高频市场中的自筹资金方程

为了进行实证研究，在离散交易时钟中工作时，我们计算离散时间毒性指数，作为时间间隔[0，t]内存货和中间价格的经验相关性的负值，即：ρ（d）t=-科尔(L[0，t]，p[0，t]）（5.38），这只是公式（5.37）的简单离散化综合价格影响与供应商总财富差价构成之间的比率。r=-√2π[L，p]TRTstltdt（5.39）高频市场中的自筹资金方程23，可离散为asr（d）=-2PNPnLPsn|nL |（5.40）做市商尤其在这个数量上拥有一个隐含的选择权：如果比率大于1，他可以退出市场，因为在这种情况下，即使他的客户没有长期阿尔法交易，他也会赔钱。第一个毒性指标的优势在于，它衡量的是有毒和无毒市场订单的即时比例。缺点是必须通过统计程序进行估计。另一方面，第二个指标与做市商的实际损益关系更密切，但必须在更长的时间范围内进行计算，使其成为事后分析工具。我们给出了一个表格，说明了在同一个交易日，几个股票的这两个指标。股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票；股票0.15849674 0.15958849CBT 0.348870860.74490980AGN 0.35890531 0.78020785CB 0.38667565 0.58090719AA 0.080462277 0.08406282FPO 0.49598056 1.14964119表1。样品库存的毒性指数值。6.

连续方程：一般订单书形状当我们选择特定的股票时，大多数交易发生在最高价或最高价，我们希望将我们的结果推广到一般的限价订单书。本节首先正式介绍了限额订单簿的概念，并推导了一些基本机制，然后采用与第4.24节REN’E CARMONA和KEVIN WEBSTER6相同的差异限额策略。1.订单簿的微观描述。借鉴统计物理学中一种久负盛名的方法，我们首先在微观层面上深入描述了主体之间的相互作用，然后推导出宏观层面上的有效方程。我们考虑单一流动性接受者和单一流动性提供者。他们交易的资产可能的价格范围是（0，∞) 通过限价订单系统。流动性提供者总是首先选择在限额订单簿上下的限额订单。这些极限指令由一个控制变量（b，a）表示，该变量由一对严格正的测度（0，∞). 然后，流动性决策者选择控制变量（β，α）∈ (0, ∞) ×(0, ∞) 代表他想在限额订单簿上执行的市场订单。在本节中，我们使用流动性提供者的观点跟踪投资组合头寸的变化，忽略以下高频现象：（1）下滑。市场订单立即按预定价格执行。（2） 部分填充。市场订单消耗了给定价格下的所有数量。（3） 隐藏的命令。所有限价令都是公开的。6.1.1. 基本关系。我们首先关注两个代理商之间的基本关系，他们的订单和库存。  0.1批量价格          限额指令：流动性提供者的控制（b，a）代表她的限额指令。

以p价购买一个单位资产的出价由概率测度b=δp表示，而以A=δp的价格购买一个单位资产的出价（或要求）则由概率测度b=δp表示。如果供应商下了多个限额订单，我们将这些单位质量相加，得到代表流动性提供者总订单的两个非负测度A波段。我们称（b，a）为限价订单簿，或订单簿。我们通过以下方式确定订单簿的最佳出价和要求：定义6.1（最佳出价和要求）。让（b，a）成为订单。然后我们确定最佳出价和最佳要价为\'b=sup{p∈ supp（b）}，a=inf{p∈ supp（a）}（6.1）这里我们使用符号supp（u）来表示度量u的拓扑支持。备注6.2。在实际市场中，这样的限制指令只能放在一个离散的网格上，由此产生的a和b总是离散的度量。最近，高频市场推动其电网的重建，这可能会证明，考虑相对于电网指标而言绝对连续的指标a和指标B是合理的。0 1批量限价订单：连续案例b: 最佳出价a: 最佳提问流动性接受者的控制权（β，α）代表他的市场订单。针对投标的市场订单将导致执行上述所有投标订单，包括价格β。对于针对ask的市场订单，当您正式考虑连续订单分配时，该属性下的所有限额订单自动保持。将执行α级高频市场中的自筹资金等式。极限情况α=0和β=∞ 对应于不执行任何限价指令的“空”市场指令。市场订单的执行导致现金和库存发生以下变化：定义6.3（市场订单的执行）。假设订单簿是（b，a），流动性接受者选择一对（β，α）。

然后改变由交易和变更触发的存货清单K流动性提供方发行对象的现金定义如下：L=b[β，∞) - a（0，α）（6.2）α（xa=0，dx]Z）-Z[β，∞)xb（dx）（6.3）01批量价格市场订单：执行α a 0, α  β -b[β, ∞)为了验证这个公式，让我们首先考虑单个出价b=δp。也就是说，供应商表示有兴趣以p或更低的价格购买一套资产。因此，只有当且仅当流动性接受者的价格水平β较小时，流动性接受者的销售订单才会执行该订单。如果发生此类执行，流动性提供者将获得一个单位的交易量，并损失p个单位的现金。然后，通过线性聚合各个极限指令，得到上述公式。本节将使用以下假设。假设6.4。订单簿（b，a）是这样的：\'b<a，也就是说，投标报价总是正面的。在这种情况下，我们会说订单上没有显示任何错误。假设6.5。流动性接受者同时买入和卖出永远都不是最佳选择。特别是，我们可以通过让流动性接受者正式发送市场指令（α，α），用单个实数α重新编码流动性接受者的控制。的确，如果α∈ （\'b，a）如果α没有交易≥ a买入，但不卖出，α也一样≤\'\'b.6.1.2。流动性接受者行为的概率模型。我们现在提供一个简单的模型，假设6.5自动遵循假设6.4。让(Ohm, F、 P）成为一个概率空间，模拟流动性接受者的信念。Letp是一个随机变量，代表流动性接受者在未来时间对资产进行估值的价格。我们假设流动性接受者是风险中性的，即他在交易后使预期财富最大化，换句话说，她解决了优化问题：maxβ，αE[-PL- K] （6.4）提案6.6。

把订单（a，b）给我。然后用β=α=E[p]给出了液体吸盘的最佳交易。（6.5）26勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特鲁夫。流动性接受者寻找（0，∞) ×(0, ∞) 函数（β，α）7-→Z[β，∞)（十）- E[p]）b（dx）-Z（0，α）（x）- E[p]）a（dx）（6.6）这个函数解耦，我们只剩下β7-→Z[β，∞)（十）- E[p]）b（dx）（6.7），在（0，E[p]]上不递减，在[E[p]上不递增，∞). 同样的结果适用于α7-→ -Z（0，α）（x）- E[p]）a（dx）（6.8）对于β=α=E[p]获得了上确界。备注6.7。虽然我们没有这个最大值的唯一性，但所有其他最优市场订单的选择将导致完全相同的执行。实际上，功能β7-→R[β，∞)（十）- E[p]）b（dx）和α7-→ -R（0，α）（x）- E[p]）a（dx）在E[p]i ffb中没有严格的最大值，a在包括E[p]的某个区间上分别置零质量。在此时间间隔内的任何市场订单都将导致完全相同的现金和资产转移，我们可以在不损失一般性的情况下，通过E[p]的市场订单替代它们。可以用类似的论点来排除偏序。特别是，我们可以用一个单数α来总结接受者的市场订单。推论6.8。假设订单簿（b，a）没有套利。那么，对买家来说，同时买入和卖出永远都不是最佳选择。证据通过前面的评论，我们可以用一个实数α来总结一个最优的买家的市场订单。买方的买卖量区域[a，α]和b[α，\'\'b]（6.9）。无套利属性意味着这两个术语不能同时为正。6.1.3. 订单簿的替代表示形式。

尽管上述限制和市场指令的表述是明确的，但我们仍然提供了另一种描述，只有在市场和假设中不存在套利时，这种描述才有意义。5.以下定义符合非常直观的“图形”方法。在上一节中，我们将订单簿定义为一对积极措施（b，a）。无套利条件保证了这两种措施之间存在脱节。因此，人们会试图将这两种措施“粘合”在一起。但为了做到这一点，我们还需要跟踪报价的起点和终点。这是通过以下方式完成的。定义6.9（报价）。让（b，a）成为一个不存在套利的订单簿。那么我们说p是订单的报价，如果p∈ （\'b，a）。由于买卖价差为正，因此没有唯一的报价。对于高频市场来说，这是一个不幸的现实，我们只能在买卖价差消失的极限下，从理论上解决这个难题。使用报价作为买卖限制订单之间的分离点，我们可以定义：高频市场中的自筹资金等式27定义6.10（形状函数）。假设（b，a）是一个订单簿，展示无误，p是其报价之一。然后定义订单簿的形状函数γ：r7-→ [0, ∞) to beγ（u）=Zu（a（0，p+x]- b[p+x，∞)) dx。（6.10）尤其是，γ是凸的，γ（0）=0，γ（0）=0。此外，γ是有界的，因此，γ最多具有线性增长。备注6.11。注意，如果度量b和a都有密度，γ（·+p）=b+a，或者更一般地说，如果我们从分布的意义上理解这个等式。下面的结果根据函数γ重新建立了交易方程。提案6.12。

设（b，a）为无套利的订货单，p为其报价之一，γ为相关形状函数。如果α=u+p是流动性接受者的市场顺序，那么我们有L=-γ（u）（6.11）K=（u+p）γ（u）- γ（u）。（6.12）证据。第一个身份是从γ和L:L=b[α，∞) - a（0，α）=-γ（u）28勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特第二个恒等式采用部分积分：α（xa=0，dx]Z）-Z[α，∞)xb（dx）=αa（0，α]-Z（0，α]a（0，x]dx- αb[α，∞) +Z[α，∞)b[x，∞)dx=αγ（u）- γ（u）备注6.13。流动性提供者在投资组合中的变化由这对组合捕捉(LK） 包括她的库存和现金头寸。有多种方式可以表示她财富的变化。但如果没有价格恢复，则交易后资产的价格变化将为α- p、 我们有：X=（α）- p）L+K=-γ（u）用于将财富从流动性接受者转移到流动性提供者。注意，我们用（6.11）和（6.12）来推导第二个等式。对于γ的构造，X始终是非正的，并且以用于定义γ的报价最小。因此，形状函数可以被视为衡量流动性提供者在给定价格水平下，如果价格恢复不存在，愿意承担的逆向选择。为了在不考虑交易价格α的情况下将交易成本与交易量联系起来，我们使用以下结果：命题6.14。（交易成本）将交易成本函数c定义为γ：c（l）=supu（ul）的勒让德变换- γ（u））。（6.13）然后我们有：K=-PL+c(五十） ，（6.14），特别是，c是凸的，满足c（0）=0。证据根据芬切尔恒等式，我们得到了uγ（u）=γ（u）+c（γ（u）），这是γ的广义逆。

因此，作为我们有(五十） 及K=-PL+uγ（u）- γ（u）=-PL+c(L）因此，不存在套利的订单簿（b，a）可以用一对（p，γ）来表示，其中p是实函数，γ是可微分的凸函数，线性增长满足γ（0）=γ（0）=0。请注意，这种以报价和订单簿形状表示的方式并不是唯一的，但会导致对交易的完全等价描述，从而形成相同的市场模型。这两种表述都有利弊，不幸的是，在我们分析的不同时期，两者都需要权衡。原始（b，a）表示法的优点是：分解的唯一性，易于推导高频市场中的自筹资金方程，以及公式的自然解释。（p，γ）的替代表示法更容易理解和简洁，因为它涉及一个实数和一个函数，而不是一对度量。6.1.4. 总结为了将来参考，我们总结了本节定义和推导的不同贸易等式和市场表示。流动性提供者下达限额指令。如果以这种方式形成的限价指令簿不存在套利，它将由一对测度（b，a）或一对测度（p，γ）表示，其中p是实数，γ是可微分的凸函数，具有线性增长，γ（0）=γ（0）=0。这两种表述之间的一致性方程可以在上面找到。我们称（b，a）为订单簿，p为报价，γ为订单簿的形状。流动性接受者的市场秩序将由代表a价格的实际α或代表中心价格的实际u（由报价p移动）表示。

这三个演示都会导致相同的交易。L=b[α，∞) - a（0，α）=-γ（u）是流动性提供者存货的变化，而α（xa=0，dx]Z）-Z[α，∞)xb（dx）=（u+p）γ（u）- γ（u）=pL+c(五十） 是她现金状况的变化。该交易对应的市场订单可以通过关系α从订单和交易量中恢复- p=c(-五十） （6.15）这是在没有价格恢复的情况下的价格影响。6.2. 离散的自我融资方程和其他关系。我们现在给自己一个离散的价格过程p和供应商库存过程L。就像在买卖价差的情况下一样，可以导出三个必要条件。6.2.1. 自我融资方程。X=Lp+c(五十） +PL（6.16）6.2.2。价格影响。PL≤ 0 (6.17)6.2.3. 价格回升|p|≤ |c(-五十） |（6.18）6.3。宏观极限。本节中的策略与第4节中的策略相同。我们从连续时间内的问题数据开始，将其离散化，以应用之前导出的离散关系，并最终采用离散极限来获得我们的连续时间关系。30勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特以数量为中心的价格            N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N         以成本为中心的价格0     形状函数订单价格路径 N图6。扩散极限模型的重整化。时间按1/N缩放，价格按1缩放/√N和体积增加1（不变）。例如，γ的y轴代表成本，即以1/N为单位的[数量]·[价格]。x轴以价格为单位，以1为单位/√N、 导致公式γN（·）=γ(√N·）/N.6.3.1。近似程序。让(Ohm, F、 F，P）是一个过滤概率空间，支持具有未指定相关结构的维纳过程（W，W）。

我们考虑固定的时间间隔[0,1]，并为供应商的价格和库存提供以下F适应过程：（pt=p+Rtuudu+RtσudWuLt=L+Rtbudu+RtludWu（6.19），其中土地u、σ、b和L的大量F可测量元素为F适应和c`adl`ag过程。最后，让c：Ohm ×[0,1]×R→ RDB应该是一个随机的、Ft自适应的函数，即Cin（t，l）。假设c对于所有t都是a.s.凸的，最小值ct（0）=0，并且对于某些常数c，ct（l）<Cl。我们用γtitsLegendre变换表示，它将表示订单簿的形状函数，以刻度大小度量。允许√Nbe是一个正在消失的蜱虫大小。将离散化价格过程定义为pNn=pn/Nand。高频市场中的自筹资金方程31我们为订单簿提出以下重整化选择。γNn（x）=NγN/N√Nx（6.20）这尤其意味着CNN（l）=Ncn/N√Nl（6.21）这是因为γ是以刻度大小定义的，需要在离散近似中适当地重新规范化，我们希望γ用绝对项表示。6.3.2. 主要结果。定理6.15。供应商财富X、存货L、价格p和交易成本c之间的连续时间关系为：dXt=Ltdpt+Φlt（ct）dt+d[L，p]td[L，p]t≤ 0σt≤ Φlt（（ct））（6.22），其中Xt=limN→∞XNbNtcu。c、 p.证明。就像买卖价差的情况一样，要证明的结果是NBTNCxn=1cn/N的u.c.p.收敛性√NnLN（6.23）和NBTNCXN=btNcnpN-cn/N√NnLN（6.24）到积分Φlu（cu）du（6.25）和zttσu- Φlu（（cu））du（6.26）这是定理4.2的直接应用。7.简单的供求模型本节的目的是说明限价订单利率和精确价格回收模型如何导致价格作为交易量函数的模型，或反之亦然。因此，这对高频市场的供需进行了建模，并结束了我们的努力。