品。在这篇文章中，我们重新讨论了r isk测度的一些常见的理想性质，如相干性、共单调可加性、鲁棒性和可引出性。我们检查VaR、Es和Expectiles是否享受这些属性，特别是Expectiles。我们还考虑了它们对资本配置的影响，资本配置是风险管理中的一个重要组织。我们发现，尽管存在适用于ES估计和回溯测试的警告，但它可以被视为一个良好的风险度量。因此，没有充分的证据证明在应用中用预期替代ES是合理的。对于回测ES，我们提出了一种经验方法，包括用一组四个分位数替代ES，这应该允许对VaR.2000 AMS分类使用回测方法：62P05；91B30关键词：回溯测试；资本配置；一致性；多元化；启发性；预期短缺；期待的；预测；概率积分变换；风险度量；风险管理；稳健性；风险管理是银行、保险公司、投资基金等金融机构的核心竞争力。风险度量技术显然是风险管理过程的核心。

风险可以用概率分布来衡量。*埃塞克商学院；电子邮件：苏珊娜。emmer@yahoo.deSusanne埃默于2012-2013年在埃塞克商学院担任客座教授，是CREAR的联合成员。+埃塞克商学院CREAR风险研究中心；电子邮件：kratz@essec.edu——电子邮件：德克。tasche@gmx.netDirk塔什目前在英国审慎监管局（英国银行的一个部门）工作。他还是伦敦帝国理工学院的客座教授。本文中表达的观点是作者的观点，不一定反映英格兰银行的观点。然而，有时用一个可以解释为资本金额的数字来表示风险是有用的。将损失分布或dom变量映射到资本金额的工具称为风险度量。以下问题对金融机构至关重要：o我们应该从风险度量中获得哪些属性？o什么是“好的”风险度量是否存在“最佳”风险度量？许多经济学、金融学和数学方面的研究都被用来回答这些问题。克拉姆（1930）是风险资本最早的研究者之一，他引入了破产理论（克拉姆[17]）。马科维茨（1952，[52]）对现代档案理论做出了重大贡献。利润和损失（P&L）分布的差异随后成为金融领域的主要风险度量。但使用这种风险度量有两个重要的缺点。它要求风险是具有有限方差的随机变量。它还隐含地假设它们的分布在平均值周围是近似对称的，因为方差不区分均值的正负偏差。

从那时起，人们提出了许多风险度量，其中风险价值（VaR）和预期缺口（ES）似乎最受欢迎。在Artzner等人[4]的开创性工作中，风险度量的理想属性已在一组公理中进行了形式化。由于预期S hortfall具有重要的一致性属性，因此在许多风险管理机构，尤其是资本配置机构中，它取代了VaR，VaR在所有情况下都不满足这一属性（Tasche[61]）。巴塞尔银行监管委员会还建议在内部市场风险模型中用ES取代VaR[5]。最近，Gneiting[33]的一项研究指出，直接对预期短缺估计值进行回溯测试可能存在问题，因为预期短缺是无法引发的。因此，考虑到回溯测试的可行性，在最近的研究中（Bellini等人[6]和Z iegel[65]），预期值被认为是预期短缺的一致且可引发的替代方案。参见Chen[12]对问题的详细讨论。本文的目的是提供一些基于概率分布的流行风险度量的概要，以便讨论和比较它们的性质。然后，我们可以回答上述问题，并从风险管理和模型验证的角度研究风险度量选择的影响。最近的几篇评论文章（例如Embrechts和Hofer[25]，Embrechts等人[31]）也讨论了风险度量的使用及其在监管方面的一些特性。在这里，我们向学者和专业人士展示了四种标准风险度量方差、VaR、ES和Expectile的数学特性。我们考虑m个风险头寸的投资组合，其中Li，i∈ {1，…，m}，表示第i位的损失。

然后，在一般的e期损失模型中，投资组合范围内的损失为byL=Pmi=1Li。在这个模型中，损失是正数，而收益是负数。我们假设投资组合损失变量L定义在p概率空间上(Ohm, F、 P）。本文的组织结构如下：在介绍第1节之后，第2节回顾了风险度量的主要定义和性质，如一致性、共单调可加性、法律不变性、可引出性和稳健性，然后介绍了我们希望在本研究中评估的三个下行风险度量。在第3节中，我们将从概述开始，比较这些风险度量的性质。在总结了关于风险价值次可加性的最重要结果之后，我们讨论了稳健性的不同概念，讨论了预期短缺和预期值的可引出性，并观察到预期值不是共单调可加的。第4节涉及资本配置和多元化效益，以及风险度量和风险管理的重要应用领域。我们回顾了风险头寸对整个投资组合风险贡献的定义，并展示了如何计算预期的风险贡献。此外，我们还引入了多元化指数的概念，用于量化和比较投资组合的多元化。然后，我们在第5节中介绍了一般的回溯测试方法，并详细介绍了预期的不足。本文在第6节结束时讨论了不同风险措施的优缺点，并对实践中风险措施的选择提出了建议。符号1M表示集合M的指示器功能，即1M（x）=1如果x∈ M和M（x）=0如果x/∈ M.2风险度量：定义和基本属性风险和风险度量是没有唯一定义和年龄的术语。

用概率分布来衡量风险是很自然的。但通常用一个数字来表示风险是有用的。从概率分布空间或随机变量到实数的映射称为风险度量。在本文中，风险度量被理解为以资本金额的形式提供风险评估，作为抵御未来意外损失的某种缓冲。2.1一致性和相关属性Artzner等人[4]证明，在给定一些“参考工具”的情况下，有一种自然的方法可以通过描述一个头寸离监管机构接受的距离来定义风险度量。在Artzner等人的背景下，所有风险集合是概率空间上所有实值函数的集合Ohm, 假设它是有限的。Artzner等人定义“一旦一项谨慎的参考投资被指定为最低额外资本，则不可接受头寸的风险度量……投资于参考仪器，使修改头寸的未来价值变得可接受。”Artzner等人称投资者的未来价值为“风险”。此外，他们还陈述了四条公理，任何风险度量在有效的风险监管和管理中都应该满足这些公理。因此，我们需要对各种风险措施进行协调。

一致性捆绑了某些数学属性，这些属性是选择风险度量的可能标准。定义2.1如果风险度量ρ满足以下条件，则称其为一致性：关于风险度量的替代解释，请参见Rockafellar和Uryasev[54]。o均匀性：如果所有损失变量L和h都是均匀的，则ρ是均匀的≥ 它认为ρ（hl）=hρ（L）次可加性：如果对于所有损失变量，Land Lit保持ρ（L+L），则ρ为次可加性≤ ρ（L）+ρ（L）单调性：ρ是单调的，如果对于所有损失变量，Land Lit保持≤ L=> ρ（L）≤ ρ（L）。o平移不变性：对于所有损失变量L和a，ρ是平移不变性∈ Rit认为ρ（L）- a） =ρ（L）- a、 共单调可加性是风险度量的另一个性质，它主要是次可加性的补充性质。定义2.2如果存在一个实值随机变量X（共同风险因子）和非递减函数f，则两个实值随机变量称为协单调变量，且f为L=f（X）和L=f（X）。如果对于任何共单调随机变量，风险度量ρ都是共单调可加的，并且Lit认为ρ（L+L）=ρ（L）+ρ（L）。共单调性可能被认为是随机变量最强烈的依赖性（Embrechts等人[28]）。因此，如果风险度量是次可加性和共单调可加性的，那么一方面它会奖励多样性（通过次可加性），但另一方面不会将任何多样性收益归因于共单调风险（通过共单调可加性）——这似乎很直观。仅依赖于损失分布的风险度量具有特殊意义，因为它们的价值只能通过损失观测（即。

不需要额外的信息（如压力情景）。定义2.3风险度量ρ是定律不变的ifP（L≤ l) = P（L）≤ l), l ∈ R=> ρ（L）=ρ（L）。2.2可诱导性在估计风险度量时，一个有趣的标准是可诱导性，由Osband[50]和Lambert等人[47]介绍，然后由Gneiting[33]介绍。我们很容易回忆起它的定义，它与得分功能有关。关于更多细节，我们请读者参考Gneiting和Katzfuss[34]关于概率预测的最新综述，包括可引出性的概念。

对于可启发性的定义，我们首先引入了严格一致性的概念。评分函数是一个单值的评分函数→ [0, ∞),（x，y）→ s（x，y），其中x和y分别是点预报和观测值。定义2.5设ν是R:ν:P上一类概率测度P上的泛函→ 2R（R的幂集），P7→ ν（P） R.A评分函数s:R×R→ [0, ∞) 函数ν相对于类P是一致的当且仅当，对于所有P∈ P、 t∈ ν（P）和x∈ R、 EP[s（t，L）]≤ EP[s（x，L）]，L是定义在(Ohm, F、 P）。如果函数s是一致的且p[s（t，L）]=EP[s（x，L）]=> 十、∈ ν（P）定义2.6当且仅当存在与ν相对P严格一致的scoringfunction s时，函数ν相对于P是可导出的。示例2.1评分函数的标准示例如下：s（x，y）=（x- y） ，平方误差（x，y）=（1{x≥y}- α） （十）- y） sgn（x）- y） ，0<τ<1固定加权平方误差（x，y）=| x- y |，绝对误差（x，y）=s（x，y）=（1{x≥y}- α） （十）- y） 0<α<1固定、加权绝对误差平方、加权平方、绝对和加权绝对误差是严格一致的评分函数：平均函数由平方误差得出，期望值由加权平方误差得出，中值由绝对误差得出，分位数由加权绝对误差得出（见Newey和Powell[53]）。可引出性是确定最佳点预测的一个有用标准：函数的（严格）一致评分函数的类别与函数的类别相同，而函数的类别（仅）是最佳点预测。

因此，如果我们已经发现一个函数的得分函数是严格一致的，我们可以通过^x=arg minxEP[s（x，L）]来确定对ν（P）的最优预测^x。因此，概率分布函数的可引出性可以解释为该函数可以通过广义回归来估计的性质。另一个使可诱导性成为一个重要概念的特性是，它可以用来比较不同预测方法的性能（详细讨论见Gneiting[33]）。2.3条件可诱导性到目前为止，我们只区分了可诱导和不可诱导泛函。然而，事实证明，一些有用的风险度量是不可引出的，但在以下情况下是“二阶”可引出的。定义2.7（条件可诱导性）如果存在泛函eγ和γ：D，则P的泛函ν称为条件可诱导→ 2R与D P×2r使得（i）eγ相对于P是可导出的，（ii）（P，eγ（P））∈ D代表所有P∈ P、 （iii）所有c∈ eγ（P）函数γc:Pc→ 2R，第7页→ γ（P，c） R是可引出的相对toPc=P∈ P:（P，c）∈ D, 对于所有的P，和（iv）ν（P）=γ（P，eγ（P））∈ 有时，c和γ（P，c）分别是单值的。在这种情况下，我们用它们唯一的元素分别识别单点集c和γ（P，c）。条件可诱导性是一个有用的概念，用于预测一些不可诱导的风险度量。在第3.3节中，我们将研究ES作为风险度量的一个例子，它的第二启发性提供了分两步预测的可能性。