互补商品的同时拍卖

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英文标题：
《Simultaneous auctions for complementary goods》
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作者：
Wiroy Shin
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  This paper studies an environment of simultaneous, separate, first-price auctions for complementary goods. Agents observe private values of each good before making bids, and the complementarity between goods is explicitly incorporated in their utility. For simplicity, a model is presented with two first-price auctions and two bidders. We show that a monotone pure-strategy Bayesian Nash Equilibrium exists in the environment.
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中文摘要：
本文研究了一个同时、独立、第一价格的互补商品拍卖环境。代理商在投标前会观察每种商品的私人价值，商品之间的互补性明确地包含在它们的效用中。为了简单起见，提出了一个包含两个首价拍卖和两个投标人的模型。我们证明了环境中存在单调纯策略贝叶斯纳什均衡。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computer Science and Game Theory        计算机科学与博弈论
分类描述：Covers all theoretical and applied aspects at the intersection of computer science and game theory, including work in mechanism design, learning in games (which may overlap with Learning), foundations of agent modeling in games (which may overlap with Multiagent systems), coordination, specification and formal methods for non-cooperative computational environments. The area also deals with applications of game theory to areas such as electronic commerce.
涵盖计算机科学和博弈论交叉的所有理论和应用方面，包括机制设计的工作，游戏中的学习（可能与学习重叠），游戏中的agent建模的基础（可能与多agent系统重叠），非合作计算环境的协调、规范和形式化方法。该领域还涉及博弈论在电子商务等领域的应用。
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PDF下载：
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关键词：SIMULTANEOUS Quantitative Applications Environments Coordination

互补商品同步拍卖2013年12月9日摘要本文研究了互补商品同步、单独、首价拍卖的环境。代理人在投标前会观察每种商品的私人价值，商品之间的互补性明确地包含在他们的效用中。为了简单起见，我们给出了一个模型，其中包括两个一价拍卖和两个竞拍人。我们证明了环境中存在单调纯策略贝叶斯纳什均衡。关键词：同步拍卖，多目标拍卖，首价拍卖，均衡存在，单调纯策略。1导言本文研究的是一个同时、单独、首价拍卖互补商品的环境。代理商在投标前会观察每种商品的私人价值，商品之间的互补性明确地包含在它们的效用中。为了简单起见，提出了一个包含两个一价拍卖和两个投标人的模型。我们证明了环境中存在单调纯策略贝叶斯纳什均衡。这种拍卖机制是一种外生的（尽管被广泛使用）形式，卖方之间不进行战略互动，这种模式旨在为专注于买方之间竞争的应用研究提供一个易于操作的框架。每个买家都试图从几个不相关的卖家那里获得一组物品，这些物品必须通过拍卖方式购买。eBay在同一收藏品类别下的各种密封竞价拍卖，由不同的卖家以相似的截止时间进行，就是这种环境的一个例子。此外，不太明确但同样引人注目的是，为收购生产最终产品和中间产品的企业而进行的拍卖可能是另一个例子。

在这里，买家打算创建一个垂直整合的公司，第一稿：2012年8月15日宾夕法尼亚州立大学经济系，宾夕法尼亚大学公园，美国16802。电子邮件地址：wus130@psu.eduI感谢爱德华·J·格林在整个项目中的指导和支持。我还要感谢詹姆斯·乔丹、莱斯利·马克思、埃德·库尔森和保罗·格里科的评论。所有的错误都是我的。两个被收购的公司在合并时可以被视为互补。现有拍卖研究的几个分支与这里所做的类似，但又有所不同。让我们简略地评论一下这些贡献，以及目前的研究与它们的区别。关于多单元拍卖的文献，包括Bresky（1999）和McAdams（2003），研究了具有特定定价规则的拍卖中多个相同商品的销售。建模时，多个相同的对象可替换不同的对象，而不是此处建模的互补对象。一揽子拍卖（见Bernheim和Whinston（1986年）以及Ausubel和Milgrom（2002年））对多种商品进行建模，而不只是假设可替代性。他们认为可以对一包物品进行明确的出价，这在不同的、不相关的卖家拍卖各种物品时是不可能的。之前有一些关于同时拍卖的研究贡献，包括Krishna和Rosenthal（1996）和Bikhchandani（1999）。它们要么假设投标人的估价信息完整，要么为多个对象的私有价值信号使用单个参数。然而，这种参数化过于僵化，无法模拟投标人对每个项目的偏好的异质性和互补性。

在本文中，我们放宽了这些限制，以便允许每个投标人为每个异构对象接收私有独立信号的环境。我们跟随Reny（2011）证明了单调纯策略均衡的存在性。除了对贝叶斯博弈的基本假设（G.1-G.6，p.509 Reny（2011）），弱单交叉性质和弱拟超模性对本文中的存在性定理是有效的。本文的剩余部分如下。在下一节中，我们将详细介绍一个同时进行独立互补第一价格拍卖的环境，并提出单调纯策略均衡存在的定理。第3节提供了证据，第4节讨论了将研究扩展到连续空间环境。2互补商品的同时一价拍卖在本节中，我们定义了具有2个不相同对象和2个投标人的互补商品的同时一价拍卖。这种特定的拍卖环境用M表示。在这一部分的最后，我们提出了单调策略均衡存在性的一个定理。雷尼（2011），定理4.1和命题4.42.1∈ {1, 2}.对象k∈ {1，2}，对象的值由向量xi=（xi1，xi2）表示。希克~F（·）和xik∈ X=[0,1]。让F（·）是无原子的。；xikis是一个带有CDF（·）的随机变量，它有一个支持度X和一个PDFf:X→ [0, 1]. 每个对象k都是分布的i.i.d.因此，两个对象（xi1，xi2）的联合CDF和联合DF分别由G（xi1，xi2）=F（xi1）×F（xi2）和G（xi1，xi2）=F（xi1）×F（xi2）给出。bi=（bi1，bi2）∈ B×B=A R.每个投标人同时投标BI1和BI2。B是R的有限子集。

在不丧失普遍性的情况下，我们对投标施加u（0，0）=0和恒定增量。因此，动作空间是A={0，n，n，\'u}×{0，n，n，\'u}，n∈ Z+.2.2单调纯策略均衡投标人i的纯策略是一个函数si:X→ A如果xi是单调的≥ XISI（xi）≥ 四（十一），为了所有的十一，十一∈ X.让Sibe得到i的一组单调纯策略。基于第2.1节中的环境，投标人i的预期效用可写如下。让我们-ibe由s构造的对手出价分布-i（x）-i） 和G（x）-i） 。偏差（bi）=us-i（[0，bi1）×[0，bi2]）+us-i（[bi1，bi1]×[0，bi2]）+us-i（[0，bi1）×[bi2，bi2]）+us-i（[bi1，bi1]×[bi2，bi2]）；P（bi）=us-i（[0，bi1）×（bi2，\'u]）+us-i（[0，bi1）×[bi2，bi2]）+us-i（[bi1，bi1]×（bi2，\'u]）+us-i（[bi1，bi1]×[bi2，bi2]）；P（bi）=us-i（（bi1，\'u）×[0，bi2]）+us-i（[bi1，bi1]×[0，bi2]）+us-i（（bi1，\'u]×[bi2，bi2]）+us-i（[bi1，bi1]×[bi2，bi2]）。（2） P（bi）表示当对手玩s时，出价者i用bi赢得两个对象的概率-i、 P（bi）和P（bi）分别表示仅赢得对象1和对象2的概率。然后，如果一个代理人的类型为xibids-bi，那么投标人i的预期能力为vi（bi，xi，s）-i） =P（bi）[u（xi1，xi2）-（bi1+bi2）]+P（bi）[u（xi1,0）-bi1]+P（bi）[u（0，xi2）-bi2]。（3） 为了简化第3节中的证明，我们修改了预期效用的表示。定义（bi1，bi2）=P（bi）；Q（bi1，bi2）=us-i（[0，bi1）×[0，\'u]）+us-i（[bi1，bi1]×[0，\'u]）；Q（bi1，bi2）=us-i（[0，\'u]×[0，bi2]）+us-i（[0，\'u]×[bi2，bi2]）。（4） Q（bi1，bi2）表示出价为bi1的投标人i至少赢得对象1的概率。Q（bi1，bi2）还描述了一种可能性，即出价为bi2的投标人i至少赢得了目标2。请注意，Qonly依赖于bi1，并在bi1中增加，而Qonly依赖于bi2，并在bi2中增加。

让比克，布利克∈ B和bhik>BlikforAnyk∈ {1, 2}. 对于当前情况，设bi=（bhi1，bli2）和bi=（bli1，bhi2）。将bi、bi替换为（15）。即Vi（bhi1，bli2，xi，s-（一）- Vi（bli1、bli2、xi、s-（一）≥ 0（16）表示六（bhi1，bhi2，xi，s-（一）- Vi（bli1、bhi2、xi、s）-（一）≥ 0.（17）（16）givesQ（bhi1）[u（xi1，0）- bhi1]+Q（bli2）[u（0，xi2）- bli2]+Q（bhi1，bli2）[u（xi1，xi2）- u（xi1，0）- u（0，xi2）]≥ Q（bli1）[u（xi1，0）- bli1]+Q（bli2）[u（0，xi2）- bli2]+Q（bli1，bli2）[u（xi1，xi2）- u（xi1，0）- u（0，xi2）]（18）<=> Q（bhi1）[u（xi1，0）-bhi1]-Q（bli1）[u（xi1，0）-bli1]≥ [Q（bli1，bli2）-Q（bhi1，bli2）]λ（xi）。（19） 重写（17），Q（bhi1）[u（xi1，0）- bhi1]- Q（bli1）[u（xi1，0）- bli1]≥ [Q（bli1，bhi2）- Q（bhi1，bhi2）]λ（xi）。（20） 由于（19）和（20）的LHS是相同的，弱拟超模的一个充分条件是[RHS（19）≥ RHS（20）]。RHS（19）- RHS（20）=λ（xi）·[[Q（bhi1，bhi2）- Q（bhi1，bli2）]- [Q（bli1，bhi2）- Q（bli1，bli2）]。（21）假设（A2），λ（xi）≥ 对于弱拟超模性，[RHS（19）-RHS（20）]是正的。也就是说，[Q（bhi1，bhi2）- Q（bhi1，bli2）]- [Q（bli1，bhi2）- Q（bli1，bli2）]≥ 引理2。回想一下，在拍卖中，M，X=[0，1]和A={0，n，n，\'u}×{0，n，n，\'u}，n∈ Z+。在这种环境下，不平等（22）适用于对手的所有单调策略。证据让xj∈ X×X和p（xj）=prob（xj）。此外，定义i，q（bi，bj）的事后两个目标摆动概率函数，如下所示。q（bi，北京）=1如果bi>bj1/2如果[（bi1>bj1）和（bi2=bj2）]，或[（bi1=bj1]）和（bi2>bj2）]如果bi=bj0，则为1/4否则。（23）假设对手对所有的xj玩一个任意单调纯策略βj（xj）=（βj1（xj），βj2（xj））。

然后，给定βj，投标人i赢得两个目标的临时概率sq（bi，βj）isQ（bi，βj）=Zxj∈Xp（xj）·q（bi，βj（xj））dxj（24）因此，（22）的LHS可以表示如下。[Q（bhi1，bhi2，βj）- Q（bhi1，bli2，βj）]- [Q（bli1，bhi2，βj）- Q（bli1，bli2，βj）]=Zxj∈Xp（xj）[{q（bhi1，bhi2，βj（xj））- q（bhi1，bli2，βj（xj））}-{q（bli1，bhi2，βj（xj））- q（bli1，bli2，βj（xj））}]dxj=Zxj∈Xp（xj）[H（bhi1，bli2，bhi2，βj（xj））- D（bli1，bli2，bhi2，βj（xj））]dxj。（25）注意H（bhi1，bli2，bhi2，βj（xj））=q（bhi1，bhi2，βj（xj））-q（bli1，bli2，βj（xj））和D（bli1，bli2，bhi2，βj（xj））=q（bli1，bli2，βj（xj））- q（bli1，bli2，βj（xj））。也就是说，当代理i提高第二个对象的出价，而第一个对象的出价较高时，H代表q的增加，暴露了两个对象的中标概率。当我对第一件物品出价较低时，D描述了同样的效果。现在，我们要展示xj，~毕∈ {（bli1，bli2，bhi1，bhi2）|bhik>blik，k=1，2}，H（bhi1，bli2，bhi2，βj（xj））- D（bli1，bli2，bhi2，βj（xj））≥ 0.选取任意的xjandβj，计算H（bhi1，bli2，bhi2，βj（xj））-D（bli1，bli2，bhi2，βj（xj）），对于~bian和βj（xj）之间的每种可能情况。我们从第一个主要类别开始，它描述了对手的第二个投标位于两个投标者之间的情况[bhi2、bli2和βj2（xj）]定义了5个主要类别，[bhi1、bli1和βj1（xj）]定义了5个子类别。主要类别为[bhi2>βj2（xj）>bli2]，[bhi2>βj2（xj）=bli2]，[bhi2>bli2>βj2（xj）]，[bhi2=βj2（xj）>bli2]和[βj2（xj）>bhi2>bli2]。子类别如表所示。1.我对第二件物品的出价高低不一。在这种情况下，低出价总是给出q（·bli2，βj（xj））的值0。

bhi2>βj2（xj）>BLI2对于bli1，有3种可能性。i） bli1<βj1（xj）D=q（bli1，bhi2，βj（xj））- q（bli1，bli2，βj（xj））=0- 0=0ii）bli1=βj1（xj）D=qj（bli1，bhi2，βj（xj））- q（bli1，bli2，βj（xj））=1/2- 0=1/2iii）bli1>βj1（xj）D=q（bli1，bhi2，βj（xj））- q（bli1，bli2，βj（xj））=1- 0=1对于bhi1，有3种可能性。a） bhi1<βj1（xj）H=q（bhi1，bhi2，βj（xj））- q（bhi1，bli2，βj（xj））=D=0第二个等式成立，因为bhi1与BLI1在D中扮演着相同的角色。b）bhi1=βj1（xj）H=D=1/2c）bhi1>βj1（xj）H=D=1 D的下标表示主要类别编号，上标描述了第一次投标确定的案例。表1:H- D类别HHBH<βj1（xj）bh=βj1（xj）bh>βj1（xj）Dbl<βj1（xj）H- DH- DH- DDbl=βj1（xj）  H- DDbl>βj1（xj）  H- 带 未定义，因为[bl>βj1>bh]与[bh>bl]相矛盾。总之，H=D=0H=D=1/2H=D=1（26）见表1。我们想证明定义的单元格值为正或零，并且与（26）中的结果一致。它也适用于4例以下的病例。2.bhi2>βj2（xj）=bli2H=D=0- 0=0H=D=1/2- 1/4=1/4H=D=1- 1/2 = 1/2(27)3. bhi2>bli2>βj2（xj）H=D=0- 0=0H=D=1/2- 1/2=0H=D=1- 1 = 0(28)4. bhi2=βj2（xj）>bli2H=D=0- 0=0H=D=1/4- 0=1/4H=D=1/2- 0 = 1/2(29)5. βj2（xj）>bhi2>bli2H=D=0H=D=0H=D=0（30）我们已经证明了H（bhi1，bli2，bhi2，βj（xj））- D（bli1，bli2，bhi2，βj（xj））≥ 0代表所有情况。因此，不平等（22）成立。注意，p（xj）不存在限制。因此，X上的任何分布都是允许的。因此，通过引理2，过渡效用Vi（bi，xi，s-i） 是弱拟超模的。4结论本文证明了在同时第一价格拍卖中存在单调纯策略均衡，拍卖对象在竞买人效用中具有协同效应。

在完全性假设下，满足了过渡效用的弱单交叉性和弱拟超模性，因此Reny（2011）的存在性定理适用于这种环境。作为未来的研究，在一个连续的空间环境中思考环境是有意义的。正如Athey（2001）在论文中所说，它将支持一种微分方程方法来验证存在条件。她通过展示游戏中不存在的联系，为扩展提供了一个连续的动作空间。Reny（2011）还通过一个更好的回复安全游戏和一个纯策略的限制来表示扩展 平衡。Susan（2001）《不完全信息博弈中的单交叉性质和纯策略均衡的存在》，《计量经济学》，第69卷，第4期，第861-889页。Ausubel，Lawrence M和Paul Milgrom（2002），“带一揽子招标的升序拍卖”，理论经济学前沿，第一卷，第一期，第1-42页。Bernheim，B Douglas和Michael D Whinston（1986）“菜单拍卖、资源分配和经济影响”，《经济学季刊》，第101卷，第1期，第1-31页。Bikhchandani，Sushil（1999）“异质物品的拍卖”，《游戏与经济行为》，第26卷，第2期，第193-220页。Bresky，Michal（1999），“多单元拍卖中的均衡”，CERGE-EI工作文件系列，布拉格。Krishna、Vijay和Robert W Rosenthal（1996）“协同效应下的同步拍卖”，《游戏与经济行为》，第17卷，第1期，第1-31页。麦克亚当斯，大卫（2003），《不完全信息博弈中的等同均衡》，计量经济学，第71卷，第4期，第1191-1214页。Reny，Philip J（2011）“关于Bayesiangames中单调纯策略均衡的存在性”，计量经济学，第79卷，第2期，第499-553页。