实践中最好的风险度量是什么？标准的比较

对于Fix ed c∈ 定义为定义2.7的R和Pc，第7项片麻岩[33]的应用表明，γ顺式构象可通过严格一致的评分函数（x，y）得出=φ（y）- φ（x）- φ′（x）（y）- 十）[c，∞)（x） 式中φ（x）=x1+|x |。这证明了定义2.7的性质（iii）。在实践中，引理3.1意味着，由于其条件可诱导性，我们可以在两步程序中尝试和预测种姓。1.我们预测分位数为^qα（L）=arg minxEP（（1{x）≥L}- α） （十）- 五十） ）使用严格一致的评分函数s（x，y）=（1{x≥y}- α） （十）- y） 来自示例2.1.2。将该结果作为固定值^qα，我们观察到E[L | L≥ ^qα]只是一个期望值。因此，我们可以使用严格一致的评分函数来预测ESα（L）≈E[L | L≥ ^qα]。如果L是平方可积的，则分数函数可以简单地选择为平方误差，如ESα（L）≈ arg minxEP（（x- 五十） ，式中≈P（A）=P（A | L≥ ^qα）。该程序的结果是对ES进行组件优化预测。引理3.2对于具有有限二阶矩的分布，方差是有条件可导出的。引理3.2的证明。设P={R上具有有限二阶矩的分布}。定义γcbyγc:P→ R、 第7页→ γ（P，c）：=EP[（L- c） ]和△γ乘以△γ：P→ R、 第7页→ 我们可以重写方差EP（（L）- 作为var（L）=γ（P，～γ（P））。然后根据Newey和Powell[53]的观点，γ是可引出的。对于固定的c，根据片麻岩（[33]）的定理8（a）可以得出γcis。因此，方差在定义2.7的意义上是有条件的。

引理3.3（见Gneiting[33]）对于具有有限平均值的分布，期望值是可引出的。因此，根据备注2.1，期望值是有条件的。4资本分配和多元化效益出于风险管理目的，将整个投资组合的风险分解为与该投资组合所包含的子投资组合或资产相关的组成部分（风险贡献）是很有用的。解决这个问题有很多方法。另见塔什[61]f。在下文中，我们将更详细地讨论所谓的欧拉分配，以及投资组合多元化的量化和比较。4.1使用预期缺口或预期损失进行资本分配[59]认为，从经济角度来看，从投资组合优化的角度来看，将风险贡献确定为敏感性（部分激励）最有意义。偏导数对风险贡献的定义更具吸引力的是，根据欧拉定理（参见Tasche[59]在风险管理背景下对该定理的陈述），如果风险度量的欠考虑是同质的，则此类风险贡献会增加整个投资组合的风险。从技术上讲，我们建议对风险贡献进行以下定义。定义4.1设L，L，Lmbe随机变量，使L=Pmi=1，并用ρbea测量风险。如果h=0的导数ρ（L+h Li）d hexists，则Litoρ（L）的风险贡献由ρ（Li | L）=dρ（L+h Li）d h定义h=0。（4.1）如果（4.1）右侧的导数都存在于i=1时。

在定义2.1的意义上，风险度量ρ是齐次的，那么欧拉定理意味着ρ（L）=mXi=1ρ（Li | L）。Tasche[59]表明，如果其中一个Li的平滑密度取决于另一个Li的实现，那么定义4.1意义上的预期短缺的风险贡献将存在，并具有直观的形状。然而，识别风险度量偏导数存在的充分条件及其计算过程可能会很繁琐。对于一致风险度量，Delbaen在[20]中建议了一种优雅的方法来确定风险贡献。在下面的定理中，我们描述了预期短缺的风险贡献。在定理4.2中，我们使用Delbaen方法推导出对预期的风险贡献。定理4.1（Tasche[59]，Delbaen[20]）如果（4.1）中所述的偏导数存在于选择为预期缺口的ρ，那么头寸对投资组合预期缺口的风险贡献可以计算为α（Li | L）=E[Li | L≥ qα（L）]利用德尔巴恩的方法，我们还可以得出预期资产的资本配置。关于基于鞍点近似的替代方法，请参见Martin[48]。定理4.2如果ρ=eτ存在（4.1）中所述的偏导数，那么，对于1/2≤ τ<1，头寸对投资组合预期的风险贡献可以通过τ（Li | L）=τE[Li{L>Eτ（L）}]+（1）计算得出- τ） E[Li{L≤eτ（L）}]τP[L>eτ（L）]+（1- τ） P[L≤ eτ（L）]。（4.2）定理4.2的证明。证据遵循德尔巴恩的方法（德尔巴恩[20]）。

回想一下，A凸函数f:L的弱次梯度∞(Ohm) → R在X处∈ L∞(Ohm) （见Delbaen[20]第8.1节）定义为：f（X）={а：а∈ L(Ohm) 这样的话∈ L∞(Ohm), f（X+Y）≥ f（X）+E[~nY]}。为了确定风险度量eτ的次梯度，我们注意到oeτ是一个定律不变的相干风险度量，o如Jouini等人[42]所示，eτ具有所谓的Fatou性质，o如Bellini等人[6]所示，我们得到了eτ（L）=maxE[L]：∈ Mτ, 带mτ=φ ≥ 0以E[~n]=1和sup~ninf~n为界≤ 最大值τ1-τ,1-ττ,o 如Bellini等人[6]中所示，对于~n=τ1{L>eτ（L）}+（1- τ） {1≤eτ（L）}τP[L>eτ（L）]+（1- τ） P[L≤ eτ（L）]，我们有∈ Mτ和eτ（L）=e[？L]。Delbaen[20]的定理17现在意味着是eτ（L），即它适用于所有有界随机变量L*τ（L+L*) ≥ eτ（L）+e[L*].根据Delbaen[20]的命题5，如果eτ（L）h仅作为一个元素，然后我们得到eτ（L+hl）*)d hh=0=E[°~nL*]. （4.3）服用L*= Liin方程（4.3）暗示了（4.2）。定理4.2的证明表明，即使定义4.1意义上的衍生工具不存在，预期值（以及预期短缺）的风险贡献仍然可以定义。如果损失变量的分布不平滑（例如不连续），则可能会发生这种情况。然后是副毕业生eτ（L）可能包含一个以上的元素，因此存在风险贡献的候选向量。

参见Kalkbrener[46]了解有关连贯风险度量的风险贡献方法的更多详细信息。4.2多元化效益在风险管理中，正确评估多元化效益对保险和投资都至关重要，因为风险多元化可能会降低公司对基于风险的资本的需求。为了量化和比较投资组合的多元化，定义了指数，如B¨urgi等人[9]定义的与多元化收益密切相关的概念，以及Tasche[61]定义的多元化指数。这两个指数都不是通用的风险度量，取决于风险度量的选择和投资组合中潜在风险的数量。如前所述，风险度量的次可加性和共单调可加性是正确表示差异效应的重要条件。在这种情况下，第4.1节中介绍的资本分配有助于确定风险集中度。让我们定义多元化指数（Tasche[61]）：定义4.2让L，Ln为实值随机变量，设L=Pni=1Li。如果ρ是一个风险度量，使得ρ（L），ρ（L），定义ρ（Ln），则diρ（L）=ρ（L）Pni=1ρ（Li）表示投资组合L相对于风险度量ρ的分散指数。如果存在Litoρ（L）（见定义4.1）中的风险贡献ρ（Li | L），则diρ（Li | L）=ρ（Li | L）ρ（Li）表示与风险度量ρ相对应的子投资组合的边际多元化指数。对于齐次、次加性和共单调可加性风险度量，Tasche得出了多样化指数的以下性质：性质4.1（Tasche[61]）设ρ为齐次、次加性和共单调可加性风险度量。然后oDIρ（L）≤ 1（由于su的缺陷）。oDIρ（L）≈ 1表示L，几乎是共单调的。

多元化指数越接近，投资组合的多元化程度就越低如果DIρ（Li | L）<DIρ（L），则存在i>0，使得DIρ（L+hLi）<DIρ（L），对于所有0<h<i。目前尚不清楚，偏离指数应远低于100%，以表明高度偏离，因为在存在不可偏离风险的情况下，即使是大型优化投资组合，其指数也可能相对较高。尽管如此，将边际多元化指数与投资组合的多元化指数进行比较，有助于发现未实现的多元化潜力。因此，将其作为一个高度多元化的标准，而不是一个高度多元化的标准。请注意，标准差或期望值等风险度量将显示具有完全线性相关头寸的投资组合的100%分散指数，但不适用于具有不完全线性相关的共单调头寸。因此，对于非单调相加的风险度量，由于非线性依赖，存在低估缺乏多样性的危险。B¨urgi等人[9]提出了一个类似于多元化指数的概念，以量化风险组合的多元化绩效。B–u rgi等人定义了投资组合L=Pni=1LiasDB（L）=1的多元化效益的概念，用DB表示-RACρ（Pni=1Li）Pni=1RACρ（Li），其中RAC表示风险调整后的资本，定义为在给定违约概率水平下防止公司破产所需的最小额外资本量：RACρ（L）=ρ（L）- E（L），其中ρ（L）表示为L选择的风险度量。很明显，DB的属性与多样性指数的属性非常相似，即：属性4.2（B¨urgi等人。

[9] ）设ρ为齐次次可加共单调可加风险测度。然后o0≤ DB（L）≤ 1（由于次可加性）o对多元化效益的解释很简单，即Db（L）=1表示完全混合0表示共单调风险X∈]0,1[表明由于多元化，资本减少了100倍。因此，DB（L）越高，多元化程度越高（与多元化指数DIρ相比）。相同的注释适用于物业4.1和物业4.2。这两个指数不仅取决于ρ的选择和投资组合规模n，而且更强烈地取决于风险之间的依赖结构。忽视依赖性可能会导致对RAC的严重低估。Busse等人[10]的一个简单模型对这一点进行了分析说明，该模型表明，在风险和风险之间引入依赖性会显著降低差异收益。在比较分别选择VaR和ES来衡量差异收益的成本时，我们可以真正看到VaR作为风险度量的局限性。即使有一部分风险是不可分散的，VaR也可能不会像Emmer和Tasche[32]的提案3.3所示那样捕捉到它。在Busse等人[10]中，VaR显示了大量风险的转换收益，而对于这一范围的风险，ES没有减少，因此正确地反映了风险不能完全分散的事实。此外，依赖的类型也很重要。线性相关性（用线性相关性衡量）无法准确描述极端风险之间的相关性，尤其是在压力时刻。忽视依赖性的非线性可能会导致对多元化效益的高估。B¨urgi等人对此有很好的描述。

[9] 谁考虑将椭圆和阿基米德连接函数用于风险建模，并比较它们对RAC和hen ce评估的影响，以及对多样化效益的影响。5回溯测试：可以使用哪些方法？回溯测试是什么意思？根据Jorion[41]，这是一套统计程序，旨在检查事后观察到的已实现损失是否符合VaR预测。我们当然可以将这一定义扩展到任何风险度量。最近，Gneiting[33]提出了一个潜在问题，即当使用预期短缺（ES）作为风险度量时，直接回溯测试可能会产生问题。对于VaR或Expectles这样的风险度量，这不是一个问题，因为正如前面所看到的，它们是可引出的。这在实践中真的是个问题吗？一方面，Acerbi&S z’ekly[1]最近提出，实际可启发性（或可启发性缺失）与风险度量的回溯测试无关，而是与不同估计方法的预测性能进行比较有关。另一方面，一些金融机构，尤其是再保险公司，通过使用概率分布预测检查其内部模型的输出，解决了回溯测试问题。尽管如此，如果人们仍然希望只对ES进行点预测，我们提出了一种经验方法，包括用分位数近似ES，见第5.1节。此外，如第3.3节所述，ES是两个可诱导成分的组合，因为它是有条件可诱导的。因此，对ES进行回溯测试的一种自然方法是使用第3.3节中描述的算法，在该算法中，我们根据相关的评分函数分别对两个组件进行回溯测试。这里是Weback测试分位数的第一个组件。

然后，将分位数的结果作为固定值，我们可以对ES进行回溯测试，因为它只是一个平均值，而二次误差是严格一致的scoringfunction。更一般地说，回溯测试方法的选择应取决于预测的类型。有以下几种回溯测试方法：（i）变量值的点预测；它们通常表示为条件期望E[Yt+k | F（Ys，s≤ t） [where e F（是的，是的）≤ t） 表示时间序列Y上截至时间t的可用信息。有大量文献，尤其是在计量经济学方面，关于点预测和样本回溯测试的成熟方法（例如Clements和Hendry[15]或Elliott等人[24]）。（ii）预测或区间预测的概率范围（例如风险价值或预期短缺的预测）；他们预测了一个区间，在该区间内预测值的概率为p（例如区间(-∞, V aRp（Yt+k）]，其中V aRp（Yt+k）是Yt+k的投影p分位数。在过去的15年里，人们在预测间隔方面做了大量工作，尤其是在回溯测试方面。关于这个话题的一个很好的参考文献是克里斯托弗森（[13]）。由于金融行业对这一风险度量的兴趣，VaR的回溯测试已经得到了很好的发展。例如，我们参考了Dav\'e和Stahl[19]，对于VaR的回溯测试程序，我们参考了Campbell[11]。（三）全概率分布P[Yt+k]的预测≤ .

|F（Ys，s）≤ t）]或其概率密度函数（如果存在）。值得注意的是，如果（iii）有解决方案，那么（i）和（ii）也有解决方案，并且（iii）使对ES进行回溯测试成为可能，从而避免了直接回溯测试所引起的问题（[33]）。与VaR相比，ES对超过VaR阈值的损失的严重程度非常敏感，因为风险度量ES对应于分布的完整尾部。因此，将其视为超出阈值的分布的一部分，可以使用概率分布预测的准确性测试直接检查ES预测的准确性（关于这种方法的一般性讨论，请参见Tayand Wallis[62]和Gneiting and Katzfuss[34]）。注意，分布的尾部可以通过Pickands定理（见Pickands[51]或Embrechts等人[26]）通过高于高阈值的广义帕累托分布（GPD）进行评估。在下文中，我们提供了关于（ii）和（iii）的更多细节。5.1回溯测试VaR和ESBacktesting VaR。如例2.1所述，VaR由加权绝对误差评分函数得出（详见Thomson[63]、Saerens[56]或Gneiting[33]），将VaR描述为最佳预测点。这允许比较不同的预测方法。然而，在实践中，我们必须将单一方法的VaR预测与观测值进行比较，以评估预测的质量。一种流行的程序基于此处描述的所谓违规流程。从VaR的定义开始，假设连续损失分布，我们得到P（L>V aRα（L））=1-α、 因此，违反VaR的概率为1- α.