高频市场中的自筹资金方程

Tludpu和[L，p]的离散近似的收敛性很简单，提供了第二种关系。对于自我融资方程的最后一项，我们有√N|nLN |=2Nsn/N|√NnLN |（4.4），它允许我们应用定理4.2，其中Ft（y）=st | y |和Yt=Lt。这证明了自融资方程。（4.3）的最后一个关系式源自将相同的定理应用于过程Yt=pta和随机函数Ft（y）=y- 圣| y |。我们得到，对于每个t<t，数量nbtncxn=btNc(√NnpN）- 序号|√NnpN|（4.5）高频市场中的自筹资金方程15收敛于ztt（σt）-rπst）σtdt，（4.6）并且这个过程对于所有t<t都是负的这一事实包含了证明。备注4.4。从技术上讲，没有什么能阻止我们对订单的隐藏部分进行相同的限制性论证，简单地用它们的“隐藏”对应项替换pta和st。然而，出现了两个实际问题。首先，很难衡量隐藏的价格和价差。第二，也是更重要的一点，目前还不清楚用什么来取代价格影响不平等，因为对定单的逆向选择并没有得到很好的研究或理解。4.3. 时间变了。请注意，等式（2.3）在交易时钟中得到了证明，这意味着所有与时间相关的量，如波动率，都必须在交易时间内测量。虽然这对于该时钟下的高频模型（例如[6,9]）来说是一个积极的特征，但对于在不同时钟下工作的财务问题来说，这并不那么有利。例如，根据公式（2.3）直接为日历时钟中到期日固定的期权定价可能很困难。因此，我们将讨论我们提出的公式在时间变化下的行为，其中标准时间变化是切换到日历时钟。另一个可能的时间变化是从交易时钟切换到音量时钟。定义4.5。

我们定义了一个很好的时间变化，即τ=0和dτt=ntdt（4.7）且ntdt一致有界远离零的Ft适应随机过程τtsuch。我们从：dpt=utdt+σtdWtdLt=btdt+ltdWtdXt=Ltdpt+st√2πltdt+d[L，p]t（4.8）与d[L，p]t≤ 0，我们研究了过程pt=pτt，Lt=LτtandXt=Xτt。注意，所有随时间变化的过程现在都与随时间变化的过滤Ft=Fτt相适应。还注意到过程Wt=Rτt1/nτ-1udWuandWt=Rτt1/nτ-1DWUAREFtWiener进程。一个简单的链式规则会导致时间变化的动态：d)pt=)utdt+)σtd)Wtd)Lt=)btdt+)ltd)Wtd)Xt=)ltd)pt+)st√2πltdt+d[~L，~p]t（4.9），其中ut=ntμτt；~bt=ntbτtσt=ntστt；~lt=ntlτt是标准的，更令人惊讶的是：~st=ntsτt（4.10）16勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特雷马克4.6。部分结果是预期的：在修改后的时钟下，漂移和波动性必须以新的时间单位来衡量，而不是以交易单位来衡量，交易单位对应于nt和nt因子。然而，不幸的结果是，买卖价差也必须乘以nt，这意味着需要比更自然的过程sτt更严格地跟踪过程。当st=λσt时，这个问题就解决了。这样的假设将遵循实证论文[39]的结论，该结论表明日均买卖价差和每笔交易的日均波动率之间存在线性关系。从理论角度来看，该模型在时间变化下是稳定的，从这个意义上讲，st=λσt是一个理想的性质。备注4.8。人们也可以从一开始就在changedclock下工作，并使用大数定律和[25]中发现的不规则离散化方案来恢复相同的结果。4.4. 流动性接受者的情况。

根据对称性，流动性接受者的库存和财富的相应等式为（dXt=Ltdpt-stlt√2πdt+d[L，p]td[L，p]t≥ 0（4.11）不幸的是，正如我们已经指出的，这些方程只是必要条件。事实上，与标准的自我融资方程不同，很难确定过程L和p是可容许的：我们只能在给定L和p后导出X。为了举例说明为什么不是所有的L都能达到，假设订单上的数量是有限的。那么，L的波动率必须以可用的体积为界。决定市场参与者实际可以实现哪些过程的其他因素包括：限价订单融资率、瞬时价格恢复，以及市场订单预测下一次价格上涨的能力。这些因素将直接影响L的波动性，以及L和p之间可能的相关性和二次协变量。最终，供求规则p的价格和L.X的数量源于会计规则。5.建议关系的应用取决于库存和价格p的模型。请注意，当我们制定优化问题时，我们通常假设库存可以是任何It^o过程。这是一种信念行为，因为实现这一点通常需要良好的执行算法和限制订单的填充率。合理的传播模型更容易获得。我们通常会根据价格波动来衡量价差：st=√2πλσt（对于某些常数λ>1/2）。这与关于这一问题的经验文献一致，例如[39]。5.1。套期保值。在本小节中，我们将探讨欧洲期权的完美复制，假设相应的库存可以通过高频交易获得。

设f为我们期权的支付函数，设dpt=u（t，pt）dt+σ（t，pt）dWt（5.1）高频市场中的自筹资金方程17为价格的马尔可夫随机微分方程。用L表示套期保值者的投资，并假设其形式为：dLt=btdt+ltdWt（5.2），具有BTT和LTC连续、有界和适应的过程。请注意，LTP的动态是由与价格相同的维纳过程驱动的，因此模型是完整的，并且可以实现完美的复制。还请注意，lt<0对应于通过限价指令进行的交易，lt>0对应于通过市场指令进行的交易。此外，当使用这个签名的lt时，自我融资方程对限额和市场订单写下了相同的内容：dXt=Ltdpt-stlt√2πdt+d[L，p]t（5.3）当lt<0时，我们想要捕获交易成本，当lt>0时，我们需要支付它们。假设利率为零，通过v（t，p）确定期权价格，知道pt=p，那么我们就得到了复制方程d（Xt- v（t，pt））=（Lt- t） dpt+d[p，L]t-圣√2πltdt- （Θt+Γtσ（t，pt））dt其中t、 ΘtandΓtdenote通常的希腊人在t和pt进行评估。Delta Hedging该期权消除了价格风险，并得出等式DLT=dt=tv（t，pt）+σ（t，pt）tpv（t，pt）dt+Γtdp，尤其是恒等式t=Γtσ（t，pt）（5.4）注意，因此ltt和Γt必须是同一符号！最后，定价偏微分方程变为电视（t，p）+λ -σ（t，p）pv（t，p）=0（5.5），终端条件v（t，p）=f（p）。当λ>1/2时，这将导致√2λ - 1.与无摩擦波动率相比，隐含的局部波动率。备注5.1。重要的一点是，负伽马期权可以通过限价订单复制，而正伽马期权可以通过市场订单复制。

这是假设一个人可以保证与价格过程完全相关（分别为反相关），因为库存LTT将由与价格相同的维纳过程驱动。这与一个事实是一致的，即人们不会期望使用限价指令来对冲看涨期权，因为对冲看涨期权要求你在价格上涨时买入，在价格下跌时卖出：与限价指令完全相反。18勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特5。2.做市。在本节中，我们对[7]中提出的模型的关键见解进行了调整。最终目标是解决代表性做市商选择价差并使其利润最大化的优化问题。他面临的交易效果，也是该模型的关键组成部分，如下所示：价差越小，交易的可能性越大，但他对每一笔交易的利益越小。以类似于[7,37]的方式，我们通过报价价差的递减函数来建模执行限价指令的概率。这将首先在微观层面上进行，以便在宏观层面上为我们的库存过程L获得一个合理的模型。与[7]的一个关键区别是，我们仍然施加价格影响约束，这将进一步降低做市商的利润，因为对手选择。为了保证价格影响约束得到满足，我们在显微镜下使用了Almgren和Chriss模型[4]的修改版本，将价格与流动性提供者的总库存联系起来。我们假设nL=-λn+1np（5.6），对于Fn+1-可测量的正随机变量λn+1。

这是一种不可预测的线性价格影响形式，即事后价格增量是交易量的线性函数。为了获得[7]的见解，我们对λn+1进行建模，使e[λn+1 |Fn]=ρn（sn）Fn（sn）；E[λn+1Fn]=（Fn（sn））（5.7），其中sni是做市商选择的价差，ρ和Fn是连续的正函数，Fn和ρn是递减的∈ [0, 1]. 从[7]继承了Fnis在价差中减少的假设，而ρ必须小于1的事实是由于Jensen的凸性不等式。我们假设λn+1独立于np以Fn为条件。计算Ln产量的可预测二次变化：n-1Xk=1fk（sk）E金伯利进程Fk, （5.8）Ln和Pn的可预测二次协变量由以下公式得出：-N-1Xk=1ρk（sk）fk（sk）E金伯利进程Fk. （5.9）这表明在连续介质极限中使用以下模型：（dpt=utdt+σtdWtdLt=-ρt（st）ft（st）utdt+ft（st）σtdWt（5.10），其中d[W，W]t=-对于一些适应的、连续的和正的函数ρt（·）和带ρt的ft（·），Rtρu（su）du≤ 1和FTC。请注意，LTC的方程式也可以改写为：dLt=-ρt（st）ft（st）dpt+ft（st）q1- ρt（st）σtdW⊥具有维纳过程的t（5.11）⊥根据我们的公式，我们将从我们的自筹资金市场中获得自筹资金。现在，我们将从自筹资金市场中获得自筹资金-ZTptdLt+√2πZTσtstft（st）dt。（5.12）对于fta和ρt，一个自然的假设是，它们是波动率重新标度的分布函数：ft（s）=f（s/σt）；ρt（st）=ρ（st/σt）（5.13）对于某些C减缩函数f和C函数ρ。我们将进一步假设，对于足够大的x，g（x）=xf（x）是一个递减函数，即g（x）→ 0澳大利亚证券交易所→ ∞, 对于所有x，f（x）>0≥ 0.风险中性做市商试图以最佳方式设定利差的问题是最大化：supsEXT。

（5.14）我们使用庞特里亚金最大值原理来解决这个控制问题。让我们先定义一些功能。引理5.2。对于所有a>0，定义函数FabyFa:x 7→十、√2πf（x）- aρ（x）f（x）（5.15）那么函数m（a）=maxx∈[0,∞)Fa（x）（5.16）在a中定义明确、连续且呈下降趋势。此外，存在可测量的选择M（a）∈ argmaxx∈[0,∞)Fa（x）（5.17），我们有m（a）>0。证据首先，请注意，对于所有的a>0，Fa（0）=-aρ（0）f（0）≤ 0，Fa（a+1）≥ f（a+1）>0下一步，如果g在区间[x]上递减，∞), 然后我们可以将函数β（a）定义为g-1.o 如果f（a+1）在g[x]中，∞), 还有其他方面。β（a）是连续的，验证f（a+1）≥ g（x）表示所有x∈ （β（a），∞).这证明了在紧致[a+1，β（a）]上达到了fa的最大值。M的连续性由Berge的极大值定理确定。它随着Fa的定义而降低。可测量的选择结果遵循[3]中的Thm 18.19。提议5.3。控制问题的任何解的形式都是σt=m（αt）（5.18），其中αt=E[pT- pt | Ft]utσt+Ztσt，（5.19）Zt是pT20 REN\'E CARMONA和KEVIN Websreproof的鞅表示的波动率。我们应用随机Pontryagin极大值原理的必要部分。广义哈密顿量等于：Ht（s，L，Y，Z，Z）⊥) = -ρ（s/σt）f（s/σt）[（Yt- pt）ut+σtZ]+σt√2πsf（s/σt）+σtf（s/σt）p1- ρ（s/σt）Z⊥伴随方程由yt=E[pT | Ft]（5.20）求解，这特别意味着Z⊥t=0。Zt可以通过Wt生成的布朗滤波上的鞅表示定理来计算。因此，最大化的哈密顿量变成σtFαtsσt（5.21）前面的引理得出结论。除了最优控制之外，人们可能会对做市商预期收益的σ和αtof的依赖性以及其库存的波动性感兴趣。

请注意，库存的低波动性意味着做市商基本上已经退出市场。推论5.4。做市商的预期收益和损失为e“ZTM（αt）σtdt#（5.22），而其存货的波动性为σtf（m（αt））（5.23）。可通过沿最优路径积分哈密顿量来计算预期收益。其余部分遵循前面的命题。这一推论的结果是，做市商平均做空αtand，因为αt是固定的、长期的波动性。如果一个人寻找易于处理的公式，现在有两个截然不同的问题。首先，必须给出Pt的一个显式模型，该模型可以计算鞅表示项Zt。其次，我们必须提出一个函数g，对于这个函数，F的最大参数m可以很容易地描述为αt.5.2.1的函数。鞅情形。注意，当假定PTI为鞅时，后一个问题就解决了。事实上，如果我们对一些适应的、连续的和正的过程σt有dpt=σtdWt（5.24）。那么αt=1，我们简单地假设havest=m（1）σt（5.25），避免了显式函数ρ和f的需要。这个结果为[39]中的经验主张提供了理论依据，即价差是波动的线性函数。高频市场中的自筹资金方程将这个最优价差重新纳入目标函数，做市商的预期损益（P&L）为m（1）E“ZTσtdt#（5.26）在鞅情况下，做市商因此平均为Delta中性，具有负伽马但正织女星。5.2.2.明确的情况。可以明确计算αtca的其他情况是：oBlack-Scholes模型dpt=uptdt+σptdWt（5.27），在这种情况下，我们得到：E[pT | Ft]=pte（T-t） )；Zt=σpteu（T-t） ，（5.28），因此αt=σeu（T）-（t）- 1.+ eu（T）-t） 。

（5.29）o均值回复（Ornstein-Uhlenbock）价格过程的情况dpt=ρ（p- pt）dt+σdWt（5.30），在这种情况下：E[pt | Ft]=p+E-ρ（T）-t） （pt）- p） )；Zt=σe-ρ（T）-t） ，（5.31），因此αt=-ρσ（pt）- p）E-ρ（T-（t）- 1.+ E-ρ（T）-t） 。（5.32）与鞅情形不同，在不指定ρ和f的函数形式的情况下，很难得到任何易于处理的公式。在ρ（x）=1/（1+x）和f（x）=1/（1+x）的情况下，最佳排列为σt√1+3αt（5.33）注意，m是αt的一个递增函数。为了与鞅情形（其中αt=1）进行比较，我们希望比较比率αt 1，以研究模型假设对做市商利润和库存波动性的影响对于Black-Scholes模型，当u>0时，α大于1。对于u<0，存在一个取决于T和σ的临界值，该比值的符号为在Ornstein-Uhlenbock过程中，α小于1 ff（pt- p） <σρ（5.34）即，如果当前价格与长期平均p相差不太远。与鞅模型相比，做市商在“动量”Black-Scholes模型中引用的价差更大，预期利润更低，捕获的交易量更少。在均值回复市场中，除非价格与其长期趋势有显著差异，否则做市商的报价利差较小，预期利润率更高，并且比其他两种市场模型的交易量更大。22勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特5。3.交易成本分析和毒性度量。根据[21]的建议，分析的目的之一是为LFT和学术界提供微观结构的宏观分析工具。并不是每个人都想深入研究高频规则的细节。

在这方面，本文只触及HFT可以揭示的微观结构关系的表面，但它方便地总结了它们，并将它们与标准的“无摩擦”情况进行了比较。[21]确定两种可能有用的特定工具。一种是论文中所说的“交易成本分析”，我们将其解释为对有效财富与在无价格市场中获得的财富之间差异的分析。因此，“交易成本”包含两个术语：o价差部分：±ZTstlt√2πdt（5.35）如果使用限价订单，该分量为正，如果使用市场订单，该分量为负。使用其中一种会影响交易策略的伽马曝光价格影响部分：[L，p]T（5.36），它总是与价差部分的符号相反。根据LFT策略的伽马，一个或另一个术语将成为交易者损失的潜在来源。寻求的第二个工具是衡量市场订单流动的毒性，最好用指数表示。这样一个指数既可以被做市商用来决定是否有利于提供流动性，也可以被LFT用来决定是现在执行交易还是等待更好的市场条件。在我们的框架中，市场订单的毒性完全由价格影响项[L，p]T捕捉。衡量价格影响项强度以及市场订单流量毒性的两个自然指标如下：o瞬时负相关性ρT=-供应商总库存与价格之间的σt`td[L，p]tdt（5.37）。特别是，这可以作为特定做市商的基准，以衡量他捕获的市场指令流是否比整个市场的指令流有毒。