高频市场中的自筹资金方程

然而，我们不认为这些模型像之前导出的关系那样准确，仅将本节用于说明目的。7.1. 微观假设。提出的模型是：完美的填充率和确定性的价格恢复。32勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特7。1.1. 免责声明与第3节中经验性检查的其他微观关系不同，现在考虑的模型并不总是与经验性数据一致。填充率并不确定，价格恢复也不确定。7.1.2. 设置。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，P和L是两个离散时间过程，分别代表市场价格和流动性提供者的库存。设γ是一个C-函数值的离散时间过程，表示提供者的形状函数和C-函数的相关交易成本。7.1.3. 其他关系。我们将“完美融资率”和“确定性价格回收率”转化为以下等式：p=λc(-五十） （7.1）或L=-γ(λ-1.p） （7.2）式中λ∈ （0，1）是封装价格恢复的实数。λ越大，价格恢复越小。7.2.宏观限制。等式（7.1）允许流动性提供者从交易量和订单簿中得出价格，而等式（7.2）从价格和订单簿中得出交易量。在连续极限下，两者导致p、L和γ之间具有相同的一致性关系。7.2.1. 主要工具。根据另一种方法的结果[25]。我们首先对假设和结果进行总结，然后再将其应用到问题的数据中。让(Ohm, F、 F，P）是一个支持一维维纳过程的过滤概率空间W和Y是一个形式为Y=Y+ztbdt+ZtσtdWt（7.3）的一维It^o过程，其中我们考虑t∈ [0, 1].假设7.1。

（H） [25]中的+（K）假设bt和σtar是渐进可测的，bt是局部有界的，σtis c`adl`ag。现在让我们来看F：Ohm ×[0,1]×R→ R是一个随机的、Ft适应的函数，即Ciny和Cin（t，y）。我们将把符号缩短为y7→ 英尺（y）。定义以下假设。假设7.2。[25]中的（7.2.1）、（10.3.2）、（10.3.3）、（10.3.4）和（10.3.7）假设a.s.对于所有t，fti是y中的奇数函数。此外，假设存在函数g:R→ 多项式增长的R和实β>1/2，对于所有ω∈ Ohm, （t，s）∈ [0,1]和y∈ R:|英尺（y）|≤ g（y）|英尺（y）|≤ g（y）|英尺（y）- Fs（y）|≤ g（y）|t- s |β现在让我们陈述一下[25]中我们将使用的新结果。高频市场中的自筹资金方程337.3。（10.3.2）从[25]中假设7.1和7.2。然后，存在原始空间的一个很好的过滤扩展，这样我们就有了以下稳定收敛定律，即N→ ∞:√NbNtcXn=1Fn/N√N（X（N+1）/N- Xn/N）→ 其中UT=ZtbsΦσs（Fs）ds+ZtpΦσs（（Fs））dWs（7.4），采用一个d维维纳过程，使得[W，W]t=ZtΦσsid FksσspΦσs（Fks）dsid是恒等函数。7.2.2. 连续时间设置。让(Ohm, F、 F，P）是一个支持维纳过程Wt的过滤概率空间。我们将为库存确定一个It^o过程pt=P+Ztusds+ZtσsdWs（7.5）或t=L+Ztbsds+ZtlsdWs（7.6）。除了这些过程中的一个，我们还定义了一个订单簿形状的过程γ，并用相关的交易成本过程来表示。假设L（分别为p）验证假设7.1和c（分别为γ）满足假设7.2。与之前一样，我们定义了离散化过程LNn=Ln/N（分别为Pnn=pn/N）和cNn（·）=Ncn/N√N个·（分别为γNn（·）=NγN/N√N·).7.2.3. 主要结果。主要结果是理论的直接应用。3.如果我们得到存货L和交易成本c，那么我们有：定理7.4。

原始空间存在一个很好的滤波扩张，因此我们在pNbNtc定律中有稳定的收敛性→ ptwithdpt=-λbtΦlt（ct）dt+λpΦlt（（ct））dWt（7.7），其中[W，W]t=-ZtΦls（id cs）lspΦls（（cs））ds。（7.8）尤其是d[p，L]t=-Φlt（id-ct）dt（7.9）如果给出价格p和订单形状函数γ，则得到完全等价的结果：34 REN’E CARMONA和KEVIN Webster定理7.5。原始空间存在一个很好的滤波扩张，因此我们在LNbNtc定律中有稳定的收敛性→ LtwithdLt=-utσtγt（λ）-1·)dt+pΦσt（（γt）（λ）-1·）dWt（7.10），其中[p，L]t=-σsΦidγt（λ）-1·)dt。(7.11)7.3. 一个特例。对于某些经过调整的流程m，一个fl at order book对应于γt=mt。虽然非常不现实，但它非常容易处理，并且已经被提出并用于其他模型（[2,33]）。这对应于二次交易成本和线性价格影响：（dpt=-λmtdLtdXt=Ltdpt+- λltmtdt（7.12）指出，有效交易成本的标志是-λ. 事实上，在自我融资的情况下λ=，价格恢复和价格影响完美地相互抵消。如果λ>，则由于价格恢复不足，交易对价格的影响大于合并价差。此外，由于订单簿的统一结构和完美的费率，供应商的库存与价格完全不相关。7.3.1. 对供应商来说最糟糕的情况。正如我们之前所看到的，对于流动性提供者来说，完美的反相关是最糟糕的情况，从流动性提供者的角度来看，这使得统一的订单簿“更糟”。

在统一订单中，没有价格恢复，λ=1是第一种情况。一个有趣的结果是，如果流动性提供者提供恒定的流动性（mt=1），那么我们在财富和库存之间有以下等式：Xt=X- Lt+L（7.13）也就是说，即使在最坏的情况下采用最简单的策略，流动性提供者也不会因为管理库存而亏损。对称地，我们可以证明，即使在这种流动性接受者的最佳情况下，也不存在仅因价格影响而产生的往返统计套利机会。8.结论在结论中，本论文确定了高频有限订单市场的关键特征，并推导了此类市场的连续时间模型的自融资投资组合的相应必要条件。这些特点是：（1）高频交易者库存的不平稳性和高频市场的买卖价差消失。（2） 价格增量和供应商库存变化之间的负二次协变量给出的逆向选择，这是此类时间尺度上交易价格影响的结果。（3） 价格恢复及其联系买卖价差和价格波动过程的方式。（4） 包含价格影响的自融资投资组合财富过程的通用公式。高频市场中的自筹资金方程35（5）在期权对冲和投资组合优化中的应用，强调了通过市场指令和限制指令进行的交易之间的差异，以及流动性提供者和流动性接受者之间的差异。这些特征是在从宏观层面总结高频市场微观结构之前，通过理论和实证研究获得的。

[21]指出，关键的技术工具是使用基于事件的时钟。我们希望进一步的研究将遵循这种方法，以揭示HFTon在更广泛的金融体系中的更多影响。附录A.横截面分析本文的主要实证主张是流动性提供者库存与价格过程之间的负协变量。这是识别价格影响的多种方法之一，是由于流动性接受者对限价单的逆向选择。我们希望对股票样本进行测试，以确定这种关系何时得到验证，何时未得到验证。本附录中使用的数据是2013年4月18日使用纳斯达克瘙痒数据的29只大盘股。其他日子和股票也进行了类似的测试。这个测试有三种形式，从最直观的到最复杂的。首先，我们将29只股票中的每一只股票的交易比例列为不符合房地产要求的交易LP≤ 0.然后，我们绘制经验二次协变量，并使用函数中心极限定理[1]为连续It^o过程构造置信区间。最后，我们基于相同的泛函中心极限定理建立了一个严格的统计检验。在最后一种情况下，我们假设我们有两个连续的It^过程L和p，这样：（dpt=utdt+σtdWtdLt=btdt+ltdWt（A.1），WT和WT之间的二次协变量是ρt。进一步假设u和bt是局部有界的，σt，ltd和ρtare c`adl`ag。如果我们用pn和ln表示这些过程在均匀网格{1/N，2/N，…，1}上的离散测量，那么[1]告诉我们考虑离散过程：（CNt=PbNtc）-1n=1npNnLNVNt=NPbNtc-2n=1npNn+1LN+ npNnLNn+1pNn+1LN（A.2）我们有函数中心极限定理- [p，L]tpN-1 | VNt |！→ N（0，1）（A.3）这允许构建二次协变量过程的置信区间。

我们也使用这个结果来拒绝以下无效假设：假设A.1。不存在∈ [0,1]使得ρt>0。通过在小时间间隔[tk，tk+1]上为二次协变量构造置信区间，我们可以计算每个tk的事件ρtk>0的拒绝概率。通过乘以这些拒绝概率，我们得到拒绝36 REN’E CARMONA和KEVIN Webster图7.经验二次协变量（重新标度）。我们整体零假设的概率。

我们选择的时间间隔[tk，tk+1]是指在每个时间间隔中有100个数据点。最后我们得到了以下表格：高频市场中的自筹资金方程37股票概率拒绝nb虚假nb交易百分比虚假回收拒绝MSFT 0.7868301 19 27540 0.06899056 6.147422KO 0.9876695 72 20362 0.3535998 13.932816BA 0.99993383 222 4824 4.60199 24.212272GPS 0.9990497 7378 1.314719 22.445107GE 0.9991448 4 12969 0.03084278 6.847097CS 0.8971721 132 3621 3.645402 37.448219CPB7.7.7.7734JJJ0.9550315 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 10 10.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 131 6103 2.14648511.11.117811 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7 1897 1896 6 6 6 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 279390CL 0.9833529 187 30066.220892 24.550898MA 0.9996761 113 1435 7.874564 18.048780KSU 0.9945635 118 1756.719818 26.765376GIS 0.9735843 68 3624 1.87638 22.323400表2。无效假设的拒绝概率、不满足我们的主要不平等的交易数量、交易总数、未验证我们的主要不平等的交易百分比和未验证我们的价格恢复不平等的交易百分比。在所有最好的交易中，我们也都要求最好的股票。

请注意，在我们提出的所有关系中，唯一薄弱的是价格恢复，这是经常违反的。参考文献[1]Y.Ait Sahalia和J.Jacod。高频金融计量经济学。普林斯顿大学出版社，2014年。[2] A.阿方西、A.弗鲁思和A.希德。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。量化金融，10（2）：143-157，2010年。[3] C.Aliprantis和K.Border。有限维分析。斯普林格，2006年。[4] 阿尔姆格伦和克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3（2）：5-392000。[5] Y.阿米哈德和H.门德尔森。资产定价和买卖价差。《金融经济学杂志》，17（2）：223–249，1986.38勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特[6]T.阿内和H.杰曼。订单流量、交易时钟和资产回报的正常性。《金融杂志》，55（5）：2259-22842000。[7] M.阿维拉内达和S.斯托伊科夫。在限价指令簿中进行高频交易。量化金融，8（3）：217-2242007。[8] B.比亚斯、P.希利昂和C.斯帕特。巴黎证券交易所限价指令簿和指令流的实证分析。《金融杂志》，50（5）：1655-891995年。[9] J。Bouchaud、Y.Gefen、M.Potters和M.Wyart。金融市场的波动和反应：“随机”价格变化的微妙本质。定量金融，4（2）：176-1902004。[10] J。Bouchaud、M.Mzard和M.Potters。股票订单簿的统计特性：实证结果和模型。《定量金融》，2（4）：251–256，2002年。[11] J.布罗加德、T.亨德肖特和R.里奥丹。高频交易和价格发现。技术报告，欧洲央行，工作文件系列，2013年。[12] A.查克拉博蒂、I.穆尼·托克、M.帕特里亚卡和F.阿伯格尔。经济物理学：经验事实和基于主体的模型。量化金融，2009年。[13] T.Chellathurai和T.Draviam。具有非线性交易成本的动态投资组合选择。

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